椭圆中的最值问题

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高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题

高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 (1)利用定义转化为几何问题处理;(2)利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征进而求解; (3)利用函数最值得探求方法,将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理,此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围;(4)利用三角替代(换元法)转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,椭圆上一动点与长轴的两端点重合时,动点与焦点取得最大值a+c (远日点)、最小值a -c (近日点)。

推导:设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点,左焦点为)0,(1c F -,2201)(||y c x PF ++=,由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=,将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。

所以,当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时,a c a a acPF +=+⋅=max 1||;当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。

c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。

当焦点为右焦点)0,(2c F 时,可类似推出。

1. (2015浙江卷)如图,已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。

(1)求实数m 的取值范围;(2)求AOB ∆面积的最大值(O 为坐标原点)。

解:(1)由题意知0≠m ,可设直线AB 的方程为b x my +-=1。

联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222,消y 去,得012)121(222=-+-+b x m b x m 。

因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点, 所以042222>++-=∆m b 。

与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题

角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$,它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点,若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$,则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$,点P是椭圆上一点,F₁、F₂是椭圆的 两个焦点,则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点,O为坐标原点,则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题,我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习,我深刻理解了椭圆的标准方程和性质,掌握了在约束条件下求解最值问题的方法,对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中,我采用了课前预习、课后复习的方法,同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识,如相似、勾股定 理等,求出最值;
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆,求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆,求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线,求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质,如顶点、对称 轴等,求出最值;

椭圆的几种最值问题

椭圆的几种最值问题

椭圆中的几种最值问题一:求离心率的最值问题1:若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点,使0120=∠AQB ,求此椭圆离心率的最小值。

2:已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ,如果曲线C 上存在一点Q ,使12FQ F Q ⊥,求椭圆离心率的最小值。

二:求点点(点线)的最值问题3:(05年上海)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦 点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PF PA ⊥。

(1)求点P 的坐标;(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于||MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

4:定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动,求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。

三:求角的最值问题 5:(05年浙江)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,长轴A 1A 2的 长为4,左准线l 与x 轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1。

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线l 1:x =m (|m |>1),P 为l 上的动点,使∠F PF 最大的点 P 记为Q ,求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。

四:求面积的最值问题例6:(05年全国II )P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知PF 与FQ共线,MF 与FN 共线,且0PF MF ⋅=.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.五:求线段之和(或积)的最值问题 7:若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ,F 为右焦点,椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小,则点M 的坐标为 ( )A.(3± B.(3C .3(1,)2± D .3(1,)28:如图,在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ,经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆,问当M 在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少?9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点,M求|MA|+|MF|的最小值。

破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略
“椭圆最值”问题是数学中一个重要的研究方向,是从椭
圆的一些初始条件推断出椭圆的最大值和最小值的一种研究方式,它可以帮助我们解决各种复杂的非线性问题。

在破解椭圆的最值问题上,有许多常见的策略可供选择,
其中包括最小二乘估计、拟牛顿法、梯度下降法、遗传算法等。

他们各自具有不同的优势,如最小二乘估计可以有效地改善数
据的可靠性,拟牛顿法可以实现较快的最值搜索,梯度下降法
可以更有效地缩小椭圆的最值,而遗传算法则可以有效应用于
跨线性环境。

另一方面,为了提高椭圆最值问题的解决效率,有一些复
杂的装置也可以用于寻找最优解,比如通过可行性解码器来辅
助搜索、通过模拟退火算法来控制搜索范围、通过熵优化来生
成合理的解等。

归结起来,破解椭圆最值问题有多种策略,在选择时要考
虑问题的特性,而且搭配复杂的设备和机制也能起到辅助作用,从而有效解决椭圆最值问题的一手难题。

怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题

怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题

椭圆是一种重要的圆锥曲线,与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见,定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义,还有第二定义、第三定义.下面,我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.在运用椭圆的第一定义解题时,要先确定两个定点的位置,然后建立关于动点M的关系式:MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置,进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点,点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析:所求的最值与MF2有关,可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a,将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值,根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解:如图1所示,连接PF1,延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a,所以MP+MF2=MP+2a-MF1,由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1,当且仅当M与图中M1合时取右边的等号,M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2,所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地,若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,P()x0,y0为平面内的一个定点,M为椭圆上的任意一点,当定点在椭圆的内部时,2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1;当定点在椭圆的外部时,PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义:到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时,我们先要明确定点(即焦点F)和定直线(准线x=a2c)的位置,然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c,利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是椭圆上动点,点A(1,1)是一个定点,求PA+32PF1的最小值.分析:明确题目中的数量关系后可以发现,所求目标中的32是椭圆离心率的倒数,联系第二定义:椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e,可得PF1d=23,即d=32PF1,不难得到PA+32PF1=PA+d,所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值,只需过点A,D作左准线的垂线即可.解:由题意可知,椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3,短半轴b=5,半焦距c=2,离心率e=23,右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示,过点A,D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed,所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d,则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值,故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时,就要利用椭圆的第二定义,把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说,A ,B 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点,P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点,若k PA ,k PB 的斜率都存在,则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义,可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C :x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长,短轴长和焦距成等差数列,若A ,B 是椭圆长轴的两个端点,M ,N 是关于x 轴对称的两点,直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2(k 1∙k 2≠0),则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析:由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率,由A ,B ,M ,N 的位置可联想到椭圆的第三定义,求得k 1∙k 2的值,再利用基本不等式就可以使问题得解.解:由椭圆的长轴长,短轴长和焦距成等差数列,得2a +2c =4b ,又b 2=a 2-c 2,可得e =c a =35,由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625,而M ,N 是关于x 轴对称的两点,则k 1=-k 2,可得k 1∙k 2=1625,所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85,当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出,与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点,就要考虑利用椭圆的第一定义来解题;如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线,就要考虑用椭圆的第二定义来解题;如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率,就要考虑采用椭圆的第三定义解题.(作者单位:江西省余干第一中学)探索与研究在学习中,我们经常会遇到抽象函数问题,此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式,与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确,我们很难快速解出.而运用构造法,借助构造的新函数的性质、图象,则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数,当x ≤0时,恒有xf ′(x )≥3f ()-x ,则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解:∵f ()x 是定义在R 上的奇函数,∴f ()-x =-f ()x ,当x ≤0时,由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0,令g ()x =x 3f ()x ,∴当x ≤0时,g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0,∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增,∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ,g ()x 是偶函数,∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减,不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ,即g ()2x >g ()1-3x ,等价于||2x <||1-3x ,解得x <15或x >1,∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。

