@2-第6章 统计量及其抽样分布 练习题
第6章 统计量及其抽样分布
思考与练习一、选择题1. 样本统计量的概率分布被称为（ ）A 、抽样分布B 、样本分布C 、总体分布D 、正态分布2. 总体分布是未知的，如果从该总体中抽取容量为100的样本，则样本均值的分布可以用（ ）近似。
A 、正态分布B 、F 分布C 、均匀分布D 、二项分布3. 智商的得分服从均值为100，标准差为16的正态分布。
从总体中抽取一个容量为n 的样本，样本均值的标准差2，样本容量为（ ）A 、16B 、64C 、8D 、无法确定4. 某总体容量为N ，其标志值的变量服从正态分布，均值为μ，方差为2σ。
X 为样本容量为n 的简单随机样本的均值（重复抽样），则X 的分布为（ ）。
A. ),(2σμNB. ),(2n N σμ C. ),(2n X N σ D. )1,(2--⋅N nN n N σμ 5. 从服从正态分布的无限总体中抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ ）A 、保持不变B 、无法确定C 、增加D 、减小6. 根据中心极限定理，在处理样本均值的抽样分布时，可以忽略的信息是（ ）A 、总体均值B 、总体的分布形状C 、总体的标准差D 、在应用中心极限定理时，所有的信息都可以忽略7. 总体的均值为500，标准差为200，从该总体中抽取一个容量为30的样本，则样本均值的标准差为（）A、36.51B、30C、200D、91.298.从均值为50，标准差为5的无限总体中抽取容量为30的样本，则抽样分布样本均值超过51的概率为（）A、0.0987B、0.9013C、0.3256D、0.13579.总体均值为3.1，标准差为0..8，从该总体中随机抽取容量为34的样本，则样本均值落在2和3.3的概率是（）。
A、0.5149B、0.4279C、0.9279D、0.317510.从标准差为10的总体抽取容量为50的随机样本，如果采用重复抽样，则样本均值的标准差为（）。
第6章-统计量及其抽样分布
对应于每个数值的相对出现频数排成另一列， 由此，全部可能的样本统计量值形成了一个概 率分布，这个分布就是我们想要得到的抽样分 布。
样本均值的抽样分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
所有样本均值的均值和1.0 1.5 4.0 16
2.5 m
n
(xi mx )2
s
2 x
i 1
M
M为样本数目
(1.0 2.5)2
(4.0 2.5)2
s2
0.625
16
n
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
从检查一部分得知全体。
复习 抽样方法
抽样方式
概率抽样
非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样
多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
6.2.1 抽样分布 (sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推 断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
抽样分布的形成过程 (sampling
distribution)
贾俊平《统计学》课后习题及详解(统计量及其抽样分布)【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个函数，不依赖于任何未知参数，则称函数是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？12n X X X ，，…，X n 12()n T X X X ，，…，12()n T X X X ，，…，1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故、是统计量，、不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设是从总体中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值…，时，其由小到大的排序中，第个值就作为次序统计量的观测值，而称为次序统计量，其中和分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。
5．什么是自由度？答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。
第六章统计量及其抽样分布
第六章 统计量及其抽样分布2007.420.设总体(0,1)X N ，12,,,n x x x 为来自该总体的样本，则统计量∑=ni ix12的抽样分布为___________。
21.设总体2(1,)X N σ ，12,,,n x x x 为来自该总体的样本，11ni i x x n ==∑，则()E x =___________。
2007.76．设随机变量2(2)X χ ，2(3)Y χ ，且,X Y 相互独立，则YX23所服从的分布为（ ） A ．F （2，2） B ．F （2，3） C ．F （3，2）D ．F （3，3）23．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X为来自该总体的一个样本，令U =则()D U =___________.2007.1024．设总体2(,)X N μσ ，1234,,,X X X X 为来自总体X 的体本，且4114ii x x ==∑，4212()ii x x σ=-∑则服从自由度为____________的2χ分布.2008.110. 设n 1X ,,X 为正态总体2(,)N μσ的样本，记∑=--=ni i x x n S 122)(11，则下列选项中正确的是（ ）A.)1(~)1(222--n S n χσB.)(~)1(222n S n χσ-C.)1(~)1(22--n S n χD.)1(~222-n S χσ23. 当随机变量(,)F F m n 时，对给定的(01)αα<<，((,))a P F F m n α>=，若(10,5)F F ，则0.951()(5,10)P F F <=___________。
2008.410．设112,,,n x x x 与212,,,n y y y 分别是来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的两个样本，它们相互独立，且,x y 分别为两个样本的样本均值，则x y -所服从的分布为（ ） A ．))11(,(22121σμμn n N +- B ．))11(,(22121σμμn n N -- C ．))11(,(2222121σμμn n N +- D ．))11(,(2222121σμμn n N --2008.721．设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则∑=σμ-n1i i )X (2～________（标出参数）． 24．设总体X 服从正态分布),(21σμN ，总体Y 服从正态分布),(22σμN ，12,,,n X X X 和12,,,m Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则2211()()2n mi i i i X X Y Y E n m ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑________________． 2008.108．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<<p .设n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则样本均值X 的标准差为 （ ） A ．np p )1(- B ．np p )1(- C ．)1(p np - D ．)1(p np -9．设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(tD ．)1,1(F23．设随机变量),(~21n n F F ，则~1F_______. 2009.110.记1(,)F m n α-为自由度m 与n 的F 分布的1α-分位数，则有（ ） A.)n ,m (F 1)m ,n (F 1α-α=B.)n ,m (F 1)m ,n (F 11α-α-=C.)n ,m (F 1)m ,n (F αα=D.)m ,n (F 1)m ,n (F 1α-α=23. 设总体2(,)X N μσ ，1220,,,X X X 为来自总体X 的样本，则∑=σμ-201i 22i )X (服从参数为___________的2χ分布。
贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
概率论与数理统计 第六章抽样分布 练习题与答案详解
概率论与数理统计 第六章 抽样分布练习题与答案详解（答案在最后）1．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本，总体方差2σ=DX 为已知，X和2S 分别为样本均值，样本方差，则下列各式中（ ）为统计量．(A)21)(∑=-ni iEX X(B) 22)1(σS n - (C) i EX X - (D) 12+nX2．设总体) ,(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 是来自X的样本，判断下列样本的函数中，（ ）是统计量．(A) σ++21X X (B) 221)(S X ni i∑=-μ(C) ),,,min(21n X X X (D)212σ∑=ni iX3．今测得一组数据为12.06，12.44，15.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23．试计算样本均值，样本方差及顺序统计量*1X ,*9X ．4．设总体) ,(~2σμN X ，样本观测值为3.27，3.24，3.25，3.26，3.37，假设25.3=μ，22016.0=σ，试计算下列统计量的值：(1) nX U σμ-=，(2) 251221)(1∑=-=i iX Xσχ,(3) 251222)(1∑=-=i iXμσχ．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但参数λ未知，为统计推断需要，任意抽查n 只电容器测其实际使用寿命．试问此题中的总体，样本及其分布各是什么？6．某市抽样调查了一百户市民的人均月收入，试指出总体和样本． 7．某校学生的数学考试成绩服从正态分布) ,(2σμN ．教委评审组从该校学生中随机抽取50人进行数学测试，问这题中总体，样本及其分布各是什么？8．设1621,,,X X X 是来自正态总体) ,2(~2σN X 的样本，X 是样本均值，则~1684-X （ ） (A) )15(t (B) )16(t (C) )15(2χ (D) 1) ,0(N9．设总体) ,0(~2σN X ，n X X X ,,,21 为其样本，∑==n i i X n X 11，212)(1∑=-=n i i n X X n S ，在下列样本函数中，服从)(2n χ分布的是（ ）． (A)σnX (B)∑=ni iX1221σ (C)22σnnS (D)nS n X 1- 10．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的简单随机样本，X ，2nS 同上题，则服从)1(2-n χ分布的是（ ）．(A)nX σμ- (B)1--n S X nμ (C)22σnnS (D)212)(1∑=-ni iXμσ11．