函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性一.知识总结

1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）

;为偶函数为奇函数;(1)

在原点有定义(2)奇函数

任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一(3)

个偶函数之和

（奇）（偶）即.

2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)

称为:时有区间,上任意两个值,若(1)定义.为称时有上增函数,上减函数若,

(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.

3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.

二.例题精讲

的函数是奇函数已知定义域为1【例】.

求的值Ⅰ);(

求的恒成立),若对任意的,不等式(Ⅱ.取值范围

是奇函数，所以=0解析：（Ⅰ）因为，

即

）知（-1（1）= -f又由 f

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：

，

，即：

整理得

上式对一切均成立，

从而判别式

在处取得极值－设函数2,】【例2试用的单调区间.和,表示并求

而解：依题意有

解得故

。从而或，得令。

处取得极值，由于在

，即。故

时，，即（1）；若，则当

时，；2）当；当时，（

的单调增区间为；从而

单调减区间为

，即若，同上可得，

为；单调减区区的单调增间间为

都有,若对所有的】3(理),设函数【例.的取值范围求实数成立,

的单调性讨论函数(文)

（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

a－1－1， ex0(x)g令′＝，解得＝

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．

a－1 (ii)当a＞1时，对于0＜x＜e－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，a－1－1)是减函数，e

a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当，所以对＝00＜x＜ea＞1 又g(0)时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x a－1－1，＝e

a－1a－1当x＞e－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，

a－1－1≤0．由此得ag(0)≥0都有g(x)≥充要条件为e≤1，所以要对所有x 即a的取值范围是（－∞，1]．

）解：设，（文

则

∵

，∴，，

，则时，为增函数当

为减函数，则当时，

为常量，无单调性当时，

其中为常数,)】(理.

已知函数4【例

讨论函数,若)的单调性;(Ⅰ

.试证=4,:若)(Ⅱ,且时，上的奇函数，当已知为定义在，文().求的表达式

（理）

∴（文）解：∵为奇函数，

当时，

∵∴为奇函数

∴

∴

三.巩固练习

是上的减函数,那么 1.已知的取( )值范围是

D. B.A. C.,,时,是周期为2的奇函数设 2.当已知( )则

D. A. C.B.

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )

D.

A. C.

B.

(0,)成立,则 4.的取值范围是若不等式对于一切

2 C.- D.-3A.0 B. –是上的任意函数,则下列叙述正确的是 5.( )设

A.是奇函数

B.是奇函数

C. D.是偶函数是偶函数

则上的奇函数的值已知定义在 6.,满足( )为

A.－1

B.0

C.1

D.2

且）的图象关（7.的图象与函数已知函数

若在区间,于直线对称记上.是增函数,则实数的取值范围是( )

D. C. B. A.

上是理)如果函数8.(在区间( )的取值范围是,那么实数增函数

. ＡＣ.ＤＢ ..

上可导的任意函数,则必有9.,对于若满足( )

B.C. A.

D.

,则10.( )已知

D. B.A. C.

若为奇函数,则已知函数, 11. .

当. 已知函数上的偶函数是定义在12.

时,时,,则当 .

且,则方程13.上的以3为周期的偶函数,是定义在

=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )

A.5

B.4

C.3

D.2

又在区间上单调递减的是下列函数既是奇函数14.,( )

D. A.

C.B.

则该函数在上是, 15.( )若函数

A.单调递减无最小值

B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值

D.单调递增有最大值

在区间内单调递增16.,若函数

( )则的取值范围是

D. C. B.A.