《高等数学(理工类上)》课程

《高等数学（理工类下）》课程
教学大纲
课程代码：2008227
课程名称：咼等数学（理工类下）/ Hi gher Mathematics （Scie nee and Engin eer ing Vol.2 ）
课程类型：公共基础课
学时学分：96学时/6学分
适用专业：理工类相关本科专业
开课部门：基础课教学部
一、课程的地位、目的和任务
《高等数学（理工类下）》在大学本科的教学计划中是一门重要的基础理论课。

在以教学基本要求为依据的前提下，在课程内容的选取上既充分考虑到人才培养的通用性，同时使学生具有一定的可持续发展性。

《高等数学（理工类下）》课程的授课对象为本科院校工科各相关专业一年级学生，是基础理论课程。

本课程旨在培养学生的逻辑推理、抽象思维、空间想象、概括问题和自学的能力，特别是培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析与解决实际问题的能力。

通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本思想、基本理论、基本方法和基本运算技能，培养学生的应用数学的意识和能力。

二、课程与相关课程的联系与分工
本课程的先修课程是高等数学理工类上，它与线性代数、概率论与数理统计是工学、理学及经济类各专业大学生必修的基础理论课，是培养学生综合数学素质的手段, 为学生学习相关后继专业课提供分析和解决问题的工具，是学生可持续发展的基础。

三、教学内容与基本要求
第一章空间解析几何与向量代数
1.教学内容
第一节向量及其线性运算
（1）向量概念
（2）向量的线性运算
（3）空间直角坐标系
（4）利用坐标作向量的线性运算
（5）向量的模、方向角、投影
第二节数量积向量积混合积
（1）两向量的数量积
（2）两向量的向量积
（3）向量的混合积
第三节曲面及其方程
（1）曲面方程的概念
（2）旋转曲面
（3）柱面
（4）二次曲面
第四节空间曲线及其方程
（1）空间曲线的一般方程
（2）空间曲线的参数方程
（3）空间曲线在坐标面上的投影
第五节平面及其方程
（1）平面的点法式方程
（2）平面的一般方程
（3）两平面的夹角
第六节空间直线及其方程
（1）空间直线的一般方程
（2）空间直线的对称式方程与参数方程
（3）两直线的夹角
（4）直线与平面的夹角
2.重点难点
重点：向量的运算，平面和直线的方程
难点：向量的各种运算及几何意义，空间直线、曲线、平面、曲面的方程，常用的二次曲面方程
3.基本要求
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的线性运算、数量积、向量积，了解混合积运算，理解两个向量垂直、平行的条件；熟练掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；了解二次曲面方程的概念，了解
空间曲线方程的概念；知道常用二次曲面的方程及其图形，掌握以坐标轴为旋转轴曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；理解曲面的交线在坐标平面上的投影；掌握平面方程的求解方法；掌握空间直线方程的求法，知道空间直线与平面、直线与直线、平面与平面的位置关系；会求点到直线及点到平面的距离。

第二章多元函数微分法及其应用
1.教学内容
第一节多元函数的基本概念
（1）平面点集
（2）多元函数的概念
（3）多元函数的极限
（4）多元函数的连续性
第二节偏导数
（1）偏导数的定义及其计算法
（2）高阶偏导数
第三节全微分
（1）全微分的定义
（2）全微分在近似计算中的应用
第四节多元复合函数的求导法则
第五节隐函数的求导公式
（1）一个方程的情形
（2）方程组的情形
第六节多元函数微分学的几何应用
（1）一元向量值函数及其导数
（2）空间曲线的切线与法平面
（3）曲面的切平面与法线
第七节方向导数与梯度
（1）方向导数
（2）梯度
第八节多元函数的极值及其求法
（1）多元函数的极值及最大值、最小值
（2）条件极值拉格朗日乘数法
2.重点难点
重点：二元函数偏导数与全微分的概念；复合函数一阶偏导数的求法；二元函数极值与条件极值的概念
难点：对二元函数极限的概念、全微分的概念的理解；复合函数偏导数的求法
3.基本要求
理解二元函数的概念，了解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续性的概念；掌握有界闭区域上连续函数的性质；理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解二元函数高阶偏导数的概念；理解方向导数与梯度的概念，掌握其计算方法；熟练掌握复合函数偏导数的求法（要求会求二阶偏导数）；掌握求解隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数的方法（对求二阶偏导数不作要求）；了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线概念，掌握其方程的求法；理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些简单的最大值或最小值的应用问题。

第三章重积分
1.教学内容
第一节二重积分的概念与性质
（1）二重积分的概念
（2）二重积分的性质
第二节二重积分的计算法
（1）利用直角坐标计算二重积分
（2）利用极坐标计算二重积分
第三节三重积分
（1）三重积分的概念
（2）三重积分的计算
第四节重积分的应用
（1）曲面的面积
（2）质心
（3）转动惯量
（4）引力
2.重点难点
重点：二重积分的概念，直角坐标和极坐标下二重积分的计算方法
难点：二重积分、三重积分的各种计算方法
3.基本要求
理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，掌握重积分的性质；熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；掌握简单三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；掌握利用元素法（微元法）求曲面面积的方法，了解元素法在物理学上的应用。