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的样本，X ,2S 是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（ ）(A))1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (B))1 ,0(~N X σμ-(C) )1(~--n t nSX μ (D))(~)(2221n Xni iχσμ∑=-12．设n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别取自正态总体) ,(~21σμN X 和) ,(~22σμN Y ，且X 和Y 相互独立，则以下统计量各服从什么分布？(1) 22221))(1(σS S n +-； (2)nS S Y X )()()(222121+---μμ；(3) 2221221)]()[(S S Y X n +---μμ． 其中X ,Y 是X ,Y 的样本均值，21S ,22S 是X ,Y 的样本方差．13．设n X X X ,,,21 是正态总体) ,(~2σμN X 的样本，记2121)(11∑=--=n i i X X n S ， 2122)(1∑=-=n i i X X n S ， 2123)(11∑=--=n i i X n S μ， 2124)(1∑=-=n i i X n S μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量有（ ）(A) 11--n S X μ (B) 12--n S X μ (C) n S X 3μ- (D) nS X 4μ-14．设321 , ,X X X 是来自正态总体)9 ,(~μN X 的样本，232212)()(μχ-+-=X b X X a ，则当=a ____，=b ____时，22~χχ(___)．15．设921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别为来自总体)2 ,(~21μN X 和)2 ,(~22μN Y 的两个相互独立的样本，它们的样本均值和样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ．求以下各式中的621,,,ααα ．(1) 9.0})({91221=<-<∑=i i X X P αα；(2) 9.0}|{|31=<-αμX P ；(3) 9.0)(||416122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=αμi i Y Y Y P ；(4) 9.0815621225=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααS S P ． 16．在天平上重复称量一个重为a （未知）的物品．假设n 次称量结果是相互独立的，且每次称量结果均服从).20 ,(2a N ．用n X 表示n 次称量结果的算术平均值．为使n X 与a 的差的绝对值小于0.1的概率不小于%95，问至少应进行多少次称量？17．根据以往情形，某校学生数学成绩)10 ,72(~2N X ，在一次抽考中，至少应让多少名学生参加考试，可以使参加考试的学生的平均成绩大于70分的概率达到0.9以上？18．在均值为80，方差为400的总体中，随机地抽取一容量为100的样本，X 表示样本均值，求概率}3|80{|>-X P 的值．19．设总体)5 ,40(~2N X ，从中抽取容量64=n 的样本，求概率}1|40{|<-X P 的值．20．设总体X 与Y 相互独立，且都服从)2 ,30(2N ，从这两总体中分别抽取了容量为201=n 与252=n 的样本，求4.0||>-Y X 的概率．21．设总体)2 ,0(~2N X ，而1521,,,X X X 是X 的样本，则)(221521121021X X X X Y ++++= 服从什么分布，参数是多少？又问当a 为何值时，215272621X X X X a F ++++= 服从)9 ,6(F ？22．设总体)4 ,0(~N X ，1021,,,X X X 是X 的样本，求(1) }13{1012≤∑=i i X P ；(2) }76)(3.13{2101≤-≤∑=i i X X P ．23．从总体) ,(~2σμN X 中抽取容量为16的样本，2S 为样本方差，求}041.2{22≤σS P ．24．从总体)2 ,12(~2N X 中随机抽取容量为5的样本521,,,X X X ，求} 284.44)12( {512>-∑=i i X P ．答案详解1．B(A)中含总体期望EX 是未知参数，(C)中EX EX i =也是未知参数，都不是统计量，而(D)不是样本的函数，当然不是统计量．2．B ，C3．样本容量9=n ，利用计算器的统计功能键，算出92.12=x ，65.9)107.3(22==s ，观察921,,,x x x ，可得最小值15.8*1=x ，最大值23.17*=n x ．注 上面得到的x ，2s ，*1x ，*nx 依次是统计量∑==ni i X n X 11，),,,max( ),,,,min( ,)(1121*21*1212n n n n i i X X X X X X X X X X n S ==--=∑=的观察值．注意统计量与统计量的观察值的区别，前者是随机变量，后者是具体的数值4．258.3=x ，00017.02=s (1) 118.1=u ； (2) 656.221=χ；(3) 906.322=χ，提示 为了计算22χ的值，先将其展开为)52(1251512222μμσχ+-=∑∑==i i i iX X ，其中，∑=512i iX ，∑=51i i X 均可由计算器的统计功能键求出来5．“电容器的使用寿命”是总体X ，其服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0.x , 0 0,x ,)(x X e x f λλ“抽查的n 只电容的使用寿命”是容量为n 的样本n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 相互独立且每个i X 与总体X 具有相同的分布，所以，样本的联合概率密度为⎩⎨⎧=>=∏=+++-=., 0,,,1 ,0,)(),,,()(12121其它n i x e x f x x x f i x x x n i X ni n n λλ 6．总体X 为该市市民户的人均月收入，容量为100的样本10021,,,X X X 为抽查的100户市民的人均月收入7．总体X 为该校学生的数学考试成绩，容量为50的样本5021,,,X X X 为抽取的50人的数学成绩总体) ,(~2σμN X ，即其概率密度为222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，样本5021,,,X X X 的概率密度为∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--50122)(2150502121),,,(i i x e x x x f μσσπ8．D因为) ,2(~2σN X ，根据正态总体的抽样分布),2(~2nN X σ，)1 ,0(~)2(4162222N X X n X U σσσ-=-=-=9．(A) 因) ,0(~2σN X ，由正态总体的抽样分布，有) ,0(~2nN X σ，所以)1 ,0(~2N nX nXU σσ==．(B) 因) ,0(~2σN X i ，得)1 ,0(~N X iσ，n i ,,1 =，且这n 个标准正态变量相互独立，所以由2χ分布的定义知，)(~1212122n X X ni i ni i χσσ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=．(C) 2122)1()(S n X X nS ni i n-=-=∑=，由正态总体的抽样分布知)1(~)1()(22221222--=-=∑=n S n X XnSni iχσσσ．(D) ()nS X X n n n S n i i n 2122)1(11=--=-∑=,由正态分布的抽样分布知 )1(~11--=-=-=n t S n X n S X nSX T nnμ， 或者，由(A)，(C)的结果，根据t 分布的定义有)1(~1)1(22--=-=n t S n X n nS n X T nn σσ．综上可知，应选B ． 10．C 11．B12．(1) )22(2-n χ； (2) )22(-n t ； (3) )22 ,1(-n F 13．B 14．181=a ，91=b 时，)2(~22χχ 15．(1) 由正态总体的抽样分布得∑=-91222)8(~)(21i iX Xχ，因此，}44)(4{})({2912191221αααα<-<=<-<∑∑==i ii i X XP X X P9.0}4)8({}4)8({2212=>->=αχαχP P ，令95.0}4)8({12=>αχP ，05.0}4)8({22=>αχP ，根据2χ分布得上侧临界值的定义，查表可得，733.2)8(4295.01==χα，955.21)8(4205.02==χα，即932.104733.21=⨯=α，82.874955.212=⨯=α注 一般来说，满足条件{}αχ-=<<12B A P的数（临界值）A ，B 有很多对，这里我们采用的取法是使A ，B 满足{}{}222αχχ=≥=≤B P A P ．通常认为这样的取法比较好，对于F 分布也类似(2) 由正态总体的抽样分布)1 ,0(~91N X σμ-，即)1 ,0(~321N X μ-， 得9.0}23||23{}|{|3131=<-=<-αμαμX P X P ，根据)1 ,0(N 分布得双侧临界值的定义，查表得645.1232/10.03==u α，所以097.132645.13=⨯=α．(3) 由正态总体的抽样分布)15(~1622t S Y μ-，即)15(~)(422t S Y μ-，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=422241612215||)(||αμαμS Y P Y Y Y P i i 9.0154)(4 422=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=αμS Y P ．根据t 分布的双侧临界值的定义，并查表得75.1)15(1542/10.04==t α，于是，113.015475.14==α．(4) 由正态总体得抽样分布)8 ,15(~222212222122F S S S S =，得90.005.095.0158158815621225621225=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααααS S P S S P ， 查F 分布上侧临界值表，得645.21)15 ,8(1)8 ,15(15805.095.05===F F α， 22.3)8 ,15(15805.06==F α， 所以，709.08645.2155=⨯=α，038.6709.081522.36==⨯=α 16．16≥n ，即至少应进行16次称量提示 对该物品进行独立重复称量的所有可能结果，看成总体X ，则n 次称量结果n X X X ,,,21 就是X 的一容量为n 的样本，n X 即样本均值．由题意知，).20 ,(~2a N X ，根据正态总体的抽样分布，)2.0 ,(~2na N X n ，按条件95.0}1.0 || {≥<-a X P n 来求出n17．至少要42个学生参加抽考18．0.1336提示 该总体并非正态总体，然而100=n 为大样本，所以)100400,80(~N X 19．0.8904 20．约等于0.3446 21．)5 ,10(~F Y ；23=a 22．(1) 因为)4 ,0(~N X i ，)10,,1( =i 且1021,,,X X X 相互独立，所以)10(~421012χ∑=i i X ， }4134{}13{10121012∑∑==≤=≤i i i iX P X Pαχ-=>-=1}25.3)10({1 2P ，由于25.3)10(2=αχ，反查2χ分布表，得，975.0=α，故025.0975.01}13{1012=-=≤∑=i i X P ．(2) 因为)9(~49)(2221012χσS X Xi i=-∑=，所以， }194932.3{}76)(3.13{21012≤≤=≤-≤∑=S P X X P i i 2122}19)9({}32.3)9({ ααχχ-=>->=P P ， 由32.3)9(21=αχ及19)9(22=αχ，反查2χ分布表，得95.01=α及025.02=α，所以，925.0025.095.0}76)(3.13{1012=-=≤-≤∑=i i X X P23．0.99 24．0.05。
