桁架与组合结构m

60 D
60 E
HB=120kN
A
HA=120kN
15 0 -45
75
50
25
-120
-20
-20
C
F
15kN
15kN
4m
4m
4m
VA=45kN
3m
G 15kN
1. 对称性的利用 对称桁架受正对称荷载作用 内力和反力均为正对称
对称桁架受反对称荷载作用 内力和反力均为反对称
0
2. 特殊结点(无结点荷载)
2ql
2ql
q
FP
FP
ll ll
ll FP
ll FP
1kN . m
K
1m
1m
2m
2m
30 kN
A
B
4m
3m
4m
4m
3m
§5-5 静定结构的特性 一、几何构造特性(Geometric)
静定结构：仅用静力平衡方程即可求出全部的反 力和内力。
几何构造特性
静定结构从几何组成上看是无多余联系的 几何不变体系，
0
ΣM E = 0
7. 求图示桁架中AF、CD和DH杆的轴力。 已知各杆EA=常数。 (01同研）
8. 求图示桁架中的轴力N1和N2 。 (02同研）
N1 NBD
NAC 1.6P
9. 求图示桁架中的轴力N1和N2 。 (18分，04同研）
0
0
10. 求图示桁架中的轴力N1和N2 和N3 。 (18分，05同研）
实际结构与计算简图之间存在的差别：
1. 结点的刚性； 2. 各杆轴线不可能绝对平直，在结点处也不可
能准确交于一点； 3. 非结点荷载（如杆件自重、风荷载等）； 4. 结构的空间作用，等等。
理想平面桁架特性：
杆件只有轴力，没有弯矩和剪力。 轴力又称为主内力。 实际结构中结点并非是理想铰，因而将产生弯矩、剪力 但这两种内力相对于轴力的影响很小，故称为次内力。
N2
B
∑ M B = 0 N2 = −FP3 / 5
FP3
例: 求图示K式桁架中a杆和b杆的内力。
P
P
P
P
P
P
2
b
a K
c
A
D
C
6*4m=24m
RA=3p
∑ 由
M
D
=
0， N b
=
−
8P 3
P 2
B
RB=3p
3m 3m
相 交 情 况
平 行 情 况
0
1
2
3
§5-4 组合结构
组合结构—由链杆和受弯杆件组成的结构
对于联合桁架，如何计算各杆件的内力？
P
P
P
P
C
P
P
P
A
B
D
E
1
a
a
2
3
联合桁架计算:用截面将刚片之间的联系切断 再对各简单桁架进行分析
例：求指定杆轴力
解 取出一个三角形刚片
2
1
A
B
3
FP1 FP2
FP3
5×d
取出另一个三角形刚片
N2 A
N3
N1
FP1 FP2
∑MA =0 N1 =−(FP1 +2FP2)/5 ∑Fx =0 N3 =0
63
5
35.000
75
7
60.000
87
9
75.000
刚架轴力
-34.966 -59.973 -74.977 -79.977
0.032 35.005 59.997 74.991
§5-1 平面桁架的计算简图
在平面桁架的计算简图中，引用如下假定： 1. 各结点都是无摩擦的理想铰； 2. 各杆轴都是直线，并在同一平面内且通过铰中心； 3. 荷载只作用在结点上并在桁架所在的平面内。
由于平面任意力系的独立平衡方程数为3， 因此所截断的杆件数一般不宜超过3个。
按所选方程类型的不同，截面法又可分为：
力矩法、投影法
例：求指定杆轴力
2 求轴力
Ⅰ-Ⅰ截面
FP N1
ⅠⅡ
wk.baidu.com
FP 3 FP 1
D
2a
A
A
C
5FP /4
∑ M C = 0 N1 = −3 2FP / 4
a
Ⅰ
a
C
Ⅱ
2a
B
5FP /4
8KN I
12 M图(KNm)
A
4
C
B
N图(KN)
6 5 -6 F 6 12 D
-6 G 6 5
2m
E
5KN 4m 2m 2m 4m
4m 3KN
I
一般情况下应先计算链杆的轴力
取隔离体时宜尽量避免截断受弯杆件
例：作组合结构的内力图
FP E
D
a
A
C
B
a
a
FPa
2FPa
FP
2FP
解
FP
有无零杆?