第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)

第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)

第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一:利用均值不等式求最值题型二:利用焦半径范围求最值题型三:椭圆上一点到定点距离最值问题题型四:椭圆上一点到直线距离最值问题题型五:椭圆有关向量积最值问题题型六:声东击西,利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一:利用均值不等式求最值【例1】已知,是椭圆的两个焦点,点M 在C 上,则1F 2F 22:12516x y C +=12MF MF ⋅的最大值为( ).A .13B .12C .25D .16【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义可得,利用基本不等式可得结果.1210MF MF +=【详解】由椭圆方程知:;根据椭圆定义知:,5a =12210MF MF a +==(当且仅当时取等号),21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭12MF MF =的最大值为.12MF MF ∴⋅25故选:C.【例2】(2022·安徽·高二阶段练习)已知椭圆C :221169x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 是椭圆C 上的动点,1m PF =,2n PF =,则14m n +的最小值为( )A .98B .54C D 【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得8m n +=;利用基本不等式,若0a b >, ,则a b +≥,当且仅当a b =时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知,1228a PF PF +==,即8m n +=,因为40m ≥>,40n ≥>,所以()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝,当且仅当83m =,163n =时等号成立.故选:A【题型专练】1.(2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末(文))设P 是椭圆22194x y +=上一点,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,则12cos F PF ∠的最小值是( )A .19-B .1-C .19D .12【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得12cos F PF ∠的最小值.【详解】在椭圆22194x y +=中,3a =,2b =,c ==,由椭圆定义可得1226PF PF a +==,122F F c ==,由余弦定理可得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--⋅+-∠==⋅⋅22121262016161111218922PF PF PF PF -=-≥-=-=-⋅⎛+⎫⨯ ⎪⎝⎭,当且仅当123PF PF ==时,等号成立,因此,12cos F PF ∠的最小值为19-.故选:A.2.(2022·全国·高二课时练习)已知 P ( m , n ) 是椭圆上的一个动点,则22+=112x y 22m n+的取值范围是( )A .B .C .D .(]0,1[]1,2(]0,2[)2,+∞3.(2022·全国·高三专题练习)已知点P 在椭圆上,22221(0)y x a b a b +=>>12F F 、为椭圆的两个焦点,求的取值范围.12||||F P P F ⋅【答案】.22,b a ⎡⎤⎣⎦题型二:利用焦半径范围求最值【例1】(2022·全国·高二课时练习)已知椭圆C :()的右焦点,点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点.求证:.a c PF a c-≤≤+【例2】(2021·山西吕梁·一模(理))已知为椭圆的左焦点,P 为椭圆上一点,则F 22143x y +=PF 的取值范围为_________.【答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标,由两点间的距离公式求出||PF ,进而根据点在椭圆上将式子化简,最后求出范围.【例3】(2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试(文))已知椭圆,点,22142x y +=()0,1A P为椭圆上一动点,则的最大值为____.PA【例4】(2023·全国·高三专题练习)已知点是椭圆+=1上的动点(点不在坐标轴上),P 24x 2y P 为椭圆的左,右焦点,为坐标原点;若是的角平分线上的一点,且丄12F F 、O M 12F PF ∠1F M MP,则丨丨的取值范围为( )OMA .(0B .(0,2)C .(l ,2)D 2)【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段,动点P 满足,则的取值范围是( )AB ||||6PA PB +=||PA A .B .C .D .[1,5][1,6][2,5][2,6]【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点,长轴长为6的椭圆上,P ,A B ,3,2a c ∴==则可得的最小值为,最大值为,||PA 1a c -=5a c +=的取值范围是.∴||PA [1,5]故选:A.2.已知动点在椭圆上,若点的坐标为,点满足,且,则P 2214940x y +=A (30),M ||1AM = 0PM AM ⋅= 的最小值是 .||PM【答案】15【解析】由题意知 ,所以,解得,所以40,4922==b a 92=c 3=c ()0,3A 为椭圆的右焦点,由题意知点是以为圆心,为半径上的圆上一动点,且所以M A 1AM PM ⊥1222-=-=PA AMPA PM ,因的最小值为,所以PA437=-=-c a 15142min=-=PM3.已知是椭圆上的动点,且与的四个顶点不重合,,p 22:198x y C +=C 1F 2F 分别是椭圆的左、右焦点,若点在的平分线上,且,则M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OM的取值范围是( )A .B .C .D .()0,2(0,(0,3-()0,1【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线,得到,求出的取值范围,从而求出的取值范围.212OM F N =2F N OM 【详解】如图,直线与直线相交于点N ,1F M 2PF 由于PM 是的平分线,且,即PM ⊥,12F PF ∠10MF MP ⋅=1F N 所以三角形是等腰三角形,1F PN 所以,点M 为中点,1PF PN =1F N 因为O 为的中点,12F F 所以OM 是三角形的中位线,12F F N所以,212OM F N =其中,212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-因为P 与的四个顶点不重合,设,则,C (),P m n ()0,3m ∈22198m n +=,193m ==+所以,又,()12,4PF ∈20F N >所以,()20,2F N ∈()210,12OM F N =∈∴的取值范围是.||OM ()0,1故选:D.题型三:椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆的长轴长为,短轴长为,则椭圆上任意一点108P 到椭圆中心的距离的取值范围是( )O A .B .C .D .[]4,5[]6,8[]6,10[]8,10【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知点是椭圆上的任意一点,过点作圆:P 221129x y +=P C 的切线,设其中一个切点为,则的取值范围为( )()2211x y +-=M PMA .B .C .D .4⎤⎦4⎤⎦【例3】(2022·重庆市实验中学高二阶段练习)已知点P 在椭圆22193x y +=上运动,点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动,则PQ 的最小值为___________.