统计学第六章统计量与抽样分布习题附参考答案
样本极差 ；
样本中位数
样本的p分位数
其中 , 为不超过np的最大整数；
样本的切尾均值 ,样本的切尾均值是分别去掉k个最小的和k个最大的观测值后得到的均值。
§6.3 抽样分布及抽样分布定理
为了在正态分布假定下,得到样本统计量的精确分布,本节需要讨论几个十分重要的随机变量函数的分布,它们是 分布、 分布和 分布。在此基础上讨论抽样分布的重要定理。
如果实物总体中个体很多,则对应的数值总体其规模将非常大,而且往往其中重复的值会很多,即使没有重复值（变量取值连续时）,在不同值周围的“密集程度”也会不相同。逐一研究每个变量值将会非常繁琐,当总体规模趋于无穷时,研究每个变量值更是变得不可能。若统计出变量的所有不同取值（或取值区间）及其出现的频率,编制变量的分布数列,则可以对变量的全部取值情况一览无遗。研究一个变量的全部数值,就转化为研究该变量的分布了。用变量及其分布来描述一个总体,可以称之为分布总体。例如研究某批麦子的出酒量X,这是个连续变量,可以统计出X在不同区间取值的频率,得到X的分布。对全部单位出酒量的数值的研究,就可转化研究出酒量X的分布了。这是对总体概念的第二次抽象。
服从自由度为 的 分布,记为 。
根据服从卡方分布随机变量的定义,我们可以根据求随机变量函数的概率分布的方法求出 分布的概率密度函数。如果随机变量 服从自由度为 的 分布,其概率密度为：
(6.2)
其中 为gamma函数。
2. 分布的性质特征
（1） 分布的数学期望与方差
若X服从自由度为n的 分布,其数学期望和方差分别为
§6.1 总体与样本的统计分布
总体与样本是统计推断中的两个基本概念。统计推断的目的是从样本信息出发,运用概率论的方法,推断总体的特征；因此如何将统计学的总体、样本和概率论的基础——随机变量与分布联系起来,就成为统计推断首先要解决的问题。
统计学抽样与抽样分布练习题.
第6章抽样与抽样分布练习题6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取的简单随机样本，用样本均值估计总体均值。
（1）的数学期望是多少？（2）的标准差是多少？（3）的抽样分布是什么？（4）样本方差的抽样分布是什么？6.2 假定总体共有1000个单位，均值，标准差。
从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。
（1）的数学期望是多少？（2）的标准差是多少？6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
样本均值的抽样标准差等于多少?6.4 设总体均值，标准差。
从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，其均值为；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为。
（1）描述的抽样分布。
（2）描述的抽样分布。
6.5 从的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差：（1）重复抽样。
（2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。
6.6 从的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。
（1）的数学期望是多少?（2）的标准差是多少?（3）的分布是什么？6.7 假定总体比例为，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。
（1）分别计算样本比例的标准差。
（2）当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？6.8 假定顾客在超市一次性购物的平均消费是85元，标准差是9元。
从中随机抽取40个顾客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？6.9 在校大学生每月的平均支出是448元，标准差是21元。
随机抽取49名学生，样本均值在441～446之间的概率是多少？6.10 设为总体的一个样本，则;样本，求的概率分布6.12设为总体的一个样本，且服从分布，这里，，则 .。
概率论与数理统计习题册
第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S-7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 8设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从 分布.第七章 参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i iX n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）. （A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是： 和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是 的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） . 9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z 11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为 （1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章 假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题 拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形 如（ ）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、 样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ).A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进 行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ， 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章 样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A) 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3.μ，2nσ4. 0.15.26.2(1)n χ-第七章 参数估计一、选择题1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===n i i X n A X E 111)(ˆ， 所以，∑=-=-=ni i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ， 由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；. 341, 0.2828； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i iXX ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去 所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p4、 1.71，0.00138；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D .5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [992.16，1007.84]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--+-； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [14.869，15.131]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-， 化间得：]131.15,869.14[. 11、 [14.754，15.146]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X 696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[ 12、. [0.15，0.31]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ， 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章 假设检验一、选择题1.C 、2.B 、3.B 、4.C 、5.B 、6.B 、7.C 、8.B 二、填空题 1.100=μ 2. 1.176概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki n i ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
62统计量与抽样分布
n
2
X
2 i
i 1
服从自由度为n的2分布，记为2 ～ 2(n)．
此处自由度指2中包含独立变量的个数．
可以证明，2(n)的概率密度为
( ) x 1exdx, 0 0
f2 (x)
其中()称为伽马函数，
n
2
2
0,
1 (
n 2
)
x
n 1
2e
x 2
,
x0 x0
6.2.2 抽样分布
2分布概率密度
1
x2 n
n1 2
,
2
x
图6-10 t分布的概率密度曲线
6.2.2 抽样分布
ft(x)
n 1 2
n n
1
x2 n
n1 2
,
2
x
图6-10 t分布的概率密度曲线
显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6-10描绘 了n = 1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较， 还描绘了N(0，1)的概率密度曲线．
n i 1
X
k i
PE( X k )
k
(n , k 1,2,..., m)
g( A1, A2 ,..., An ) P g(1, 2 ,..., n ) (n )
特别有 X P E( X ),
B2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
1n (
n i1
X
2 i
nX 2 )
A2
A12
P 2 12 D( X ).
