二元线性回归预测模型
二元线性回归模型相关系数r=0.9724和方差膨胀因子
二元线性回归模型相关系数r=0.9724和方差膨胀因
子
多重共线性存在一种称为多重共线性的极端情况，其中三个或更多变量之间存在共线性，即使没有一对变量具有特别高的相关性。
这意味着预测变量之间存在冗余。
在存在多重共线性的情况下，回归模型的解变得不稳定。
对于给定的预测变量（p），可以通过计算一个称为方差膨胀因子（variance inflation factor，VIF）的分数来评估多重共线性，该分数测量了由于模型中的多重共线性而使回归系数的方差膨胀了多少。
VIF的最小可能值为1（不存在多重共线性）。
根据经验，VIF值超过5或10表示有共线性问题。
面对多重共线性时，应删除相关的变量，因为多重共线性的存在意味着在存在其他变量的情况下该变量提供的有关响应的信息是多余的。
二元logistic回归的原理
二元logistic回归的原理
二元logistic回归的原理是一种广泛应用于分类问题的统计模型。
它是基于logistic函数构建的，能够将输入变量与离散的输出变量之间的关系建模。
二元logistic回归的原理是基于概率的思想。
它假设输出变量服从伯努利分布，即取值为0或1的离散分布。
模型的目标是通过给定的输入变量，预测输出变量为
0或1的概率。
模型的核心是logistic函数，它可以将输入变量的线性组合映射到一个0到1
之间的数值。
该函数的形式为：
P(Y=1|X) = 1 / (1 + exp(-α - βX))
其中，P(Y=1|X)表示给定输入变量X时输出变量为1的概率。
α和β是模型的
参数，需要通过最大似然估计等方法进行求解。
利用训练数据集，可以通过最大似然估计方法估计出模型的参数。
这样，对于
给定的未知输入变量，我们可以使用估计得到的参数，通过logistic函数计算出输
出变量为1的概率。
如果该概率大于或等于一个预先设定的阈值，我们就将输出变量预测为1，否则预测为0。
二元logistic回归的原理可以应用于许多实际问题，如医学诊断、金融风险评
估等。
通过建立合适的输入变量与输出变量之间的关系，我们可以利用该模型进行分类预测。
总结而言，二元logistic回归的原理是基于logistic函数构建的一种分类模型，
能够将输入变量与离散的输出变量之间的关系进行建模和预测。
它是一种常用的统计学方法，广泛应用于各个领域的分类问题。
2.4_二元线性回归模型及参数估计
2
n 1
可见，Beta系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变 量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调整后 得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较， 用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。
对于二元线性回归模型，可以按下列公式计算Beta系数：
ˆ ˆ 1 1 2 1i 2 yi
1．Beta系数 Beta系数是由偏回归系数转换来的。
ˆ 表示 Beta 系数，则 用 j
ˆ ˆ j j
x ji
S Xj SY
ˆ j
2
x ji yi
2
2
yi
其中
2
S Xj
n 1
( X ji X i )
2
n 1
SY
n 1
(Yi Y )
x
ˆ ˆ 2 2
x
2 2i 2 yi
由于
ˆ X Y j j
ˆ S ˆ S j Y j Xj
ˆ 所以，Beta 系数 j 的含义是：若解释变量 Xj 变化 1 个标准
ˆ 个标准差（即 差（即 X j SXj ） ，则被解释变量 Y 变化 j
达到最小。
根据极值存在的必要条件，应该有
e2 i 2 (Y ˆ i 0 ˆ 0 2 ei ˆ 2 (Yi 0 ˆ 1 e2 i 2 (Y ˆ i 0 ˆ 2 ˆ X ˆ 1 1i 2 X 2i ) 0
2
rYX
1
rYX
2
2
rX X 122 ( Nhomakorabea1 rYX
2 )( 1 r X ) X 1 2
二元logistic回归的回归系数
二元Logistic回归的回归系数简介二元Lo gi st ic回归是一种常用的统计学习方法，用于建立分类模型。
通过该模型，我们可以预测二分类问题中的概率值，并根据概率值进行分类决策。
本文将介绍二元Lo gi st i c回归的回归系数，解释其含义和作用。
Logis tic回归概述L o gi st ic回归是一种广义线性模型，旨在将自变量与因变量之间的关系建立起来。
