数学：1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(第五课时)教案(苏科版九年级上)

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）

教学目标

1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法

2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明

3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程

教学重、难点

重点：平行四边形判定定理的证明，反证法

难点：用反证法证明

教学过程：

一、情境创设

回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：

条件结论

四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O 四边形ABCD是平行四边形

二、合作交流

问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的

吗？

证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。

问题二证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

问题三你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？

问题四你认为“在四边形ABCD中，如果OA=OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？

分析：假设四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD，这与条件OB ≠OD矛盾，所以四边形ABCD不是平行四边形。

假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。

例1 已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC ，再证OE=OF 即可；或由垂直证一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。

练习：P20页 拓展与延伸及练习1、2

例2、 (哈尔滨市)如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC ，连结AE ，分别

交BC 、

BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF. 求证：AB=2OF. 证明: 连结BE

∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD ，AO=OC,AB=CD ∵CE=CD ， ∴AB =CE ，

∴四边形ABEC 为平行四边形， ∴BF=FC ，

∴CE OF 2

1

即AB=2OF.

说明 能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决，这样更简便

练习

1．如图，平行四边形ABCD 中，EF 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形

2.如图：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任意一点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，求证：DE+DF=AC

3.平行四边形ABCD 中，E 、 G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE=CF ，BG =DH ． 求证：EF 和GH 互相平分．

=

4.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，连结BD

⑴ 求作：∠A 的平分线AE 交BC 于E ，交BD 于F ； （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

⑵ 求证：①AB ＝BE ； ②AB AD

BF DF

=

三、分层训练：

1.已知AD∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件 （只需填一个你认为正确的条件即可）.

2.已知：□ABCD 的周长是30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，⊿AOB 的周长比⊿BOC 的周长为5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿.

3.如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ， EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图

中有 对四边形面积相等；它们是

4.□ABCD 中，过O 点的直线EF 分别交AD 、CB 于E 、F ，AB ＝2.4㎝，BC=4㎝,OE=1.1㎝,则四边形CDEF 的周长为

______________㎝.

5.□ABCD 中，AC 、BD

082=+，则CB 的长的取值范围为 .

6、（2006·广东省）如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．

(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形． (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，

请写出证明过程；

若不成立，请说明理由．

四、小结

1.从边与边的关系: 两组对边分别平行

一组对边平行且相等一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。

M

E D

N

F 1题

C B A A B C

D

第2题 第4题

两组对边分别相等

2.从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3.从对角线的相互关系: 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、课堂检测 六、教后感

例2、已知，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD 上，∠FAE ﹦∠BAE. 求证：AF ﹦BC+FC.

例3、 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

C

E

A D

F