1 1
体
n
(Yi Y )2
Xi1和 Y 的 协
方
差
Cov(X，Y)与相关系数XY的估计量．
贾俊平《统计学》章节题库(统计量及其抽样分布)详解【圣才出品】
第6章统计量及其抽样分布一、单项选择题1．在抽样推断中，样本统计量是（）。
[中央财经大学2015研]A．未知但确定的量B．一个已知的量C．随机变量D．惟一的【答案】C【解析】统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量。
它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数，是随机变量。
2．在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。
如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（）。
[山东大学2015研]A．正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟B．正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟C．左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟D．左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟【答案】A【解析】中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n 充分大（通常是大于36）时，样本均值X 的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n 的正态分布。
故即使总体是左偏分布，该样本均值仍服从正态分布，其均值为12，标准差为3/10＝0.3。
3．设总体X ～N （2，σ2），X 1，…，X 16是来自总体X 的样本，161116i i X X ==∑，则48X σ-服从的分布是（ ）。
[对外经济贸易大学2015研]A ．t （15）B ．t （16）C ．χ2（15）D ．N （0，1）【答案】D【解析】由题可知样本均值2~(2,)16X N σ则 ()2/4~01X N -，σ即()18~04N X -，σ4．1000名学生参加某课程的考试，平均成绩是82分，标准差是8分，从学生中随机抽取100个同学作为样本，则样本均值的数学期望和抽样分布的标准差分别为（）。
[华中农业大学2015研]A．82，8B．82，0.8C．82，64D．86，1【答案】B【解析】由中心极限定理得，在大样本条件下，样本均值X的抽样分布近似服从均值为μ方差为σ2/n的正态分布。
统计量和抽样分布
统计量和抽样分布1.填空题（1）．设随机变量X 与Y 相互独立且X ～2(,)N μσ，Y ～2()n χ，则Z =()t n 。
（2）设总体X 服从正态分布)1,0( N ，而1521,,,X X X Λ是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量~)(221521121021X X X X Y ++++=ΛΛ(10,5)F 分布。
（3）设)(~),(~2212n V n U χχ，且U ，V 相互独立，则~//12n U n V F =21(,)F n n 。
2.选择题（1）=)9,7(95.0F （ D ）。
（A ）)7,9(95.0F （B ）)9,7(105.0F （C ） )9,7(195.0F （D ）)7,9(105.0F （2）设总体X ～),N(2σμ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是从中抽取的简单随机样本，下列各项中不是统计量的是（ A ）。
（A ）22212321()X X X σ++ （B ）13X μ+ （C ）123max(,,)X X X （D ）1231()3X X X ++ （3）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则（ C ）。
(A) )(~2n Y χ (B) )1(~2-n Y χ (C) )1,(~n F Y (D)),1(~n F Y3．设某种电灯泡的寿命X 服从指数分布()E λ，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本12100,,,X X X L 的联合概率密度函数。
解：1001100100121001(,,,)()i i x i i f x x x f x e λλ=-=∑=∏=L其中0,1,2,,100i x i >=L4.抽取10只辽宁绒山羊产绒量（单位：g ）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。
5.设125,,,X X X L 是独立且服从相同分布(0,1)N 的随机变量，(1)试给出常数c ，使得2212()c X X ⋅+服从2χ分布，并指出它的自由度；(2)试给出常数d，使得d t 分布，并指出它的自由度.解：（1）因为22212(2)X X χ+:，所以1c =，自由度为2。
第六章样本及抽样分布习题
第六章样本及抽样分布习题第六章样本及抽样分布习题一、填空题：1．若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，则∑==ni i n 11ξξ服从。
2．样本),,(1n X X 的函数),,(1n X X f 称为，其中),,(1n X X f 不含未知参数。
3．设总体X 服从),(2σμN ，X 和2S 分别为来自总体X 的样本容量为n 的样本均值和方差，则212)(σ∑=-ni iX X～，22)1(σS n -～。
二、选择题：1．设总体X 服从),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，1X ，2X ，3X 是取自总体的一个样本，则下列不是统计量的是（）。
(A)1321X X X ++ (B)μ21+X (C)),,max(321X X X (D))(12322212X X X ++σ2．设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（）。
(A)X ＋Y 服从正态分布。
(B) 2X ＋2Y 服从2χ分布。
(C)2X 和2Y 都服从2χ分布。
(D)2X ／2Y 服从F 分布。
３．设总体X 服从)9,1(N ，91,X X 为X 的样本，则有（）。
(A)11-X ～)1,0(N (B)31-X ～)1,0(N(Ｃ)．91-X ～)1,0(N (Ｄ)31-X ～)1,0(N ４．设n X X ,1是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，X 和S 分别为样本的均值和标准差，则有（）。
(Ａ)ｎX ～)1,0(N (Ｂ)X ～)1,0(N (Ｃ)S X～ｔ(n-1) (Ｄ)∑=ni i X 12～2χ(n)５．设X ，Y 相互独立，X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN ，1,1n X X 为X 的样本，2,1n Y Y 为Y 的样本，则有（）。
(Ａ)X －Y ～),(2212121n n N σσμμ++ (Ｂ)X －Y ～),(22212121n n N σσμμ+-(Ｃ)X －Y ～),(22212121n n N σσμμ-- (Ｄ)X －Y ～),(22212121n n N σσμμ+-三、计算题：1．从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少应取多大？2.抽样检验产品质量时，如果发现次品多于10件，则拒绝接受这批产品。
概率论与数理统计+第六章+样本及抽样分布+练习题答案
Ⅲ、典型例题分析〖填空题〗例6.1（F 分布） 设随机变量X 服从自由度为),(21f f 的F 分布，则随机变量X Y 1=服从参数为 的 分布 ．分析 因为服从自由度为),(21f f 的F 分布的随机变量X ，可以表示为222121f f X χχ=，1212221f f X Y χχ==， 其中2221 χχ和独立，分别服从自由度为21f f 和的2χ分布．由F 分布变量的典型模式，知Y 服从自由度为),(12f f 的F 分布．例6.2（2χ分布） 设4321,,,X X X X 是来自正态总体()22 ,0N 的简单随机样本，记()()243221432X X b X X a X -+-=，则当=a ，=b 时, 统计量X 服从2χ分布，其自由度为 ．分析 由条件知4321,,,X X X X 相互独立且同正态分布()22 ,0N ．因此()212X X -服从正态分布()20,0N ，而()4343X X -服从正态分布()100,0N ，并且相互独立．由2χ变量典型模式知()()10043202243221X X X X T -+-=服从自由度为2的2χ分布，从而a=1/20 , b= 1/100．例6.3（2χ分布） 设4321,,,X X X X 相互独立同服从标准正态分布，X 是算术平均值，则24X 服从参数为 的 分布．分析 熟知4321X X X X +++服从正态分布)4,0(N ，因此()44243212X X X X X +++=服从自由度为“1”的“2χ”分布．例6.4（t 分布） 假设总体)3,0(~2N X ，821,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则统计量282726254321X X X X X X X X Y ++++++=服从参数为 的 分布．分析 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易见．)1,0(~6)(432143214321N X X X X X X X X X X X X U +++=++++++=D作为独立标准正态随机变量的平方和，99992822252X X X X +++=７６χ服从2χ分布，自由度为4；随机变量2 χ和U 显然相互独立．随机变量Y 可以表示为()4496228222541χUX X X X X X X X Y =++++++=７６３２．由t 分布随机变量的典型模式，可见随机变量Y 服从自由度为4的t 分布．