数学物理方法第七章 (2)
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2
自学
传输线方程(电报方程) 流体力学与声学方程
均匀薄膜的微小横振动 真空中电磁波方程
20
7.1.4扩散方程 7.1.4.1 由于浓度不同引起的分子运动
由于浓度(单位体积中的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方 向浓度小的地方转移．这种现象叫作扩散。 扩散流强度q，即单位 时间内流过单位面积的 分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的下降成正比
的球坐标解将会出现勒让德函数，而在柱坐标下的解将会出现贝塞尔函数。）
5
0.4
第二篇课时安排
第二篇 数学物理方程 （共24课时）
第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 第十三章 数学物理定解问题（6课时） 分离变数（傅立叶级数）法 （6课时） 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 球函数 （2课时*） 柱函数（2课时*） Green函数法（2课时*） 积分变换法（2课时*） （4课时）
分方程、微分积分方程和常微分方程．
2
0.1
学习意义
《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前导 课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和 《半导体物理》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本 科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内 容，以此构建完整的知识体系。 数学物理方程的意义还在于，对本质上不同的物理问题可以具有相同的 数学模型。通过同一数学模型的研究，反过来就可用类比的方法对不同本 质的物理问题进行探讨。所以，系统地了解这些典型的数学物理方程及其 求解方法，无疑是研究物理学的重要手段。
6
0.5
用数理方程研究物理问题的步骤
1、写出定解问题 泛定方程：数理方程(一般规律) 定解条件：初始、边界、衔接条件(个性)
2、求解 求解方法：行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变 换法、复变函数法、变分法
3 、分析解答
物理意义 适定性：存在 唯一 稳定
7
0.6
学习方法与考核方式
对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律以及偏微分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法，或能够利用已有的常 微分方程知识进行求解的方法； 3、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。 4、快速多遍，抓大放小，厘清脉络，掌握典型。 组成：平时成绩30%；期终成绩70% 方式：闭卷考试 内容：典型题，有范围。 共同学习，互相促进!
3
0.2
课程构成 复变函数论 数学物理方程
三种方程 四种求解方法 行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法 二个特殊函数 微分、积分、级数、留数理论
波动方程 输运方程 稳定场方程
贝赛尔函数 勒让德函数
4
0.3
课程概述
主要内容：三类典型的二阶线性偏微分方程对应的定解问题以及由此而连 带引出的本征值问题和特殊函数理论。（核心：解偏微分方程）
x方向左表面，单位时间流入六面体 的流量为
q x x dydzdt
单位时间流出六面体的流量为 净流入量为
qx
x dx
x dx
dydzdt
q x x dydz q x
dydzdt
(q x
x dx
q x x ) dydzdt
q x dxdydzdt x
y
1 T1
M1 M2
ux x )
T2
dx
2
Tu xx u tt
u tt Tu xx 0
记
x
x+x
x
a
2
T
源自文库
u tt a u xx 0
2
自由振动
如果弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力F(x,t)
u tt a 2 u xx f ( x , t )
sin 2 tg 2 u x
x x
sin 1 tg 1 u x
x
(Tu x )
x dx
(Tu x ) x dxu tt
14
7.1.3波动方程
T2 T1 T
T (u x
x dx
T (u x
u tt
x dx
u x x ) dxu tt
受迫振动
f ( x, t ) F ( x, t ) /
15
7.1.3波动方程
例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度转动， 试推导此绳相对于水平线的横振动方程
dm dx
弦的横向位移为 u(x,t)
y
l x x x+x
M2
T1 cos 1 T2 cos 2 dx 2 x
dv F m ma dt
研究某个物理量(电磁场强度、杂质浓度等)在时空中的分布及变化情况．自变数 包含时间和空间，一般构成偏微分方程。
