第四章 正弦稳态相量分析(1)

小 1、正弦交流信号：
三要素： U 2、有效值:
U
m
结
m
u (t ) U
cos( t )
Ucm
、 、
U
m
T
t

2
3、相量的概念:
u (t ) U
m
cos( t )

U Ue


j
U
4、相量的运算:
若 i (t ) I , 则
ki ( t )
2
b
Arctg
b a
a
1
1
2、四则运算：
X1 X
X
X
1
a 1 jb 1 X
1
j
1为虚数单位
2
a 2 jb 2 X
2
2
X1 X
2
2
( a 1 a 2 ) j ( b1 b 2 )
X1 X
2
X 1 X 2 ( 1 2 )
对处于正弦稳态的电路中变量的求解和电路特性分析。 稳态分析可以利用相量法进行，避免求解微分方程。
一、复数
1、表示：X
a jb
第2节 正弦相量
( e
j
cos j sin )
X cos j X sin X e
j
j b X
X X a
2
|X|


2 cos( 314 t 33 ) ( A )

u ( t ) 200 cos t
( V)
U ＝ 100
2 0 (V )

例 已知:
i 1 6 cos( t 30 ) (A) i 2 4 cos( t 60 ) (A)


求： i 1 i 2
解：
I
m1
j
( 5 j 8 . 66 )


U

ab
8
10 2
60
1 2 1 2
U
bc
U

bc


30

( 6 . 93 j 4 )
2
0
1
U
ac
U

ab
U
bc
1 2
1 2
(1 . 93 j 4 . 66 )

5 . 04 67 . 5
(V)
电路经典分析方法知识要点
分析对象 电路模型与电路变量 分析依据 拓扑约束与元件约束
分析方法 等效法，系统法，电路定理 — 线性电路普适分析方法 内容分类
直流分析
电路方程
代数方程
概念与方法
等效法，系统法 电路定理 时域分析法
分析对象
直流激励下 电阻 性有源与无源电路 一阶与二阶 含动态元件电路
动态分析 正弦稳态 分析
i ( t ) I m cos( t i )
u (t ) U
m

I I i

cos( t u )
U Uu
1.电阻元件
设 i ( t ) I m cos( t i )

I
R

对于线性电阻
u ( t ) Ri ( t )
U m RI m u i
U
m

Im ( C ) (
2
1 R
)
2
A
( CU
m
) (
2
U
m
)
2
R
Im
(2)
(1 )
u i tg
1
CR
u i
3) u
C
Ke
t

U
m
cos( t u )
求K ：
t 0
0 K U
m
cos u
4
U
/ m
di dt


k I
2
I1 I

j I

idt

I j
例
用有效值相量表示下列正弦量
i 1 ( t ) 10 i 2 ( t ) 15 2 cos( t 60 ) 2 sin( 314 t 57 ) ( V)

( A) ( A)
u ( t ) 200 cos t
ห้องสมุดไป่ตู้u k (t ) 0
U
k 0
k
0
例 已知
i1 t
i 2 t
2 3 cos t
A A
i2
i1
2 4 cos( t 90 )
求 A3 表的读数。

i3
j

A3
解：
I 1 3 0

I

2
4 90 j 4
2
I
2

I
6 30

6 cos 30


j 6 sin 30

5 . 2 j 3 (A)

I

m2
4 60

2 j 3 . 5 (A)

I
m1
I
m2
7 . 2 j 6 . 5 9 . 67 41 . 9 (A)

i 1 i 2 9 . 67 cos( t 41 . 9 ) (A)
du dt
C

u
C
R
iS (t ) I
m
t
)
u C ( t ) u ch u cp
<经 典 法 >
RC
u
ch
Ke
t /
2) u cp
?
令
m
u cp U
m
cos( t u )
(线性时不变！)
代入
令
CU
sin( t u )

k I
2

i1 ( t ) i 2 ( t )
di dt


I1 I
j I
idt

I j
第3节
KCL
两类约束关系的相量
n
一．基尔霍夫定律的相量形式
设电路中某节点有n条支路相连

k 1
ik (t ) 0
在单一频率的正弦稳态电路中， k ( t ) 为同一频率的正弦量。 i 将电流用相量表示

即
ik (t )
n


Re[
2 I
k
e
j t
]

2 Re[(


I k )e
j t
] 0

k 1
ik (t ) 0


I
k
I
k
0 KCL的相量形式。
反之，若对应的相量 KVL
m
满足相量KCL，则有
m
i
k
(t ) 0
同理可知，KVL瞬时表示及其对应的相量形式为

k 0
cos x sin( x

2
)
解:
i1 ( t ) 10
i 2 ( t ) 15 15
15
2 cos( t 60 ) ( A)
2 sin( 314 t 57 ) 2 sin( 314 t 33



I 1 ＝ 10 － 60 ( A )




2

)
I 2 ＝ 15 33 ( A )
3
I1 I
3 j4
2 2
I3

3 4
5(A )
5A
A 3 的读数为
0

1
I1
例 已知
u
ab
10 cos( t 60 )
V
u bc 8 sin( t 120 )
V
求
解:
u
bc
u ac
8 cos( t 120 90 )
8 cos( t 30 )
U
即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位 写出相量形式为 U R I