例6.5（F 分布） 设(1521,,,X X X )是来自正态总体()9,0N 的简单随机样本，则统计量2152122112102221 21X X X X X X Y ++++++= 的概率分布是参数为 的 分布 ．分析 由2χ分布的典型模式，知99215211222102121X X X X ++=++= χχ和服从自由度相应为10和5的2χ分布，并且相互独立．从而，由F 变量的典型模式，知510 21222121521121021χχ=++++=X X X X Y 服从自由度为(10, 5)的F 分布．例6.6（F 分布） 设X 服从自由度为ν的t 分布，则2X Y =服从参数为 的 分布．分析 由自由度为ν的t 分布随机变量X 可以表示为νχν2UX =，其中2 ),1,0(~νχN U 服从自由度为ν的2χ分布，并且2νχ和U 独立．由2χ分布变量的典型模式，可见221U =χ服从自由度为1的2χ分布．因此，由F 分布变量的典型模式，可见随机变量νχχνχνν2212221===U X Y服从自由度为(1,ν)的F 分布．例6.7（F 分布） 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布并且相互独立，则22Y X Z =服从参数为 的 分布，．分析 由于X 和Y 都服从标准正态分布，可见2X 和2Y 都服从自由度为1的2χ分布．此外，由X 和Y 独立，可见2X 和2Y ．从而，由服从F 分布的变量的典型模式，知22Y X Z =服从自由度为(1,1)的F 分布．例6.8（2χ分布） 设总体)2,(~)2,(~b N Y a N X ，并且独立；基于分别来自总体X 和Y的容量相应为n m 和的简单随机样本，得样本方差22yx S S 和，则统计量 []22)1()1(21y x S n S m T -+-=服从参数为 的 分布．分析 统计量T 服从自由度为2-+n m 的2χ分布．由(6.14)知2221)1(21 )1(21y x S n T S m T -=-=， 分别服从自由度为m －1和服从自由度为n －1的2χ分布，并且相互独立．从而，由2χ分布随m+n －2的2χ分布．机变量的可加性知，T 服从自由度为例6.9（经验分布函数） 设总体X 在区间[0,2]上服从均匀分布；()x F n 是基于来自X 的容量为n 的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意[]2,0∈x ，()x F n E = ．分析 总体X 的分布函数为()x F =x/2，若[]2,0∈x ；()x F =0，若[]2,0∉x ．对于任意[]2,0∈x ，以)(x n ν表示n 次简单随机抽样事件}{x X ≤的出现的次数，则)(x n ν服从参数为()()x F n ,的二项分布，因此)()(E x nF x n =ν，从而()()2)(x x F nx x F n n ===νEE ． 例6.10（经验分布函数） 设（2,1,5,2,1,3,1）是来自总体X 的简单随机样本值，则总体X 的经验分布函数()xF n = .分析 将各观测值按从小到大的顺序排列，得1,1,1, 2, 2, 3, 5，则经验分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=．若；若；若；若若 5 , 1 53 , 76 3 2 , 75 21 , 73;1 , 08x x x x x x F例6.11 设Y X 和是两个样本均值，基于来自同一正态总体),(2σμN 的两个相互独立且容量相同的简单随机样本，则满足{}05.0≤>-σY X P 的最小样本容量≥n 8 ．分析 由于总体服从正态分布),(2σμN ，可见{}．05.022≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=>-n YX n Y X σσP P 6832.796.1296.122≈⨯≥≥n n，．5.14 （1）3ln4（2）532（3））（12χ（4）)5,10(F （5）23〖选择题〗例6.13（常用分布） 设随机变量)1,0(~),1,0(~N Y N X ，则 (A) Y X +服从正态分布． (B) 22Y X +服从2χ分布． (C) 22Y X 服从F 分布． (D) 22Y X 和服从2χ分布． [ D ]分析 因为标准正态分布变量的平方服从自由度为1的2χ分布．当随机变量Y X 和独立时可以保证选项(A),(B),(C)成立，但是题中并未要求随机变量Y X 和独立，选项(A),(B),(C)未必成立．6.14（F 分布） 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),0(~2σN X 的简单随机样本，则服从F 分布的统计量是()()]D [ 2)D (2)C ()B ( )A (2925242322212925242322212726252424232221292524232221．． ． ． X X X X X X Y X X X X X X Y X X X X X X X X Y X X X X X X Y +++++=+++++=++++++=+++++=分析 本题可以直接选出正确的选项．事实上，选项（D ）可以表示为636)(3)(2623292524232221χχ=+++++=X X X X X X Y ． 因为随机变量，，)(1)(1292524226232221223X X X X X X +++=++=σχσχ分别服从自由度为3和6的2χ分布，并且相互独立．因此，由服从F 分布的随机变量典型模式，知随机变Y 量服从自由度为)6,3(的F 分布．例6.17（正态总体） 设总体X 的概率密度为)(x f ，而),,,(21n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，)()1(n X X X 和，相应为n X X X ,,,21 的样本均值、最小观测值和最大观测值，则)(x f 是(A) )1(X 的概率密度． (B) )(n X 的概率密度．(C) 1X 的概率密度． (D) X 的概率密度． [C ] 分析 应选（C ）．1X 作为总体X 的一个观测值，与总体X 有相同的概率密度)(x f ．5.13 （1）C （2）D （3）D （4）C （5）A〖计算题〗例6.21（经验分布函数） 假设)(x F 是总体X 的分布函数，)(x F n 是基于来自总体X 的容量为n 的简单随机样本的经验分布函数．对于任意给定的)(∞<<-∞x x ，试求)(x F n 的概率分布、数学期望和方差．解 以n ν表示自总体X 的n 次简单随机抽样中，事件{}x X ≤出现的次数，则n ν服从参数为())(,x F n 的二项分布．经验分布函数)(x F n 可以表示为)()()(∞<<-∞=x nx x F n n ν．由此可见，)(x F n 的概率分布、数学期望和方差相应为：{}[][][][][]．，；)(1)()()()(),,2,1,0()(1)(C )()(x F x nF x F x nF x F n k x F x F k x n k x F n n kn k k n n n -===-===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-D E P P νk m ki i k mi m 20C C C=∑=-．对于任意n>2，变量n X X X ,,,21 独立同服从参数为),(p m 的二项分布，则用数学归纳法容易证明n X X X +++ 21服从参数为),(p nm 的二项分布．从而，得X 的概率分布{}()．mn k p p C k X X n k X k mn k kmn n ,,1,0)1(1 =-==++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-P P例6.26（样本容量） 假设总体X服从正态分布)4,(μN ，由来自体X 的简单随机样本得样本均值X ．试分别求满足下列各关系式的最小样本容量n ：(1) {}95.010.0≥≤-μX P ； (2) 10.0≤X D ； (3) 10.0≤-μX E ． 解 由于)4,(~μN X ，可见()n N X 4,~μ，从而)1,0(~2N nX U μ-=．(1) 由标准正态分布函数)(u Φ的数值表（附表1）或标准正态分布双侧分位数αu 表(附表2)，可见()()()()．96.196.195.005.005.0210.02--=≥--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-ΦΦΦΦμnn n n X P ； 由此，得96.105.0≥n ．于是，为使{}10.010.0≤≤-μX P ，样本容量n 应满足153705.096.12≈⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n ．(2) 由于10.04≤=n X D ，可见40≥n . (3) 由于)1,0(~N U ，有． 22d e22d e21202222πππμ====⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰∞-∞∞--uu uu U n X u u E E由于10.0≤-μX E ，可见．，，255205.02210.022210.022≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππμn n n n X E 例6.23 假设总体X 服从正态分布)4,12(N ，而()521,,,X X X 是来自体X 的简单随机样本；X 的样本均值，)1(X 和)5(X 分别是最小观测值和最大观测值．试分别求事件{}13>X ，{}10)1(<X 和{}15)5(>X 的概率．解 设)(x Φ是标准正态分布函数．(1) 由于总体X~)4,12(N ，可见样本均值X ~()4,12N ，因此{}{}{}．1414.08686.01)12.1(112.1118.1255212521213521213=-=-=≤-=>=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧->-=>ΦU U X X X P P P P P (2) 为求事件{}10)1(<X 的概率，先求最小观测值)1(X 的概率分布．