第四章 正弦稳态相量分析(1)
课件-第4章 正弦稳态电路分析--例题
第4章 正弦稳态电路分析--例题√【例4.1】已知两个同频正弦电流分别为()A 3314cos 2101π+=t i ，()A 65314cos 2222π-=t i 。
求（1）21i i +；（2）dt di 1；（3）⎰dt i 2。
【解】 （1）设()i t I i i i ψω+=+=cos 221，其相量为i I I ψ∠=∙（待求），可得：()()()()A54.170314cos 224.14A54.17014.24A 34.205.14 A1105.19A j8.665 A15022A 601021︒-=︒-∠=--=--++=︒-∠+︒∠=+=∙∙t i j j I I I（2）求dtdi 1可直接用时域形式求解，也可以用相量求解()()︒+︒+=︒+⨯-=9060314cos 23140 60314sin 3142101t t dt di用相量形式求解，设dt di 1的相量为K K ψ∠，则有 )9060(31406010314K 1K ︒+︒∠=︒∠⨯==∠∙j I j ωψ两者结果相同。
（3）⎰dt i 2的相量为︒∠=︒∠︒-∠=∙12007.0903********ωj I【例4.2】 图4-9所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表A 1的读数为5 A ，电流表A 2的读数为20 A ，电流表A 3的读数为25 A 。
求电流表A 和A 4的读数。
图4-9 例4.2图【解】 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模（有效值）。
显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令V 0︒∠=∙S S U U ，根据元件的VCR 就能很方便地确定这些并联支路中电流的相量。
它们分别为：A 25 ,A 20 ,A 05321j I j I I =-=︒∠= 根据KCL ，有：()A095A 5A 457.07A 55324321︒∠==+=︒∠=+=++=j I I I j I I I I 所求电流表的读数为：表A ：7.07 A ；表A 4：5 A【例4.3】 RLC 串联电路如图4-12所示，其中R ＝15Ω，L ＝12mH ，C ＝5μF ，端电压u ＝1002cos （5000t ）V 。
正弦稳态的相量分析
图 10-23
这个公式称为n个阻抗串联时的分压公式。当两个阻
抗串联时的分压公式为
读者可以看出以上几个公式与n个电阻串联时得到的
公式相类似。
例10-11 已知图10-24(a)所示电路的u(t)=10 2 cos2t V, R=2, L=2H, C=0.25F。试用相量方法计算电路
中的i(t), uR(t), uL(t),uC(t)。
§10-5 正弦稳态的相量分析
在前两节中，已经推导出反映两类约束关系 的KCL、KVL和二端元件VCR的相量形式，它们
是用相量法分析正弦稳态电路的基本依据。本节
先介绍相量法分析正弦稳态电路的基本方法和主
要步骤，然后再用相量法分析阻抗串并联电路。
一、相量法分析正弦稳态的主要步骤
(一) 画出电路的相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是 1. 将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示， 并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下 式计算出相应的电压电流相量。
下关系
图 10-25
以上计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络，等 效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即
图 10-25
得到n个导纳并联的电压相量与纳中的电流相量与端口电流相量的关系为
图 10-25
这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。常用的两
个阻抗并联时的分流公式为
相同，根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到
以下关系
图 10-23
图 10-23
以上计算结果表明n个阻抗串联组成的单口网络，就 端口特性来说，等效于一个阻抗，其等效阻抗值等于各串 联阻抗之和，即
图 10-23
n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为