通过对数据进行建模，Lo g is ti c回归可以估计数据中的概率分布，并进一步进行分类。
二元Logist ic回归二元Lo gi st ic回归是L og is ti c回归的一种特殊形式，用于解决二分类问题。
在二元Lo g is ti c回归中，被解释变量（也称为因变量）是一个二元变量，只有两种可能的取值。
回归系数在二元L og is ti c回归中，回归系数是用来衡量自变量对因变量的影响程度的。
回归系数表示自变量每增加一个单位时，因变量概率的相对变化。
回归系数的解释回归系数可以告诉我们自变量对于因变量的贡献和作用。
这里，我们以一个具体的例子，来解释回归系数的含义：假设我们正在研究一个药物对于疾病治疗的效果。
自变量是药物的剂量，因变量是患者是否痊愈。
我们得到的回归系数为0.5。
这个回归系数表示，当药物的剂量增加1单位时，患者痊愈的概率相对增加50%。
也就是说，药物的剂量对于疾病的治疗效果具有积极的影响。
回归系数的解读回归系数的值可以是正数、负数或零。
正数表示自变量的增加与因变量的增加是正相关的；负数表示自变量的增加与因变量的减少是负相关的；而零表示自变量与因变量之间不存在线性关系。
此外，回归系数的大小还可以用来解读自变量对于因变量的重要性。
较大的回归系数表示自变量在预测因变量中起到更重要的作用，而较小的回归系数则表示对因变量的影响相对较小。
模型拟合与回归系数在进行二元L og is ti c回归时，我们需要通过最大似然估计或其他优化方法来估计回归系数。
二元Logistic回归
16
根据下表，可写出经验回归方程：（此处保留一位 小数）
1 p 1 e(10.414.7 x12.6 x2 1.6x3 0.004x4 0.005x5 0.5x6 )
其中p表示“企业信誉好的概率”
Variables in the Equation
Satep x1
1
x2
B 14.674 -2.613
S.E. 3.588 1.368
Wal d 16.723
3.651
x3
.158
.218
.528
x4
.004
.004
1.212
x5
-.005
.379
.000
x6
.538
.240
5.015
Constant -10.397
4.926
4.455
a. Variable(s) entered on step 1: x1, x2, x3, x4, x5, x6.
292.375a
.156
Na ge l ke rke R Square
.229
a. Estimation terminated at iteration number 6 because parameter estimates changed by less than .001.
15
将回归系数输出结果带入下述公式
两分类预测
8
例1：企业商业信誉影响因素
根据有关理论，我们提出如下假设： 假设1：企业商业信誉与其盈利能力正相关 假设2：企业商业信誉与其负债率负相关 变量选取： 因变量y，1为信誉好，0为信誉坏 自变量X1至x6定义如下 X1——盈利能力（净资产收益率） X2——资产负债率 X3——流动比率 X4——应收账款周转率 X5——总资产周转率 X6——总资产对数 （其中X3至X6为控制变量）
二元logistics回归模型
二元logistics回归模型随着数据科学的发展，回归分析已经成为数据分析和预测中不可或缺的组成部分。
在这个领域中，logistics回归模型是最常用的回归模型之一。
本文将详细介绍二元logistics回归模型的原理和应用。
1. 原理二元logistics回归模型是一种广义线性模型，用于建立一个因变量和一个或多个自变量之间的关系。
在二元logistics回归模型中，因变量是二元变量，即只有两种可能的取值。
例如，一个人是否患有糖尿病，一个学生是否通过了考试等。
二元logistics回归模型的基本假设是，因变量服从伯努利分布，即二项分布中只有两种可能的结果。
该分布的概率密度函数如下：P(y=1|x) = p(x)P(y=0|x) = 1 - p(x)其中，y表示因变量，x表示自变量，p(x)表示当x为自变量时，因变量y取1的概率。
在二元logistics回归模型中，我们使用logistics函数将自变量和因变量联系起来。
logistics函数的形式如下：p(x) = 1 / (1 + e^(-z))其中，z是自变量的线性组合，可以表示为：z = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βnxn其中，β0, β1, β2, …, βn是模型的系数，x1, x2, …, xn 是自变量的值。