对于任意x ，有{}{}{}{}{}；5515151521521)1(21211212212111],,,min[1],,,min[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=≤-=>-=>-=≤=≤∏∏∏===x x X x Xx Xx X X X x X X X x X i i i ii iΦP P P P P P{}()[]()[]．4684.011111212101110555)1(=-=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=≤ΦΦΦX P (3) 为求事件{}15)5(>X 的概率，先求最大观测值)5(X 的概率分布．对于任意x ，有{}{}{}{}()[]．； 2922.05.1121215115212212212],,,max[55)5(511521)5(=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=≤=≤∏∏==ΦΦΦX x x X x Xx X X X x X i i i iP P P P P 55〖证明题〗例6.28 设总体()2,~σμN X ，而),,,,(121+n n X X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本；X 和2S 相应为根据),,,(21n X X X 计算的样本均值和样本方差．利用正态总体的样本均值和样本方差的性质，证明统计量11+-=+n nS X X t n 服从自由度为1-=n ν的t 分布．证明 首先对所给统计量作变换，在统计量的表达式中将分子和分母同除以σ，得1)111222121-=-=+-==+-=++n S n n n XX U Un nS X X t n n νσχσνχ，（，，由于总体()2,~σμN X ，可见()21,~σμN X n +，()n N X 2,~σμ，从而()1,0~111,0~121N n nX X U n N X X n n +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++σσ，． 熟知，对于正态总体，X 和2S 独立，随机变量222)1(σχS n -=服从自由度为1-=n ν的2χ分布．现在证明，1+n X ，X 和2S 独立．首先它们显然两两独立；其次对于任意实数w v ,,u ，有{}，，，， }{}{}{}{}{212121w v w v wv ≤≤≤=≤≤≤=≤≤≤+++S X u X S X u X S X u X n n n P P P P P P 其中第一个等式成立，因为n X X ,,1 和1+n X 独立；第二个等式成立，因为正态总体的样本均值和样本方差独立．从而1+n X －X 和2S 独立．于是，由服从t 分布的随机变量的典型模式，知统计量νχ2Ut =服从自由度为1-=n ν的t 分布．例6.29（样本均值和方差的独立性） 假设总体()2,1=i X i 服从正态分布()2,i i μN σ；1X 和2X 相互独立；由来自总体()2,1=i X i 的简单随机样本，得样本均值i X 和样本方差2i S ．(1) 利用正态总体样本均值和样本方差的性质，证明4个随机变量1X ,21S ,2X ,22S 相互独立．(2) 假设μμμ==21，证明()μαα=+2211X X E ，其中i α是统计量：()2,1 22212=+=i S S S i i α． 证明 (1) 由于（1X ,21S ）与（2X ,22S ）分别依赖于两个相互独立的样本，可见它们相互独立；此外，由于正态总体的样本均值和样本方差相互独立，可见1X 和21S 以及2X 和22S 分别相互独立．因此，对于任意实数v ,,,u t s ，有{}{}{}{}{}{}{}．；v vv≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤222211222211222211 , , , , S u Xt S s X S u X t S s XS u X t S s X P P P P P P P从而1X ,21S ,2X ,22S 相互独立．(2) 由于1X ,21S ,2X ,22S 相互独立，可见1α和1X 以及2α和2X 相互独立．从而，有()()()．2121221122112211μααμααμαααααα=+=+=+=+=+E E E E E E E E E E X X X X X X 例6.30(F 分布分位数) 设),(21f f F α是自由度为),(21f f 的F 分布水平α上侧分位数，证明1),(),(12121=-f f F f f F αα．证明 设随机变量X 服从自由度为),(21f f 的F 分布，则随机变量X Y 1=服从自由度为),(12f f 的F 分布（例6.7）．因此，有．．，ααααα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=----),(1),(1),(11121121121f f F X f f F X f f F X P P P由此可见),(),(121121f f F f f F --=αα，即1),(),(12121=-f f F f f F αα．例5.15 设某商店一小时内到达的顾客数X 服从参数为2的Poisson 分布, 1021,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(1) 求),,,(1021X X X 的联合分布律; （2）求X 的分布律.解：),,,(1021X X X 的联合分律为(){}∏======101102211,,,i i in x XP x X x X x X P,!!!!21101101λλλλn n x i i xe x x x ex i ii-=-∑===∏n i x i ,2,1,10,,1,0==（2）先求21X X +的概率分布()()()∑===+===+mk K X m X X P k X P m X X P 0121121|()()()λλλλ-=--=∑∑-⋅=-===e k m ek k m X P k X P mk km km k 021!!() ,2,1,0,!2!202===-=-∑m e m Cem mmk k mkλλλλ即()λ2~21p X X +，从而可用数学归纳法证明()λ10~101P Xi i∑=即∑==1011i i X n X 的分布函数为() ,3,2,1,0,!1010101==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∑k e k n k X P k X P ki i λλ例5.16 设总体X 和Y 同服从)3,0(2N 分布, 而921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是取自总体X 和Y 的两个独立简单随机样本, 试证:统计量)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=解：)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=()1,0~33921N X X X ⋅+++ ,()9~3332229222221χY Y Y +++故)9(~292929921t YY Y X X X Z ++++++=例5.17 设1+n 21,,,X X X 是正态总体的简单样本，设∑==n i i X n X 11和=2n S ()∑=-n i X i X n 121（1） 试求])([))(1(2221∑=---ni i X X n μμ的分布. （2) 试求111+n +--n n S X X n的分布. 解：1+n 21,,,X X X 设他们的方差为2σ，期望为μ（1）()()()()()1~)(,1~,1,0~2222211----∑=n X X N X ni i χσμχσμσμ()1,1~)()(1)1(])([))(1(2222212221----=---∑∑==n F X X n X X n ni i ni i σμσμμμ(2) 1+n 21,,,X X X 设他们的方差为2σ，期望为μ因为()()1~,1,0~12221+n -+-n nS N nn X X nχσ()1~111221+n 1+n -+-=+--n t nS n n X X n n S X X n nσ例5.18 设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是取自两个独立的正态总体),(21σμN 和),(22σμN 的随机样本, α和β是两个实数, 试求nmn m S n S m Y X Z nm 222221212)1()1()()(βαμβμα+-+-+--+-=的概率分布. 其中21,m S X 和22,n S Y 分别是两个总体的样本均值和样本方差.解：由正态样本总体均值与样本方差的抽样分布定理知()(),1~,1~,,~,,~222222212221--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mS m mS n N Y m N X χσχσσμσμ 得 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-n m N Y X 2221,0~σσμβμα()2~222221-++n m mS mS χσ由t 分布的定义知()2~-+n m t Z例5.19 设 4321,,,X X X X 是来自正态总体)4,0(N 的简单样本, 记243221)43(1001)2(201X X X X Y -+-=求EY 和DX .解： ()()()()02,2044442212121=-=⨯+=+=-X X E X D X D X X D()()()()043,10016943212143=-=+=-X X E X D X D X X D()()()(),1,0~10043,1,0~2024321N X X N X X --()()()()()()1~1004310043,1~20220222432432221221χχX X X X X X X X -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 由2χ分布的可加性，得()2~)43(1001)2(2012243221χX X X X Y -+-=故()()4,2==Y D Y E例5.20 设n X X X ,,,21 为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，求样本的二阶原点矩的期望与方差.