正弦稳态电路向量分析方法
•
U ab
•
Va
I sa Gaa
1
jX L 1
jX C 1
j5
j4 155.3 155.38 V
1 1 1
R jX L jX C
5 j5 j4
因为 •
•
•
•
•
•
U ab I1 . jX L U s1 I 2 .( jXC ) U s2 I 3 .R
则
•
•
•
I1
U s1 V a
1000
0
•
•
10090 I 3 .5 I 2 .( j4) 0 对以上方程求解得：
•
I1 49.94 74.98 A，
•
I 2 54.23139.4 A，
•
I 3 31.06 155.38 A。
（2）运用节点电位法求解
设b点为参考点，由弥尔曼定理可得
•
•
•
U s1 U s2
1000 10090
1．功率因数
由图5-54所示的功率三角形可知 cos P
S
式中 cos 称为功率因数，用 表示，即 cos ，而φ称为
功率因数角。功率因数表征了电能的利用率，当视在功率一定时，功 率因数越大，用电设备的有功功率越大，无功功率越小，电能利用率 越高。
2．提高功率因数的一般方法 实际应用中，功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载
5-52所示。
设 u＝ 2U sin(t ) ， i＝ 2I sint ，则该无源网络的瞬时
功率为 p ui＝ 2U sin(t ). 2I sint
＝2UI sin(t ).sint ＝UI cos UI cos(2t )
正弦稳态电路的相量分析
Circuit Theory Teaching and Research Group
（2）容性网络
I
R
+
U
j XC
-
U Z R j X C Z Z I 1 容性网络： X C C 0 tg 1 X C 0 Z R
Y G2 B2
B Y arctan G
Y
B
Y
2
Y
G
导纳三角形
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
对同一二端网络，阻抗和导纳互为倒数：
1 1 Z ,Y Y Z
1 Z Y Y Z
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
Y Y Y Y cosY j Y sin Y G jB
式中： R Re Z Z cos Z —导纳的电导分量
X Im Z Z sin Z —导纳的电纳分量
G R G2 B2 即 X B 2 2 G B
Z Y
电路理论教学研究组
Circuit Theory Teaching and Research Group
8.1.4 阻抗和导纳的串、并联
1. 阻抗的串联
I Z1
Z2
U
Zn
I
+ U -
2. 导纳的并联
I
I
Y1 Y2 Yn
+ U -
+ U -
Y
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
正弦稳态电路的相量分析法
i + vR − + vL −
İ + VR1 − + VL −
+
R1
v
−Hale Waihona Puke (a)L iC + iR2
+
R1
C vC R2 V
−
−
(b)
jωL İC + İR2
1 jωC
VC
R2
−
(c)
图5.14 例5.6图
İ İC
İR2
V VL VR1
VC=VR2
2006-1-1
！
3
正弦稳态电路的相量分析法(3)
解 根据电路图画出其相应的相量模型如图5.14(b)所示。感抗和容抗分别为
进而得到电容和电阻上的电流
IC
VC jX C
89.4 26.6 j100
0.89463.4(A)
IR
VR R
89.4 26.6 50
1.79 26.6(A)
各电流、电压的相量关系如图5.14(c)所示。
2006-1-1
！
5
正弦稳态电路的相量分析法(5)
当然，电压 和 也V可C 以V利R 用分压公式求得。下面应用PSpice对该 题进行仿真。电路如图5.14(d)所示，这里使用电压源VSIN元件， 其参数设置如下：偏置值VOFF=0，幅值VAMPL=141.4，频率 FREQ=159.15，其他为默认值。采用瞬态仿真，参数为：采样步 长Print Step=1ms，终了时间Final Time=40ms。因篇幅有限，且 使结果清晰，只显示电压源v和电容电压vC的波形，如图5.14(e)所 示。两个电压的相邻幅值的时间差为Δt = 14.6 − 14.137 = 0.463(ms)，则相位差为φ = Δt∙ω = 0.463(rad) = 26.53°，且电压 源v超前电容电压vC，这与前面结果是吻合的。将幅值转换为有效 值后，与计算结果也是相同的。
