第25-29课时导数应用的题型与方法
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义:1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx),其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。
2.求导数的步骤:①求函数的增量:Δy=f(x+Δx)-f(x);②求平均变化率:Δy/Δx;③取极限得导数:f'(x)=lim(Δy/Δx),其中Δx→0.二、导数的运算:1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式:① C'=0(C为常数);② (xn)'=nxn-1;③ (1/x)'=-1/x^2;④ (ex)'=ex;⑤ (sinx)'=cosx;⑥ (cosx)'=-sinx;⑦ (ax)'=axlna(a>0,且a≠1);⑧ (lnx)'=1/x;⑨ (loga x)'=1/(xlna)(a>0,且a≠1)。
2.导数的运算法则:法则1:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)(和与差的导数等于导数的和与差);法则2:[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(前导后不导相乘+后导前不导相乘);法则3:[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2(分母平方要记牢,上导下不导相乘,下导上不导相乘,中间是负号)。
3.复合函数y=f(g(x))的导数求法:①换元,令u=g(x),则y=f(u);②分别求导再相乘,y'=g'(x)·f'(u);③回代u=g(x)。
题型:1.已知f(x)=1/x,则lim(Δy/Δx),其中Δx→0,且x=2+Δx,f(2)=1/2.答案:C。
2.设f'(3)=4,则lim(f(3-h)-f(3))/h,其中h→0.答案:A。
导数的应用习题课17页PPT文档
,又f(0)=f(π)=0,[
f
()]m
a
x
33 .
8
故当
x 3,y 2
3 4
时,
(xy)max
33 8
.
例6:证明不等式: ln x11(x 1 )212(1x )3(x0 ).
解:函数的定义域为(,0 ) (0,1) (1,) .
当x<0或x>1时, f(x) x x12x22x1.
x1 x x(x1)
f(x)x22(xx11)2. 故当x<0时, f(x)0;当x>1时, f(x)0.
当0<x<1时, f(x)2x x 2( x2 x 1)1,f(x)x2 2 (x x 1 1)2,
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
范围. 解:(1) f(x)3a2x2b,x
由题意得:
f(1)2 ab2 a1 f(1)3 3a2b3 b3.
(2) f(x ) 3 x 2 6 x 3 x (x 2 ) 0,解得x2]和[0,+∞).
故当0<x<1/2时,f(x)0;当1/2<x<1时, f(x)0.
因此,函数在(-∞,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2) 和(1,+∞)上是减函数.
例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),
且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值;
例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小 ?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的 切线垂直的直线).
解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的 斜率为 ky2x5,从而法线的斜率为 12x5 .
导数的应用问题常见类型及解法ppt 通用
故 f (x) 得单调递增区间是 (1,1 k ) 和 (0, ) ,单调递减区间 k
是 (1 k , 0) k
【例 3】(2010·全国卷Ⅰ文)已知函数
f (x) 3ax4 2(3a 1)x2 4x (I)当 a 1 时,求 f (x) 的极值;
当且仅当 3a 1 0 , 4
解得 a 4 . 3
综上: a 的取值范围为[ 4 , 1] . 36
三、极值(或最值)问题
理论阐释
1.函数的极值:
(1)极值的概念:函数 f (x) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的 所有点都有 f (x) f (x0 ) (或 f (x) f (x0 ) ),则称 f (x0 ) 为函数的 一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点.
【解析】(I)当 k 2 时, f (x) ln(1 x) x x2 ,
f '(x) 1 1 2x 1 x
由于 f (1) ln 2 , f '(1) 3 , 2
所以曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ln 2 3 (x 1) 2
即 3x 2y 2ln 2 3 0
1 x 1
(x 1)(x 7) (x 3)2 (x 1)
,
令 f (x) 0 ,则 x1 1, x2 7 , 所以当 1 x 1或 x 7 时, f (x) 0 ;当1 x 7 ,且 x 3 时, f (x) 0 ;
所以由以上讨论可知,函数 f (x) 在区间 -1,1,7,上是增函数;在
导数的应用问题常见类型及解法
导数的应用问题主要是利用导数研究函数的问题, 其中函数是载体,导数是工具。该类问题的常见类型 有:切线问题、单调性问题、极值(或最值)问题、 恒成立问题、比较大小及证明不等式问题、零点问题、 以及以上各个问题的综合等,其中渗透并充分利用构 造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的 思想方法,主要考查导数的工具性作用.