【解析】【分析】将求PQ最小值的问题,转化为求点P 到圆心()1,0M 距离最小值的问题,结合点P满足椭圆方程,转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点P 为()00,x y ,[]03,3x ∈-,则2200193x y +=,则220033x y =-设圆225(1)8x y -+=的圆心为M ,则M 坐标为()1,0则PQ的最小值,即为MP的最小值与圆225(1)8x y -+=.又MP ===当[]03,3x ∈-时,MP ≥,当且仅当032x =时取得等号;故PQ ≥=.故答案为.【题型专练】1.(2021·陕西·长安一中高二期中(文))设B 是椭圆的上顶点,点P 在C 上,则22:14x C y +=PB 的最大值为________.2.已知椭圆的焦点,过点引两条互相垂直的两直线、,若222:1(1)x T y a a+=>(20)F -,(01)M ,1l 2l P 为椭圆上任一点,记点到、的距离分别为、,则的最大值为( )P 1l 2l 1d 2d 2212d d +A .2B .C .D .134134254【答案】D【解析】由题意知 ,所以,解得,所以椭圆的方程为,设4,122==c b 52=a 5=a 1522=+y x ,因为,且,所以又因,所以()00,y x P 21l l ⊥()1,0M (),1202022221-+==+y x PM d d 152020=+y x ,202055y x -=所以因为,所以当时,6241255020020202221+--=+-+-=+y y y y y d d 110≤≤-y 410-=y 的最大值为2221d d +4253.(多选题)已知点是椭圆:上的动点,是圆:P C 2213x y +=Q D ()22114x y ++=上的动点,则( )A .椭圆的短轴长为1B .椭圆C C C .圆在椭圆的内部D .的最小D C PQ 【答案】BC 【解析】【分析】AB.利用椭圆的方程求解判断;C.由椭圆方程和圆的方程联立,利用判别式法判断;D.利用圆心到点的距离判断.【详解】解:因为椭圆方程为:,2213x y +=所以,故A 错误,B 正确;222223,1,2,c a b c a b e a ===-===由,得,()222213114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2824210x x ++=因为,2244821960∆=-⨯⨯=-<所以椭圆与圆无公共点,又圆心在椭圆内部,()1,0-所以圆在椭圆内部,故C 正确;设,()(,P x y x ≤≤,==当时,取得最小则的最小,故D 错误,32x =-PD PQ 12故选:BC4.(全国·高二课前预习)点、分别在圆和椭圆上,则、P Q (222x y+=2214x y +=P Q两点间的最大距离是( )A .B .C .D .5.(2022·全国·高三专题练习)设椭圆的的焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P是C 上的动点,直线的一个焦点,的周长为y x =12PF F △4+(1)求椭圆的标准方程;(2)求的最小值和最大值.12PF PF +题型四:椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路:法一:设椭圆参数方程,即设椭圆上一点为()θθsin ,cos b a P ,用点到直线的距离公式法二:利用直线与椭圆相切,联立方程,利用判别式0=∆,求出切线,再求两直线间距离【例1】(2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中)椭圆22143x y +=上的点P 到直线l :30x y ++=的距离的最小值为( )ABCD【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的形式,运用三角代换法,结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由222cos 143x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨⎪⎩,设(2cos )P θθ,设点P 到直线l :30x y ++=的距离d ,所以有d ,其中tan (0,))2πϕϕ=∈,所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时,d 有最小=,故选:C【例2】(2022·全国·高二专题练习)椭圆上的点到直线22143x y +=290l x =:-的距离的最大值为______.【例3】(2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习)设点在椭圆上,点()11,P x y 22182x y +=在直线上,则的最小值为___________.()22,Q x y 280x y +-=212136x x y y -+-【题型专练】1.(2022·甘肃·兰州一中高二期中(文))已知实数x ,y 满足方程,则22220x y +-=x y +的最大值为________.2.(2022·全国·高二专题练习)椭圆:上的点到直线C 22194x y +=P 43180l x y ++=:的距离的最小值为_____.3.(2022·四川遂宁·高二期末(理))如图,设P 是圆229x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的射影,M 为PD 上的一点,且.23MD PD =(1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 方程;(2)求点M 到直线距离的最大值.:290l x y +-=4.(2020·海南·高考真题)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>过点M (2,3),点A 为其左顶点,且AM 的斜率为 ,12(1)求C 的方程;(2)点N 为椭圆上任意一点,求△AMN 的面积的最大值.联立直线方程与椭圆方程,2x y m -=2211612x y +=可得:,()2232448m y y ++=化简可得:,2216123480y my m ++-=题型五:椭圆有关向量积最值问题【例1】(2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中)已知P 为椭圆2212524x y +=上任意一点,EF 为圆22:(1)4N x y -+=任意一条直径,则PE PF ⋅的取值范围为( )A .[8,12]B .[12,20]C .[12,32]D .[32,40]【答案】C 【解析】【分析】由题意可得圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点,将PE PF ⋅ 化简得24NP-+ ,由椭圆的性质可知[,]NP a c a c ∈-+,从而可求出PE PF ⋅ 的取值范围【详解】由2212524x y +=,得2225,24a b ==,则5,1a b c ===,圆22:(1)4N x y -+=的圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点,圆的半径为2,因为()()PE PF NE NP NF NP⋅=-⋅- ()2NE NF NP NE NF NP=⋅-⋅++ 2cos 0NE NF NPπ=⋅-+ 24NP=-+ ,因为P 为椭圆2212524x y +=上任意一点,N 为椭圆的右焦点,所以[,]NP a c a c ∈-+ ,即[4,6]NP ∈ ,所以2[16,36]NP ∈ ,所以24[12,32]NP -+∈ ,所以PE PF ⋅的取值范围为[12,32],故选:C【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知是椭圆12,F F 22:142x y E +=的两个焦点,P 是椭圆E 上任一点,则的取值范围是____________12⋅ F P F P【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知点满(),P x y =,点A ,B 关于点对称且,则的最大值为( )()0,2D -2AB =PA PB ⋅A .10B .9C .8D .2【题型专练】1.(2022·山东·高三开学考试)在椭圆上有两个动点,为定点,,则2214x y +=,P Q ()1,0E EP EQ ⊥的最小值为( )EP QP →→⋅131223故选:C .2.(2022·全国·高三专题练习多选题)已知椭圆的左、右焦点为、,点22:132x y C +=1F 2F M为椭圆上的点不在轴上),则下列选项中正确的是( )(M xA .