第四章 正弦稳态相量分析(1)
以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。 电流电压的瞬时值及其相量分别设为
i(t) I m cos( t i )
u(t) U m cos( t u )
I Ii
U Uu
21
1.电阻元件
设 i(t) Im cos(t i )
对于线性电阻 u(t) Ri(t)
u
L di dt
LIm
L
d dt
[I
m
c
os(
cos(t i
t i
)
2
)]
LI m sin( t i )
U m LI m
u i 90
(2)相量VAR关系
Um
jL
I
m
(
Le
j
2
I
me
ji
)
Uu i LI2
Umu
RIm
i
IR
U
即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位
写出相量形式为 U R I
U RI
u i
U
I
u= i
u i ωt
22
2．电感元件 (1)瞬时VAR关系 u(t) L di
dt
。 。 i(t) L
u (t )
在正弦稳态下，将u(t)和 i(t)表达式代入上式
Ik 0
KCL的相量形式。
k 1
反之，若对应的相量 I k 满足相量KCL，则有
ik (t) 0
KVL 同理可知，KVL瞬时表示及其对应的相量形式为
电路相量法线性电路正弦稳态分析
电路相量法线性电路正弦稳态分析1.电压与电流的相量表示首先，我们需要将电压和电流用复数形式的相量表示。
假设电压和电流的实部为振幅值，虚部为相位，如U=U_m*cos(ωt+θ)，则它可以表示为复数形式U=U_m*e^(j(ωt+θ))，其中j是单位复数。
同样地，电流也可以用相同的方法表示为I=I_m*e^(j(ωt+φ))。
2.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律可以用相量法表示为对于任意一个闭合回路，克里希霍夫定律成立，即回路内各个支路电流的相量之和为零。
用数学表达式表示为Σ(I_k*exp(jφ_k))=0，其中I_k和φ_k分别是第k个支路的电流和相位。
3.串联、并联和共模的相量法表示对于串联和并联的电路元件，可以通过相量法进行计算。
对于串联元件，电流相同，电压相加；对于并联元件，电压相同，电流相加。
此外，共模是指回路中存在两个相反方向的电流，通过相量法，可以将其看作一个共模电流流过一个电感电容等效电路。
4.电压和电流的复数表示在相量法中，使用复数形式的电压和电流，可以方便地进行计算。
对于电压U和电流I，它们的相量形式可以表示为U=U_m*e^(jωt)和I=I_m*e^(j(ωt+φ))，其中，U_m和I_m分别为电压和电流的幅值。
5.相量法的求解步骤相量法有以下优点：可以方便地进行复数运算，简化计算步骤；能够清晰地表达电压和电流之间的相位差关系；可以方便地进行电压和电流的幅值和相位的计算。
在进行电路相量法线性电路正弦稳态分析时，我们首先需要将电路中的元件转化为复数形式，然后应用基尔霍夫定律和串、并联的性质进行计算，得到电路的复数形式的电压和电流。
最后，根据计算结果可以得到电压和电流的幅值和相位。
总结起来，电路相量法是一种有效的用于线性电路正弦稳态分析的方法，通过将电压和电流用相量表示，并进行复数运算，可以方便地求解电路中的电压和电流的幅值和相位。
电路相量法在电路分析和设计中具有重要的应用价值。
四章正弦稳态分析
三、C元件： 设 : uC 2U c cos(ωt u)
iC C
iC
uC
则 : ic
C
duc dt
Ic
jωCU c
Ic
i
ωCU u
c
90
U
C
j 1
C
jX C IC
U C
1
jωC
IC
即:
UC
1
ωC
IC
u i 90
+ uC -
IC 1／( jωC)
IC
+ U C —
相量模型和波形
U C
Ψu
U·1 30o
Re[ 2(I1 I2 )e j t ]
I I1 I2
同频率正弦量相加(减)的结果仍为同频 率的正弦量，且对应为相量的加(减)。
例 已知 u1 5cos(t 30)V, u2 10cos(t 60)V
用相量形式求u1+u2 解：U m U1m U 2m 530 1060 14.55 50.1 V(计算器直接算)
diL dt
L
90
U L
U
jωLIL L jX L IL
当UL 一定时，ωL越大，IL 就
越小，XL =ωL 称为感抗,量纲
[ωL]=[V]／ [A]=[Ω] ω 越大 ，
XL 越大，高频信号就越难以
iL uL
iL L
+ uL -
IL jωL + U L —
U L
IL
Ψi
相量模型和波形
通过L； ω=0，即X =0,直流情况下L可等效为短路.