(完整版)导数及其应用最全教案(含答案),推荐文档
一、知识点梳理
1.导数:当x 趋近于零时, f (x0 x) f (x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ ”记作: x
当x 0 时, f (x0 x) f (x0 ) c 或记作 lim f (x0 x) f (x0 ) c ,符号
x
x0
x
“ ”读作“趋近于”。函数在 x0 的瞬时变化率,通常称作 f (x) 在 x x0 处的导数,并
例3:设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1, 其中a 1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论
f(x)的极值。
解:由已知得 f ' (x) 6x x (a 1),令 f ' (x) 0 ,解得
x 0, x a 1。
1
2
(Ⅰ)当 a 1 时, f ' (x) 6x2 , f (x) 在(, ) 上单调递增;
注意:(1)在求函数的极值时,应注意:使导函数 f (x) 取值为 0 的点可能是它的极值点, 也可能不是极值点。例如函数 f (x) x3 的导数 f (x) 3x2 ,在点 x 0 处有 f (0) 0 ,
即点 x 0 是 f (x) x3 的驻点,但从 f (x) 在 ,上为增函数可知,点 x 0 不是
当 a 1时, f ' (x) 6x x a 1 , f ' (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表:
x f ' (x) f (x)
(, 0) + A
0 0 极大值
(0, a 1) A
a 1
0 极小值
(a 1, ) A
从上表可知,函数 f (x) 在(, 0) 上单调递增;在(0, a 1) 上单调递减;在(a 1, ) 上 单调递增。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a 1 时,函数 f (x) 没有极值;
福州四中高三数学第25-29课时 导数应用的题型与方法
福州四中高三数学第25-29课时: 导数应用的题型与方法一.复习目标:1.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.2.熟记基本导数公式(c,x m (m 为有理数),sin x, cos x, e x , a x , lnx, log a x 的导数)。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用.3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4.了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。
二.考试要求:⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。
⑵熟记基本导数公式(c,x m (m 为有理数),sin x, cos x, e x , a x ,lnx, log a x 的导数)。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面:1.导数的常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式:f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数:d dx (C)=0•幂函数:d dx (x n)=nx n−1•指数函数:ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数:(u+v)′=u′+v′•差的导数:(u−v)′=u′−v′•积的导数:(uv)′=u′v+uv′•商的导数:(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式:如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0,则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0,则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值:若f′(x0)=0,且f″(x0)<0,则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值:若f′(x0)=0,且f″(x0)>0,则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点:若f″(x0)=0,则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0,则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0,则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0,则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0,则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1:求函数的导数y=f(x)•题型2:求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1:求函数的极值和拐点•题型2:求函数在某点的切线方程•题型3:求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1:求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2:求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1:判断函数的单调区间•题型2:填空题,填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1:利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1:利用导数求解物理问题,如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1:求函数在某点的变化率•题型2:求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容,包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则,以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面:1.导数的常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。
二、知识整合1.导数概念的理解.2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例,引出复合函数的求导法则,接下来对法则进行了证明。
3.要能正确求导,必须做到以下两点:(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行:(1)适当选定中间变量,正确分解复合关系;(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);(3)把中间变量代回原自变量(一般是x )的函数。
也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(μ),μ=f(x);然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ,中间变量对自变量求导)'(x μ;最后求x y ''μμ⋅,并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后,可以省略中间过程。
若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1.⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导,则=a =b 思路:⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导,必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2.已知f(x)在x=a 处可导,且f ′(a)=b ,求下列极限:(1)hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆; (2)h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选择相对应的形式。