椭圆的长轴长为CB .椭圆的离心率C 13e =C .△的周长为12MF F 2+D .的取值范围为12MF MF ⋅[1,2)3.(2022·全国·高三专题练习)已知是椭圆的两个焦点,12,F F 22163x y +=,A B分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点在线段上,则的最小值为__________.P AB 12PF PF ⋅4.(2015·山西大同市·高二期末(理))设、分别是椭圆的左、右焦点,若Q 是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别为A .与B .与C .与D .与12-22-11-21-【答案】A【详解】试题分析:设,由题得,所以(,)Q x y 12(F F ,12(,),,)QF x y QF x y =-=--,因为在椭圆上,所以所以2212·3QF QF x y =-+(22)x -≤≤(,)Q x y ,所以当有最小值;或222123·31244x x QF QF x =-+-=- (22)x -≤≤0x =2-2x =2-时,有最大值1题型六:声东击西,利用椭圆定义求最值此种类型题目,一般要利用椭圆定义,转化为三点共线问题,利用三角形两边之和大于第三边,或者两边之差小于第三边解决【例1】(2022·辽宁·高二期中)动点M 分别与两定点(5,0)A -,(5,0)B 连线的斜率的乘积为1625-,设点M 的轨迹为曲线C ,已知N ,(3,0)F -,则||||MF MN +的最小值为( )A .4B .8C .D .12【答案】B 【解析】【分析】求出轨迹方程2212516x y +=,根据椭圆的定义,可得210MF MF +=,当2MF 经过点N 时,MF MN+最短.【详解】设动点M 的坐标为()M x y , ,则165525y y x x ⋅=-+- 整理后得:2212516x y += ,动点M的轨迹为椭圆,左焦点为()30F -,,右焦点为()230F , ,210MF MF += ,如下图所示,当2MF 经过点N 时,MF MN+最短,此时210108MF MN MF MN +=-+==故选:B【例2】已知是椭圆的左焦点,为椭圆上任意一点,点坐标为,则F 22:11615x y C +=P C Q (4,4)的最大值为( )||||PQ PF +A B .13C .3D .5【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示:,||||||2||2||813PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+==故选:B【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知椭圆C:2212516x y +=内有一点()2,3M ,1F ,2F 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆C 上的一点,求:(1)1PM PF -的最大值与最小值;(2)1PM PF +的最大值与最小值.【答案】(1)最大,最小值为(2)最大值为10,最小值为10【解析】【分析】(1)由题意可知:根据三角形的性质,即可求得11||||||||PM PF MF -…然后得到1||||PM PF -的最大值与最小值;(2)利用椭圆的定义表示出1||||PM PF +,根据椭圆的定义及三角形三边的关系,即可求得答案.(1)由椭圆22:12516x y C +=可知5a =,4b =,3c =,则1(3,0)F -,2(3,0)F ,则11||||||||PM PF MF -…,当且仅当P 、M 、1F 三点共线时成立,所以1||||PM PF -…,所以1||||PM PF -和;(2)210a =,2(3,0)F ,2||MF =,设P 是椭圆上任一点,由12||||210PF PF a +==,22||||||PM PF MF -…,12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+-+=-=…,等号仅当22||||||PM PF MF =-时成立,此时P 、M 、2F 共线,由22||||||PM PF MF +…,12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+++=+=+…,等号仅当22||||||PM PF MF =+时成立,此时P 、M 、2F 共线,故1||||PM PF +的最大值10与最小值为10.【题型专练】1.(2022·全国·高二专题练习)已知点(4,0)A 和(2,2)B ,M 是椭圆221259x y +=上的动点,则||||MA MB +最大值是( )A .10+B .10-C .8+D .8【答案】A 【解析】【分析】设左焦点为(4,0)F -,A 为椭圆右焦点,利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-,然后利用平面几何的性质得最大值.【详解】解:椭圆221259x y +=,所以A 为椭圆右焦点,设左焦点为(4,0)F -,则由椭圆定义||||210MA MF a +==,于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时,M 、F 、B 三点构成三角形,于是||||||MB MF BF -<,而当M 在直线BF 与椭圆交点上时,在第一象限交点时,有||||||MB MF BF -=-,在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值,其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+.故选:A.2.(2022·全国·高二专题练习)已知F 为椭圆221259x y +=的左焦点,(2,2)B 是其内一点,M为椭圆上的动点,则MF MB+的最大值为__,最小值为__.【答案】 10+10-【解析】【分析】设A 为椭圆右焦点,设左焦点为(4,0)F -,B 在椭圆内,由椭圆定义210MA MF a +==,结合当M 在直线AB 与椭圆交点上时和当M 在直线BA与椭圆交点,分别求得其最大值与最小值,即可求解.【详解】设A 为椭圆右焦点,设左焦点为(4,0)F -,B 在椭圆内,则由椭圆定义210MA MF a +==,当M 在直线AB 与椭圆交点上时,M 在x 轴的上方时,10MF MB AB+=-,取得最小值,最小值为:1010-=-;当M 在直线BA 与椭圆交点,在x 轴的下方时,MF MB+有最大值,其最大值为1010MF MB MF MA AB AB +≤++=+=+.故答案为:10+10-3.(2022·四川·成都七中高二期末(文))已知点()4,0A ,()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点,M 是椭圆上的动点,则MA MB+的最大值为______.【答案】10+##10+【解析】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意,椭圆方程为221259x y +=,所以5,3,4a b c ===,所以()4,0A 是椭圆的右焦点,设左焦点为()4,0C -,根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC+=-+=+-,=,所以MA MB+的最大值为10+故答案为:10+4.(多选题)已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆内部,点22:12521x y C +=1F 2F ()2,3P Q在椭圆上,则可以是( )2QF QP+A .B .C .D .5101520【答案】ABC 【解析】【分析】作出图形,设直线交椭圆于点、,利用椭圆定义可得1PF C M N 2110QF QP QP QF +=+-,利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得Q M N 2QF QP+的取值范围,即可得出合适的选项.【详解】在椭圆中,,,,则、,如下图所示:C 5a =b =2c =()12,0F -()22,0F设直线交椭圆于点、,1PF C M N 5=由椭圆定义可得,则,故,1210QF QF +=2110QF QF =-2110QF QP QP QF +=+-当点与点重合时,此时取得最小值,即,Q M 2QF QP +()21min 105QF QP PF +=-=当点与点重合时,此时取得最大值,即.Q N 2QF QP+()21max 1015QF QP PF +=+=因此,的取值范围是.2QF QP+[]5,15故选:ABC.。

