动态规划-解法(一)
4.3动态规划的建模与求解
5 5 13 5
k=2
f 2 s 2 max g 2 u 2 f 3 s3
0u 2 s 2
工厂 1 投资额 1 2 3 4.5 7 9
2 2 4.5 7.5
3 5 7 8
sk+1 = sk -uk
s3
u3
f 3 ( s3 )
u3
*
0 0 0
0
1 1 5 1
2 2 7 2
i k n
U k {uk | 0 uk sk }
最优值函数 f k sk ：第k阶段可分配的资金数为sk时， 第k至第n个项目的最大总收益 求f1 a
最优值函数 f k sk ：在第k阶段分配的资金数为sk时， 第k至第n个项目的最大总收益
建立递推公式：
f k s k
fk（ sk ） =在工厂k，可供分配的资金数为sk时， 投资工厂k至工厂3所得的最大总收益 求f1（ 5 ） 基本方程： f k s k max g k u k f k 1 s k 1 0u k sk k 3,2,1 f 4 s4 0 f 3 s3 max g 3 u3 k=3 0 u 3 s3 s3 0 4 1 2 3
0
0 0 0
0
4 5 2 3 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 5 2 7 7 4.5 8 9 9.5 7.5 10 10 11.512.511 13 12 12.514.5 16 15 12.5 16 5 7 9.5 3 2 4 0 0或1 1 5 3 4 5
解：设A---整个系统正常工作，Ai—部件i正常工作 A A1 A2 An ,
则P A P A1 P A2 P An pi xi
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
爬楼梯问题的解题技巧
爬楼梯问题的解题技巧爬楼梯问题是在计算机科学和数学领域经常遇到的一个经典问题。
题目描述如下：假设你正在爬楼梯，楼梯有n级台阶。
每次你可以爬1级台阶或者2级台阶。
请问，你有多少种不同的方法可以爬到楼梯顶部？这个问题可以用递归和动态规划两种方法来解决。
下面我将分别介绍这两种解题技巧。
1. 递归解法：递归解法是最直观的解法，通过将问题分解成更小的子问题来解决。
假设爬到第n级台阶有f(n)种方法，那么可以得到以下递推关系：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
也就是说，爬到第n级台阶的方法数等于爬到第n-1级台阶的方法数加上爬到第n-2级台阶的方法数。
递归解法的代码如下：```pythondef climbStairs(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)```递归解法的时间复杂度为O(2^n)，因为在每一级台阶上都有两种选择，所以递归树的节点数为指数级别。
虽然递归解法的代码简洁，但是对于大规模的问题，会导致指数级别的计算量，效率较低。
2. 动态规划解法：动态规划是一种将复杂问题分解成简单子问题的解决方法，通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。
对于爬楼梯问题，可以使用动态规划来解决。
我们可以定义一个长度为n+1的数组dp，其中dp[i]表示爬到第i级台阶的方法数。
根据递推关系f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可以得到动态规划的状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
初始条件为dp[1] = 1，dp[2] = 2。
动态规划解法的代码如下：```pythondef climbStairs(n):dp = [0] * (n+1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```动态规划解法的时间复杂度为O(n)，因为只需计算n个状态，每个状态的计算只需要常数时间。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
动态规划习题详解
动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。
由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第一节动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。
如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。
如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。
第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。
关于动态规划顺序求解法的教学探讨
法，即通过与逆 序解 法的 动态 规划 模 型及 求解 相 opt ＝ max or min
