微分几何-陈维桓-习题答案2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
习题答案2
p. 58 习题3.1
2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上,命(0,0,1)N =,(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =,可以作为一的一条直线经过,N p 两点,它与球面有唯一的交点,记为p '. (1) 证明:点p '的坐标是
2
221u x u v =++,22
21
v
y u v =++,222211u v z u v +-=++, 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示;
(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示; (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换; (4) 证明球面是可定向曲面.
证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v
. 如图,,,N p p '三点共线,故有t ∈R 使得
(1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v
. (1)
由于21Op ON =='u u u v u u u v ,222
u v Op =+u u v ,0Op ON '⋅=u u u v u u u v ,0t ≠,取上式两边的模长平方,
得222/(1)t u v =++. 从而
222222
21
(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==
+++++u u u v
22222222
221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭
,2
(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知
(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ,
又2()dt t udu vdv =-+,所以
2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ,2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v
, 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+v v
22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3)
因此(,)r r u v =v v
给出了2\{}S N 的正则参数表示.
(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理,有
(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v
,222/(1)t u v =++,
22222222
221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭
u u u v ,2
(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ,2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v
, 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+v v
22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.
(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=,从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为
22u u u v =
+,22
v
v u v =
+. (6) 由(3)和(5)可知
22222222222
(,)(1)1
0(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的,并且是改变定向的参数变换.
注. 如果采用复坐标,令,z u i v w u i v =+=-,则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.
(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示,在2\{}S S 上采用正则参数表示
22
222222
221(,).,,111u v u v r u v u
v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭v %%%%%%%%%%%% 则在公共部分的参数变换公式为
22u u u v =
+%,22
v
v u v
-=+%. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖,并且
222222
22
222
22
222
2()()222
2()()(,)1
0(,)
()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==
>∂+%%,
所以2S 是可定向的. □
5 写出单叶双曲面222
2221x y z a b c
+-=和双曲抛物面22222x y z a b =-作为直纹面的参数方
程.
解. (1) 对单叶双曲面,取腰椭圆
()(cos ,sin ,0)a u a u b u =v
,(0,2)u π∈
为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =v
. 则直纹面的参数方程为
()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++v v v
. 由于(,)r u v v
的分量满足单叶双曲面的方程,可得
222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=,v ∀∈R .
由v 得任意性得到
cos ()sin ()0uX u uY u +=,222()()()X u Y u Z u +=.
因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-v 得
()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+v
,(,)(0,2)u v π∈⨯R .
(2) 对双曲抛物面,令()x a u v =+,()y b u v =-,则2z uv =. 曲面的参数方程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-v
(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+,2(,)u v ∈R .
p. 94 习题3.2
1. 证明:一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.
证明. “⇒”设S 是球面,参数方程为(,)r u v v ,球心为a v
,半径为R . 则有
22((,))r u v a R -=v v
,,u v D ∀∈. (1)
微分可得
()0u r r a -=v v v ,()0v r r a -=v v v
. (2)
所以()//u v r a r r -⨯v v v v ,从而u v r a r r λ-=⨯v v v v
,即有函数(,)u v λλ=使得
(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯v v v v
. (3)
这说明球心a v
在它的所有法线上.
“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a v
. 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成
立,即有u v r a r r λ-=⨯v v v v . 分别用,u v r r v v 作内积,可得(2). 这说明2()0d r a -=v v
,从而(1)
式成立,其中0R >(否则S 只是一个点,不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a v
为球心,
以R 为半径的球面,或球面的一部分. □
3. 证明:一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.