弹塑性力学应力

x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
采用张量符号，平衡方程可写为：
ij, j Fbi 0
其中： ij, j
ix
x
iy
y
iz
z
ij, j 0
x
x
xy
y
xz
z
0
yx
x
y
y
yz
z
0
zx
x
zy
y
z
z
0
2.3 一点处应力状态的描述 由平衡条件： ∑X=0， ∑Y=0，得：
yx
）
xy
x xy 0
平面应变状态： ij yx y
0
0 0 z
独立应力分量三个：
x，
y，
；
xy
（后面可证明
不独立）
z
平面应力状态的平衡方程
由平衡条件M a 0：
(
y
dydx)
dx
(
x
dydx)
dy
y
2 y
2
( xy
xy
x
dx)dydx
(
yx
yx
y
dy)dydx
Fby dxdy
11 12 13
ij 21
22
23
31 32 33
13
23
33
后面可以看到应力张量完全确定一点的应力状态。
2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程
x xy 0 平面应力状态： ij yx y 0
0 0 0
独立应力分量三个：
x，
y，
；
xy
（根据剪应力互等定理
第二章 应力
2.1 力和应力的概念
外力——载荷
长程力 体力，如重力 接触力 面力（特例：集中力） 惯性力 体力，如离心力
面力度量 ——面力集度（矢量）
pS
p lim S0 S
单位Pa, MPa
坐标轴投影px , py , pz ,与坐标 轴正向一致为正，反之为负
体力度量 ——体力集度（矢量）
Fb
lim
主平面，该面上的应力矢量与该面的法线方向一致，或者说
n p 因为：n ijl j， ijl j p，即：
xl1 xyl2 xzl3 px xyl1 yl2 yzl3 py xzl1 yzl2 zl3 pz
2. 位移边界条件
位移边界表面（Su），给u定 ：uu，即(u：x, uy ,uz )，有：
ux
u
x ，u y
u
y ，uz
u
，或：
z
u u x，v u y ，w u z
3. 混合边界条件
同一表面，已知部分应力和部分位移。
AB 是混合边界
已知：v 0，px 0，则边界条件：
v 0( v )， xy 0( px )
例2-1 求给定面的边界条件
解：
AB： x 0， xy 0 BC： y q， yx 0 CD： x 0， xy 0 AD： y q， yx 0
x
x'y' x'
xy
yx
微元平衡分析结果表明：即使同一点 不同方向面上的应力也是各不相同的，即
应力的面的概念。
应 力
哪一个面上？ 指明
哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，称
之为这一点的应力状态（State of
the Stresses of a Given Point）。
px x cos xy sin py xy cos y sin
三维应力状态，令：
l1 cos(n, x)，
l2 cos(n, y)，
l3 cos(n, z)
x
由平衡方程，得：
px xl1 xyl2 xzl3
py xyl1 yl2 yzl3
pz xzl1 yzl2 zl3
V 0
Fb V
重力
Fb
mgg0
mg
g0
比重
内力 主要由材料内部接触产生，属面力，成对出现。
内力度量 ——应力（矢量）
p
σ lim
S SC 0
C
单位Pa, MPa
P点处C面的应力（矢量）
σ
正应力，
n
τ
剪应力
n
n为y轴时，
n为
y，τ
n为
，进一步分解为
y
yz，
yx
应力符号规定：
1. 正应力拉为正，压为负
过P点的C平面是任选的。C有无限多个，或者说n有无限多个。 问题：如何描述一点处的应力状态？
ห้องสมุดไป่ตู้
x xy xz 得到九个应力分量： yx y yz
zx zy z
写成矩阵形式：
称
为应力张量
ij
ij yxx
xy y
xz yz
11 21
12 22
zx zy z 31 32
2. 剪应力分两种情况：当面的外法线与坐标轴正向一致 时，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负；
当面的外法线与坐标轴负向一致时，则沿坐标轴负方 向的剪应力为正，反之为负。
Nx Mz
Qy
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，即应力的点的概念。
x'y' x'
dx 2
Fbxdxdy
dy 2
0
略去dx、dy的三次方项，得： xy yx 这就是剪应力互等定理
由平衡条件X 0：
( x
x
x
dx)dy
xdy
( yx
yx
y
dy)dx
yxdx
Fbxdxdy
0
x
x
yx
y
Fbx
0
同理： y
y
xy
x
Fby
0
上两式称为平面问题的平衡方程
同理可得三维应力状态下的平衡方程：
l1 cos(n, x) cos， l2 cos(n, y) sin
px 0 xcos xy sin py 0 xy cos ysin 边界条件： x xy tan
y xy cot
q
D
C
q
例2-2 求给定面的边界条件 解：
边界条件： x y xy 0
2.5 主应力与主方向
即
pi ijl j
p
(
px
,
py
,
p
z
)在法线上的投影为：
pn n ijl jli xl12 yl22 zl32 2( xyl1l2 yzl2l3 xzl1l3 )
p切面上的大小（剪应力）： n
p2
2 n
l11 cos(x, x)，l12 cos(x, y)，l13 cos(x, z)， l21 cos(y, x)，l22 cos(y, y)，l23 cos(y, z)， l31 cos(z, x)，l32 cos(z, x)，l33 cos(z, x)
x
l2
x 11
l2
y 12
l2
z 13
2( xyl11l12
yzl12l23
xzl11l13)
一般有： ij liil jj ij 因此 ij构成张量
2.4 边界条件
应力在边界上应满足边界条件。边界条件有三种：
1. 应力边界条件 应力边界表面（S），已知 ：p ( px, py , pz )，由平衡关系有：