利用一次函数解决实际问题

利用一次函数解决实际问题

教学目标：

1.使学生能进一步理解函数的定义，根据实际情况求函数的定义域，并能利用函数解决实际问题中的最值问题。

2.渗透函数的数学思想，培养学生的数学建模能力，以及解决实际问题的能力。

3.能初步建立应用数学的意识，体会到数学的抽象性和广泛应用性。

教学重点：

1.从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式。

2.通过函数的性质及定义域范围求函数的最值。

教学难点：

从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式

教学方法：讨论式教学法

教学过程：

例1 A校和B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台、D校8台，已知从A 校调一台电脑到C校、D校的费用分别是40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D校的运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少?

（1）几分钟让学生认真读题，理解题意

（2）由题意可知，一种调配方案，对应一个费用。不同的调配方案对应不同的费用，在这个变化过程中，调配方案决定了总费用。它们之间存在着一定的关系。究竟是什么样的关系呢？需要我们建立数学模型，将之形式化、数学化。

解法（一）列表分析：

设从A校调到C校x台，则调到D校（12―x）台，B校调到C校是（10―x）台。B校调到D校是[6-(10-x)]即（x-4）台，总运费为y。

根据题意：

y = 40x+80（12- x）+ 30（10-x）+50（x-4）

y = 40x+960-80x+300-30x+50x-200

= -20x+1060（4≤x≤10，且x是正整数）

y = -20x+1060是减函数。

∴当x = 10时，y有最小值y min= 860

∴调配方案为A校调到C校10台，调到D校2台，B校调到D校2台。

解法（二）列表分析

设从A校调到D校有x台，则调到C校（12―x）台。B校调到C校是[10-(12-x)]即（x-2）台。B校调到D校是（8―x）台，总运费为y。

y = 40（12 – x）+ 80x+ 30（x –2）+50（8-x）

= 480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x

=20x +820（2≤x≤8，且x是正整数）

y =20x +820是增函数

∴x=2时，y有最小值y min=860

调配方案同解法(一)

解法（三）列表分析：

解略

解法（四）列表分析：

C(10) 4 + x 6– x

D(8) 8 – x x

解略

例2 公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件。经试销调查，发现销售量y（件），与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y =kx+b的关系

（1）根据图象，求一次函数y = kx+b的表达式

（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价―成本总价）为s元

试用销售单价x表示毛利润s；

解：如图所示

直线过点（600，400），（700，300）

∴ 400 = 600k+b

300 = 700k+b

k = -1，b = 1000

∴ y = - x + 1000（500≤x≤800）

s = x(1000 – x)-500(1000 – x)

= 1000x – x2– 500000 + 500x

= - x2 + 1500x – 500000（500≤x≤800）

小结：本节课试图让学生体会到函数的本质是对应关系。在实际生活中，影响事物的因素往往是多方面的，而且它们之间存在一定的关系。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。对于实际问题我们抽象概括出它的本质特征，将其数学化、形式化，形成数学模型。这个过程既体现了数学的高度抽象性，又因其高度的抽象性决定了数学的广泛应用性。

作业：略

教案点评：

教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行。当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性。而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）。让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的。