utt a 2u xx 0
共性 个性 客观物理规律 环境影响 历史联系 数学物理方程（泛定） 边界条件 初始条件
11
数学物理 定解问题
7.1.2预备知识
(* 这三类方程具有其广泛的应用，例如:理论力学中的哈密顿方程，电动力学中的麦克斯韦方 程，量子力学中的薛定谔方程等等都与这三类方程有密切的关系。)
1，几种常用的方程所对应的定解问题的基本解法，侧重介绍行波法和分离 变数法。特别要灵活掌握分离变数法。 2，讨论分离变数法所引伸出的本征值问题以及二阶线性常徽分方程的幂级 数解法。本征值问题是常微分方程的一个理论分支。 3，讨论有关的特殊函数，特别是勒让德函数的理论。特殊函数在数学中已 成为一个独立分支，它在物理学和工程技术中有着广泛的应用。（例如静电势
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T2 sin 2 T1 sin 1 dsu tt
T2 T1 0
y
1 T1
M1
M2
T2 2
T2 sin 2 T1 sin 1 dsu tt
考虑小振动
x
x+x
x
ds ( dx ) 2 ( dy ) 2 dx
q Du
D为扩散系数 负号表扩散方向与浓度 梯度相反
u u u q D( i j k) x y z u u qx D qy D x y u q D 大小 n
u qz D z
21
7.1.4扩散方程
数学物理方法（第四版）
梁昆淼 编
主讲教师： 张玉刚
合肥工业大学电子科学与应用物理学院 Hgdzyg@163.com
1
0
前言
第二篇 数学物理方程
物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多实际物理问题。可定量解 决实际物理问题就需要数学描述，而在数学描述遇到的数学问题也是需解 决的,这就派生出一些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数 学物理方法这一课程 。 定义：数学物理方程特指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在 各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。 *数学物理方程是指有直接的物理背景的偏微分方程，有时也包括与此有关的积
dm ds
T2 cos 2 T1 cos 1 0
y F ( x, t )
T2 sin 2 T1 sin 1 dmu tt
1 T1
M1
M2
T2 2
T2 sin 2 T1 sin 1 dsu tt
x
x+x
x
13
7.1.3波动方程
u ( x dx )
B
u E x
x
u E x
x dx
C
E=(F·L)/(S·△L) E Young modulus 在小形变时应力F/S与相应的应变△L/L之比
B段运动方程为
u u 2u ES x dx ES x ( Sdx ) x x t 2 E u x x dx u x x u tt dx
整理得：
1 2 2 utt [(l x 2 )u x ] 0 2 x
17
7.1.3波动方程
7.1.3.2、均匀杆的纵振动 将细杆分成许多段 t时刻，A段伸长
u ( x, t)
t时刻，B段伸长
x
u ( x)
A
x dx
F
x
u ( x dx )
B
u ( x dx , t ) u ( x , t )
19
7.1.3波动方程
B段运动方程 为
u ES x
x dx
x dx
u ES x
x
x
2u ( Sdx ) 2 t
E ux
ux
dx Eu xx u tt
记
u tt
E u x u tt x
a
2
E
u tt a u xx 0
du
相对伸长
C
t
u ( x dx , t ) u ( x , t ) u x dx
事实上，相对伸长是位置的 函数，如
u x
x
u x
x dx
18
7.1.3波动方程
相对伸长（应变）
u x
x
u x
x dx
x
u ( x)
A
x dx
F
x
由虎克定律，B两端的张应力 （单位横截面的力）分别为
（Delta，二阶微分算子，拉普拉斯算子）
2u u tt t 2
u ut t
u xx
2u x 2
有时记
2 2 2 2 2 x y
2 2 2 3 2 2 2 x y z
12
7.1.3波动方程
7.1.3.1、弦的横振动 把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为X轴．把 弦上各点的横向位移记作u．(抽象化，理想化） 弦的横向位移为 u(x,t)
u qx D x
u qy D y
u qz D z
x方向左表面，dt 时间流入六面体的 流量为
q x dydzdt
流出六面体的流量为
z
y
dx
( x, y , z )
dz dy x
qx
x dx
dydzdt
22
7.1.4扩散方程
z
y
dx
( x, y , z )
dz dy x
小振动，扩散方程，热传导方程，稳定温度分布，静电场）
§7.2．定解条件。初始条件，边界条件。 （非线性边界条件不作要求） §7.3．二阶线性偏微分方程的分类。（双曲型，抛物型，椭圆型方程） §7.4．行波法。达朗伯公式，行波，求解公式。定解问题，适定性。
10
§7.1 数学物理方程的导出