对比，来讲解顺序解法的动态规划模型， 能够取得
在对顺序解 法 模型 五要 素的 讲解 中， 要 利 用
较好的教学效果。
逆序解法模型 采用 对 比法 进行， 要 讲 清楚 顺序 模
二、动态规划模型的顺序解法
understand t he t heory of dynamic programming t horoughly and skillfully pu t into execution the module of dynamic programming ． However， as t he module of dynamic programming sounds too abstract， t he textbooks usually give scrupulous explanations to t he inverse solutions instead of the sequen tial ones， which hinders t he students from a good understanding of t he theory of dynamic programming ． The article offers a probe into the au thor’s teaching of the theory of dynamic pro－ gra mming， and sums up the“ method of comparison and con trast”， which proves to be effective in helping the studen ts in t heir st udy of this subject ． Key words：operative research； dynamic programming； teaching
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
动态规划
5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其 中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点 到G点的最短距离（总费用最小）。
1 C1 3 6 8 3 D1 1 2 2 2 5 E2 2 D2 E1 3
5
A 3
B1
6
8 B2 7 6
C2
5
3
5
F1
3
4
G
C3 8 C4
3
4 D3
3
3 4 E3
6
6
F2
3.航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一 次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。 4.线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
f k sk min d k sk , uk sk f k 1 uk sk u k Dk s k f 6 s6 0或 写 成 5 s5 d 5 s5 , F f
k 5,4,3,2,1
动态规划的基本方程（二）
D4(D1)={E1,E2},D4(D2)= {E1,E2}
D5(E1)={F}, D5(E2)={F}
4 A 5
2 B1 3 5 B2 8 7 7
⑷状态转移方程 上例中的状态转移方程sk+1=uk(sk)
C1 5 8 C2 45 3 C3 4 84 C4
D1 3 5 E1 4 6 D2 2 3 E2 1 3 D3
(完整版)动态规划问题常见解法
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
动态规划步骤
【解法一】 【算法分析】 设 f(i，x)表示前i件物品，总重量不超过x的最优价值，则 f(i，x)=max(f(i-1 ，x-w[i])+c[i],f(i-1，x）) ；f（n，m）即为最优解。 下面例出F[I，X]的值，I表示前I件物品，X表示重量
F[I,1] F[I,2] F[I,3] F[I,4] F[I,5] F[I,6] F[I,7] F[I,8] F[I,9] F[I,10] I=1 I=2 I=3 0 0 0 1 1 1 1 3 3 1 3 5 1 4 5 1 4 6 1 4 8 1 4 8 1 4 9 1 4 9
I=3
I=4
0
0
1
1
3
3
5
5
5
5
6
6
8
9
8
9
9
10
9
12