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则:(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ,b )内单调递增,那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )=0,则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x ),f ′(x 0)=0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ,b )内单调递增,则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)=0,且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象,则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x =-1处f ′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )=2x -x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )=2-(ln x +1)=1-ln x ,令f ′(x )=0,所以x =e ,当f ′(x )>0时,解得0<x <e ;当f ′(x )<0时,解得x >e ,所以x =e 时,f (x )取到极大值,f (x )极大值=f (e)=e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )=cos x -x 在(0,π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)=-sin x-1,x∈(0,π),则f′(x)<0,所以f(x)=cos x-x在(0,π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()解析设导函数y=f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3,由导函数y=f′(x)的图象易得当x∈(-∞,x1)∪(x2,x3)时,f′(x)<0;当x∈(x1,x2)∪(x3,+∞)时,f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3),所以函数f(x)在(-∞,x1),(x2,x3)上单调递减,在(x1,x2),(x3,+∞)上单调递增,观察各选项,只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)=x(x-c)2的导数为f′(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,在x=2处的导数值为12-8c+c2=0,解得c=2或6,又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,故导数在x=2处左侧为负,右侧为正,而当e=6时,f(x)=x(x-6)2在x=2处有极大值,故c=2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )=ax 3+x 2(a ∈R )在x =-43处取得极值. (1)确定a 的值;(2)若g (x )=f (x )e x ,求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )=3ax 2+2x ,因为f (x )在x =-43处取得极值,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=0,即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-432+2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=16a 3-83=0,解得a =12.(2)由(1)得g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3+x 2e x ,故g ′(x )=12x (x +1)(x +4)e x . 令g ′(x )<0,即x (x +1)(x +4)<0, 解得-1<x <0或x <-4,所以g (x )的单调减区间为(-1,0),(-∞,-4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f (x )的定义域;(2)求f ′(x );(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0,得单调递增区间;(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0,得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时,用“,”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )=x ln x ,则f (x )( ) A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上递减 (2)已知定义在区间(-π,π)上的函数f (x )=x sin x +cos x ,则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )=x ln x ,定义域为(0,+∞),所以f ′(x )=ln x +1(x >0),当f ′(x )>0时,解得x >1e ,即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞;当f ′(x )<0时,解得0<x <1e ,即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e .(2)f ′(x )=sin x +x cos x -sin x =x cos x .令f ′(x )=x cos x >0,则其在区间(-π,π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-π,-π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-π,-π2,⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π,-π2,⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )=e x (e x -a )-a 2x ,其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性; (2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(-∞,+∞),且a ≤0. f ′(x )=2e 2x -a e x -a 2=(2e x +a )(e x -a ).①若a =0,则f (x )=e 2x ,在(-∞,+∞)上单调递增. ②若a <0,则由f ′(x )=0,得x =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2时,f ′(x )<0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2,+∞时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2上单调递减,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2,+∞上单调递增.(2)①当a =0时,f (x )=e 2x ≥0恒成立.②若a <0,则由(1)得,当x =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2时,f (x )取得最小值,最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34-ln ⎝⎛⎭⎪⎫-a 2, 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34-ln ⎝⎛⎭⎪⎫-a 2≥0, 即0>a ≥-2e 34时,f (x )≥0.综上,a 的取值范围是[-2e 34,0].【训练2】 已知f (x )=x 22-a ln x ,a ∈R ,求f (x )的单调区间.解 因为f (x )=x 22-a ln x ,x ∈(0,+∞),所以f ′(x )=x -a x =x 2-ax .(1)当a ≤0时,f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时,f ′(x )=(x +a )(x -a )x,则有①当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0,所以f (x )的单调递减区间为(0,a ). ②当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )的单调递增区间为(a ,+∞). 综上所述,当a ≤0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. 当a >0时,函数f (x )的单调递减区间为(0,a ),单调递增区间为(a ,+∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3-1】 (1)已知函数y =f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2满足f ′(x )cos x +f (x )sin x =1+ln x ,其中f ′(x )是函数f (x )的导函数,则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数,f (1)=1e ,对任意实数都有f (x )-f ′(x )>0,设F (x )=f (x )e x ,则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(1,e)D.(e ,+∞)解析 (1)令g (x )=f (x )cos x ,则g ′(x )=f ′(x )cos x -f (x )(-sin x )cos 2x =1+ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2,g ′(x )>0,解得1e <x <π2;由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2,g ′(x )<0,解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,π2上单调递增,又π3>π4,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4, 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )=f ′(x )e x -e x f (x )(e x )2=f ′(x )-f (x )e x ,又f (x )-f ′(x )>0,知F ′(x )<0, ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2=F (1),得x >1, 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1,+∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3-2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=12ax 2+2x . (1)若函数h (x )=f (x )-g (x )存在单调递减区间,求实数a 的取值范围; (2)若函数h (x )=f (x )-g (x )在[1,4]上单调递减,求实数a 的取值范围. 