图中，Ψi >0，[∵(ωt+Ψi )=0，即ωt = -Ψi时，i达正向Im ]；
4正弦稳态交流电路相量的研究1(精)
实验四正弦稳态交流电路相量的研究
一、实验目的
1．研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系。
2．掌握RC串联电路相量轨迹及其作移相器的应用。
二、原理说明
1．在单相正弦交流电路中，用交流电流表测得各支路中的电流值，用交流电压表测得回路中各元件两端电压值，他们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律，即和。
2．如图5-1所示的RC串联电路，在正弦稳态信号的激励下，与保持有的相位差，即当阻值R改变时，的相量轨迹是一个半圆，、与三者形成一个直角的电压三角形(见图5-2。
R值改变时，可改变角的大小，从而达到移相的目的。
图5-1 RC串联电路图5-2 RC串联电路的相量轨迹
三、实验设备
1.电源：三相交流电源
2.负载：白炽灯
3.测量仪表：交流电压表
四、实验步骤
1.验证电压三角形关系
用两只白炽灯泡和4.3的电容器组成如图5-1所示的实验电路，按下绿色按钮开关，调节三相交流电源调压器至220V，验证电压三角形关系，记入表5-1：
负载数据测量值验证三角形关系
两只灯泡串联
两只灯泡并联
表5-1
五、实验注意事项
六、实验报告
1．根据实验数据，分别绘出电压、电流相量图，验证相量形式的基尔霍夫定律。
4.相量模型
第4章 正弦稳态电路分析
电路的相量模型如图(b)所示。
设R、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻抗 为ZRC,可得
Z rL r jX L 10 j50 Z RC RjX C 50( j50) 35.36 45o 25 j 25 R jX C 50 j50
Z1 ● U1 U Z1 Z 2
(4―54)
●
Z2 ● U2 U Z1 Z 2
●
(4―55)
第4章 正弦稳态电路分析
式中 U 为两个串联阻抗的总电压相量。
当两个导纳Y1和Y2并联时，其等效导纳Y为 Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2) 分流公式为
Y1 ● I1 I Y1 Y2 ● ● Y2 ● I2 I Y1 Y2
图4.16 XL和XC的频率特性曲线
第4章 正弦稳态电路分析
我们把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即 或
1 Y Z
●
(4―47)
●
Y
Im
●
I
●
(4―48)
Um
U
导纳的量纲为西门子(S)。同样将上式中的电流、电
压相量表示成指数型，可得
I Ie I j (i u ) j y Y ● e Y e j u Ue U (4―50) U Y cos y j Y sin y G jB
U s 100 0oV jX L j L j1000 50 103 150 jX C j 1 1 j j50 6 C 1000 20 10
2 sin(10
3t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流
第4章 正弦稳态电路的分析
4.2.1 复数 1.复数的表示方法
（1）复数的代数形式
设F为一个复数，则其代数形式为
F=a+jb a、b是任意实数
实部 虚数单位 虚部
j 1
复数 F 也可以用复平面内的一条有向线段来表示
+j
复数虚部
b
复数F的辐角
0
r
r a2 b2
F
a +1
arctan b
a
复数F的模 复数实部
（2）复数的三角函数形式
三角函数形式，即复数的实部与实部相加减；虚部与虚部相
加减。
例如
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
则
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
复数的加减运算也可以在复平面内用平行四边形法则做图来完成
j
F1+F
2
F1
j F2
F1
F2
0
+1
（a） 复数相加
0
+1
F1-F2
-F2 （b） 复数相减
iL 2IL sin t
则有
uL
L
diL dt
2LIL cost
2LIL sin(t 90)
2U L sin(t 90)
UL LIL X L IL
ULm LILm X L ILm
XL
UL IL
L
这里XL称为电感元件的电抗，简称感抗；单位：欧姆[Ω]。
电感元件电流和电压的相量形式分别为
+j
b
F
a r cos b r sin
r
F r cos jr sin r(cos jsin)
0
a +1
正弦稳态交流电路相量的研究
正弦稳态交流电路相量的研究在现代电路的世界里，交流电可谓是一位超级明星！如果你对它不太熟悉，那可真是大大错过了一个精彩的领域。
交流电的特点就是它的电流和电压会随着时间周期性地变化，像是在跳舞一样，真是好看得很！而其中，相量就是这场舞会的舞者，它帮助我们简单明了地理解电路的表现。