7.1.1 共性与个性，泛定方程和定解条件 研究某个物理量(位移、电流或电压) 随着时间而变化．一般构成以时间为自 变数的常微分方程，如质点的运动方程、电路微分方程。
T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt dT dx x
2
y
1 T1
M1
T2
（小段近似）
2
T ( l ) T ( x ) dx 2 x
x
l
(Tu x )
x dx
(Tu x ) x dxu tt
x
x+x
16
i j k z x y
（Nabla，矢量微分算子）
(i j k ) (i j k ) x y z x y z
2 2 2 2 2 2 x y z
记
8
第7章 数学物理方程定解问题
7.1数学物理方程的导出 7.2定解条件 7.3数学物理方程的分类 (自学*） 7.4达朗贝尔公式、定解问题
9
本章基本要求、教学内容及重点
基本要求： 1．了解定解问题的提法； 2．了解几种常见的数学物理方程的导出； 3．熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式； 4．能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类； 5．了解行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗贝尔公式。 教学内容： §7.1．数学物理方程的导出。（均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动，均匀薄膜的微
x
7.1.3波动方程
T ( x)
l x
dx 2 x
1 2 (l 2 x 2 ) 2
(Tu x )
x dx
(Tu x ) x dxu tt
1 1 2 2 2 [ (l x )u x ] x dx [ 2 (l 2 x 2 )u x ] x dxutt 2 2
自学
传输线方程(电报方程) 流体力学与声学方程
均匀薄膜的微小横振动 真空中电磁波方程
20
7.1.4扩散方程 7.1.4.1 由于浓度不同引起的分子运动
由于浓度(单位体积中的分子数或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方 向浓度小的地方转移．这种现象叫作扩散。 扩散流强度q，即单位 时间内流过单位面积的 分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的下降成正比
的球坐标解将会出现勒让德函数，而在柱坐标下的解将会出现贝塞尔函数。）
5
0.4
第二篇课时安排
第二篇 数学物理方程 （共24课时）
第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 第十三章 数学物理定解问题（6课时） 分离变数（傅立叶级数）法 （6课时） 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 球函数 （2课时*） 柱函数（2课时*） Green函数法（2课时*） 积分变换法（2课时*） （4课时）
分方程、微分积分方程和常微分方程．
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0.1
学习意义
《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前导 课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和 《半导体物理》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本 科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内 容，以此构建完整的知识体系。 数学物理方程的意义还在于，对本质上不同的物理问题可以具有相同的 数学模型。通过同一数学模型的研究，反过来就可用类比的方法对不同本 质的物理问题进行探讨。所以，系统地了解这些典型的数学物理方程及其 求解方法，无疑是研究物理学的重要手段。
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0.5
用数理方程研究物理问题的步骤
1、写出定解问题 泛定方程：数理方程(一般规律) 定解条件：初始、边界、衔接条件(个性)
2、求解 求解方法：行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变 换法、复变函数法、变分法
3 、分析解答
物理意义 适定性：存在 唯一 稳定
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0.6
学习方法与考核方式
对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律以及偏微分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法，或能够利用已有的常 微分方程知识进行求解的方法； 3、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。 4、快速多遍，抓大放小，厘清脉络，掌握典型。 组成：平时成绩30%；期终成绩70% 方式：闭卷考试 内容：典型题，有范围。 共同学习，互相促进!