解 h (x )=ln x -12ax 2-2x ,x >0.∴h ′(x )=1x -ax -2.(1)若函数h (x )在(0,+∞)上存在单调减区间, 则当x >0时,1x -ax -2<0有解,即a >1x 2-2x 有解. 设G (x )=1x 2-2x ,所以只要a >G (x )min . 又G (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -12-1,所以G (x )min =-1.所以a >-1.即实数a 的取值范围是(-1,+∞). (2)由h (x )在[1,4]上单调递减,∴当x ∈[1,4]时,h ′(x )=1x -ax -2≤0恒成立, 则a ≥1x 2-2x 恒成立,设G (x )=1x 2-2x , 所以a ≥G (x )max . 又G (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -12-1,x ∈[1,4],因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,1,所以G (x )max =-716(此时x =4),所以a ≥-716.又当a =-716时,h ′(x )=1x +716x -2=(7x -4)(x -4)16x,∵x ∈[1,4],∴h ′(x )=(7x -4)(x -4)16x ≤0,当且仅当x =4时等号成立. ∴h (x )在[1,4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-716,+∞.规律方法 1.利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y =f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为f ′(x ),且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立,则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(2,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ C.[2,+∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12解析 (1)设函数g (x )=f (x )x 2(x >0),则g ′(x )=x 2f ′(x )-2xf (x )x 4=xf ′(x )-2f (x )x 3<0,所以函数g (x )在(0,+∞)内为减函数,所以g (1)>g (2),即f (1)12>f (2)22,所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )=k -1x ,f (x )=kx -ln x 在区间(2,+∞)上单调递增,等价于f ′(x )=k -1x ≥0在(2,+∞)上恒成立,由于k ≥1x ,而0<1x <12,所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e =2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )=2-x B.f (x )=x 2 C.f (x )=3-xD.f (x )=cos x解析 设函数g (x )=e x ·f (x ),对于A ,g (x )=e x ·2-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x,在定义域R 上为增函数,A 正确.对于B ,g (x )=e x ·x 2,则g ′(x )=x (x +2)e x ,由g ′(x )>0得x <-2或x >0,∴g (x )在定义域R 上不是增函数,B 不正确.对于C ,g (x )=e x ·3-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数,C 不正确.对于D ,g (x )=e x ·cos x ,则g ′(x )=2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立,D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )=x sin x +cos x +x 2,则不等式f (ln x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ,+∞)B.(0,e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e ∪(1,e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,e 解析 f (x )=x sin x +cos x +x 2是偶函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x =f (-ln x )=f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )=x cos x +2x =x (2+cos x ), 由2+cos x >0,得x >0时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔-1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )=1-23cos 2x +a cos x =1-23(2cos 2x -1)+a cos x =-43cos 2 x +a cos x +53,f (x )在R 上单调递增,则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x =t ,t ∈[-1,1],则-43t 2+at +53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at -5≤0在t ∈[-1,1]上恒成立. 令g (t )=4t 2-3at -5,则⎩⎨⎧g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,134.已知函数f (x )=a ln x -ax -3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若函数y =f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t ∈[1,2],函数g (x )=x 3+x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )+m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数,求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞), 且f ′(x )=a (1-x )x, 当a >0时,f (x )的递增区间为(0,1), 递减区间为(1,+∞);当a <0时,f (x )的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1); 当a =0时,f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)=-a 2=1,即a =-2,∴f (x )=-2ln x +2x -3,f ′(x )=2x -2x .∴g (x )=x 3+⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+2x 2-2x , ∴g ′(x )=3x 2+(m +4)x -2.∵g (x )在区间(t ,3)上总不是单调函数, 即g ′(x )在区间(t ,3)上有变号零点.由于g ′(0)=-2,∴⎩⎨⎧g ′(t )<0,g ′(3)>0.当g ′(t )<0时,即3t 2+(m +4)t -2<0对任意t ∈[1,2]恒成立, 由于g ′(0)<0,故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0, 即m <-5且m <-9,即m <-9;由g ′(3)>0,即m >-373. ∴-373<m <-9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-373,-9.。
导数的综合应用题型及解法
导数的综合应用题型及解法题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