椭圆中的常见最值问题

椭圆中的常见最值问题

椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点。

例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为,则取得的最大值时,P点的坐标是。

P(0,3)或(0,-3)例2、已知椭圆方程()p为椭圆上一点,是椭圆的二焦点,求的取值范围。

分析:,当时,=,当时,即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。

例3、已知,、是椭圆的左右焦点,P为椭圆上一动点,则的最大值是,此时P点坐标为。

的最小值是,此时P点坐标为。

3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。

例4、已知,是椭圆的左焦点,P为椭圆上一动点,则的最小值是,此时P点坐标为。

的最大值是,此时P点坐标为。

分析:,当P是的xx与椭圆的交点时取等号。

,当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。

4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值(为椭圆的离心率),可通过转化为(为P到相应准线的距离)最小值,取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。

例5、已知定点,点F为椭圆的右焦点,点M在该椭圆上移动,求的最小值,并求此时M点的坐标。

例6、已知点椭圆及点,为椭圆上一个动点,则的最小值是。

5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。

例7、过椭圆()的中心的直线交椭圆于两点,右焦点,则的最大面积是。

例8、已知F是椭圆的一个焦点,PQ是过原点的一条弦,求面积的最大值。

6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。

例9、P为椭圆()一点,左、右焦点为,则的最大面积是。

7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。

解答椭圆中最值问题策略(最新整理)

解答椭圆中最值问题策略(最新整理)

解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容,而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点,是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域,以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数,利用函数性质例1 设P(x ,y)是椭圆+=1上的一点,F 1为椭圆的左焦点,求|PF 1|的最大值和x264y228最小值.分析:由于点F 的坐标为(-6,0),因此只须设出点P 的坐标(x ,y),结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数,再结合函数的即可求解.解:椭圆的左焦点F 1坐标为(-6,0),根据两点的距离公式,得|PF 1|====|x +|,(x +6)2+y234323由已知,得x ∈[-8,8],函数|x +|在[-8,8]上为增函数,34323故|PF 1|max =|8+|=14,|PF 1|min =|-8+|=2.3432334323点拨:函数法是探求最值问题的常用方法,尤其是二次函数,值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答,可得结论:椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化,结合平面几何性质例2 已知A (4,0)、B (2,2),M 是椭圆9x 2+25y 2=225上的动点,求|MA |+|MB |的最大与最小值.分析:由于A(4,0)是椭圆的焦点,因此可以利用椭圆的定义对|MA |+|MB |转化,转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析:如图所示,由题意,知点A (4,0)恰为椭圆右焦点,则A 关于O 的对称点A 1(-4,0)(左焦点),由椭圆的第一定义,得|MA |+|MA 1|=2a ,|MA |=2a -|MA 1|,∴|MA |+|MB |=(2a -|MA 1|)+|MB |=2a +(|MB -|MA 1|),在△A 1BM 中,||MB |-|MA 1||≤|A 1B |=2,-2≤|MB |-|MA 1|≤2,101010又2a =10.故|MA |+|MB |的最大值是10+2,最小值为10-2.1010点评:(1)涉及椭圆的焦点问题,一般都可以利用定义引导思维,同时常起着转化的作用;(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”,三点共线为特例,从而确定最值.三、巧妙设角,利用三角函数有界性例3 已知椭圆C :+=1(a >b >0)两个焦点为F 1,F 2,如果曲线C 上存在一点x2a2y2b2Q ,使F 1Q ⊥F 2Q ,求椭圆离心率的最小值。

例析处理椭圆中的最值问题的方法与策略

例析处理椭圆中的最值问题的方法与策略

2010.No35椭圆中的有关最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目,是解析几何中具有代表性的、高考常考的题型。

它的求解常常涉及到函数、不等式、方程、三角、以及平面几何等方面的知识,综合性较强,是高考的一个难点问题。

椭圆中的这些最值问题,往往可通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、代换等途径来解决。

一、椭圆中的常用最值结论设F 1,F 2为椭圆 =1(a>b>0)的左右焦点,P为椭圆上任意一点,B为短轴的顶点,则有下面的结论成立:1、椭圆中过中心的最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b;2、椭圆中最长的焦点弦为长轴长2a,最短的焦点弦为通径 ;3、椭圆中最长的焦半径为a+c,最短的焦半径为a-c;4、椭圆中焦点三角形的顶角∠F 1PF 2的最大值为∠F 1BF 2,且S △F1PF2的最大值为bc二、几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形的性质来解决。