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0.2
课程构成 复变函数论 数学物理方程
三种方程 四种求解方法 行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法 二个特殊函数 微分、积分、级数、留数理论
波动方程 输运方程 稳定场方程
贝赛尔函数 勒让德函数
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0.3
课程概述
主要内容：三类典型的二阶线性偏微分方程对应的定解问题以及由此而连 带引出的本征值问题和特殊函数理论。（核心：解偏微分方程）
x方向左表面，单位时间流入六面体 的流量为
q x x dydzdt
单位时间流出六面体的流量为 净流入量为
qx
x dx
x dx
dydzdt
q x x dydz q x
dydzdt
(q x
x dx
q x x ) dydzdt
q x dxdydzdt x
y
1 T1
M1 M2
ux x )
T2
dx
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Tu xx u tt
u tt Tu xx 0
记
x
x+x
x
a
2
T
源自文库
u tt a u xx 0
2
自由振动
如果弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力F(x,t)
u tt a 2 u xx f ( x , t )
sin 2 tg 2 u x
x x
sin 1 tg 1 u x
x
(Tu x )
x dx
(Tu x ) x dxu tt
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7.1.3波动方程
T2 T1 T
T (u x
x dx
T (u x
u tt
x dx
u x x ) dxu tt
受迫振动
f ( x, t ) F ( x, t ) /
15
7.1.3波动方程
例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度转动， 试推导此绳相对于水平线的横振动方程
dm dx
弦的横向位移为 u(x,t)
y
l x x x+x
M2
T1 cos 1 T2 cos 2 dx 2 x
dv F m ma dt
研究某个物理量(电磁场强度、杂质浓度等)在时空中的分布及变化情况．自变数 包含时间和空间，一般构成偏微分方程。
utt a 2u xx 0
共性 个性 客观物理规律 环境影响 历史联系 数学物理方程（泛定） 边界条件 初始条件
11
数学物理 定解问题
7.1.2预备知识
(* 这三类方程具有其广泛的应用，例如:理论力学中的哈密顿方程，电动力学中的麦克斯韦方 程，量子力学中的薛定谔方程等等都与这三类方程有密切的关系。)
1，几种常用的方程所对应的定解问题的基本解法，侧重介绍行波法和分离 变数法。特别要灵活掌握分离变数法。 2，讨论分离变数法所引伸出的本征值问题以及二阶线性常徽分方程的幂级 数解法。本征值问题是常微分方程的一个理论分支。 3，讨论有关的特殊函数，特别是勒让德函数的理论。特殊函数在数学中已 成为一个独立分支，它在物理学和工程技术中有着广泛的应用。（例如静电势
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T2 sin 2 T1 sin 1 dsu tt
T2 T1 0
y
1 T1
M1
M2
T2 2
T2 sin 2 T1 sin 1 dsu tt
考虑小振动
x
x+x
x
ds ( dx ) 2 ( dy ) 2 dx
q Du
D为扩散系数 负号表扩散方向与浓度 梯度相反
u u u q D( i j k) x y z u u qx D qy D x y u q D 大小 n
u qz D z
21
7.1.4扩散方程
数学物理方法（第四版）
梁昆淼 编
主讲教师： 张玉刚
合肥工业大学电子科学与应用物理学院 Hgdzyg@163.com
1
0
前言
第二篇 数学物理方程
物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多实际物理问题。可定量解 决实际物理问题就需要数学描述，而在数学描述遇到的数学问题也是需解 决的,这就派生出一些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数 学物理方法这一课程 。 定义：数学物理方程特指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在 各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。 *数学物理方程是指有直接的物理背景的偏微分方程，有时也包括与此有关的积
dm ds
T2 cos 2 T1 cos 1 0