2. 应用二元logistics回归模型可以用于预测因变量的取值。
例如，我们可以使用二元logistics回归模型来预测一个人是否患有糖尿病。
在这种情况下，我们可以使用一些自变量来预测因变量，例如年龄、体重、血压等。
为了构建一个二元logistics回归模型，我们需要进行以下步骤：（1）收集数据：我们需要收集一些关于自变量和因变量之间关系的数据。
（2）处理数据：我们需要对数据进行清洗和转换，以便于建立模型。
（3）选择自变量：我们需要选择自变量，这些自变量应该与因变量有一定的相关性。
（4）建立模型：我们需要使用统计软件（如R或Python）来建立二元logistics回归模型。
二元logistic回归模型步骤
二元logistic回归模型步骤二元logistic回归模型是一种常用的机器学习算法，用于对二元分类问题进行建模。
下面将解释二元logistic回归模型的构建步骤。
步骤一：收集数据在构建任何模型之前，首先需要收集数据。
对于二元logistic回归模型，我们需要收集包含两类标签的数据集。
例如，如果我们希望根据考生的成绩来预测他们是否会被大学录取，那么我们需要收集包括成绩和录取结果的数据。
通常情况下，我们收集的数据会包含特征和标签，其中特征是用来预测标签的变量。
步骤二：数据预处理在收集到数据后，我们需要对数据进行预处理。
这包括处理缺失值、处理异常值、对特征进行标准化或归一化等。
预处理的目的是为了让数据满足模型的要求，以便得到更好的预测结果。
步骤三：拆分数据接下来，我们需要将数据分为训练集和测试集。
训练集用于训练模型，测试集用于评估模型的性能。
通常情况下，我们将大部分数据分配给训练集，而留出一小部分数据作为测试集。
步骤四：定义假设函数二元logistic回归模型的核心是假设函数。
假设函数通常采用sigmoid函数，其形式为：hθ(x) = 1 / (1 + e^(-θ^Tx))其中，hθ(x)表示对于输入特征x的预测输出，θ表示模型的参数向量，x表示特征向量。
sigmoid函数的作用是将输入的线性组合转换成0到1之间的概率值，这些概率值可以用来表示数据所属的类别。
步骤五：定义损失函数在二元logistic回归模型中，常用的损失函数是对数损失函数。
对数损失函数用于衡量模型预测概率与实际标签的差异。
对数损失函数的形式如下：J(θ) = -1/m * ∑[ylog(hθ(x)) + (1-y)log(1-hθ(x))]其中，J(θ)表示损失函数，m表示样本数量，y表示实际标签，hθ(x)表示模型对于输入特征x的预测输出。
对数损失函数的目标是最小化预测概率与实际标签之间的差异，从而使模型的预测更加准确。
步骤六：定义优化算法为了最小化损失函数，我们需要采用优化算法来求解模型的参数。
二元回归分析
五、回归分析的假设检定• 样本回归型y a bx e
• 母体回归模型
Y X
18
• 回归分析的逻辑 –假设在母体中自变数对依变 数有影响 –然后将两变数纳入回归模型 中，以样本资料计算出回归 系数 b –假定这个回归系数 b 不是0， 表示在样本中自变数对依变 数确有影响
二元回归分析
1
二元回归分析 （bivariate regression analysis）
• 回归分析的主要功能：在解 释一个经验现像中所观察到 的变化
• 二元回归：回归模型中仅有 一个依变数以及一个自变数
2
一、二元回归模型
y a bx
– y是依变数， x是自变数
– a是截距或常数（intercept或 constant）
29
• 简易双尾检定法
–如
b s
2
b
–回归系数与其标准误比率的 绝对值大於 2，则表示在双
尾检定的逻辑下，样本回归
系数 b 在统计上是显著的
30
• 单尾检定： p 值检定法
–决定规则
如 p 2 < α, 拒绝H0
如
p 2
> α, 无法拒绝H0
31
yi yˆi 为最小
12
• 选项２－最小平方法 ：找一 条使观察值（y）与预测值 （ yˆ ）间误差平方和（the sum of squares of the errors） 为最小的直线,也就是，
SSE (yi yi )2 为最小
13
四、回归模型的解释力
• 散布图（scatter plot） • R2（Coefficient of
– b是回归系数或称为斜率 （regression coefficient ）
5-二元线性回归