解：n X X X ,,,21 为独立同分布的随机变量，∑==n i i X n A 1221()()()()()()221212122111σμ+=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n i i i n i i n i i X E X D n X E n X n E A E()()241212211n X D n X n D A D n i i n i i σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==例5.21 设2621,,,X X X 是总体),0(~2σN X 的一个样本，求概率))16((26112101αt XXP j ji i≤∑∑==解：()(),16~,1,0~102611222101∑∑==j ji iX N Xχσσ()16~16110261122101t X Xj ji i∑∑==σσ所以αα-=≤∑∑==1))16(104(26112101t XXP j ji i例5.22 设921,,,X X X 是总体),0(~2σN X 的一个样本，试确定σ的值，使)31(<<X P 为最大.例5.23 设n X X X ,,,21 为取自总体)2,(~2μN X 的一个样本，X 为样本均值，要使1.0)(2≤-μX E 成立，则样本容量n 至少应取多少?例5.24 设总体X 服从)4,(a N 分布,Y 服从)4,(b N 分布, 而921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的两个独立的随机样本, 记∑=-=9121)(i i X XW ,∑=-=16122)(j iY Y W ,其中∑==9191i i X X ,∑==161161i i X Y(1) 求常数C, 使9.0)||(2=<-C W b Y P ; (2) 求)038.6709.0(12<<W WP参考答案（样本与抽样分布部分）5.15 (1) ,1,0,!!!2),,,(20102110102211101=∑====-=j x x e x x x x X x X x X P i i(2) ,2,1,0,!10)10(10===-k k e k X P k 5.17 （1）)1,1(-n F （2）)1(-n t ，5.18 )2(-+n m t ，5.19 2; 45.20 n4222;σμσ+，5.21 α-1，5.223ln 6，5.23 40，5.24 (1) 0.1132; (2) 0.9。
6第六章样本及抽样分布自测题及答案
第六章 自测题时间：120分钟一、单项选择题 (每题5分，共25分) 1. 设总体2(,)XN μσ , 其中μ已知,2σ未知, X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是( )(A) 11n i i X n =∑ (B) 1min{}i i n X ≤≤ (C) 21ni i X μσ=-∑（） (D) 211n i i X n μ=-∑（） 2. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A) X +Y 服从正态分布；(B) X 2+Y 2服从χ2分布； (C) X 2和Y 2都服从χ2分布；(D) X 2/Y 2服从F 分布。
3. 设二维随机变量(X , Y )服从二维正态分布N (μ1, μ2, σ12, σ22, ρ) (ρ≠0)，则( )(A) 2X +Y 服从正态分布；(B) X 2+Y 2服从χ2分布； (C) X -Y 不服从正态分布；(D) X 2/Y 2服从F 分布.4．设X 1, X 2, …, X 11是来自正态总体2(0,)X N σ 的简单随机样本，102211,10ii Y X ==∑,则下列选项正确的是( )(A)22(1)X χ ； (B) 22(10);Y χ (C) 11(10);X t Y (D) 2112(10,1).X F Y5. 设总体X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(,)N μσ,,X Y 分别是来自总体X 和Y 容量为n 的样本均值, 则当n 固定时, 概率{}P XY σ->的值随着σ的增大而( )(A)单调增大; (B) 单调减小; (C)保持不变; (D) 增减不定.二、填空题 (每题5分，共15分) 1. 设随机变量2110012...,XN X X ~（，）,，是取自X 的样本,X 为样本均值, 已知(0,1),Y aX b N =+ 则a ,b 的值为( ).2. 设总体X 服从正态分布)2,0(2N ,而1521,,,X X X 是来自总体的简单随机样本，则随机变量)(221521121021X X X X Y ++++= 服从（ ）分布，参数为（ ）.3. 设随机变量X 服从t (n ), 则21X 服从的分布为( ). 三、计算题 (共60分)1． 设容量为n 的简单随机样本取自总体N ( 3.4, 36 ),且样本均值在区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大？2. 设X 1, X 2, …, X n 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，11,ni i X X n ==∑22221211(),(),nni i i i S X S X X μ===-=-∑∑ 试求22221122,,,.ES DS ES DS 3．设X 1, X 2, …, X 16是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，,X S 为样本均值和样本标准差，若{}0.95,P XaS μ>+=试求参数a .（0.05(15) 1.7531t =）4. 设总体X 服从正态分布)0(),(2>σσμN ，从中抽取简单随机样本n X X 21,, ，（2≥n ），其样本均值为∑==ni i X n X 2121，求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2( 的数学期望E (Y ).参考答案1.单项选择题 (1) C (2)C (3)A (4) C (5) C[选择题4解析]: 222(0,),(0,),X Y X Y N N n nσσ-- 则 由此可知当n 固定时, {}{1}X YP X Y P σσ-->=>与σ无关. 故选择C. 事实上{}1{1}1[-]X YP X Y P σσ-->=-≤=-ΦΦ与σ无关.2. 填空题: (1) a =5 , b =-5或者a =-5 , b =5.(2) F; (10,5). [填空题2解析]:)5(~)(41),10(~)(41),1,0(~22215211221021χχX X X X N X i++∴ 且显然此二者相互独立，则：)5,10(~5)(4110)(41)(22152112102121521121021F X X X X X X X X Y +++=++++= (3) F (n ,1).[填空3解析]: 由X 服从t(n), 故存在2(0,1),(),,YN Z n Y Z χ 且相互独立使得()X t n =, 则2221//(,1)/1Z n Z n F n X Y Y == .3.计算题[计算题1解析]：设n X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，则：)6,4.3(~121nN X n X n i i ∑==又由于：{1.4 5.4}33210.953X P X P ⎧⎪<<=-<<⎨⎪⎪⎩⎭=Φ-≥⎝⎭则：975.03≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φn ，查表得6.34)396.1(,96.132≈⨯≥∴≥n n , 即知n 至少应取35. [计算题2解析]：总体2(,),X N μσ 故2(,),(0,1)ii X X N N μμσσ- 且相互独立，故 2221121()()ni i X S Y n μχσσ=-==∑ ，则2222111221(),.S E ES n ES n σσσ===2224111241()2,2.S D DS n DS n σσσ===222221()(1),ni i X XS n χσσ=-=-∑ 所以2222222221()1,(1).S E ES n ES n σσσ==-=-2224222241()2(1),2(1).S D DS n DS n σσσ==-=-[计算题3解析]:222215(,),(15)16S X N σμχσ , 2,X S 相互独立, 则由t 分布的定义知4()(15)X T t S μ-=,故4(){}{4}{4}0.95,X P X aS P a P T a Sμμ->+=>=>=则4a 为t (15)的上0.95分位点, 即0.950.054(15)(15) 1.7531,0.4383.a t t a ==-=-=-则 [计算题4解析]:222222222)(,2)(,)(,)(,)(,)(μσσμμσσμ+===+===nX E nX D X E X E X D X E i i i212221(2)(4244)ni n i i ni n i i n i i n i i Y X X X X X X X X X X X X +=+++==+-=+++--∑∑∑∑∑∑∑==+===++-=-++=ni ni in i i n i n i ni ii n i iX X X n X X X X X X n X 2112221121222442422222212212)1(22)2(4)(2)()(2)(4)()(σμμσμσ-=++-+=+-=∑∑=+=n n nn n X E X E X nE X E Y E ni i n i n i i。
第六章样本及抽样分布例题
Xi
)2
+
16 (∑ i=13
Xi
)2
，问 c 取何值时，cY 服从 χ2 分布.
).
A. N (0, 1)B. Biblioteka (µ,C. χ2 (19)
D. χ2 (20)
n 1∑ 5. 设 总 体 X ∼ N (µ, σ 2 )， X1 , X2 , · · · , Xn 为 其 样 本，记 X = Xi ， S 2 = n i=1 √ n 1 ∑ n(X − µ) 2 (Xi − X ) ，则 Y = 服从的分布是 ( ). n − 1 i=1 S
).