第四章曲线曲面积分
1.教学内容
第一节对弧长的曲线积分
（1）对弧长的曲线积分的概念与性质
（2）对弧长的曲线积分的计算方法
第二节对坐标的曲线积分
（1）对坐标的曲线积分的概念与性质
（2）对坐标的曲线积分的计算方法
（3）两类曲线积分之间的联系
第三节格林公式及其应用
（1）格林公式
（2）平面上曲线积分与路径无关的条件
（3）二元函数的全微分求积
第四节对面积的曲面积分
（1）对面积的曲面积分的概念与性质
（2）对面积的曲面积分的计算方法第五节对坐标的曲面积分
（1）对坐标的曲面积分的概念与性质
（2）对坐标的曲面积分的计算方法
（3）两类曲面积分之间的联系
第六节高斯公式通量与散度
（1）高斯公式
（2）沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
（3）通量与散度
第七节斯托克斯公式
（1）斯托克斯公式
2.重点难点
重点：两类曲线积分的概念与计算；两类曲面积分的概念与计算；格林公式；高斯公式难点：对坐标的曲面积分的计算，对格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的理解
3.基本要求
理解两类曲线积分的概念及其性质，掌握两类曲线积分的计算方法；掌握格林
（Gree n）公式；掌握平面曲线积分与路径无关的条件。

了解科学技术问题中建立曲线积分表达式的元素法（微元法）及建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。

理解两类曲面积分的概念及其性质，掌握两类曲面积分的计算方法；了解两类曲面积分之间的关系；掌握利用高斯（Gauss）公式计算简单的曲面积分的方法，了解斯托克斯（Stokes）公式的物理含义及简单应用。

第五章无穷级数
1.教学内容
第一节常数项级数的概念和性质
（1）常数项级数的概念
（2）收敛级数的基本性质
第二节常数学项级数的审敛法
（1）正项级数及其审敛法
（2）交错级数及其审敛法
（3）绝对收敛与条件收敛
（4）绝对收敛级数的性质
第三节幕级数
（1）函数项级数的概念
（2）幕级数及其收敛性
（3）幕级数的运算
第四节函数展开成幕级数
第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
第七节傅里叶级数
（1）三角级数
（2）三角函数系的正交性
（3）函数展开成傅里叶级数
（4）正弦级数和余弦级数
第八节一般周期函数的傅里叶级数
（1）周期为21的周期函数的傅里叶级数
2.重点难点
重点：正项级数的审敛法；利用间接展开法将函数展开为幕级数并求其收敛区间；将函数展开成傅里叶级数的收敛定理。

难点：函数项级数收敛域的判定及将函数展开成傅里叶级数。

3.基本要求
理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，掌握收敛级数的基本性质及必要条件；
掌握几何级数与p—级数的敛散性，掌握正项级数的审敛法。

掌握交错级数的莱布尼茨（Leibnitz ）判别法；理解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系；理解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幕级数收敛区间的求法，掌握幕级数在其收敛区间内的一些基本性质；掌握利用e x ,si nx,cosx,l n（1 • x）与（V x）:•的麦克劳林
（Maclaurin ）展开式将一些简单的函数展开成幕级数方法；理解用三角函数逼近周期函数的思想，掌握函数展开为傅里叶（Fourier ）级数的狄利克雷（Dirichlet ）条件，掌握定义在（-二，二）的函数展开为傅里叶级数和定义在（0 ,二）的函数展开为正弦级数或余弦级数的方法；了解一般周期函数的傅里叶级数展开法，了解函数项级数的一致收敛性和一致收敛级数的基本性质。

四、课程学时分配（以章节为单位）
五、推荐教材和教学参考书
1.推荐教材：《高等数学》（第六版（下册）），作者：同济大学应用数学系，出版社：高等教育出版社，出版年月：2007.4，版次6；
2.教学参考书：《高等数学辅导》，作者：张元德，出版社：清华大学出版社发行部，出版年月：2004.1，版次3。

六、教学方法与考核方式
1.本课程以课堂教学为主，精讲多练。

采用传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取
长补短。

2.本课程采用“两学期三段式”考核方式，试卷密封后按评分标准集体流水阅卷。

对学生
成绩评定上，我们按平时成绩（占30%、期中成绩（占20%和期末成绩（占50%做加权平均，形
成最终成绩，同时还将课堂笔记作为学生成绩给定的必要条件，
以此来加强教学过程的管理。

修订人：赵宜宾
审核日期: 修订日期：2011-04-18
审核人:。