【参考程序】 program star_package; Var i,x,k,n,m:longint; f:array[0..100000]of longint; w,c:array[0..2000]of longint; begin assign(input,'package.in'); assign(output,'package.out'); reset(input); rewrite(output); fillchar(f,sizeof(f),0); readln(m,n); //背包容量m和物品数量n for i:=1 to n do readln(w[i],c[i]); //每个物品的重量和价值 for i:=1 to n do for x:=m downto w[i] do //设 f(x)表示重量不超过x公斤的最大价值 if f[x-w[i]]+c[i]>f[x] then f[x]:=f[x-w[i]]+c[i]; writeln(f[m]); // f(m)为最优解 close(input); close(output); end.
01背包跳跃点解法的解题思路
01背包跳跃点解法的解题思路？
答：01背包问题是一个经典的动态规划问题，而01背包跳跃点解法则是对此问题的一种优化解法。
以下是01背包跳跃点解法的解题思路：
定义状态：令dp[i]表示背包容量为i时能够获得的最大价值。
初始化：将dp数组全部初始化为0。
状态转移方程：考虑当前物品的重量和价值。
假设当前物品的重量为w，价值为v。
对于每个背包容量i，可以选择将该物品放入背包或者不放入背包。
若不放入物品，则dp[i]保持不变，即dp[i] = dp[i]。
若放入物品，则背包容量减少w，同时价值增加v，即dp[i] = dp[i-w] + v。
综上所述，状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i], dp[i-w] + v)。
遍历顺序：在进行状态转移时，需要按照背包容量从大到小的顺序遍历，确保每个状态都是基于之前的状态计算得出的。
返回结果：最终的答案即为dp[背包容量]。
通过使用01背包跳跃点解法，可以有效地优化时间复杂度，使得求解01背包问题的效率更高。
该方法基于一个观察：不同重量的物品之间的状态转移是相互独立的，因此可以跳过一些不必要的计算，直接利用之前已经计算出的状态值。
这种优化的思想在解决大规模背包问题时非常有用。
《计算机算法设计与分析》第三章动态规划法
发展历程及现状
发展历程
动态规划的思想起源于20世纪50年代，由美国数学家Richard Bellman提出。随着计 算机科学的发展，动态规划在算法设计和分析领域得到了广泛应用和深入研究。
第六章
总结与展望
动态规划法在计算机科学中重要性
高效求解最优化问题
动态规划法通过把原问题分解为相对简单的子问题，并保存子问题的解，避免了大量重复计算，从而高效地求解最优化问题。
广泛应用
动态规划法在计算机科学、经济学、生物信息学等领域都有广泛应用，如背包问题、最短路径问题、序列比对问题等。
提供算法设计框架 动态规划法不仅为解决特定问题提供了有效方法，而且为算法设计提供了一个通用框架，有助于理解和设 计更复杂的算法。
现状
目前，动态规划已经成为计算机算法设计和分析领域的重要工具之一。在实际应用 中，许多复杂的问题都可以通过动态规划的方法得到有效的解决。同时，随着计算 机技术的不断发展，动态规划的应用领域也在不断扩展。
第二章
动态规划法基本原理
最优子结构性质
在动态规划法中， 子问题之间是相互 独立的，即一个子 问题的求解不会影 响到其他子问题的 求解。这使得动态 规划法能够避免重 复计算，提高算法 效率。
学习相关算法和技术
学习与动态规划法相关的其他算法 和技术，如贪心算法、分治法等， 以便在实际问题中灵活应用。
关注最新研究进展
关注计算机科学和算法设计领域的 最新研究进展，了解动态规划法的 新发展和应用，保持对新技术的敏 感性和好奇心。
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基本思想
一个最值问题的三种解法
一个最值问题的三种解法最优解是某一特定方法能够在有限的资源内获得最佳结果。
一个最优解问题，通常需要求解给定条件下，最大或最小化某种函数。
一个最优解问题的解法有多种，本文将介绍三种常用的方法，分别是动态规划、贪心算法和遗传算法。
一、动态规划动态规划是一种最优化解决方案，它利用拆解子问题的技术，来计算一个复杂问题的最终结果。
它的特点在于将原问题拆解成若干规模更小的连续子问题，然后逐一解决，从而求出最终的最优解。
它的优点是可以把复杂问题分解成若干简单问题，易于理解和求解，每一步只需要解决一个子问题，每一步完成后都能获得此步最优解。
二、贪心算法贪心算法是搜索策略的一种，它旨在从当前状态出发，找出最优解。
贪心算法的基本思想是在每一步中找到当前最佳（最优）解，从而获得最终的全局最优解。
贪心算法比动态规划更加简单，可以用更少的计算量获得最优解，只需要在每一步求解中做出最佳选择，最终就能得到一个最优解。
但是，贪心算法并不一定能得到最优解，需要合适的算法设计和技巧。
三、遗传算法遗传算法是一种基于自然选择原理的模拟算法，它可以用来求解最优化问题。
遗传算法以自然界中的基因进化为基础，它可以作为一种基于总体的搜索算法，来求解复杂的全局最优解。
遗传算法的优点在于可以快速简易的搜索全局最优解，即使在搜索空间中的解很少或巨大时依然可以快速准确的搜索出最优解。
综上所述，最优解问题可以采用动态规划、贪心算法和遗传算法等三种方法解决。