例1 已知点P(1,2),F为椭圆 =1的右焦点,点Q 在椭圆上移动,则 的最小值为分析:注意到式中的数值“2”恰为 ,则由椭圆第二定义,即 =e得d= 转化为椭圆上的点Q到右准线的距离,结合平面几何的性质问题就迎刃而解了。

解析:由椭圆方程可知a=4,b=2 ,c= =2,e= 椭圆右准线l:x=8如图:过点Q作QQ′垂直于直线l于点Q′ 由椭圆第二定义知, =e ∴ 于是由几何性质易知,当P、Q、Q′在同一条直线上时, 才取得最小值,此时,最小值为8-1=7例2:已知椭圆 =1 内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点,P是椭圆上一动点,求 的最大值与最小值。

解析:设椭圆的右焦点为F′且F′(3,0)由椭圆的第一定义得: =10可知,当P为AF′的延长线与椭圆的交点时, 最大,最大值为 ,当P为AF′的延长线与椭圆的交点时,最小,最小值为 。

故 的最大值为10+ ,最小值为10- 。

椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法(1)利用定义转化为几何问题处理;(2)利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征进而求解;(3)利用函数最值得探求方法,将其转化为区间上的二次函数的最值来处理,此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围;(4)利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理。

一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,椭圆上一动点与长轴的两端点重合时,动点与焦点取得最大值a+c (远日点)、最小值a-c (近日点)。

推导:设点),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的任意一点,左焦点为)0,(1c F -,20201)(||y c x PF ++=,由1220220=+b y ax 得)1(22020a x b y -=,将其代入20201)(||y c x PF ++=并化简得a x a cPF +=01||。

所以,当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时,a c a a acPF +=+×=max 1||;当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。

c a a a a cPF -=+-×=)(||min 1。

当焦点为右焦点)0,(2c F 时,可类似推出。

1.(2015浙江卷)如图,已知椭圆1222=+y x 上两个不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。

(1)求实数m 的取值范围;(2)求AOB D 面积的最大值(O 为坐标原点)。

解:(1)由题意知0¹m ,可设直线AB 的方程为b x my +-=1。

联立ïîïíì+-==+bx m y y x 11222,消y 去,得012)121(222=-+-+b x m b x m 。

因为直线b x m y +-=1与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点,所以042222>++-=D mb 。

2.2.3椭圆中的范围最值问题

2.2.3椭圆中的范围最值问题

即 y02

ax0

x0 2
,又
x0 2 a2

y02 b2
1
a2 b2
x02
a3x0
a2b2
0,
即 x0 a
a2 b2
x0 ab2
0
x0

ab2 a2 b2

0

x0

a 0

ab2 a2c2
1,0

4 y12 4 y22
12 12
3x1 x2 x1 x2 4y1 y2 y1 y2 0
x1 x2 2x, y1 y2 2 y, x1 x2 ,
3x 4y

y1 x1
y2 x2
kPQ

1,y 4
3x


y
y
3x 4x
m
解得
M
(m,3m)
点 M 在椭圆 C 的内部 m2 3m2 1,

4
3
2 13 m 2 13
13
13
思考:设
P
x2 y2
是椭圆 9 + 5 =1
上一点,M,N
分别是两圆:
(x+2)2+y2=1 和(x-2)2+y2=1 上的点,
则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 ( A )
A.4,8
B.2,6
C.6,8
D.8,12
椭圆中的范围最值问题
例 1.若椭圆上存在一点 P 过以椭圆中心和长轴
一个端点为直径的圆,求椭圆离心率的取值范围.
解:不妨设椭圆方程 x2 y 2 1a b 0,

椭圆中的最值和取值范围问题课件

椭圆中的最值和取值范围问题课件

(三)合作探究,强化运用意识
(1)解:由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣ky+n,代入椭圆方程

可得(k2+2)y2﹣2kny+n2﹣2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意,△=4k2n2﹣4(k2+2)(n2﹣2)=8(k2﹣n2+2)>0,
由韦达定理得
设线段 AB 的中点 P(x0,y0),
解:︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱ 连接 PF1 延长 PF1 交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭圆于点 M2 由三角形三边关系知–︱PF1︱ ︱MP︱-︱MF1︱ ︱PF1︱ 当且仅当 M 与 M1 重合时取右等号、M 与 M2 重合时取左等号。 因为 2a=10, ︱PF1︱=2 所以(︱MP︱+︱MF2︱)max=12, (︱MP︱+︱MF2︱)min=8
(一)知识回顾,聚焦核心考点
2.椭圆的标准方程 和简单几何性质
|x|≤a,|y|≤b (±a,0),(0,±b)
|y|≤a,|x|≤b (0,±a),(±b,0)
x=0,y=0 (0,0)
(一)知识回顾,聚焦核心考点
3.弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则
1、 椭圆中的最值问题类型较多, 距离、离心率、弦长、面积,斜率等等, 解法灵活多变, 有函数法、不等式法、定义法、几何法、三角代换 法,设而不求法,等,但总体上主要有两种角度: 一是几何角度,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定 理、性质等进行求解; 二是代数角度,即把几何条件转化为代数表达,然后利用方程法,函
丰富学生思维活动,提升数学核心素养

椭圆中的最值问题专项

椭圆中的最值问题专项

椭圆中的最值问题专项摘要本文主要介绍椭圆中的最值问题,包括椭圆的定义、性质、最值问题以及求解方法等内容。

本文将从几何和代数两个角度出发,深入浅出地阐述椭圆中的最值问题,为读者解决相关问题提供参考。

引言椭圆是一种经典的基本图形,具有许多独特的性质和应用。

其中,椭圆中的最值问题是经常出现的问题之一,对于许多研究者而言也是一个难点。

因此,讨论椭圆中的最值问题对于理解椭圆的性质和应用具有重要意义。

椭圆的定义和性质在笛卡尔坐标系中,椭圆可以表示为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。

其中,$(h,k)$表示椭圆中心的坐标,$a$和$b$分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的性质主要有以下几点:- 椭圆在$x$轴和$y$轴上的交点分别称为$foci$。

