弹塑性力学应力

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000弹塑性力学-应力理论

y 32
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土粘（半土透水）
毛细张力力总应力
中和应力有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形状或尺寸会发生变化，同时物体内各部分之间将产生相互平衡的内力（附加内力）。现假想用一个平面K将物体分成两部分，如图2-1所示。显然这两部分将通过K截面有分布内力的相互作用。

弹塑性力学第3章弹性与塑性应力应变关系

3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论是塑性力学中的基本理论。

A B
模型：
s
e E E s s e
O

线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s

e E E1 ( s ) s e

B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O

E s
或其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔圆成比例。用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限点（屈服应力点）连接起来就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈服条件。

(完整)弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题第一章应力1、什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。

2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。

3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。

110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。

5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。

6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。

固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。

从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。

应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。

《弹塑性力学》第四章应力应变关系(本构方程)-精品文档42页

ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2
28.09.2019
2
第四章应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
Wijij
——W为
的函数。
ij
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11
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，
所以W 为它的全微分
W

W
ij
ij
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12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
时刻达到 t +t：位移有增量 uuiei
应变增量 ijeiej 外力功增量：A Vfu d V S F u d S
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8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
A 本构f关u 系d VF u d ：函S 数增量
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
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19
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向
异性线弹性材料。
*对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
V
S
Vfiuid V sF iuid SU V Wd
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用

弹塑性力学名词解释

弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。

2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。

一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。

3.体积力：作用在物体每一点的外力。

比如每一点都有的重力。

4.面力：作用在物体表面的外力。

比如水给大坝表面的压力。

5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。

物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。

6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。

8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。

变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。

9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。

直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。

10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。

12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。

13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。

弹塑性力学总复习

弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。

从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。

注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。

2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。

物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。

（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。

应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。

在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。

这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。

主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。

弹塑性力学应力应变关系

我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。

但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。

而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。

变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。

在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。

此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。

而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。

相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。

我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。

本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。

在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。

即，),,(T t f εσ=。

另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。

简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。

我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。

在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律：。

而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是。

另外，简单拉伸情况下的卸载定律是。

在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。

初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。

初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。

最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。

弹塑性力学-03应力应变关系

x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
School of Engineering and Technology,China University of Geosciences
School of Engineering and Technology,China University of Geosciences
❖ 屈服曲线的性质：
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。
2. 由原点O向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初始屈服强度是唯一的）。
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§3–1 拉伸应力 -- 应变曲线
二、真应力--应变曲线
T
P A
A'
TA
B A
A
o'
o
1
A
材料不可压缩： Al A0l0
T
P A0
l l0
T (1 )
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x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E

弹塑性力学——应力

x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z

弹塑性力学应力分析

解之将联立
代入
解之
将联立
代入
解之
将联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以三主方向取Oxyz坐标，如图所示设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将向外法线和斜面分解为和。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的单元，并对每个单元进行数学建模，从而将复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变形阶段提供依据，是弹塑性力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与塑性范围内应力应变关系的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能够恢复到原始状态的性质。

弹塑性力学04应力和应变关系汇总

第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。

由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。

应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。

对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。

对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。

分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。

二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。

借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。

本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。

根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。

学习要点：1. 应变能；2. 格林公式；3. 应变能原理。

1. 应变能弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。

本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。

根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。

弹塑性力学应力和应变之间的关系

我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。

在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。

对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。

所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。

这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。

各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。

2.体积应力与体积应变成比例。

3.应力强度与应变强度成比例。

4.应力偏量与应变偏量成比例。

工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。

在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。

屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。

习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。

对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ：初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ：颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。

在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。

如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。

弹塑性力学-1 应力分析

斜截面上的应力分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
2 2 2 pvy pvz 总应力 pv pvx
正应力 v lPvx mP vy nP vz l 2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx 剪应力 v pv2 v2
对于动力学问题，还要给出初始条件。
弹塑性力学的基本解法：根据基本方程求解精确解法即能满足弹塑性力学中全部方程的解。近似解法即根据问题的性质，采用合理的简化假设，从而获得近似结果。有限元数值分析方法它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复杂的物理关系都能算出正确的结果。
1-2 三维应力状态分析
z
pvz
斜截面的法线v与坐标轴正向夹角余弦：
xy y yx xz yz zy zx pvx x z
x
pvy
cos(v, x) l , cos(v, y ) m, cos(v, z ) n
y
四面体平行于坐标轴的棱边长度为dx，dy，dz 斜截面的面积为dS 静力平衡方程
3 基本方程与基本解法
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来进行研究。几何学方面建立位移和应变之间的关系。几何方程，位移边界条件运动学方面建立物体的平衡条件。运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件

以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。

物理学方面建立应力与应变之间的关系。本构方程
正应力 p cos cos2 剪应力 p sin sin cos

弹塑性力学第三章应力与应变讲解

pn nn ns (3.2)
式中：n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位矢量。全应力和应力分量之间有
n pn n

n pn s
pn2

2 n

(3.3)
研究具体问题时，总是在一个可以选定坐标系里进行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系方向进行分解。
p 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
则该主平面上的应力矢量 n 可表示为
pn n (3.14)
或
px py
l1 l2