1. 认识相量1.1 什么是相量？相量，听上去是不是有点高大上？其实，简单来说，相量就是把交流电的变化用一个“向量”的方式表现出来。
就像你在街上走，可能东张西望，但一旦你确定了方向，那就是你的“相量”！在电路中，相量不仅告诉我们电流和电压的大小，还能给出它们之间的相位关系。
你想想，如果两个人在跳舞，没对好步伐，那可真是闹笑话！1.2 相量的好处相量的最大好处就是能把复杂的交流电现象简化成简单的数学问题。
电路分析中，尤其是涉及到正弦波的时候，相量的运用简直就像是给电路装上了飞速的“火箭”。
通过相量，我们可以轻松搞定那些看似复杂的电压和电流之间的关系，真是省时省力，完美得不要不要的！2. 相量的计算2.1 如何计算相量？我们先从基本的出发点来看看相量的计算。
电流和电压的表达式通常是这样的：( I(t) = I_m sin(omega t + phi) ) 和 ( V(t) = V_m sin(omega t + theta) )。
这里的 ( I_m ) 和( V_m ) 就是电流和电压的最大值，而 ( phi ) 和 ( theta ) 是相位角。
要是把这两位放在一起，那就能形成一个有趣的“相量图”！简单来说，只需把这些信息转化为相量，计算时就能把时间因素“抛弃”，留下一些非常有趣的结果。
2.2 相量的运算说到运算，相量也有自己的法则。
比如说，加法运算就像两个朋友一起分担烦恼，简单得很！如果有两个电流相量 ( I_1 ) 和 ( I_2 )，那么它们的合成相量就是 ( I = I_1 +I_2 )。
而乘法就有点儿复杂了，不过没关系，这就像调配鸡尾酒，各种成分混合之后，才会有令人惊喜的味道。
正弦稳态电路分析解读
求：（1）正弦量的最大值、有效值； （2）角频率、周期、频率； （3）初相角、相位差。
解 ： （1）最大值 Um=220 2 V, Im=10
有效值 U=220V， I=10A
2A
（2）角频率ω=314 rad/s, 频率f=50Hz, 周期T=0.02s
根据有效值的定义有：
I 2 RT 0Ti2 Rdt
正弦电流的有效值为：
I
1 T
0Ti 2 dt
1 T
0T
I
2 m
cos2
(t
i)dt
I m 0.707 I m 2
同理，正弦电压的有效值为：
U Um 0.707Um 2
正弦电动势的有效值为：
E
Em 2
0.707 Em
在正弦量的三要素中，一般用有效值来代替最大值表示正 弦量的大小，在工程上，通常所说的正弦电压、电流的大 小都是指其有效值。
e Em cos(t e )
u U m cos(t u )
i I m cos(t i )
4.1.1 正弦量的三要素
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面， 它们分别由角频率、幅值和初相来确定，统称为正弦量的 三要素。
以正弦电流为例
i Im cos(t i )
幅值
角频率
初相
的初始值
规定初相角的绝对值不超过
即 ≤≤
如果遇到初相角大于 时，应加 初相角小 于 时，应加 2
规定
2 ，如果遇到
来使初相角符合
4.1.2 正弦量的有效值
有效值用来表示正弦量大小
正弦电流的有效值：
让周期电流i和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等， 则称该直流电流I的值为周期电流i的 有效值。
正弦稳态交流电路相量的研究
正弦稳态交流电路相量的研究正弦稳态交流电路是电工学中重要的内容，它是指电路中电流、电压等信号都是正弦函数的交流电路。
相比于非稳态交流电路，稳态交流电路的分析更加简单，并且实际应用非常广泛。
本文将对正弦稳态交流电路的相量进行详细研究。
在正弦稳态交流电路分析中，我们经常将电压或电流表示为以下形式：V = Vm * exp(jωt + φ)其中，V表示电压的相量形式，Vm是电压信号的幅值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示电压相对于参考电压的相位差，exp(jωt)是一个指数函数。
在相量形式中，我们可以使用复数运算的方法简化电路计算。
例如，如果在电路中有两个电阻R1和R2串联，流过它们的电流分别为I1和I2，那么我们可以使用相量表示为：I=I1+I2其中I是总电流的相量。
此外，相量还可以用来表示电路中的复杂元件，如电感和电容。
对于电感元件，其电流和电压之间的关系为：V=jωL*I其中L表示电感的感值。
这样，我们可以将电感的电压表示为相位比电流大90°的相角函数。
同样，对于电容元件，其电流和电压之间的关系为：I=jωC*V其中C表示电容的电容值。
这样，我们可以将电容的电流表示为相位比电压小90°的相角函数。
利用相量的思想，我们可以将正弦稳态交流电路简化为求解线性方程组的问题。
通过建立和求解这些线性方程组，我们可以求得电路中各元件的电流和电压。
在正弦稳态交流电路中，还有一些重要的定理可以帮助我们更好地理解和分析电路。
例如，欧姆定律在稳态下仍然成立，即电压等于电流乘以电阻。
此外，有理电路定理也适用于正弦稳态交流电路。