1.已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ;题型二:利用导数几何意义求切线方程2.求下列直线的方程:(1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2x y =过点P(3,5)的切线; 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值3.已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 (Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围4.已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-. (1) 求函数()y f x =的表达式;(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值;5.设函数()()()f x x x a x b =--.(1)若()f x 的图象与直线580x y --=相切,切点横坐标为2,且()f x 在1x =处取极值,求实数,a b 的值;(2)当b=1时,试证明:不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点. 题型四:利用导数研究函数的图象6.如右图:是f (x )的导函数, )(/x f 的图象如右图所示,则f (x )的图象只可能是( D )(A ) (B ) (C ) (D )7.函数的图像为14313+-=x x y ( A )8.方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围9.设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f(1)求函数)(x f 的单调区间、极值.(2)若当]2,1[++∈a a x 时,恒有a x f ≤'|)(|,试确定a 的取值范围.10.已知函数f (x )=x3+ax2+bx +c 在x =-23与x =1时都取得极值(1)求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间(2)若对x ?〔-1,2〕,不等式f (x )?c2恒成立,求c 的取值范围。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法在高中数学中,导数是一个非常重要的概念。
导数是描述曲线在某一点处的切线斜率的指标。
在高中数学中,学生需要掌握不同类型的导数题。
以下是高中导数题中的所有题型及解题方法:1.求函数的导数:这是最基本的导数问题。
对于一个函数,需要求出它的导数函数。
为此,需要使用导数的定义公式,即极限。
例如,对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1,其导数是f’(x) = 2x + 2。
2.求函数的导数在某一点处的值:这个类型的问题需要计算函数在一定点处的导数值。
为此,需要使用导数的定义公式,并将x的值代入到函数中计算。
例如,对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1,在x = 2处的导数值为f’(2) = 6。
3.求函数的极值:极值是函数在某一点处的最大值或最小值,即导数为0的点。
为了找到函数的极值,需要计算函数的导数,并找到导数为0的点。
例如,对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1,其导数为f’(x) =3x^2 - 6x + 2。
为了找到函数的极值,需要找到导数为0的点。
计算可得,x = 1或x = 2是导数为0的点。
因此,函数的极值为f(1) = 1和f(2) = 3。
4.求函数的拐点:拐点是函数曲线从凸向上到凹向上或从凸向下到凹向下的点。
为了找到函数的拐点,需要计算函数的二阶导数,即导数的导数。
例如,对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1,其一阶导数为f’(x) = 3x^2 - 6x + 2,二阶导数为f’’(x) = 6x - 6。
为了找到函数的拐点,需要找到二阶导数为0的点。
计算可得,x = 1是二阶导数为0的点。
因此,函数在x = 1处有一个拐点。
5.求函数与直线的交点:这个类型的问题需要找出函数和直线的交点。
为此,需要先将直线方程代入到函数中,然后解方程。
例如,对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1和直线y = 3x - 1,将直线方程代入到函数中可得x^2 + 2x + 1 = 3x - 1。
导数常见题型与解题方法总结(教师版)
导数题型解题方法总结1、分离变量 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)2、变更主元 ----- 已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法 -----结合图像分析5、二次函数区间最值求法 ----- (1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令 f ' (x) = 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数) ----- (已知谁的范围就把谁作为主元) 。
例 1:设函数 y = f(x) 在区间 D 上的导数为 f,(x), f,(x) 在区间 D 上的导数为 g(x) ,若在区间 D 上, g(x) < 0 恒 成 立, 则 称 函 数 y = f(x) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ”, 已 知 实 数 m 是 常 数,x 4 mx 3 3x 212 6 2(1)若 y = f(x) 在区间[0,3] 上为“凸函数”,求 m 的取值范围;(2)若对满足 m 共 2 的任何一个实数m , 函数 f(x) 在区间( a, b ) 上都为“凸函数”, 求b 一 a 的最大.解:由函数 f(x) =x 412 一 mx 36一 3x 22 得 f,(x) = x 33 一 mx 22一 3x :g(x) = x 2 一 mx 一 3(1) y = f(x) 在区间[0,3] 上为“凸函数”,则 :g(x) = x 2 一 mx 一 3 < 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于g (x)< 0值 f(x) = 一 一max(g(0) < 0 (_3 < 0〈lg(3) < 0 亭〈l 9 _ 3m _ 3 <0 亭 m > 2解法二: 分离变量法:∵ 当 x = 0 时, :g(x) = x 2 _ mx _ 3 = _3 < 0 恒成立, 当 0 < x 三 3 时, g(x) = x 2 _ mx _ 3 < 0 恒成立等价于 m > x 2 _ 3 = x _ 3的最大值( 0 < x 三 3 )恒成立,x x而 h(x) = x _x( 0 < x 三 3 )是增函数,则 h max (x) = h(3) = 2:m > 2(2)∵当m 三 2 时 f(x) 在区间( a, b ) 上都为“凸函数”则等价于当 m 三 2 时 g(x) = x 2 _ mx _ 3 < 0 恒成立 变更主元法再等价于 F(m) = mx _ x 2 + 3 > 0 在 m 三 2 恒成立 (视为关于 m 的一次函数最值问题)亭〈 亭〈亭 _ 1< x < 1:b _ a = 2-2 2例 2:设函数 f(x) = _ 1x 3 + 2ax 2 _ 3a 2 x + b(0 < a < 1, b =R)3(Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对任意的 x = [a + 1, a + 2], 不等式f,(x)三 a 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f,(x) = _x 2 + 4ax _ 3a 2 = _ (x _ 3a )(x _ a )0 < a < 13aaf,(x)3a3a令 f ,(x) > 0, 得 f(x) 的单调递增区间为(a,3a)令 f ,(x) < 0, 得 f(x) 的单调递减区间为(- w , a)和(3a , + w )∴当x=a 时, f(x) 极小值= _ 4a 3+ b; 当 x=3a 时, f(x) 极大值=b.(Ⅱ)由| f ,(x) |≤a,得:对任意的 x = [a + 1, a + 2], _a 共 x 2 _ 4ax + 3a 2 共 a 恒成立①则 等 价 于 g(x) 这 个 二 次 函 数〈(g max (x) 共 ag(x) = x 2 _ 4ax +3a 2 的 对 称 轴 x = 2a0 < a < 1, a +1 > a + a = 2a (放缩法)即定义域在对称轴的右边, g(x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
导数的应用(导数好题解析版)
导数的应用知识梳理1.函数的单调性:在某个区间(a,b )内,如果f(x)>O ,那么函数y = f(x)在这个区间内 单调递增;如果f'(X)c O ,那么函数y= f(x)在这个区间内单调递减•如果f'(x)=o ,那 么函数y = f(X)在这个区间上是常数函数 注:函数 y = f(X)在(a,b )内单调递增,则 f '(x)>0, f'(X )A O 是 y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件2.函数的极值:曲线在极值点处切线的斜率为 O ,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.「(x)》。