NEC NDC NDB
(b)
+
P3 P
2 64
01
5
78 9
(c)
3. 求图示桁架中杆1、2的内力。 （10分，04本）
P
1
a
2
a
4a
4. 求图示桁架中杆AE的内力和B处的反力。 (98同研）
P2 P1
ΣM D = 0
P2
RB P1
NAE
P2 P1
O
P2
RB P1 NAE
ΣM O = 0
5. 求图示桁架中指定杆件的内力N1和N2 。 (14分99同研）
练习快速画M图 —结构力学基本功
a a
2a
a
m
a aa
FP
0
l FP
l
0 2l 2l 0
2kN/m
4m
3
4m
2kN 3kN
4m
FP=m/2a m 2a
aa
qa aq
a
m
ma
m
a
0
2a
FP
a
0
a
a
FP a
a
0 0
FPa a
0
FP
FP a
FP a
a
FP
l l l ll l ll
FP
FP
0
0
lll l
3FP /4
Ⅱ-Ⅱ截面
N3 D
力矩法
N2
解 1 求支反力
C B 3FP /4
∑MA =0 ∑MB =0
RB = 3FP / 4 VA = 5FP / 4
投影法
∑ M C = 0 N3 = −3FP / 4 ∑ Fy = 0 N2 = 3 2FP / 4
力矩法：除所求杆外，其余各未知杆都交于一点。 投影法：除所求杆外，其余各未知杆都平行。
2. 拱式桁架
§5-2 结点法(method of joints)
结点法 一个结点为隔离体 汇交力系
2个平衡方程
求解各杆内力
结点数为 j
则独立的平衡方程数为 2j
例：求桁架各杆轴力。
解 N12
∑ FP
Fy = 0 N12 = 2FP
4 FP 2
a
2FP
5
-FP 3
2FP FP
1
-a2FP a-FP
温度改变、支座移动和制造误差等因素在 静定结构中不引起内力。
A
B
B
考题分析
1. 求图示桁架中杆1、2、3的内力。（10分，03本）
3 2
2m
2m
1 P
2m 2m 2m 2m 2m 2m
2. 指出(a)、(b)图中内力相同的杆件。（本校）
2P 3 P
2 64
1
5
78 9
(a)
P3
2 64
1
5
78 9
二、静力学 (Static) 特性
解答的唯一性 1. 局部平衡特性; 2. 荷载等效特性; 3. 构造变换特性; 4. 除荷载外其它因素的影响.
Py
C
Px
1
α1
2 α2
A
B
C
R1
Py
Px R2
C点的平衡方程
⎧R1 cosα1 + R2 cosα 2 = Px ⎩⎨R1 sinα1 + R2 sinα 2 = Py
O1
N1 N2
O2
N2 N1
6. 求图示桁架中的支座反力VB和HC。 (00同研）
解法一
∑ M A = 0 2a ×VB + 2a × HC − Pa = 0
2VB + 2HC − P = 0
右部分为隔离体
2 2
a×
N FC
+
aVB
=
0
左部分为隔离体
2a × NFC − aHC = 0
解法二
次应力的影响举例
6kN
12kN
12kN
12kN
12kN
12kN
12kN
12kN
6kN
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1.8m 1
3
5
7
9
11
13
15
17
8x1.5m
杆号 起点号 终点号 桁架轴力
12
4 -35.000
24
6 -60.000
36
8 -75.000
4 8 10 -80.000
51
3
0.000
N13
1
结点1
∑ Fx = 0 N13 = −FP
N24
2
∑ Fy = 0
∑ N23 2FP
Fx = 0
N23 = FP N24 = FP
结点2
方法：由结点平衡条件求轴力。 特点：只有两个平衡方程，一次最多能解出两个轴力。 顺序：与去掉二元体的顺序相同（简单桁架）。
例： 求下图所示桁架各杆的轴力
B
特点：只有三个平衡方程，一次最多能求三个未知数。
例：求指定杆轴力
FP
Ⅰ a/4
a/4
a/4
Ⅰ1 a/4 a/4 a/4 a/4
FP /4
解 1 求支反力 2 求轴力
Ⅰ-Ⅰ截面
t
N1
∑ Ft = 0
FP /4 N1 = FP / 4
例： 求指定杆轴力 a
Ⅰ
1
FP D
A a
Ⅰ
a
C
a
B
解 方法1 Ⅰ-Ⅰ截面
2 求NEF、NGJ
取FJBC
∑ M J = 0 NEF = −2FP ∑ Fx = 0 NGJ = 2FP
F J
BC 2FP 2FP
FPa 2FPa M图
例：计算图示组合结构。
5kN/m C D 15kN B E
AF
24 mm
G
4 m
5
15
10
5 10
5
解：左边为基本部分，右边为附属部分。 先算附属部分。
N DB = FP N EC = 2FP N DC = 0
2FP
FP
M图
Q图
N图
例：计算图示组合结构。
EF
NEF
GJ
NGJ
FP
A
BC
a a aa
解 1 求支反力
2FP 2FP
( ) 取整体 ∑MA =0 ( ) ∑ 取FJBC Fy =0