有理电路定理表明，只要电路中只包含电阻、电感和电容这些有理元件，那么该电路的响应将始终是正弦函数。
总之，正弦稳态交流电路的相量分析方法非常重要，它帮助我们简化电路分析，并且可以应用于各种电路中，包括线性电路和非线性电路。
通过正确理解和运用相量分析方法，我们可以更好地理解电路中电流和电压之间的关系，以及各元件之间的相互影响。
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
3-正弦电路的相量分析法
正弦电路的相量分析法—————————————————————电路分析第4单元：正弦稳态相量分析第五节正弦电路的相量分析✮✮✮线性电路，单一频率正弦激励下的稳态电路前提条件工具(1) 引入相量形式欧姆定律，将微分积分化为复代数运算。
(2) 由于KCL和KVL相量形式成立，前面线性电路分析的等效方法，规范化方法及线性电路的定理可直接应用于相量模型。
(3) 相量图作为辅助工具正弦稳态电路分析的一般步骤(1) 将电路时域模型变为相量模型，并画出相量电路图(2) 按直流电路的分析方法求出相量解(3) 将结果表示为时间函数R=1/3F1C=1/3F2C)t(v1v1v2t A22sin3()cbaΩ1VOCΩΩ1∠200AIscbaV21V1-j例用戴维南定理求v(t)的正弦稳态响应求电容C2两端戴维南等效电路==∠sV RI V120()=+=+OCV V j V j V11224()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）将bc 短路，求短路电流01))(2()1(1=⋅-----S SC I j V j I )(11SC S I I V -⋅=02)2(2)1(=----SC SC I j j I )(142A j j I SC ++= )(1142420Ω+=+++==j j j jI V Z SC OC)(6.2652241)42(00V j j j j j j Z j V V OC -∠=-=-+-+=--= ))(6.263sin(102)(0V t t v -=ocV Z 0-j Vbcc)(020A ∠S I 12V b a -j 1V 1ΩSC IV o 0∠12= V a I Ω4j V 1Ω10 V 2Ω6j -Ω2Ω52I b 试用节点分析法求出从ab 端口向右看去的阻抗Z 例将受控电流源当作独立源处理，列出节点方程+--=+12(1101514)11042 j V V Vj I -++-=-12110(110126)2 V j V I =- I V V j 1()/4 --=-j V V j 12(615)2180 -+++=j V j V j 12(210)(33)120=-=∠-V j V 109.62 3.9410.422.3()=-=-+I V V j j j 1()/4(129.62 3.94)/4=∠-A 01.1531.1() Z V I 10.422.31.1531.19.038.81000==∠-∠-=∠Ω先变换为电流源与电感并联有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）。
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k I
2
i1 ( t ) i 2 ( t )
di dt
I1 I
j I
idt
I j
第3节
KCL
两类约束关系的相量
n
一．基尔霍夫定律的相量形式
设电路中某节点有n条支路相连
k 1
ik (t ) 0
在单一频率的正弦稳态电路中， k ( t ) 为同一频率的正弦量。 i 将电流用相量表示
3
I1 I
3 j4
2 2
I3
3 4
5(A )
5A
A 3 的读数为
0
1
I1
例 已知
u
ab
10 cos( t 60 )
V
u bc 8 sin( t 120 )
V
求
解:
u
bc
u ac
8 cos( t 120 90 )
8 cos( t 30 )
i1 i2 2 I 1 cos( t 1 ) 2 I 2 cos( t 2 )
I 1 I 1e
j 1
I 1 1
I
2
I 2e
j 2
I 2 2
2．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量； 相量只能用来比较相同频率的正弦量； 相量加上频率才能求得正弦量。 3．相量的表示方式 数学表示
i ( t ) I m cos( t i )
u (t ) U
m
I I i
cos( t u )
U Uu
1.电阻元件
设 i ( t ) I m cos( t i )
I
R
对于线性电阻
u ( t ) Ri ( t )
U m RI m u i
j
( 5 j 8 . 66 )
U
ab
8
10 2
60
1 2 1 2
U
bc
U
bc
30
( 6 . 93 j 4 )
2
0
1
U
ac
U
ab
U
bc
1 2
1 2
(1 . 93 j 4 . 66 )
5 . 04 67 . 5
(V)
T
i Rdt I RT
