数学教学多媒体课件

6 ,......,
n (1)n
n
,.....
l
(3)0,1,
1 2
,0,
1 3
,0,......,
1 4
,
1 5
,
1 6
,......,
1
(1)n n
,.....
0 0
____
问题2
判断下列命题的正确性:
① 数列{an}的极限是A,则A一定是该数列中的一项; ②任何一个无穷数列必存在极限;
③无穷数列的极限是A,指的是:对任意的ε>0,总能 在{an}中找到一项aN,使aN以后有无限项满足|an-A|< ε.
a a d a 2d a (n 1)d
3.数列a,a,a,......,a,......的极限是:_a_______
问题讨论
推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结 论.
1.数列
n
n
1的极限是___1____;
2.|q|<1,a1 ,q≠0,数列 3.数列
a1
|0.9-1|=0.1
2 0.99 3 0.999
|0.99-1|=0.01 |0.999-1|=0.001
4 0.9999 5 0.99999
|0.9999-1|=0.0001 |0.99999-1|=0.00001
6 0.999999
|0.999999-1|=0.000001
7 0.9999999 |0.9999999-1|=0.0000001
④数列{(-1)n}的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项 的极限为-1.
几个基本数列的极限
1.
lim 1 0
n n
2.
q 1时, lim qn 0
n
3.
c为常数, lim c c
n
lim 1 0 的证明:
n n
证明：任给ε>0,由
1 0 1 ε
n
n
所以
n
1
ε
故取N= [ε1]
所以，(注当: n[ε〉1] N表时示，1/ε不的整等数式部分1） 0 ε
例1:(1)举出两个以0为极限的数列; (2)举出两个以1为极限的数列;
(3)举出两个以A为极限的数列.
解: (1)an=1/n2 (2)an=(n+1)/n (3)an=A+1/n
bn=(1/2)n ,........... bn=1+(1/3)n,....... bn=(-1)n(1/n)+A,.......
问题讨论
选择题:
1.已知非常数的数列{an}当n－>∞时极限为M,则在区间
(M-ε,M+ε)外,这个数列的项数为: 项 (B)有限项
(C)零(A项)B无限
(D)有限项与无项项都有可能
2.记a1+a2+......+an=Sn,则数列{an}有极限是数列{Sn}有极
限的
(A)充分不必
要条件 (B)必要不充分条件
n
|an-A|< ε ε>0
对数列极限定义的说明
若数列{an}的极限是A,则an可能小于A无限 的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还 可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于 A.
在极限的全过程中,ε必须具有绝对的任意性, 但在该过程的某一瞬间, ε又是相对固定的.
N的不唯一性.虽然N与ε有关,但N不是ε的单 值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则 N+1,N+2,...也必满足该条件.
则当n>N时,不等式|qn-0|<ε恒成立;
当|q|=0,显然|0-0|=0< ε恒成立;
q 1时, lim qn 0
n
c为常数, lim c c的证明
n
l 证明:
任给ε>0,由|c-c|=0< ε,
取N=任意自然数,那么当n>N时,,
|c-c|=0< ε恒成立 所以,数列{c}的极限是c.
高二新授课
一类数列的变化特征
数列极限的定义
几个基本数列的极限
问题讨论
数列极限概念的小结
通过图像观察数列的特性
数列的图像（点击按钮调用图像）
通过图表定量观察(1)
数列: 0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,...........
项号 项
|an-1|
1 0.9
...... ......
........
对ε=0.001与ε =0.000001,则n>3与n>6后满足|an-A|< ε
通过图表定量观察(2)
数列: 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...........
项号 项
Baidu Nhomakorabea
|an-1|
1
1/2
|(1/2)-1|=0.5
2
B
(C)充分必要条件
(D)不充分也不必要条件
问题讨论
填空题
1.数列{an}中,已知an=(n+2)/2n,则
|an-
1/2|=___1_/_n__,要使n>N时,有
|an-
1/2|<0.001,则N的最小值是___1_0_0_0__
2.数列 1 1 1
, , ,.......,
1
,....., 的极限是:_0_
n
恒成立，故数列{1/n}的极限：
lim 1 0 n n
q 1时, lim qn 0 的证明
n
证明：
任给ε>0,则由|q|<1
| qn 0 || qn | q n ε ①
当|q|≠0, ① lg|q|n<lgε nlg|q|<lgε
n lgε
lg | q |
若取N
lgε lg q
1/4
3
1/8
|(1/4)-1|=0.25 |(1/8)-1|=0.125
4
1/16
5
1/32
|(1/16)-1|=0.0625 |(1/32)-1|=0.03125
6
1/64
7
1/128
...... ......
|(1/64)-1|=0.015625 |(1/128)-1|=0.0078125 ........
对ε=0.1与ε =0.01,则n>3与n>6后满足|an-A|< ε
数列极限定义
l 1.描述性定义:
l 如果对数列{an},存在常 数A,当数列序号n无限增 大时,数列的项an无限接 近常数A,称常数A是数列 {an}的极限.
l 2.ε-N定义
l 任意给定正数ε>0,如果 总存在自然数N,当n>N 时,不等式 |an-A|< ε恒 成立,则数列{an}的极限 是A.记lim作a:n A
问题1
l 根据极限定义,猜想下列数列的极限
l (1)1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, 1 ,.....
0
___1_,2
34 1 , 1
5 ,
6 1 ,
1
,
n 1 ,......,
1
,.....
0
l
(2) ____1,
2 1 , 2
3 1
3
,
4 1 , 4
5 1, 5
1 6