圆综合练习题

O

F A B

C D

E

F E

D

C

B

O A

C

E

B

O D

F

A

圆综合练习题

一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等） 1.如图，BD 为⊙O 的直径，AC 为弦，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =．

（1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长； （2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由.

2.已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．

（1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积． 3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，

连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF

AD ⊥．

（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．

4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =60?，P 是OB 上一点，过P 作

AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ．

（1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．

5．已知:如图,BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C ,交

半圆O 于点E ，且E 为»DF

的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；

（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．

6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2

=AP ·AD （1）求证：AB AC =

；

（2）如果60ABC ∠=o

，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，

求AD 的长.

7．如图，在△ABC 中，∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点,以OA 为半径的⊙O 经过点D .

（1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5,DC =3,求AC 的长.

8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊥AB 于E ，连结AC OC 、BC.

（1）求证：∠ACO=∠BCD；

（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.

O

P

D

C B

O

A

C

B

A B

C

D

E

O G

F

O

Q

P

C

B

A

G F

E D

C O

B

A

第13题图

9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥

，垂足为D ，BF 交AD

于E ，且BE AE =． （1）求证：AF AB =；

（2）如果5

3

sin =

∠FBC ，54=AB ，求AD 的长． 10．如图，已知直径与等边ABC ∆的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点

D 、

E ，边AC 过圆心O 与圆O 相交于点

F 、

G 。 （1） 求证：DE AC P ；

（2） 若ABC ∆的边长为a ，求ECG ∆的面积.

11．如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点． （1）请你判断直线PQ 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A ＝30°，AP =3O 半径的长. 12．如图，已知点A 是⊙O 上一点，直线MN 过点A ，点B 是MN 上

的另一点，点C 是OB 的中点，1

2

AC

OB =， 若点P 是⊙O 上的一个动点,且∠30OBA =o

,AB =23时，求△APC 的面积的最大值．

13．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F .

（1）求证：EF ⊥AB ； （2）求co s∠F 的值.

14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在 加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图 示的方式测量.

(1)若⊙O 分别与AE 、AF 交于点B 、C ，且AB=AC ,若⊙O 与AF 相切. 求证:⊙O 与AE 相切；

(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE 、AF 的三分之一点时，

且AF =3，求»BC

的弧长. 二、圆与相似综合

15．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD ∥OC 并交BC

的延长线于D ，OC 交AB 于E.

（1）求∠D 的度数；

（2）求证：2AC AD CE =⋅； （3）求

BC

CD

的值. 16．如图⑴，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE

⊥，在BC 上取一点D ，分

别作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、. ⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ∆∽COM ∆；

A

C

O

P

F

B

C

E

G

O