(3.15)
pz
l3

式中：表示主应力
将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得
(
x

)l1
设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为
ij yxx
xy y

xz yz

zx zy z
现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表：
x
y
z
X’ l11 cos(x ', x) l12 cos(x ', y) l13 cos(x ', z)
要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（3 .18)有非零解，则其系数行列式必须为零。
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 z
(3.19a)
方程组(3.19)也可以写成
det ij ij 0
(3.19b)
式（3.19)展开后，得
对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整

最大 von mises 应力准则

最大 von mises 应力准则
最大von Mises 应力准则是弹塑性力学中的一个重要概念，它是由冯·米塞斯于1913年提出的。

该准则基于剪切应变能的一种等效应力，用于描述材料在受力状态下的屈服行为。

根据这个准则，当材料的等效应力达到某一与应力状态无关的定值时，材料就开始屈服。

这个定值通常被称为材料的屈服强度。

在最大von Mises 应力准则中，等效应力是通过将三个主应力进行一定的组合和运算得到的。

具体来说，等效应力σeq 的计算公式为：
σeq = √[(σ1 - σ2)^2 + (σ2 - σ3)^2 + (σ3 - σ1)^2] / 2
其中，σ1、σ2 和σ3 分别是三个主应力。

这个公式考虑了所有三个主应力的影响，因此是一个比较综合的指标。

当等效应力达到材料的屈服强度时，材料就开始发生塑性变形，即开始屈服。

最大von Mises 应力准则在工程实际中有着广泛的应用。

例如，在机械设计中，可以使用这个准则来预测机械零件的疲劳寿命和安全性。

通过计算零件在不同工况下的等效应力，并与材料的屈服强度进行比较，可以确定零件是否会发生屈服和破坏。

此外，在有限元分析等数值计算中，也经常使用这个准则来判断材料的屈服和塑性变形行为。

总之，最大von Mises 应力准则是弹塑性力学中的一个重要概念，它为我们提供了一种描述材料屈服行为的综合指标。

在工程实际中，我们可以通过计算等效应力来判断材料的屈服和安全性，从而为机械设计和数值计算提供重要的参考依据。

有效应力原理的基本概念

有效应力原理的基本概念有效应力原理是弹塑性力学的基本原理之一，它用于描述材料中的应力状态和变形情况。

有效应力表示材料内的真正应力负荷，排除了由于材料中的孔隙、裂纹或微观缺陷引起的局部应力集中效应。

有效应力原理的主要目的是通过假设材料中的应力分布是均匀的，并将材料中各部分应力之间的关系表示为一个统一的应力张量。

有效应力原理的基本概念如下：1. 应力与变形关系：根据应力-应变曲线，可以将材料的力学行为划分为弹性和塑性阶段。

弹性阶段中，应力与应变成正比，且应力释放后材料恢复到初始状态。

而在塑性阶段，应力超过一定临界值时，材料开始发生可持续的形变，并且在去除外部应力后，材料只能恢复部分变形。

2. 应力状态：一个物体内的应力状态通常由一个代表应力的应力张量来描述。

在三维空间中，应力张量由九个应力分量组成，分别表示正应力和剪应力。

在有效应力原理中，这些应力分量被重新定义为有效应力分量，用于描述材料内部的真实应力状态。

3. Mohr-Coulomb准则：有效应力原理的基础是Mohr-Coulomb准则，它假设材料中的剪应力强度只与有效应力相关。

Mohr-Coulomb准则是一种经验公式，可以用于计算不同材料在不同应变速率和温度下的剪切强度。

4. 孔隙和裂纹对应力的影响：孔隙和裂纹是材料中最常见的缺陷，它们会引起应力集中，导致局部应力增大。

有效应力原理通过忽略这些缺陷的影响，将材料中的应力分布视为均匀的，从而简化了材料的力学分析。

5. 有效应力张量的计算：由于有效应力原理假设了均匀的应力分布，因此可以使用均匀应力分布的计算方法来计算有效应力张量。

常见的计算方法包括：平均应力法、应力不变量法和应变能密度法等。

总结来说，有效应力原理是一种简化材料力学分析的方法，它排除了缺陷对应力分布的影响，用一个统一的应力张量来描述材料内的应力状态。

在应用有效应力原理时，需要考虑材料的性质、受力情况和外部环境等因素，并结合真实的力学实验数据来计算有效应力张量，用于工程结构的设计与分析。

李同林弹塑性力学第2章应力理论应变理论

yx l1 ( y n )l 2 yz l 3 0 zx l1 zy l 2 ( z n )l 3 0
( x n )l1 xy l 2 xz l 3 0
（2—12）
ij ij n l j 0

ij ij lii l jj
（2—10）
3、平面应力状态
◆
注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。
x x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
2 2 n Px2 Py2 Pz2 n
2 2 ( 1l1 ) 2 ( 2l2 ) 2 ( 3l3 ) 2 ( 1l12 2l2 3l3 )
( )l ( )l ( 1 3 )l ( 2 3 )l 3
xy y zy
xz yz 或 z
x xy xz ij yx y yz （2—3） zx zy z
据剪应力互等定理一个对称的二阶张量。
ij ji (i j) ,应力张量应是
z′
2 2 2 x x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 2 yz l12 l13 2 zx l13 l11 2 2 2 y x l 21 y l 22 z l 23 2 xy l 21l 22 2 yz l 22 l 23 2 zx l 23 l 21 2 2 2 z x l31 y l32 z l33 2 xy l31l32 2 yz l32 l33 2 zx l33 l31