每种方法都有其优点和缺点，应根据实际情况选择最合适的解决方案。
同时，任何一种方法都要结合个人特点和经验，以此提高解决问题的效率。
借助这三种方法，找出一个最优解是可能的，但也要根据实际情况，根据问题的特点和资源限制，挑选最合适的方法，按照一定的算法步骤，结合个人的实际情况和经验，最终得以获得最优解。
动态优化问题常见解法
动态优化问题常见解法动态优化问题是计算机科学中的一个重要领域，它涉及到在给定约束条件下，寻找最优解的问题。
在解决动态优化问题时，常用的几种解法包括贪心法、动态规划法和分治法。
贪心法贪心法是一种简单而常用的动态优化问题解法。
它的基本思想是在每一步都选择当前状态下最优的解，希望通过每一步的最优选择达到全局最优解。
贪心法通常适用于一些较为简单、局部最优即能得到全局最优的情况。
然而，贪心法并不适用于所有动态优化问题，特别是那些需要考虑长远后果的问题。
在使用贪心法解决问题时，需要仔细分析问题的特性以确定贪心策略的适用性。
动态规划法动态规划法是一种比较常用且灵活的动态优化问题解法。
它通过建立一个状态转移方程来逐步求解问题。
具体而言，动态规划法将原问题分解为子问题，然后利用已解决的子问题的解来求解更大规模的问题。
动态规划法通常需要建立一个动态规划表格或数组来存储子问题的解，以便在求解大问题时可以利用已经求解过的子问题的解。
动态规划法的关键在于确定子问题的解以及状态转移方程的定义。
分治法分治法是一种将问题分割为更小的子问题并分别解决的解法。
它的基本思想是将原问题划分为多个相互独立且结构相似的子问题，然后递归地解决这些子问题。
最后，将子问题的解合并得到原问题的解。
分治法通常适用于一些较为复杂的问题，能够有效地解决大规模问题。
然而，分治法并不是适用于所有动态优化问题，具体问题需要根据其特性来确定是否适用分治法进行求解。
总结在解决动态优化问题时，贪心法、动态规划法和分治法是常见的解法。
贪心法适用于一些较为简单且局部最优即为全局最优的问题。
动态规划法通过求解子问题来逐步求解大问题，适用于各类动态优化问题。
分治法通过将问题划分为子问题并递归求解，适用于复杂的大规模问题。
在选择合适的解法时，需要充分考虑问题的特性和约束条件。
每种解法都有其优缺点，在实际应用中需要仔细分析问题的性质以确定最合适的解法。
最大加权矩形
最大加权矩形最大加权矩形是一个经典的计算几何问题，它的解法可以通过动态规划和单调栈两种方法来实现。
下面我将为你详细介绍这两种解法的原理和具体步骤。
1.动态规划解法：首先我们需要定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示以第i行第j列为右下角的最大加权矩形的和。
然后我们可以推导出dp[i][j]的递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+weight[i][j], weight[i][j])其中weight[i][j]表示第i行第j列的加权值。
根据递推公式，我们可以依次计算每个位置的dp值。
接下来，我们需要遍历每个可能的矩形来寻找最大的加权矩形。
具体步骤如下：1)首先初始化一个全局变量maxSum为0，用于记录最大的矩形和。
2)从第一行开始遍历，对每一行的每一列，分别计算以该位置为右下角的最大加权矩形的和，并更新maxSum。
3)对于每一行，我们使用一个辅助数组temp存储以该位置为右下角的矩形的和，然后通过比较当前的和与maxSum的大小来更新maxSum。
4)然后，我们遍历第二行至最后一行，对每一行的每一列，依次计算以该位置为右下角的最大加权矩形的和，并更新maxSum和temp。
5)最后，返回maxSum作为最大加权矩形的和。
这种方法的时间复杂度是O(N^2)，其中N是矩阵的边长。
2.单调栈解法：单调栈是一种常用的数据结构，用于处理一些具有单调性质的问题。
在这个问题中，我们可以从上到下，依次对每一行进行处理。
具体步骤如下：1)首先初始化一个全局变量maxSum为0，用于记录最大的矩形和。
2)对于每一行，我们使用一个辅助数组heights存储当前行的柱形高度，并初始化为0。
3)然后，我们依次遍历每一列，对于每一列的柱形高度heights[j]，我们分别向左和向右扩展，找到以该位置为右下角的最大加权矩形的和，并更新maxSum。
(完整word版)TSP问题的动态规划解法
TSP问题的动态规划解法第十七组：3103038028 郑少斌3103038029 王瑞锋3103038035 江飞鸿3103038043 韩鑫3103055004 唐万强1．TSP问题简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem,简称TSP, 亦称为货单郎问题）可以描述为：对于N 个城市，它们之间的距离已知，有一旅行商要从某一城市走遍所有的城市，且每一城市只能经过一次，最后回到出发的城市，问如何选择路线可使他走过的路径最短。
这是一个典型的组合优化问题。
它有很强的现实意义，可以应用于交通运输，物资调配，旅游线路设置。
