东南大学2009年《电磁场与波》 计算题库

2009年《电磁场与波》计算题库1. 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为。

(1)求圆柱内、外的电场强度。

(2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解：(1)r<a ；(2)导体；2. 已知自由空间球坐标系中电场分布：2020()()rr r E a r a a E a E a r a r⎧ 0<<⎪⎪=⎨⎪ ≥⎪⎩ ，求空间各处体电荷密度分布。

解：分析：由电场散度与电荷源的关系，可由已知电场分布确定空间体电荷密度分布。

根据题意，电场强度仅有r E 分量，所以22241()0r rE r a E r E a r r a r ⎧ 0<<∂⎪∇==⎨∂⎪ ≤⎩ 于是002040rE r a E a a rερε⎧ 0<<⎪=∇=⎨⎪ ≤⎩3. 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求：圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场强度E解：如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为204dqdE Rπε=由对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即()3222020cos 4z dq zzdq dE dE r R Ra zθπεπε===+积分得到()()332222220044zz z qz E a dq a a za zπεπε==++⎰4. 四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，如图所示。

管子截面为a b ⨯，上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为0V ，左侧板上电位的法向导数为零，即0xϕ∂=∂。

求管内的电位分布规律。

解题：分析：这是第三类边值——混合型边值问题。

基本解答形式为........(2-1)现在要利用给定的边界条件来确定常数、、、和。

4个边界条件为：A. 当 y=0 ，0<x<a 时， ；B. 当 y=b ，0<x<a 时， ；C. 当 x=0 ，0<y<b 时， ；D. 当 x=a ，0<y<b 时，。

i) 当y=0 ，0<x<a 时，，由式(2-1)得；ii) 当y=b ，0<x<a 时，，由式(2-1)得；iii) 当x=0 ，0<y<b 时，，由式(2-1)得。

所以。

将所得到的结果代入式(2-1)得然后利用第四个边界条件，确定上式中的。

亦即，iv)利用x=a ，0<y<b 时，，得式中为傅立叶系数，在此为......(2-2)求得为将上式代入式(2-2)得于是可得电位的定解为5.一段长为L的导线，当其中有电流I通过时，求空间任一点的矢量磁位及磁感应强度。

解题：分析：由于导线长度有限，虽然磁感应强度关于轴对称，但是沿z方向，r是变化的，找不到处处与磁场同方向，而且磁场幅度相等的简单的闭合曲线。

本题先求矢量磁位，再求磁感应强度较为方便。

取柱坐标系，使导线L与Z轴重合，导线中点位于坐标原点。

由图可见，导线中dz'到场点P的距离，所以对取旋度得到磁感应强度6. 两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另有一块电位为V的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘如图所示。

求两板间的电位分布。

分析：为了正确的选择电位的解答形式。

首先要对的分布特点做出分析、判断。

电位对于y而言，在y=0，y=b处电位都为零，即沿Y坐标出现重复零点，显然，呈三角函数分布。

对X方向而言，当x=0时，，而时，。

显然，与X 方向呈指数函数分布。

通过这种分析可知，选择式作为本例的基本解答形式是妥当的。

剩下的问题就是利用所给定的边界条件，确定常数、、、，k ，求出的定解。

4个边界条件是1.当 y=0 ，时，2.当 y=b ，时，3.当，0<y<b 时，4.当 x=0 ，0<y<b 时，i）当y=0 ，时，，可得ii）当y=b，时，，可得.......iii）当，0<y<b 时，，可得将所求出的， ，代入式，则得(*)式中，仍为常数。

上式满足了前三个边界条件。

但尚不满足最后一个边界条件。

我们可以根据现行微分方程解的迭加原理，取式 (*) 的无穷级数作为电位的解，即然后利用最后一个边界条件来确定式中的系数。

最后可以求得可得电位的定解为7. 在应用矢量磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令0=⋅∇A 。