它们的距离为$2c$,满足$c^2=a^2-b^2$。

- 椭圆的离心率可以表示为$e=\frac{c}{a}$。

当离心率小于$1$时,椭圆为实心椭圆;当离心率等于$1$时,椭圆为抛物线;当离心率大于$1$时,椭圆为双曲线。

- 椭圆的周长可以表示为$C=4aE(e)$,其中$E$为椭圆的第二类完全椭圆积分。

- 椭圆的面积可以表示为$S=\pi ab$。

椭圆中的最值问题在椭圆中,最值问题主要包括最大值和最小值问题。

常见的有以下几种类型:- 给定椭圆方程,求解在椭圆上的最大、最小值;- 给定椭圆上一点,求解在以该点为圆心的圆内的最大、最小值;- 给定椭圆上弦的长度,求解在这条弦上的最大、最小值。

求解方法常见的求解方法包括几何方法和代数方法。

- 几何方法:可以通过椭圆的对称性等几何特点,来求解最值问题。

例如,当椭圆的离心率为$1$,也就是椭圆退化成抛物线时,最值问题可以用焦点和准线的几何意义求解。

- 代数方法:可以通过二次函数的求极值以及拉格朗日乘数法等代数方法,来求解最值问题。

例如,对于给定椭圆方程求解最值问题时,可以先对椭圆方程进行化简,再用导数法求极值。

巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)

巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)

巧用定义求椭圆中四类最值问题聂文喜圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据,又是用来解决一些问题的重要方法,一般情况下,当问题涉及焦点或准线,且用其它方法不易求解时,可考虑运用定义求解,下面以椭圆为例归纳四类最值问题。

一、的最值若A为椭圆内一定点(异于焦点),P是C上的一个动点,F是C的一个焦点,e 是C的离心率,求的最小值。

例1. 已知椭圆内有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的动点,求的最小值。

分析:注意到式中的数值“”恰为,则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。

这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过,这里不再重复,答案为。

二、的最值若A为椭圆C内一定点(异于焦点),P为C上的一个动点,F是C的一个焦点,求的最值。

例2. 已知椭圆内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点,求的最大值与最小值。

解:如图1,设椭圆的右焦点为,可知其坐标为(3,0)图1由椭圆的第一定义得:可知,当P为的延长线与椭圆的交点时,最大,最大值为,当P为的延长线与椭圆的交点时,最小,最小值为。

故的最大值为,最小值为。

三、的最值若A为椭圆C外一定点,为C的一条准线,P为C上的一个动点,P到的距离为d,求的最小值。

例3. 已知椭圆外一点A(5,6),为椭圆的左准线,P为椭圆上动点,点P到的距离为d,求的最小值。

解:如图2,设F为椭圆的左焦点,可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有:,即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时,最小,最小值。

故的最小值为10。

四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动,求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

解:设F为椭圆的右焦点,如图3,作于A”,BB”⊥于B”,MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。

故M到椭圆右准线的最短距离为。

评注:是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值,是AB能过焦点的充要条件。

椭圆的最值问题

椭圆的最值问题

椭圆的最值问题椭圆的最值问题是指在一个给定的椭圆内,找出某个函数的最大值或最小值。

为了解决这个问题,可以利用椭圆的性质和数学方法进行分析。

首先,我们需要确定椭圆的方程。

一个标准的椭圆方程可以表示为:(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中,(h,k)表示椭圆的中心坐标,a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴的长度。

接下来,我们需要确定要求最值的函数。

假设要求椭圆内的某个函数f(x, y) 的最大值或最小值。

有两种常见的方法可以解决椭圆的最值问题:1. 极值点法:我们可以计算函数f(x, y) 在椭圆边界上的极值点,并比较它们的函数值,找到最大值或最小值。

这可以通过拉格朗日乘数法等方法来实现。

2. 参数化法:我们可以将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t),其中t 是一个参数。

然后将函数f(x, y) 在参数t 的取值范围内进行优化,找到最大值或最小值。

这可以通过微积分的方法来实现。

需要注意的是,在解决椭圆的最值问题时,我们还需要考虑函数f(x, y) 的定义域是否在椭圆内。

如果定义域超出了椭圆的范围,则需要对其进行限制或者使用其他方法进行求解。

椭圆的最值问题可以通过极值点法或参数化法来解决,具体的方法取决于具体的问题和函数形式。

通过合理选择方法并利用数学工具,我们可以有效地求解椭圆内函数的最大值或最小值。

当使用参数化法解决椭圆的最值问题时,以下是一些常见的步骤:1. 将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t),其中(h,k) 是椭圆的中心坐标,a 和b 分别是椭圆在x 轴和y 轴上的半长轴和半短轴的长度。

2. 将函数f(x, y) 表示为f(t) 的形式,即将函数中的x 和y 替换为参数t 的表达式。

这样,问题就被转化为在参数t 的取值范围内寻找f(t) 的最大值或最小值。

3. 确定参数t 的取值范围。

椭圆中常见最值问题

椭圆中常见最值问题

例4、已知A(1,1),F 1是椭圆=1的左焦点,P 为椭圆上一动点,则椭圆中的常见最值问题1、 椭圆上的点P 到二焦点的距离之积IPF 1IIPF 2I 取得最大值的点是椭圆短 轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点。

2 2例1、椭圆—1上一点到它的二焦点的距离之积为m ,则m 取得的259最大值时,P 点的坐标是 ____________ 。

P (0,3)或(0,-3)2 2例2、已知椭圆方程 笃•爲=1( a b 0,a 2 =b 2 c 2 )p 为椭圆上一点,F I,F 2a b是椭圆的二焦点,求I PF 1 || PF 2 |的取值范围。