2 2
0
则周期电流的有效值为
I 1 T
i
0
T
2
dt
（2）正弦电流、电压的有效值
对于正弦电流，设
I I 1 T
2 m
i ( t ) I m cos( t i )
T
I
2 m
cos
2
0
( t i ) dt
2T I
2 m
t
T
0
[cos( 2 t 2 i ) 1 ] dt
j ( t )
+1
0
j
Ime
e
j t
i (t )
m
I
e
j t
在实轴的投影即为正弦信号
i ( t ) I m cos( t )
三、相量的运算性质
可证明正弦信号的运算与其向量的运算有如下关系：
若 i (t ) I , 则
ki ( t )
i1 ( t ) i 2 ( t )
U U
ac
u ac 5 . 04 cos( t 67 . 5 ) ( V )
ab
二．元件VAR的相量形式
将基本元件的伏安关系用相量形式表示。可将微积分 运算化为简单的复代数运算。使得用相量法分析电路成为 可能。同时可更方便地比较同频率正弦量之间幅度和相位 关系。 以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。 电流电压的瞬时值及其相量分别设为
]
Re[ I m e
j
e
j t
] Re[ I
m
e
j t
]
其中
I m I m e
j
为一复常数，称为复振幅相量（最大值相量）
I I m 2 Im 2 e
j
有效值相量
Ie
j
I
所以，当频率一定时，可以用相量对应正弦量 i (t)。
讨论
1．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量， 即，若 I 1 ＝ I 2 则 i1 i 2 反之亦然。
du dt
C
u
C
R
iS (t ) I
m
t
)
u C ( t ) u ch u cp
<经 典 法 >
RC
u
ch
Ke
t /
2) u cp
?
令
m
u cp U
m
cos( t u )
(线性时不变！)
代入
令
CU
sin( t u )
cos x sin( x
2
)
解:
i1 ( t ) 10
i 2 ( t ) 15 15
15
2 cos( t 60 ) ( A)
2 sin( 314 t 57 ) 2 sin( 314 t 33
I 1 ＝ 10 － 60 ( A )
2
)
I 2 ＝ 15 33 ( A )
2
b
Arctg
b a
a
1
1
2、四则运算：
X1 X
X
X
1
a 1 jb 1 X
1
j
1为虚数单位
2
a 2 jb 2 X
2
2
X1 X
2
2
( a 1 a 2 ) j ( b1 b 2 )
X1 X
2
X 1 X 2 ( 1 2 )
小 1、正弦交流信号：
三要素： U 2、有效值:
U
m
结
m
u (t ) U
cos( t )
Ucm
、 、
U
m
T
t
2
3、相量的概念:
u (t ) U
m
cos( t )
U Ue
j
U
4、相量的运算:
若 i (t ) I , 则
ki ( t )
U
即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位 写出相量形式为 U R I
I
m
Ime
j
j
I m I m cos jI
m
sin
I Ie
I I cos jI sin
相量图表示 在复平面上用有向线段表示相量， 称为相量图。
j
I
m
若相量 I m 从初相角θ, 以角速度ω绕0点逆时
针旋转，则旋转相量
Ime
u k (t ) 0
U
k 0
k
0
例 已知
i1 t
i 2 t
2 3 cos t
A A
i2
i1
2 4 cos( t 90 )
求 A3 表的读数。
i3
j
A3
解：
I 1 3 0
I
2
4 90 j 4
2
I
2
I
对处于正弦稳态的电路中变量的求解和电路特性分析。 稳态分析可以利用相量法进行，避免求解微分方程。
一、复数
1、表示：X
a jb
第2节 正弦相量
( e
j
cos j sin )
X cos j X sin X e
j
j b X
X X a
2
|X|
角频率
u1 (t ) U
u 2 (t ) U
1m
cos( t 1 )
cos( t 2 )
2m
则
12 1 2
i1与i2 同相
i1超前i2 或i2 滞后 i1
i1与i2 正交
i1与i2 反相
3 、正弦电流、电压的有效值
（ 1 ）有效值的定义
一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过 一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这 个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。 根据有效值的定义，则有
U
m
Im ( C ) (
2
1 R
)
2
A
( CU
m
) (
2
U
m
)
2
R
Im
(2)
(1 )
u i tg
1
CR
u i
3) u
C
Ke
t
U
m
cos( t u )
求K ：
t 0