,右侧f '(X)w O ,那么f(X o)是极大值.f'(x)<o,右侧f'WAO ,那么f(X o )是极小值.注:导数为O 的点不一定是极值点般地,当函数 y = f(x)在点x o处连续时,判断f (x o ) 是极大(小)值的方法是: (1)如果在x o附近的左侧(2)如果在x o附近的左侧知识点一:导数与函数的单调性方法归纳:在某个区间(a,b )内,如果f'(X)>0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)cO,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.如果f'(x)= 0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数注:函数y = f(X)在(a,b)内单调递增,则 f '(X)>0 , f '(X)》0是y = f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件【例11 (B类)(2011 朝阳期末)已知函数f(x)=x3 +bx2+cx + d的图象过点P(0, 2),且在点M(—1, f(—1))处的切线方程为6x-y + 7=0.(I)求函数y=f(x)的解析式;(n)求函数y=f(x)的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上,又原曲线上.函数f (x)在区间[a,b]上递增可得: f'(x)>0 ;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得:f'(x)E0.【解析】(I)由f (x)的图象经过P (0, 2),知d=2,3 2所以f(x)=x +bx +cx+2.所以f (x) =3x2 +2bx +c.由在M(-1, f(—1))处的切线方程是6x-y+7=0 ,知-6 — f(—1)+7 =0,即f (―1)=1 , f'(-1)=6 .所以{3—2b+c m 即pb—cf 解得b〃一3.3 2故所求的解析式是f(x)=x -3x —3x+2.(n)因为f (X)=3X2-6X—3 ,令3x2 -6x -3 = 0 ,即卩X2 -2x -1 = 0 ,解得X1 =1-^/2, X2 =1 +妊当X兰1-血或X兰1+72时,f'(x)^0,l-1+b-c+2=1. l b-c = 0.当1—72<x w i+72时,f'(X)兰0,故f(x) =x3 -3x2 -3x+2在(亠-问内是增函数,在口-②+问内是减函数,在口+金,母)内是增函数.3【例21 (A类)若f(x)=ax +x在区间[—1,1]上单调递增,求a的取值范围.【解题思路】利用函数f(x)在区间[a,b]上递增可得:f'(x)>0 ;函数f(x)在区间[a,b]上递减可得:f '(X)<0 .得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解【解析】7 f (x) =3ax2+1又f(X)在区间[—1,1]上单调递增2 1f (x) =3ax +1>0 在[ —1,1]上恒成立即a>-—2在[ —1,1]时恒成立.3x1 1a>-—故a的取值范围为[-—,+^]3 3a【例31 (B 类)已知函数f(x)=lnx,g(x)= —(a >0),设F(x) = f(x) +g(x).X(I)求函数F(x)的单调区间;(n)若以函数y = F(x)(x忘(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率1k <一恒成立,求实数a的最小值;2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析1 (I) F(x)=f(x) +g(x) = l nx+ a(xA0 ), F'(x ) =4-弓=^_2a( x > 0 ) X XX X •/ a》。
导数应用的题型与方法 人教版
导数应用的题型与方法河北徐水综合高中 张占江 邮编072550一、考试内容导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。
二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。
⑵熟记基本导数公式(c,x m(m 为有理数),的导数)。
掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
三、双基透视导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。
3.曲线的切线用割线的极限位置来定义了曲线的切线.切线方程由曲线上的切点坐标确定,设00(,)P x y 为曲线上一点,过00(,)P x y 点的切线方程为:000()()y y f x x x '-=-4.瞬时速度用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度,0()()lim t y S t t S t v t t∆→∆+∆-==∆∆5.导数的定义对导数的定义,我们应注意以下三点:(1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导的概念,如果△x→0时,xy∆∆有极限,那么函数y=f(x)在点0x 处可导,才能得到f(x)在点0x 处的导数.(3)由导数定义求导数,是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行: (a)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆;(b)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (c)取极限,得导数xyx f x ∆∆=→∆00lim )('。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结导数题型总结:1.分离变量:在使用分离变量时,需要特别注意是否需要分类讨论(大于0,等于0,小于0)。
2.变更主元:已知谁的范围就把谁作为主元。
3.根分布。
4.判别式法:结合图像分析。
5.二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系;(2)端点处和顶点是最值所在。
基础题型:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:1.令f'(x)=0,得到两个根。
2.画两图或列表。
3.由图表可知。
另外,变更主元(即关于某字母的一次函数)时,已知谁的范围就把谁作为主元。
例1:设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x),f'(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上,g(x)<___成立,则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。
已知实数m是常数,f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”,求m的取值范围。
解法一:从二次函数的区间最值入手,等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立,即g(0)<0且g(3)<0.因此,得到不等式组-3<m<2.解法二:分离变量法。
当x=0或x=3时,g(x)=-3<0.因此,对于0≤x≤3,g(x)<___成立。
根据分离变量法,得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m,函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”,求b-a的最大值。
由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62,f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,所以f''(x)>0在(a,b)___成立。
因此,得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0,即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2,所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法,将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题,得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0,即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此,b-a=2.Ⅲ)由题意可得,对任意x∈[1,4],有f(x)≤g(x)代入g(x)得:x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___:x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4],不等式都成立,所以判别式≤0:t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___:t2-10t+19≤0解得:1≤___≤9综上所述,a=-3,b=1/2,f(x)的值域为[-4,16],t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为:$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。
导数及其应用常见题型
导数及其应用题型一利用导数研究函数的单调性设函数y=Hx)在某个区间内有导数,如果在这个区间内f,M>0,那么函数y=F(x)为在这个区间内的函数;如果在这个区间内F'G)V0,那么函数尸F(X)为在这个区间内的函数.设函数尸f(x)在某个区间内有导数,如果y=f(x)在这个区间内为增函数,那么在该区间内有;如果尸f(x)在这个区间内为减函数,那么在该区间内有;用导数求函数单调区间的步骤:(1)求函数f(x)的(2)函数F(X)的导数/'(X).(3)令/*)>0解不等式,得函数的区间;令(")Vo解不等式,得函数的区间3例1.1、函数y=∕(x)在定义域(一-,3)内可导,其图象如下图,那么不等式/(x)W0的解集为3变式1.1、函数、=/(外在定义域(一耳,3)内可导,其图象如上图所示(同例1),记y=∕(x)的导函数为y=∕<χ),那么不等式/'(X)WO的解集为例1.2、函数/(x)在R上可导,其导函数为/'*),且函数y=(l-x)∕'(x)的图像如下图,那么f(x)的极大值点为,极小值点为例L3、设f(x),g(x)均是定义在R上的奇函数,当x<0时,f,Mg(x)+f(x)g'(x)>0,且/(-2)=O,那么不等式/(x)∙^(x)<O的解集是练习1.1函数/(制的定义域是开区间(4,b),导函数∕∙'(x)在(〃力)内的图象如下图,那么函数/(X)在开区间内极小值点有个,极大值点有个。