对于了解某个国家地理分布也有一定的现实意义。
这个问题的解法有很多种，在这里我们尝试使用最优控制中的动态规划的相关知识来进行求解。
2．TSP问题分析对于这个问题，我们首先想到的是应用穷举法进行解答，但是这个方法时间和空间的复杂度很高。
从表面上看，TSP 问题很简单，其实则不然。
对于N 个城市的TSP,存在的可能路径为（N-1）!/2条，当N较大时，其数量是惊人的。
计算每条路经都需求出N 个距离之和，这样各种路径及其距离之和的计算量正比与N!/2.用搜索法要求就规模大的TSP是不现实的。
例如使用1GFLOPs 次的计算机搜索TSP 所需的时间如下表所示 城市数7152050100200加法量 3105.2⨯ 11105.6⨯ 18102.1⨯ 64105.1⨯ 157105⨯ 37410搜索时间s 5105.2-⨯1.8h350yy 48105⨯ y 14210y 35810由上可知，对于这个问题采用穷举法进行解答是不现实的，这就要求我们采用其他的方法进行解答。
3． 其他求解TSP 问题的方法*贪心法a. 所谓贪心法，就是在组合算法中，将每一步都取局部最优的求解方法。
b. 下表表示用贪心法求解TSP 的过程。
先将各城市间的距离用行列式形式表示，主对角线上用∞表示。
动态规划
离散确定性动态规划的求解
表4
x1 s1 9 2 18+53 P1(x1 )+f2(s1-x1 ) 3 14+55 4 10+59 69 f1(s1) x 1* 3或4 或
由表4知 由表 知，当x1*＝3时，s2=6，由表 知，x2*＝4，s3=2， ＝ 时 ，由表3知 ＝ ， ， 由表2知 *＝2；又当x *＝4时 =5，由表3知 由表2知，x3*＝2；又当x1*＝4时，s2=5，由表3知，x2* ＝3，s3=2，由表 知，x3*＝2，三个部位的总的预期损失 ， ，由表2知 ＝ ， 为69。 。LOO离散确定性动态规划的求解
例2. 分别用动态规划的逆序和顺序解法求解下述非线性规划问 3 题 max z = ∏ ix i 第三版P164） （第三版 ） i =1
x1 + 3 x 2 + 2 x3 ≤ 12 x i ≥ 0, i = 1,2,3
的取值人为地区分为三个阶段k=1,2,3,xi分别 解：将变量x1,x2,x3的取值人为地区分为三个阶段 将变量 为第i阶段的决策变量 阶段的决策变量。 为第 阶段的决策变量。 （1）先用逆序解法 ） 状态变量设为s 有 状态变量设为 k,有s1=12, s2=s1-x1, s3=s2-3x2, s4=s2-3x2,。各决 。 策变量的允许值为0≤ 策变量的允许值为 x1 ≤s1， 0≤ x2 ≤s2/3, 0≤ x3 ≤s3/2. 参照前面公 式（2）可写出本例用逆序解法时的数学模型为： ）可写出本例用逆序解法时的数学模型为：
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离散确定性动态规划的求解
V k ,3 =
∑
3
i=k
pi ( x i ) = pk ( xk ) +
分组背包问题常见解法
分组背包问题常见解法
常见的解法包括动态规划和状态压缩。
动态规划解法：
1. 定义`dp[i][j]`表示前i个物品选择j个分组所能获得的最大价值。
2. 初始化`dp`数组为0。
3. 设置状态转移方程为`dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-group[i].size] + value[i])`，其中`group[i].size`表示第i个物品所属的分组包含的物品数量，`value[i]`表示第i个物品的价值。
4. 依次考虑物品和分组，更新`dp`数组。
5. 最终结果为`dp[n][m]`，其中n表示物品的个数，m表示分组的个数。
状态压缩解法：
1. 定义一个一维数组`dp`表示前i个物品选择j个分组所能获得的最大价值。
2. 初始化`dp`数组为0。
3. 设置状态转移方程为`dp[j] = max(dp[j], dp[j-group[i].size] + value[i])`，其中`group[i].size`表示第i个物品所属的分组包含的物品数量，`value[i]`表示第i个物品的价值。
4. 依次考虑物品和分组，更新`dp`数组。
5. 最终结果为`dp[m]`，其中m表示分组的个数。
动态规划例1-求解下列整数规划的最优解
例1 求解下列整数规划得最优解:()123123max 45634510..01,2,3,j j Z x x x x x x s t x j x =++++⎧⎪⎨=⎪⎩≤≥为整数.解 （1）建立动态规划模型:阶段变量: 将给每一个变量 赋值瞧成一个阶段, 划分为3个阶段, 且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量 表示从第 阶段到第3阶段约束右端最大值, 则 设决策变量k x 表示第k 阶段赋给变量k x 得值(1,2,3)k =、 状态转移方程: 阶段指标: 基本方程；()(){}()3113,2,1044()max ,()0.s k k k k k k k k k k x a f s u s x f s f s ++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎧=+⎪⎨⎪=⎩≤≤ 其中1233,4, 5.a a a === 用逆序法求解: 当3k =时，()(){}{}33333443330055max 6max 6,ssx x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=≤≤≤而 表示不超过 得最大整数。