第三章二元线性回归分析¾回归方程的数学模型¾回归系数的确定¾回归方程的显著性检验¾回归系数的显著性检验¾回归平面的精度测控制¾预测和控制1¾应用举例一、回归方程的数学模型自变量因变量，自变量y 1x 2x 22110ˆx b x b b y++=2二、回归系数的确定最小二乘法n i x x y i i i ,,2,1),,,(21""=数据：实测值与回归值的残差i i i yy e ˆ−=)(22110i i i x b x b b y ++−=3二、回归系数的确定实测值与回归值的残差平方和：=ne b b b 2,,∑=i i Q 1210)(−=ni i yy 2)ˆ(∑=i 1−n2∑=++=i i i i x b x b b y 122110)]([4二、回归系数的确定因为由极值原理0≥b b b ，由极值原理，有),,(210Q ⎧=∂Q ⎪⎪⎪∂∂0)1(00b 0b ⎪⎪⎨=∂)2(1b Q111b L ⎪⎩=∂∂)3(02b Q121b L二、回归系数的确定消元法正规方程组的解法矩阵法行列式法6二、回归系数的确定⎧−=212022101L L L L b ⎪⎪⎪⎪⎨−−=−21101120221122211L L L L L L L L b L L L L 其中，⎩21122211∑∑−=−==21121111)()(i ni i x x x L ∑=−−==1221112))((ni i i x x x x L n∑∑=−−==i i i y y x x L 11110))((∑∑=−=222222()(i ni x x x L =1i ∑=−−=ni i y y x x L 2220))((三、回归方程的显著性检验方法1. 相关系数R检验法2方差分析法2. 方差分析法8三、回归方程的显著性检验1. 相关系数R检验法与一元类似，但取值范围不同：U R =yyL L b L b U +=接近1，表明与之间线性关系密切y x R 202101∑∑∑−=−=nii i yy y y y y y L 22)(9=i 1三、回归方程的显著性检验2.方差分析法=−−==Q m m U f U F U )1(n Q f Q Q ~−)3,2(n F F α线性回归方程是显著的，原假设可靠)3,2(−>n F F α)3,2(−<n F F α线性回归方程不显著，原假设不成立四、回归系数的显著性检验问题的提出¾在二元回归模型中，不仅要知道回归方程是否显著1x 2x y ¾还要知道，在，两因素中，对的影响哪个是显著的，以便剔除那些次要的、可有可无的变量，以建立更简单的回归方程1b 2b 1x 2x y ¾直接比较，不行，因为与和单位有关11四、回归系数的显著性检验方法1比较“标准回归系数”′方法1 比较标准回归系数i b L 2,1(==′i L b b yyiiii 绝对值越大越显著i b ′四、回归系数的显著性检验方法2 比较偏回归平方和P i对某个特定自变量的偏回归平方和程中剔除该自变量后而使回归平方和i x )(221211211LL b P −=(22222L b P −=22L越大越显著i P四、回归系数的显著性检验方法3 值检验法t P St i i =越大越显著i t )1(−−>m n t t i α五、回归平面的精度1=−−==m n Qf Q S Q第三章二元线性回归分析六、预报与控制1. 预测：对任一给定的观测点，推断观测值10x 0y 20x 据正态分布的性质，若，则的取值是以为中心而对101x x x =y 0ˆy大致在什么范围内称分布的，越靠近的地方出现的几率愈大，相反，离愈远202x =0ˆy 0ˆy的地方出现的几率愈小试验点落在区间内的概率为0.380y S y5.0ˆ0±试验点落在区间内的概率为0.6827试验点落在区间内的概率为0.95450y 0y S y±0ˆS y2ˆ0±16试验点落在区间内的概率为0.99730y S y3ˆ0±第三章二元线性回归分析六、预报与控制2. 控制：要求观测值取某个值或在一定范围内取值自变量0y y 21y y y <<值，自变量，应控制在什么范围内或在哪个区间取值＝0051x 2x 给定显著水平α，eg ：α0.05⎧⎩⎨<<+++≤≤−++21221102211022y y y Sx b x b b y S x b x b b 17今测得如下表数据试确定高磷钢的效率与七、应用举例例1 今测得如下表数据，试确定高磷钢的效率（y）与出钢量（x 1）和FeO 量（x 2）是否存在相关关系？如相关，则进行检验和预测。
二元线性回归模型案例
二元线性回归模型案例二元线性回归模型范例我国货物周转量问题研究。
一、建立模型通过经济分析可知，工农业总产值、运输线路长度是影响我国货物周转量的主要因素。
用表示货物周转量，表示工农业总产值，表示运输线路长度，可建立如下二元线性yxx12回归理论模型(1) y,,，,x，,x，,i011i22ii收集我国某一时间13年的货物运输量(单位:1亿吨公里)、工农业总产值(单位:亿元)、运输线路长度(单位:万公里)的统计资料数据，并同时给出离差形式数据。
