椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题

邢志平

本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。

1. 几何化方向

画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。

例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。

解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。

因为，

所以。

由椭圆第二定义，知，

即，

所以，

这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。

过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以

P点坐标为。

例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆

上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。

解如图1，连结PF

1、PF

2

及F

1

R、F

2

Q，所以得到△PRF

1

及△PQF

2

，根据题意可知，

圆心恰好为椭圆的两个焦点。

在三角形中

|PR|<|PF

1|+|F

1

R|，

|RQ|<|PF

2|+|F

2

Q|，

所以，

即。

当P、F

1、R与P、F

2

、Q都共线时，

，

所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。

在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。

2. 代数化方向

先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。

例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。

解在椭圆上取一点P（x，y），。

当P点在短轴顶点时，|y|最大为b，

所以。

又，

所以。

先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。

例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，

）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。

分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。

解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为

，即。

设M（x，y）是椭圆上任意一点，且

，

于是，有

由于，于是转化为在闭区间，求二次函数的最值问题，从“轴定区间动”的规律知

若时，则

，

所以，

此方程的解不满足。

若，则

，

所以，

解得，

因此，所求的椭圆方程为，M点的坐标为（0，－1）。

本题利用了二次函数闭区间的最值问题的讨论。

3. 三角化方向

求出目标函数的三角函数表达式，利用三角函数求值域。

例5. 设实数x，y满足，则x+y的最大值____________。

解因为x，y满足椭圆方程

，

所以可设，

于是，

。

所以，

。

例6. 已知椭圆，取B（0，）及另外动点P，若以BP为边作正△BPQ，当P变动时，求△BPQ面积的最大值。

分析联想椭圆的参数方程，构建面积S的函数方程，进而利用三角函数求最值。解在椭圆为椭圆的短轴顶点，

设P（），则

，

，

所以

，

所以当，即P（0，）时，

。

根据题目的特点，选择简洁的方法。有时，各种方法结合起来，则会更快捷。［练习］

1. P是椭圆上的点，F

1、F

2

为焦点，则|PF

1

|·|PF

2

|的最大

值是______。

2. 过原点的直线与椭圆=1（a>b>0）相交于A、B两点，若F（c，0）是椭圆的右焦点，则△FAB的最大面积为（）

A. b2

B. bc

C. ac

D. ab

3. 设点P在圆上移动，点Q在椭圆上移动，求|PQ|的最大值及相应的点Q的坐标。