数列常见题型汇总经典(超级经典)

数列常见题型汇总经典(超级经典)

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高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨

⎧-=-11

n n n S S S a )

2()1(≥=n n

例1、已知数列}{n a 的前n 项和2

12n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T

1、若数列}{n a 的前n 项和n

n S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和32

3

-=n n a S ，求该数列的通项公式。

3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2

2n S T n n -=，

求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ,证明2

1

3-=n n a

1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*

12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.

2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(1

1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

3.形如

)(1

n f a a n

n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n

n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =1

1-⋅n q a .

（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111

,1-+==n n a n n

a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

1、在数列}{n a 中111

1

,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

2、求数列)2(1

232,111

≥+-==-n a n n a a

n n 的通项公式。

4.形如s

ra pa a n n n +=

--11

型（取倒数法）

例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1

211

≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a

练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,1

31+=

+n n

n a a a ,求通项公式n a .

2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .

5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1A a c A a n n +=+

+,利用待定系数法求出A

例1．已知数列}{n a 中，,2

1

21,211+==+n n a a a 求通项n a .

练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。

3、若数列}{n a 中，11=a ,13

2

1+=+n n a a ,求通项公式n a 。

6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）

(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。 例题. 在数列{}n a 中，2

3

1=

a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .

练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a

(2)若n

q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：n

n n q a a +=+1，累加即可

②若1≠p 时，即：n

n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以1

+n q . 即：

q q a q p q a n n n n 11

1

+⋅=

++, 令n

n n q

a b =,则可化为q

b q p b n n 1

1

+⋅=+.然后转化为类型5来解，

例1. 在数列{}n a 中，5

2

1-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a

1、已知数列{}n a 中，211=a ，n

n n a a )2

1(21+=-，求通项公式n a 。

2、已知数列{}n a 中，11=a ，n

n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。

题型二 根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5

5b a .

3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95S S

a a 则（ ）