货物周国内生产运输线路__,,,年份转量总值长度x,x,xxy,y,yiii1i2i11 yxx1ii2i_,x,xi221 2236 1504 69.54 -4328.8461 -42.7446 -6726.53842 3463 2235 74.79 -3597.8461 -37.4946 -5499.5384 3 4565 3138 86.79 -2694.8461 -25.4946 -4397.5384 4 7297 4467 105.47 -1365.8461 -6.8146 -1665.5384 5 6904 4536 111.12 -1296.8461 -1.1646 -2058.5384 6 7969 4978 117.92 -854.8461 5.6354 -993.5384 7 6829 5634 123.2 -198.8461 10.9154 866.4616 8 10907 6379 120.25 546.1539 7.9654 1944.4616 9 11517 7077 124.71 1244.1539 12.4254 2554.4616 10 11616 7580 128.43 1747.1539 16.1454 2653.4616 11 12403 8291 130.92 2458.1539 18.6354 3440.4616 12 13295 9211 131.56 3378.153919.2754 4332.4616 13 14512 10797 135 4964.1539 22.7154 5549.4616 1,,, , yxx = = = 21n8962.5384 5832.8461 112.2846二、参数估计多元线性回归模型的参数估计公式:,1, (2) XXXY,,(),,2e,ee,i2ˆ,= (3) ,,n,k,1n,k,12,1ˆ, (4) Cov()(),,,XX,2e,ee,i2,Varc(,,), = c= (5) ciii,iiiin,k,1n,k,1,1, 其中，为主对角线上元素。
二元线性回归预测模型
二元线性回归分析预测法(复位向自二元线性回归预测法)什么是二元线性回归分析预测法二元线性回归分析预测法是指运用影响一个因变数的两个自变量进行回归分析的一种预测方法。
关键是通过因变数同两个自变量的因果关系进行回归分析术解回归方程，对回归方程进行检验得出预测值。
[编辑]二元线性回归分析模型[1]二元线性回归分析模型及参数的确定。
二元线性回归分析预测法的回归方程为：式中：x1,x2——自变数；——因变数，即线性回归分析估值，或预测值；a,b1,b2——待定回归方程参数。
最小二乘法建立的求参数的方程为：只需将历史数据自变量2和对应的因变量—v的数据代人上面公式，并联立求解方程组，即可求得回归参数a,b1,b2再将这些参数代人回归方程，即可得预测模型。
[编辑]二元线性回归分析模型的检验及参数确定[1]二元线性回归分析预测法预测模型的检验比一元线性回归预测模型的检验复杂得多。
常用的有经济意义检验、回归标准差检验、相关系数检验、F检验和t检验等。
(1)一般经济意义检验，是指根据一般的经济规律，从参数的符号来鉴别模型的真实性。
其它检验都需要根据统计分析来确定模型是否能够通过检验。
(2)回归标准差检验。
计算多元回归标准差的公式与计算一元线性方程回归标准差的公式相同，即：式中：yt——因变量第t期的观察值；——因变量第t期的估计值；n——观察期的个数；k——自由度，为变量的个数(包括因变量和自变量)。
判断回归标准差能否通过检验，仍用以下公式：式中：s——回归标准差；——因变量观察值的平均值。
当依此式计算出的值小于15%，说明预测模型通过了回归标准差检验。
(3)相关系数检验。
相关系数检验是检验变量之间线性关系密切程度的指针。
在多元回归分析中应计算复相关系数和偏相关系数。
•复相关系数复相关系数是反映因变量y与自变量x1,x2之间线性相关关系密切程度的指标，其计算公式为：即其中，r表示的是所有自变量作为一个整体对因变量y的影响。
二元线性回归模型及参数估计PPT课件
1．偏回归系数的估计
对于二元线性回归模型：
Yi 0 1X1i 2X2i i ，i=1，2，…，n ，
其中的参数 0 、 1 、 2 称为偏回归系数。
所谓偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前的系数。其含义是： 当其他解释变量保持不变时，某一解释变量变化一个单位而使被解释变量Y平均改 变的数值，即某一解释变量对被解释变量Y的影响程度。