y F ( x, t )
T2 sin 2 T1 sin 1 dmu tt
1 T1
M1
M2
T2 2
T2 sin 2 T1 sin 1 dsu tt
x
x+x
x
13
7.1.3波动方程
u ( x dx )
B
u E x
x
u E x
x dx
C
E=(F·L)/(S·△L) E Young modulus 在小形变时应力F/S与相应的应变△L/L之比
B段运动方程为
u u 2u ES x dx ES x ( Sdx ) x x t 2 E u x x dx u x x u tt dx
整理得：
1 2 2 utt [(l x 2 )u x ] 0 2 x
17
7.1.3波动方程
7.1.3.2、均匀杆的纵振动 将细杆分成许多段 t时刻，A段伸长
u ( x, t)
t时刻，B段伸长
x
u ( x)
A
x dx
F
x
u ( x dx )
B
u ( x dx , t ) u ( x , t )
19
7.1.3波动方程
B段运动方程 为
u ES x
x dx
x dx
u ES x
x
x
2u ( Sdx ) 2 t
E ux
ux
dx Eu xx u tt
记
u tt
E u x u tt x
a
2
E
u tt a u xx 0
du
相对伸长
C
t
u ( x dx , t ) u ( x , t ) u x dx
事实上，相对伸长是位置的 函数，如
u x
x
u x
x dx
18
7.1.3波动方程
相对伸长（应变）
u x
x
u x
x dx
x
u ( x)
A
x dx
F
x
由虎克定律，B两端的张应力 （单位横截面的力）分别为
（Delta，二阶微分算子，拉普拉斯算子）
2u u tt t 2
u ut t
u xx
2u x 2
有时记
2 2 2 2 2 x y
2 2 2 3 2 2 2 x y z
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7.1.3波动方程
7.1.3.1、弦的横振动 把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为X轴．把 弦上各点的横向位移记作u．(抽象化，理想化） 弦的横向位移为 u(x,t)
u qx D x
u qy D y
u qz D z
x方向左表面，dt 时间流入六面体的 流量为
q x dydzdt
流出六面体的流量为
z
y
dx
( x, y , z )
dz dy x
qx
x dx
dydzdt
22
7.1.4扩散方程
z
y
dx
( x, y , z )
dz dy x
小振动，扩散方程，热传导方程，稳定温度分布，静电场）
§7.2．定解条件。初始条件，边界条件。 （非线性边界条件不作要求） §7.3．二阶线性偏微分方程的分类。（双曲型，抛物型，椭圆型方程） §7.4．行波法。达朗伯公式，行波，求解公式。定解问题，适定性。
10
§7.1 数学物理方程的导出
7.1.1 共性与个性，泛定方程和定解条件 研究某个物理量(位移、电流或电压) 随着时间而变化．一般构成以时间为自 变数的常微分方程，如质点的运动方程、电路微分方程。
T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt dT dx x
2
y
1 T1
M1
T2
（小段近似）
2
T ( l ) T ( x ) dx 2 x
x
l
(Tu x )
x dx
(Tu x ) x dxu tt
x
x+x
16
i j k z x y
（Nabla，矢量微分算子）
(i j k ) (i j k ) x y z x y z
2 2 2 2 2 2 x y z
记
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第7章 数学物理方程定解问题
7.1数学物理方程的导出 7.2定解条件 7.3数学物理方程的分类 (自学*） 7.4达朗贝尔公式、定解问题
9
本章基本要求、教学内容及重点
基本要求： 1．了解定解问题的提法； 2．了解几种常见的数学物理方程的导出； 3．熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式； 4．能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类； 5．了解行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗贝尔公式。 教学内容： §7.1．数学物理方程的导出。（均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动，均匀薄膜的微
x
7.1.3波动方程
T ( x)
l x
dx 2 x
1 2 (l 2 x 2 ) 2
(Tu x )
x dx
(Tu x ) x dxu tt
1 1 2 2 2 [ (l x )u x ] x dx [ 2 (l 2 x 2 )u x ] x dxutt 2 2