/\练习1.2f(x)=—(a+I)X2+4x+∖(a∈R)(1)讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数。
,使x∈[-l,θ],函数有最小值一3?题型二利用导数研究函数的极值和最值求可导函数Fa)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域,求导数(2)求方程/"(X)=O的根.(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间,并列成表格.如果左正右负,那么F(X)在这个根处取得极值;如果左负右正,那么F(X)在这个根处取得极值;如果左右不改变符号,那么F(X)在这个根处无极值.例2.1假设函数〃制二/一3"+36在(0,1)内有极小值,那么b的取值范围为。
导数的题型及解题技巧教案
导数的题型及解题技巧教案教案标题:导数的题型及解题技巧教案教学目标:1. 理解导数的概念和意义;2. 掌握常见导数题型的解题方法和技巧;3. 培养学生解决导数问题的思维能力。
教学准备:1. 教师:准备教案、教学课件、导数题目和答案;2. 学生:准备纸笔、教材、笔记本。
教学步骤:第一步:导入导数的概念(5分钟)1. 教师通过引入实际生活中的变化问题,引起学生对导数的兴趣。
2. 教师简要解释导数的定义和意义,强调导数是函数变化率的度量。
第二步:常见导数题型的解题方法和技巧(15分钟)1. 教师介绍常见导数题型,如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 教师通过示例演示解题步骤和方法,例如使用导数的定义、基本导数公式、链式法则等。
3. 教师提醒学生注意特殊函数的导数,如绝对值函数、分段函数等。
第三步:练习题解析与讲解(20分钟)1. 教师给学生分发导数题目,包括不同类型的题目和难度递增的题目。
2. 学生独立解题,教师巡视指导,鼓励学生尝试不同的解题方法和技巧。
3. 教师选取几道题目进行讲解和解析,解释解题思路和关键步骤。
第四步:小组合作解题活动(15分钟)1. 教师将学生分成小组,每个小组选择一道导数题目进行解答。
2. 学生在小组内讨论和合作解题,鼓励彼此提出不同的解题思路和方法。
3. 每个小组派代表上台展示解题过程和答案,其他小组进行评价和讨论。
第五步:巩固练习与拓展(10分钟)1. 教师布置一些导数的巩固练习题,要求学生独立完成。
2. 学生完成练习后,教师进行答案讲解和解析,强调解题思路和技巧。
3. 教师提供一些拓展题目,鼓励有能力的学生挑战更高难度的导数问题。
第六步:课堂总结与反思(5分钟)1. 教师对本节课的内容进行总结,强调导数的重要性和解题技巧的应用。
2. 学生分享对本节课的学习收获和困惑,教师进行解答和指导。
3. 教师布置课后作业,巩固学生对导数的理解和应用能力。
教学辅助手段:1. 教学课件:用于展示导数的概念和解题方法;2. 题目和答案:用于学生练习和教师讲解;3. 小组合作解题活动:促进学生合作和思维交流。
导数与微分题型与做题方法总结
导数与微分题型与做题方法总结目录1. 导数与微分题型概述 (3)1.1 导数的概念 (4)1.2 微分的概念 (4)1.3 导数与微分的联系 (4)2. 导数题型分类及解题方法 (5)2.1 一阶导数求法 (6)2.1.1 利用导数定义求导 (6)2.1.2 利用导数公式求导 (7)2.1.3 利用求导法则求导 (7)2.2 高阶导数求法 (7)2.2.1 利用高阶导数公式求导 (8)2.2.2 利用求导法则求高阶导数 (9)2.3 复合函数求导 (9)2.3.2 分部积分求导 (10)2.4 隐函数求导 (11)2.4.1 直接求导法 (12)2.4.2 对数求导法 (13)2.5 参数方程求导 (13)3. 微分题型分类及解题方法 (14)3.1 微分公式及运算 (15)3.1.1 微分的基本公式 (15)3.1.2 微分的运算规则 (16)3.2 微分在近似计算中的应用 (16)3.2.1 微分近似计算公式 (17)3.2.2 微分近似计算的步骤 (17)3.3 微分在经济学中的应用 (18)3.3.1 边际分析 (19)4. 导数与微分综合题型及解题技巧 (21)4.1 导数与微分的综合应用 (22)4.1.1 导数与微分在几何中的应用 (23)4.1.2 导数与微分在物理中的应用 (24)4.2 解题步骤及注意事项 (25)4.2.1 分析题意,确定题型 (26)4.2.2 选择合适的求导方法 (27)4.2.3 注意细节,避免错误 (28)5. 案例分析及解题思路 (29)5.1 一阶导数求法案例分析 (29)5.2 高阶导数求法案例分析 (30)5.3 复合函数求导案例分析 (30)5.4 隐函数求导案例分析 (31)5.5 参数方程求导案例分析 (32)5.6 微分公式及运算案例分析 (32)5.7 微分在近似计算中的应用案例分析 (33)5.8 微分在经济学中的应用案例分析 (33)6. 常见错误及注意事项 (34)6.1 求导过程中的常见错误 (34)6.2 微分运算中的常见错误 (36)6.3 注意事项总结 (37)7. 总结与展望 (38)7.1 导数与微分的重要性 (39)7.2 学习建议及展望 (40)1. 导数与微分题型概述导数和微分是数学中的重要概念,用于描述函数的变化率和通过微小变化对函数值的影响。
导数的应用问题解析与解题技巧
导数的应用问题解析与解题技巧导数是微积分中的重要概念之一,具有广泛的应用领域。
通过对导数的应用问题进行详细解析,并总结一些解题技巧,有助于我们更好地理解和应用导数。
一、速度与加速度问题速度和加速度是导数在物理和运动学领域中的常见应用。
在运动过程中,物体的位置随时间的变化可以用函数表示,该函数的导数表示物体的速度,而导数的导数(二阶导数)表示物体的加速度。
例如,一个物体的位置函数为S(t),通过求解导数S'(t),我们可以得到物体在不同时刻的速度。
若给出速度函数V(t),则可以通过求解速度函数的导数V'(t)获得物体的加速度。
在解决速度与加速度问题时,要注意参量的选择,确保能够准确描述物体的运动状态。
此外,对于周期性运动或特定时间段内的平均速度和平均加速度,需要结合求导和积分等技巧进行处理。
二、最优化问题最优化问题是导数应用中的常见类型,通过求解函数的导数,可以确定函数的最大值、最小值和变化趋势。
最优化问题在经济学、物理学、工程学等领域中都有广泛应用。
在解决最优化问题时,首先需要建立数学模型,明确目标函数和约束条件。
然后,通过对目标函数进行求导并解方程,可以确定函数的极值点。
最后,通过进一步的分析和讨论,确定最优解的存在性和唯一性。
注意,在解决最优化问题时,还需要考虑边界条件、非线性约束以及使用微分中值定理等工具进行合理推导,确保所得解的合理性和正确性。
三、曲线的切线与法线问题导数可以帮助我们确定曲线上某一点的切线和法线方程。
通过求解导数,可以得到曲线在该点的斜率,从而确定切线的斜率。
同时,根据切线的斜率和该点的坐标,可以得到切线的方程。
对于曲线的法线问题,通过求解导数的倒数(导数的倒数称为导数的倒数),可以得到法线的斜率。
根据法线的斜率和该点的坐标,可以得到法线的方程。
在解决曲线的切线与法线问题时,需要注意曲线的方程形式和解方程的方法。
对于隐式函数,需要通过隐函数求导等技巧进行推导,以获得切线和法线的方程。
导数题型及解题方法归纳
导数题型及解题方法归纳一、导数的定义1. 导数的概念在微积分中,导数是用来描述函数变化率的量。
给定函数f(x),其导数可以看作是函数在某一点x 处的瞬时变化率。
导数的定义可以用以下式子表示:f′(x )=lim Δx→0f (x +Δx )−f (x )Δx2. 函数可导性一个函数在某一点可导的条件是该点邻近的间断点和极限不存在,且函数曲线经过该点处的切线存在。
二、导数的求解方法1. 基本导数公式可以通过基本导数公式来求常见函数的导数。
一些常用的基本导数公式包括: - 常数函数的导数为0:(c )′=0,其中c 为常数。
- 幂函数的导数:(x n )′=nx n−1,其中n 为常数。
- 指数函数的导数:(e x )′=e x 。
- 对数函数的导数:(lnx )′=1x 。
- 三角函数的导数: - (sinx )′=cosx - (cosx )′=−sinx - (tanx )′=sec 2x - (cotx )′=−csc 2x2. 求导法则为了更方便地求导,可以使用一些求导法则。
一些常用的求导法则包括: - 和差法则:(u ±v )′=u′±v′ - 乘法法则:(uv )′=u′v +uv′ - 商法则:(u v )′=u′v−uv′v 2,其中v 不等于0。
- 复合函数求导法则:若y = f(g(x)),则dy dx =dy du ⋅du dx ,其中u = g(x)。
3. 高阶导数高阶导数表示对函数进行多次求导得到的导数。
高阶导数可以通过多次使用导数公式和求导法则求解。
4. 隐函数求导有些函数可以通过隐函数形式表示,这时可以使用隐函数求导方法来求导。
隐函数求导的关键是利用导数的定义和求导法则,将相关变量分离并进行求导。
三、导数题型及解题方法1. 常函数的导数对于常函数f(x) = c,其导数为0,即f′(x)=0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n,其中n为常数,其导数为(x n)′=nx n−1。
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第25-29 课时:导数应用的题型与方法一.复习目标:1.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.m x x2. 熟记基本导数公式(c,x (m为有理数),sin x, cos x, e , a , Inx, log a x的导数)。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用.3. 了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4. 了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。
二.考试要求:⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。
⑵熟记基本导数公式(c,x m(m为有理数),sin x, cos x, e x, a x,lnx, log a x的导数)。
掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
三.教学过程:(I )基础知识详析导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面:1. 导数的常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2. 关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3. 导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。
4. 曲线的切线在初中学过圆的切线,直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线,能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线,即直线和曲线有惟一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,显然这种推广是不妥当的.如图3—1中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sinx .直线l i与曲线C有惟一公共点M ,但我们不能说直线h与曲线C相切;而直线匚尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲线,须重新寻求曲线的切线的定义.所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.ri(图3亠D5. 瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指出:运动物体 经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬 时速度作了说明•物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一 段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.6. 导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法则与某些导数公式时,都是以此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点: (1) △ x 是自变量x 在 X 0处的增量(或改变量).⑵导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果△ x T0时,-岁有极限,那么函数y=f(x)在点x 0处可导或可微,才能得到 f(x)在点x 0处的导数.⑶如果函数y=f(x)在点x 0处可导,那么函数y=f(x)在点x 0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定 成立.例如函数 y=|x|在点x=0处连续,但不可导.由导数定义求导数,是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行: (1) 求函数的增量 :y 二 f(x 。
:x) - f(x o );f (x 0=x) - f (x 0) (2) 求平均变化率.--;AxAx⑶取极限,得导数f'(X o )=蚂詈。
7. 导数的几何意义函数y=f(x)在点X 。
处的导数,就是曲线 y=(x)在点P(x 。
,f(x 。
))处的切线的斜率.由此,可以利用导 数求曲线的切线方程.具体求法分两步:(1)求出函数y=f(x)在点X 。
处的导数,即曲线 y=f(x)在点P(X o ,f(x 。
))处的切线的斜率; ⑵在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y -y 。
二 f'(x °)(x -X 。
)特别地,如果曲线 y=f(x)在点P(x °,f(x 。
))处的切线平行于y 轴,这时导数不存,根据切线定义,可 得切线方程为X = X 。
&和(或差)的导数 对于函数f(x^x 3 X 2的导数,如何求呢?我们不妨先利用导数的定义来求。
3232f x m f(x:x) - f (x) = lim (X X) (X X) —(X X )2m 。
也 x也xx2 2=lim (3x 2x 3x . :x ( :x) : =x) •x 0 2=3x 2x3 2232我们不难发现(x x )^ 3x 2^ (x )' (x )',即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。
由此我们猜测在一般情况下结论成立。
事实上教材中证明了我们的猜想,这就是两个函数的和(或差)的求导法则。
9•积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点,证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形 式。
(具体过程见课本 P120)说明:(1) (uv)' = u'v'; (2) 若c 为常数,则(cu) 10.商的导数 两个函数的商的求导法则,课本中未加证明,只要求记住并能运用就可以。
现补充证明如下: 设y = f(xr 回v(x)u(x+Ax) u(x) L y 二v(x +K x) v(x)u (X :x)「u(x) v (x)「u(x) v (X :x)「v(x) 1学习了函数的和、差、积、商的求导法则后,由常函数、幕函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运 算得到的简单的函数,均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求。
11.导数与函数的单调性的关系 ㈠f (x)・0与f(x)为增函数的关系。
f (x) 0能推出f (x)为增函数,但反之不一定。
如函数 f (x) -0 ,• f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
㈡f(x)=0时,f (x)0与f (x)为增函数的关系。
若将f (x) =0的根作为分界点,因为规定 f (x) =0,即抠去了分界点,此时有f (x) • 0。
.••当f (xp- 0时,f (x) • 0是f (x)为增函数的充分必要条件。
㈢f (x) 一0与f(x)为增函数的关系。
f (x)为增函数,— 当函数在某个区间内恒有 的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用 导数判断好函数的单调性。
因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免 讨论以上问题,也简化了问题。
但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。
2 23 23x ・Ax+3x(Ax)十(Ax) +2x ,Ax + (Ax) 二lim.x —0v(x :x)v(x) v(x ix)v(x)u(x : =x) _u(x) /、 / \ v(x : Lx)-v(x),y _— v(x)-u(x)-=x v(x ^x)v(x)因为v(x)在点x 处可导, 也y u'(x)v(x) -u(x)v'(x) lim 厂•X —0 :xv (x) 2说明:(1) u '= E ;l v 丿 v'所以它在点x 处连续,于是△ x T0时,v(x+ △ x) T v(x),从而 u'v - uv' 2 。
v(2)勺]u'v - uv' <v .丿 v 2=c uu(x 二x)v(x) _ u(x)v(x L X ) f(x) =x 3在(-::,= )上单调递增,但f (x)为增函数,就一定定可以推出f (X) - 0 ,但反之不一定,因为f (x) - 0 ,即为「(x) • 0或「(x)二0 c I f (x) = 0,贝y f (x)为常数,函数不具有单调性。
••• f (x) 一 0是f (x)为增函数㈣单调区间的求解过程,已知y二f(x)(1)分析 y = f(x)的定义域; (2)求导数 、二f (x)(3) 解不等式f (x) . 0,解集在定义域内的部分为增区间 (4) 解不等式f (x) :::0,解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性。
以下 以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 y 二f (x)在某个区间内可导。
㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数 f (x)在(a,b)单调递增,在 (b, c)单调递增,又知函数在f(x)=b 处连续,因此f (x)在(a,c)单调递增。
同理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同, 且在公共点处函数连续,则二区间就可以合并为以个区间。
y = f (x) x [a , b](1) f (x) . 0恒成立 ••• y = f (x)为(a , b)上•••对任意 x • (a , b)不等式 f(a) ::: f (x) ::: f (b)恒成立 (2) f (x) ::: 0 恒成立 ••• y = f(x)在(a, b)上.•对任意(a , b)不等式f(a) • f(x) • f (b)恒成立 ㈥注意事项 1.导数概念的理解.2•利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例,弓I 出复合函数的求导法则, 接下来对法则进行了证明。
对于复合函数,以前我们只是见过,没有专门定义和介绍过它,课本中以描述性的方式对复合函数加 以直观定义,使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识,再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复 合函数的概念。
3. 要能正确求导,必须做到以下两点:(1) 熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则。