写出A 和ϕ所满足的微分方程。

解题：由式5.3.6得：2222222222()()()()(())A A A J A A J t t t tA A E A t t tE ϕϕμεμμεμεμμεϕϕϕϕρρϕεε∂∂∂∂∇∇-=-+∇∇⋅+ ⇒∇-=-+∂∂∂∂∂∂∂∇⋅=-∇⋅∇+=-∇+∇⋅=-∇+∇⋅=-∇∂∂∂∇⋅= ∴∇=-8. 证明在无源空间(0,0J ρ== )中，可以引入一矢量位m A ，定义为m D A =-∇⨯，mm A H tϕ∂=-∇-∂，并推导m A 和m ϕ的微分方程。

证明：在无源空间：0D ∇⋅=所以可以引进：矢量位m A ，定义为m D A =-∇⨯ 。

在无源空间：()m m A A D H t t t ∂∇⨯∂∂∇⨯==-=-∇⨯∂∂∂()0m AH t∂∴∇⨯+=∂可以定义标量，其梯度为：()m m m m A A H H t tϕϕ∂∂-+=∇ ∴=-∇-∂∂证毕m A和m ϕ的微分方程可以用和书上类似的方法推导出来：，且满足洛仑兹规范：0mm A tϕμε∂∇⋅+=∂9. 已知在无限长的理想导体板围成的矩形区域内，电场强度的复数形式为：2sin()j j zy m m E a E e x e a πβπ--=，求电场强度的瞬时值表达式和对应的磁场强度的复数形式、瞬时值表达式。

解：（1）2Re[]Re[sin()]sin()cos()sin()sin()2j j tj z j t y m y m y m m E Ee a E e x e e a m m a E x t z a E x t z a aπωβωππππωβωβ--===--=-（2）由E j B ω∇⨯=-得：221[sin()][sin()]j j j zj z y m m y j j m j m H E E a E e x e E e a x e j a aππββππωμωμωμωμ----=∇⨯=∇⨯=∇⨯=∇⨯- 1[sin()cos()][sin()cos()]j z j z m x z j zm x z m m m H E j x e a x e a a a a E e m m m j x a x a a a aβββπππβωμπππβωμ---=+=+（3）Re[]Re[(sin cos )][sin sin()cos cos()]j z j t j tm x z m x z E e e m x m m x H He j a a a a aE m x m m x t z a t z a a a aβωωπππβωμπππβωβωβωμ-==+=--+-10. 电场强度01(,)sin[()]x z E z t a E t v ω=-的平面波，垂直投射（沿z 方向）到两介质的分界面（从空气到玻璃，玻璃的4,1r r εμ==）求反射波及折射波的电场、磁场。

解题：1). 求R 和T121121121123m m E Z Z R E Z Z -+--======-++2). 求电场3). 求电场直接求磁场11.频率为550kHz的平面波在有损媒质中传播，已知媒质σ/ωε为0.02，相对介电常数为2.5，求该平面波的衰减常数α、相移常数β及相速度v p。

解：物质的导电率与频率有关，分析本题中媒质的导电特性，再利用相应的公式来求解。

由于损耗角正切为，所以，可以按低损耗介质来处理。

掌握如何计算良介质中平面波的参数，从概念和具体数值两方面加强对良介质中平面波参数的理解和认识。

由于损耗角正切为，所以，可以按低损耗介质来处理。

由得于是由式得衰减常数为由式得相移常数为相速度为12.简谐变化的均匀平面波投射到z＝0处的理想导体平面上，已知其入射电场为：(68)10j x zyE a e+-+=（1）求该波的频率和波长；（2）写出入射电场、磁场的瞬时表达式；（3）求入射角；（4）求反射波电场、磁场的表达式；（5）求合成电场、磁场的表达式。

解题：（1）(2)经分析可知，入射波磁场可分解为－x和＋z两个分量。

由于：所以：（3）（4）反射波传播方向可分解为+x和-z方向，假设电场方向不变，磁场方向可分解为＋x和－Z方向。

所以（5）。