分析:| PF 1 || PF 2 |=(a • ex)(a - ex)二 a 2 -e 2x 2, (| x# a)当 x = _a 时,|PF 1||PF 2|min =a 2-c 2=b 2,当 x=0 时,I PF 1 || PF ?爲=a 2即 b^^| PF 1 || PF 2 | ma 22、 椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或 最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点 ,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。

2 2例3、已知A(1,1),F 1、F 2是椭圆—y1的左右焦点,P 为椭圆上一动95点,则|PA|-|PF 2I 的最大值是 _____________ ,此时P 点坐标为 ______ 。

丨PA|-|PF 2| 的最小值是 ________ ,此时P 点坐标为 _____ 。

3、 椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最 小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。

| PA | | PF i |的最小值是__________ ,此时P点坐标为_____ 。

丨PA | • | PF i |的最大值是_________ ,此时P点坐标为______ 。

高考数学复习点拨:例析椭圆中的三种最值问题

高考数学复习点拨:例析椭圆中的三种最值问题

例析椭圆中的三种最值问题与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性,涉及到数学知识的多种知识点,诸如:几何、三角、函数等,同时与椭圆的定义、方程联系紧密,思维能力要求比较高.下面对与椭圆的最值有关的问题作简单的探究: 一、利用定义转化为几何问题处理最值:例1、已知1F 是椭圆22195x y +=的左焦点,P 是椭圆上的动点,()1,1A 为定点,则1PA PF +的最小值是( )A、9 B、6 C、3+ D 、6解析:连接2F A 并延长交椭圆P '是椭圆上一动点,连接12,,PF PF PA ∵1212PF PA AF PF PF ++≥+,而121212PF PF P F P F P F P A AF ''''+=+=++, ∴1212PF PA AF P FP A AF ''++≥++,∴111226PF PA P FP A P F P F AF ''''+≥+=+-=(当P 与P '重合时取“=”号) 故答案:选B 。

二、利用椭圆的标准方程三角换元求最值:例2、已知点P 是椭圆221169x y +=上任意一点,则点P 到直线70x y +-=的距离最大值为解析:由椭圆的方程221169x y +=,则可设4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 设点()4cos ,3sin P θθ,则点P到直线的距离为d ==当()sin 1θϕ+=-,距离d的最大值为max d == 点评:本题利用里椭圆的标准方程的结构形式,把椭圆的最值问题,转化为三角函数的最值问题,利用三角函数的性质求解。

三、利用函数的最值探究方法:例3、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率2e =,已知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到这个,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P 坐标。

解析:设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>,由2e =,即2c a =,又222a b c =+ ∴2a b =,故椭圆的方程是()2222104x y b b b+=>。

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椭圆中的最值问题
邢志平
本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向:几何化、代数化、三角化,这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。

1. 几何化方向
画出图形,利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。

例1. 已知点、B(2,0),在椭圆上求一点P,使|AP|+2|BP|最小,则P点坐标为___________。

解根据题意,知B为椭圆的右焦点,A为椭圆内一点。

因为,
所以。

由椭圆第二定义,知,
即,
所以,
这样,问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。

过A作AN⊥L于N,交椭圆于P点,P即为所求。

所以
P点坐标为。

例2. 已知椭圆上一动点P,与圆上一动点Q,及圆
上一动点R,求|PQ|+|PR|的最大值。

解如图1,连结PF
1、PF
2
及F
1
R、F
2
Q,所以得到△PRF
1
及△PQF
2
,根据题意可知,
圆心恰好为椭圆的两个焦点。

在三角形中
|PR|<|PF
1|+|F
1
R|,
|RQ|<|PF
2|+|F
2
Q|,
所以,
即。

当P、F
1、R与P、F
2
、Q都共线时,

所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。

在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。

2. 代数化方向
先求出变量的函数表达式(或目标函数)然后用适当的代数方法(如:配方、均值不等式、函数单调性等)加以解决。

例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则此椭圆的长轴长的最小值为___________。

解在椭圆上取一点P(x,y),。

当P点在短轴顶点时,|y|最大为b,
所以。

又,
所以。

先利用面积与高的函数关系式,确定面积的最大值,再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。

例4. 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点P(0,
)到这个椭圆上的点最远距离为,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。

分析本题是一道“动中求静”的综合问题,必须用函数观点分析。

解从可推出a=2b,于是可设椭圆方程为
,即。

设M(x,y)是椭圆上任意一点,且

于是,有
由于,于是转化为在闭区间,求二次函数的最值问题,从“轴定区间动”的规律知
若时,则

所以,
此方程的解不满足。

若,则

所以,
解得,
因此,所求的椭圆方程为,M点的坐标为(0,-1)。

本题利用了二次函数闭区间的最值问题的讨论。

3. 三角化方向
求出目标函数的三角函数表达式,利用三角函数求值域。

例5. 设实数x,y满足,则x+y的最大值____________。

解因为x,y满足椭圆方程

所以可设,
于是,。

所以,。

例6. 已知椭圆,取B(0,)及另外动点P,若以BP为边作正△BPQ,当P变动时,求△BPQ面积的最大值。

分析联想椭圆的参数方程,构建面积S的函数方程,进而利用三角函数求最值。

解在椭圆为椭圆的短轴顶点,
设P(),则


所以

所以当,即P(0,)时,。

根据题目的特点,选择简洁的方法。

有时,各种方法结合起来,则会更快捷。

[练习]
1. P是椭圆上的点,F
1、F
2
为焦点,则|PF
1
|·|PF
2
|的最大
值是______。

2. 过原点的直线与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点,若F(c,0)是椭圆的右焦点,则△FAB的最大面积为()
A. b2
B. bc
C. ac
D. ab
3. 设点P在圆上移动,点Q在椭圆上移动,求|PQ|的最大值及相应的点Q的坐标。

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