因此, 当 时, ；当 时, 可取0或1；当 时, 可取0, 1, 2,由此确定 现将有关数据列入表4.1中当 时, 有()(){}(){}22222332322220044max 5max 54,ssx x f s xf s xf s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤而 。
所以当 时, ；当 时, ；当 时 。
由此确定 。
现将有关数据列入表4.2中、当时,有()(){}(){}11111221211110033max 4max 43,ssx x f s x f s x f s x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=+-≤≤≤≤例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题⎩⎨⎧=≥≤++⋅⋅=3,2,1 0 max 3213221i x c x x x x x x z i 解: 解决这一类静态规划问题, 需要人为地赋予时间概念, 从而将该问题转化为多阶段决策过程。
2018年电工杯a题解题思路
2018年电工杯a题解题思路一、题目概述题目要求：给定一个由N个数构成的序列A，求最长的子序列B，满足B[i]>B[i+1]>B[i+2]或B[i]<B[i+1]<B[i+2]。
具体要求：1. 给定一个由N个数构成的序列A；2. 求最长的子序列B；3. 子序列B满足B[i]>B[i+1]>B[i+2]或B[i]<B[i+1]<B[i+2]。
二、解题思路1. 动态规划解法（1）定义状态定义dp[i][0]表示以A[i]结尾的最长递增序列长度，dp[i][1]表示以A[i]结尾的最长递减序列长度。
（2）状态转移方程当A[i]>A[j]时，dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[j][0]+1)，表示A[i]可以接在A[j]之后构成递增序列；当A[i]<A[j]时，dp[i][1]=max(dp[i][1],dp[j][1]+1)，表示A[i]可以接在A[j]之后构成递减序列。
（3）求解最优解遍历整个序列A，更新dp[i][0]和dp[i][1]，最终得到最长的子序列长度。
2. 贪心解法（1）从左到右遍历序列A，找到所有的递增段；（2）从右到左遍历序列A，找到所有的递减段；（3）合并递增段和递减段，得到最长的子序列B。
三、代码实现动态规划解法的代码实现如下：```def longestSubsequence(nums):n = len(nums)dp = [[1, 1] for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(i):if nums[i] > nums[j]:dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][0] + 1)elif nums[i] < nums[j]:dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][1] + 1)res = max(max(dp[i][0], dp[i][1]) for i in range(n)) return res```贪心解法的代码实现如下：```def longestSubsequence(nums): inc = [nums[0]]dec = [nums[-1]]for num in nums:if num > inc[-1]:inc.append(num)else:for i in range(len(inc)):if inc[i] < num:inc[i] = numbreakfor num in nums[::-1]:if num < dec[-1]:dec.append(num)else:for i in range(len(dec)):if dec[i] > num:dec[i] = numbreakdec = dec[::-1]for i in range(len(inc) - 1, -1, -1): if inc[i] in dec:return i + len(dec) - 1```四、总结通过动态规划和贪心两种解法，可以解决2018年电工杯a题的问题。
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