线性空间的同构

反身性: V ≌ V . 对称性: 若 V ≌ V ' , 则 V ' ≌ V .
传递性: 若 V ≌ V ' ,V ' ≌V '' , 则 V ≌ V '' .
四、线性空间的同构的一个充要条件
定理5.6.3 数域 F上两个有限维线性空间同构的充要
条件是它们有相同的维数.
注: 在线性空间的抽象讨论中, 我们不考虑线性 空间的元素是什么,也不考虑其中运算是怎样定义 的,而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性 质.从这个观点看来, 同构的线性空间是可以不加 区别的. 从而定理5.6.3说明了维数是有限维线性 空间的惟一的本质特征.
5.6 线性空间的同构
教学目的： 1.理解线性空间同构的概念、性质及重要意义。 2.掌握有限维线性空间同构的充要条件。 教学重点：线性空间同构的定义及基本性质。 教学难点：线性空间同构的意义.
一、 线性空间同构的定义
1. 定义1 设V 和V '是数域F 上的两个线性空间，f 是
V 到 V ' 的一个映射，如果满足：
显然 f 是 V 到 F n 的一个双射.
, V , a F , 设 f ( ) (a1, a2,L , an ) ,
f ( ) (b1,b2,L , bn ) , 则
f ( ) (a1 b1, a2 b2 ,L , an bn )
= (a1, a2 ,L , an ) (b1, b2 ,L , bn )
（1）f 是V 到 V ' 的双射；
（2）, V 有 f ( ) f () f ()；
（3） V， a F有 f (a) af () .
则称 f 是V 到V 的' 同构映射. 如果 V 到 V '的同构映射 存在, 则称 V 与 V '同构, 记为 V ≌ V ' .
(2) V 的子空间在 f 之下的象集是 V ' 的子空间; (3) V ' 的子空间在 f 之下的原象集是 V 的子空间;
(4) f 的逆映射 f 是 Baidu Nhomakorabea1 V '到 V 的同构映射;
(5) 若 g 是线性空间V ' 到V '' 的同构映射, 则 gf 是 V 到 V '' 的同构映射.
三、 同构关系的性质 线性空间的同构关系是等价关系, 即具有:
2.一个基本结论
定理5.6.1 数域 F上任意n(n 0) 维线性空间都与
F n 同构.
证明: 设V 是一个n 维线性空间, 取定V 的一个基
1,2 ,L ,n , V , 关于基 1,2 ,L ,n
的坐标为 (a1, a2 ,L , an ) . 令
f : (a1, a2 ,L , an ).
(1) f (0) 0 ;
(2) V 有 f () f () ;
(3) i V, ai F , i 1, 2,L , n, 有 f (a11 a22 L ann )
a1 f (1) a2 f (2 ) L an f (n ) ;
= f () f ( ) ;
f (a ) (aa1, aa2,L , aan )
= a(a1, a2 ,L , an ) af ( ). 从而 f 是 V 到 V '的同构映射, 因此V ≌ F n .
二、 同构映射的基本性质
定理5.6.2 设 f 是线性空间 V 到 V ' 的同构映射, 则:
(4) V 中向量 1,2 ,L ,n 线性相关的充要条件是
f (1), f (2 ),L , f (n ) 线性相关.
注: 设 f 是线性空间 V 到V '的同构映射,
(1) 1,2 ,L ,n 是V 的一个基的充要条件是
f (1), f (2 ),L , f (n ) 是 V ' 的一个基;