2. 设 随 机 变 量 X 和 Y 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布 N (0, 32 )，而 X1 , X2 , · · · , X9 和 X1 + X2 + · · · + X9 Y1 , Y2 , · · · , Y9 分别来自总体 X 和 Y 的样本，则统计量 U = √ 2 Y1 + Y22 + · · · + Y92 服从 分布，参数为 . 三、解答题 1. 设 X1 , X2 , · · · , X16 是来自正态总体 N (0, 1) 的样本，记 Y =
学院
专业
班级
姓名
学号
概率论与数理统计练习题
2014 -2015学年第二学期
第六章 样本及抽样分布
一、选择题 1. X1 , X2 , X3 是取自总体 X 的样本，a 是一未知参数，则统计量是 ( ). 3 1∑ (Xi − a)2 A. X1 + aX2 B. X1 X3 C. aX1 X2 X3 D. 3 i=1 2. X1 , X2 , · · · , Xn 是取自总体 X 的样本，则 A. 样本矩 B. 二阶原点矩
2-第6章 统计量及其抽样分布 练习题
第六章 统计量及其抽样分布练习题一、填空题（共10题，每题2分，共计20分）1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。
2. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。
3．若(5)X t ，则2X 服从_______分布。
4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。
5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。
6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。
7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。
8.若(2,4)X N ，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。
若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。
9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。
10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。
二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( )A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势D. 样本比例趋近于总体比例的趋势2．设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从 ( ) 。
A. 正态分布B.卡方分布C. t 分布D. F 分布3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。
抽样分布的考试题及答案
抽样分布的考试题及答案一、单选题1. 抽样分布是指什么？A. 总体中所有样本的分布B. 从总体中抽取的样本的分布C. 总体中所有个体的分布D. 总体中所有样本均值的分布答案：D2. 样本均值的抽样分布具有什么特性？A. 正态分布B. 均匀分布C. 指数分布D. 二项分布答案：A3. 样本量增加时，样本均值的抽样分布会如何变化？A. 标准差增加B. 标准差减少C. 标准差不变D. 无法确定答案：B二、多选题4. 影响抽样分布的因素包括哪些？A. 总体分布B. 样本大小C. 抽样方法D. 样本均值答案：A、B、C5. 以下哪些情况下，样本均值的抽样分布会呈现正态分布？A. 总体分布是正态分布B. 总体分布是均匀分布C. 样本量足够大D. 总体分布是二项分布答案：A、C三、判断题6. 抽样分布的中心趋势由总体分布的中心趋势决定。
答案：错误7. 样本均值的抽样分布的标准差等于总体标准差除以样本量的平方根。
答案：错误8. 抽样分布的形态与总体分布的形态无关。
答案：错误四、简答题9. 描述一下抽样分布的概念及其重要性。
答案：抽样分布是指从同一总体中抽取的多个样本的某个统计量（如均值、方差等）的分布情况。
抽样分布对于推断总体参数具有重要意义，因为它允许我们使用样本数据来估计总体参数，并计算出相应的置信区间和假设检验。
10. 为什么在大样本情况下，样本均值的抽样分布会呈现正态分布？答案：根据中心极限定理，当样本量足够大时，无论总体分布的形状如何，样本均值的抽样分布都会趋近于正态分布。
这是因为样本均值的波动会随着样本量的增加而减小，使得样本均值的分布趋于稳定，从而呈现出正态分布的特征。
结束语：通过以上题目的练习，希望你能对抽样分布的概念、特性以及其在统计学中的应用有一个更加清晰的认识。
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第六章 统计量及其抽样分布
练习题
一、填空题（共10题，每题2分，共计20分）
1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。
2. 设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，
则a =____________。
3．若(5)X t :，则2X 服从_______分布。
4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。
5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。
6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。
7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。
8.若(2,4)X N :，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。
若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。
9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。
10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。
二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）
1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( )
A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势
B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势
C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势
D. 样本比例趋近于总体比例的趋势
2．设随机变量()(1)X t n n >:，则21/Y X =服从 ( ) 。
A. 正态分布
B.卡方分布
C. t 分布
D. F 分布
3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。
为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。
下列说法中错误的是（ ）
A. 样本容量为10 B .抽样误差为2
C. 样本平均每袋重量是统计量
D. 498是估计值
4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( )
A. (100/,25)N n
B. N
C. (100,25/)N n
D. (100,N
5、设2(0,1),(5),X N Y χ::且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为
5的t 分布。
（ ）
A. /X Y
B. 5/Y X
C. /X /6. 已有样本12,,n X X X L ，以下样本函数中，不是统计量的是（ ） A. (10)/X σ- B. 12min(,,)n X X X L
C. 110n X --
D. 11T X =
7. 下列不是次序统计量或其函数的是 （ ）
A. 中位数
B.均值
C. 四分位数
D. 极差
8． 在一个饭店门口等待出租车的时间分布左偏，均值为12分钟，标准差为3分钟。
若从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（ ）
A ． 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟
B ． 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟
C ． 左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟
D. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟
9. 设总体比例为0.55， 从该总体中抽取容量为100的样本，则样本比例的标准差为（ ）
A. 0.55
B. 0.06
C. 0.01
D. 0.05
10. 大样本的样本比例的抽样分布服从（ ）
A. F 分布
B.t 分布
C. 正态分布
D. 卡方分布
三、判断题（共10题，每题1分，共计10分）
1．所有可能样本平均数的方差等于总体方差。
（ ）
2、从全部总体单位中按照随机原则抽取部分单位组成样本，只可能组成一个样本。
（ ）
3、设2~(0,)X N σ，则对任何实数,a b 均有：22~(,)aX b N a b a σ++。
（
）
4、样本方差就是样本的二阶中心距。
（ ）
5、设随机变量X 与Y 满足X ~ N(0,1), Y ~2()n χ, 则/X 服从自由度为n 的t 分布。
（ ）
6．2212(), ,, , ?()X N Y N σμσμ～～，则2212(0, , ) X Y N σσ-+～（ ） 7. 充分统计量包含了样本中关于未知参数的所有信息。
（ ）
8. 当样本12,,n X X X L 来自正态分布2(),N μσ，则X 是μ的充分统计量。
（ ）
9. 通过反复从总体中抽样，可用随机模拟法获取统计量的渐近分布。
（ ）
10. 卡方分布的极限分布为正态分布。
（ ）
四、解答题（共6题，每题10分，共计60分）
1．从正态总体2(52,6.3)N 中随机抽取容量为36的样本，要求：
（1）求样本均值x 的分布；
（2）求x 落在区间（50.8,53.8）内的概率；
（3）若要以99%的概率保证|52|2x -<，试问样本量至少应取多少？
2．甲、乙两家水泥厂生产水泥，甲厂平均每小时生产100袋水泥，且服从正态分布，标准差为25袋；乙厂平均每小时生产110袋水泥，也服从正态分布，标准
差为30袋。
现从甲、乙两厂各随机抽取5小时计算单位时间的产量，出现乙厂比甲厂单位时间产量少的概率为多少？
3. 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量得其服从标准差 1.5σ=盎司的正态分布。
随机抽取这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，计算样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。
4.从下列总体分布中各抽取容量为n 的简单随机样本，分别求样本均值x 的渐进分布。
（1）二点分布(1,)b p ；（2）泊松分布()P λ；（3）均匀分布(,)U a b ；（4）二项分布(,)b n p 。
5. 设从两个方差相等且互相独立的正态总体中分别抽取容量为10与20的样本，
若其样本方差分别为21s 和22s ，求2212
(/2)P s s >。
6. 126,,Z Z Z L 表示从标准正态总体中随机抽取的容量为6的样本，求常数b ，使得6
21(b)0.95i i P Z =≤=∑。