X X
1
( 1 2 )
2
二、相量的概念（建立复数和正弦量的关系）
根据欧拉公式 可写出
Ime
j ( t )
e
jx
cos x j sin x
sin ( t )
j ( t )
I m cos ( t ) jI
m
正弦量
i ( t ) I m cos( t ) Re[ I m e
角频率
u1 (t ) U
u 2 (t ) U
1m
cos( t 1 )
cos( t 2 )
2m
则
12 1 2
i1与i2 同相
i1超前i2 或i2 滞后 i1
i1与i2 正交
i1与i2 反相
3 、正弦电流、电压的有效值
（ 1 ）有效值的定义
一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过 一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这 个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。 根据有效值的定义，则有

U U
ac

u ac 5 . 04 cos( t 67 . 5 ) ( V )
ab
二．元件VAR的相量形式
将基本元件的伏安关系用相量形式表示。可将微积分 运算化为简单的复代数运算。使得用相量法分析电路成为 可能。同时可更方便地比较同频率正弦量之间幅度和相位 关系。 以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。 电流电压的瞬时值及其相量分别设为

I
m
Ime
j
j
I m I m cos jI
m
sin

I Ie
I I cos jI sin
相量图表示 在复平面上用有向线段表示相量， 称为相量图。

j


I
m
若相量 I m 从初相角θ, 以角速度ω绕0点逆时
针旋转，则旋转相量
Ime
]
Re[ I m e
j
e
j t

] Re[ I
m
e
j t
]
其中
I m I m e
j
为一复常数，称为复振幅相量（最大值相量）
I I m 2 Im 2 e
j
有效值相量
Ie
j
I
所以，当频率一定时，可以用相量对应正弦量 i (t)。
讨论
1．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量， 即，若 I 1 ＝ I 2 则 i1 i 2 反之亦然。
T 0
2T I I
2 m
2
m
0 . 707
2
1
I
m
同理
U
U
m
0 . 707 U
m
2
4、正弦RC电路的分析
已知
i S ( t ) I m cos( t i )
(A)，
u C (0 ) 0
cos(
(V)， 求
i
t 0
u C (t ) ?
解： C
1) 令
U
1 R
m
U
m
cos( t u ) I m cos( t i )
CU
A
m
A sin
U R
A cos
R
( CU )
2
故
2
则
m
(
m
)
tg
1
CR
有
A cos( t u ) I m cos( t i )

T
i Rdt I RT
2 2
0
则周期电流的有效值为
I 1 T
i
0
T
2
dt
（2）正弦电流、电压的有效值
对于正弦电流，设
I I 1 T
2 m
i ( t ) I m cos( t i )

T
I
2 m
cos
2
0
( t i ) dt

2T I
2 m

t
T
0
[cos( 2 t 2 i ) 1 ] dt
常微分方程
相量形式两类约束 一般含动态元件电路 复代数方程 相量电路模型 谐振电路 相量分析法 变量器电路
第 4 章 正弦稳态相量分析
正弦信号与正弦稳态 正弦相量
正弦稳态分析
对于线性非时变 电路在单一频率 正弦激励下稳态 响应的相量分析
两类约束相量形式
阻抗与导纳
相量分析 正弦稳态功率
第1节
周期信号
f ( t ) f ( t nT )
n 0 , 1, 2
正弦信号与正弦稳态
Ucm
T

t

2
( f 1 T )
初相
1、正弦交流信号：
三要素： 幅值 2、相位差：
f (t ) U
U
m
cos( t )
2 f
cos x sin( x
)
m
m
cos u ) e
t
U
m
cos( t u )

m
3、 叠加——有一个非正弦的过渡过程( t 4 )；(过渡过程的U 4、稳态响应按正弦规律变化，有相同的 ； （求解烦琐） 5、稳态响应只需求振幅、初相——相量分析法 。
Um
)
正弦稳态电路 正弦稳态 含有动态元件的线性稳定电路，在正弦信号激励 下，当电路中暂态响应消失，电路中的各变量均为与 激励信号频率相同、幅度和相位恒定的正弦量，称此 时电路处在正弦稳态。 正弦稳态分析
i1 i2 2 I 1 cos( t 1 ) 2 I 2 cos( t 2 )


I 1 I 1e

j 1
I 1 1

I
2
I 2e
j 2
I 2 2
2．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量； 相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量。 3．相量的表示方式 数学表示
j ( t )

+1
0
j
Ime
e
j t

i (t )
m
I
e
j t
在实轴的投影即为正弦信号
i ( t ) I m cos( t )
三、相量的运算性质
可证明正弦信号的运算与其向量的运算有如下关系：

若 i (t ) I , 则

ki ( t )
i1 ( t ) i 2 ( t )
K U
cos u ) e
t
m
cos u
cos( t u ) t 0
u C ( U

m
U
m
讨论： 1、 经典法求特解<稳态响应> 繁琐！（微分， ！ 三角） 2、正弦 RC 的响应由两部分组成 1）暂态响应分量—— u ch 2）稳态响应分量—— u cp
( U