⇒
⎧⎪ FyB ⎨
=
−2 FP
↓
⎪⎩ FyC = 2 FP ↑
P
零
B
杆
2. 荷载等效特性
P
当静定
结构的一个
B
能否计算？
A
内部几何不 变部分上的 荷载作等效
变换时，其
余部分的内
力不变。
（叠加原理）
P/2 P/2 B
A
P P/2 P/2
B
A
圣 维 南
原
理
3. 构造变换特性
当静定结构的一个内部几何不变部分作构造 变换时，其余部分的内力不变。
P
B A
P
B A
4. 除荷载外其它因素的影响
桁架结构（truss structure）
弦杆 下弦杆
上弦杆
腹杆 斜杆 竖杆
d
节间长度
桁高
跨度 l • 经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载
作用的直杆铰结体系”
• 特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。轴力为主 内力（primary internal forces）
实际结构中由于结点并非是理想铰，因而将产生 弯矩、剪力，但这两种内力相对于轴力的影响是很小 的，故称为次内力（secondary internal forces）。
例1 试用零载法检验图(a)所示桁架的几何不变性。
解：W=3，可用零载法，得
FxA = FyA = FyB = 0
找零杆可得： FNAC = FNAJ = FNBG = FNBH = 0 FNCD = FNCI = FNGF = FNGI = 0
桁架结构的分类：
一、根据维数分类
1. 平面（二维）桁架 —所有组成桁架的杆件以及荷载的作用
线都在同一平面内。
2. 空间（三维）桁架
二、按外型分类 1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架 3. 折弦桁架 4. 梯形弦桁架
三、按几何组成分类 简单桁架 联合桁架
复杂桁架
四、按受力特点分类： 1. 梁式桁架
0
N2
0
§5-6 零载法
1. 零载法及其应用举例
零载法：对于W=3的体系 如果几何不变，在荷载为零时，它的全部内力都为零； 如果几何可变，在荷载为零时，它的某些内力可不为零。
图(a)所示体系， W=3，几何不变； 荷载为零，全部支座反力都为零。
图(b)所示体系， W=3，几何可变； 荷载为零，水平支座反力Fx可以不为零。 自内力：荷载为零而内力不全为零的内力状态。
方法2
D结点
N1 D FP
∑MB =0
B C N1 = −FP
N1
FP
D
t 零杆
∑ Ft = 0 N1 = −FP
例：求指定杆轴力
C Ⅰ E D FP FP
3a
解 1 求支反力
2 求轴力
Ⅰ-Ⅰ
E
D FP FP
AⅠ 2a
B 5FP /2
N1
B
5FP /2
∑ M E = 0 N1 = 7FP / 6
简单桁架：求全部杆件的内力时—结点法； 只求个别杆件的内力—截面法。
2 m2 10kN m
20
40
10
30
20
10
17.5 2.5
5
M图(kNm)
FP
l
l
l
FP l
l
l
FP a
a aa
作图示组合结构受弯杆件的弯矩图，并求链杆的轴 力。 ( 20分 )(05研)
D
q
4q
E
F
a
A
a
B
a/2
C
a/2
组合结构由两类杆件组成：
桁架杆：只承受轴力。 梁式杆：同时承受弯矩、轴力、剪力 关键问题：正确区分两类杆件
L型结点 N1=0; N2=0
T型结点 N3=0; N1= N2
X型结点 N1= N2; N3= N4
K型结点 N3= -N4 N1≠ -N2
判断桁架中的零杆
例：求桁架各杆的轴力
FP
θ
FP
θ
去掉零杆
FP ctgθ
FP cosθ
§5-3 截面法(method of sections)
截取桁架的某一部分为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程(3个) 求得未知的轴力。
满足平衡条件的反力和内力的解答是唯一的
(Unique)：
D≠0
静力学特性
1. 局部平衡特性
在荷载作用下，如果静定结构中的某一局部可以 与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。
P A
BC
P P/2 P/2
B
A
P
B
C
P/2
P/2
A
aa
问题：求图示结构中各杆的内力
除
AB 外 ，
P A
P A
其
P
余
B
均
为
若 D = cosα1 cosα 2 ≠ 0 sinα1 sinα 2
R1
=
D1 D
,
R2
=
D2 D
唯一解答
如 D = 0 ，上述解答不成立,
Py
在一般荷载作用下方程组无解。
D = sin(α 2 − α1 ) = 0
C 1
α1
A
Px
2 α2
B
α 2 − α1 = nπ , n = 0, ± 1, ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