(X ji Xi)2 n 1
SY
yi2 n 1
(Yi Y )2 n 1
可见，Beta系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变 量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调整后 得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较， 用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。
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3．偏相关系数 在二元线性回归分析中，也可以用偏相关系数来分析 被解释变量Y对于哪一个解释变量（X1和X2）的变化 更敏感。 偏相关系数：是指在控制或消除其他变量影响的情况 下，衡量多个变量中的某两个变量之间线性相关程度 的指标。
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当 X2 保持不变时，Y 与 X1 之间的偏相关系数为
0
ei2ˆ22 (Yi Nhomakorabeaˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X 2i
0
从而得到正规方程组
(Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )
0
(Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X1i
0
(Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i )X 2i 0
ei 0 ei X 1i 0 ei X 2i 0
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第四章 多元线性回归模型
第四章 多元线性回归模型第一节 二元线性回归模型一、二元线性回归模型的设定设二元线性回归模型为： 01122Y X X βββε=+++假设从总体中随机抽取了一个容量为n 的样本，其观测为11121212221212(,,),(,,)(,,)(,,)i i i n n n y x x y x x y x x y x x L L L L ,则模型可以表示为：10111221120112222201122n n n ny x x y x x y x x βββεβββεβββε=+++=+++=+++L L如果令1112110212222121211,,,1n n n n y x x y x x Y X y x x εβεββεβε⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭M M M M M则二元线性回归模型可用的矩阵表示为：Y X βε=+关于二元线性回归模型的假设条件，前五条与一元线性回归模型的假定是一致的，由于二元线性回归模型中增加了一个解释变量，所以二元线性回归模型还需增加一个假定，即假定1X 与2X 不存在多重共线性。
二、二元线性回归模型的参数估计假设已经得到参数0β，1β，2β的估计值分别记为0ˆβ，1ˆβ，2ˆβ，则iε的估计值ˆi ε和观测值i y 可以表示为：0112201122垐?ˆˆ(1,2,)垐?ˆ(1,2,)i i i i i ii i i i y y y x x i n y x x i n εββββββε⎧=-=---=⎪⎨=+++=⎪⎩L L L L则根据最小二乘法的思想，要取这样一组0ˆβ，1ˆβ，2ˆβ，使残差平方和最小，即 220112211垐?ˆmin ()n ni i i ii i S y x x εβββ====---∑∑ 为使上式达到最小值，可以对0ˆβ，1ˆβ，2ˆβ求偏导得到： 01122100112211101122212垐?2()(1)0ˆ垐?2()()0ˆ垐?2()()0ˆn i i ii n i i i ii ni i i ii Sy x x S y x x x S y x x x ββββββββββββ===⎧∂=---⨯-=⎪∂⎪⎪∂⎪=---⨯-=⎨∂⎪⎪∂⎪=---⨯-=⎪∂⎩∑∑∑ 由上式可以得到0ˆβ，1ˆβ，2ˆβ的值。
二元线性回归模型及参数估计
3．偏相关系数
在二元线性回归分析中，也可以用偏相关系数来分析 被解释变量Y对于哪一个解释变量（X1和X2）的变化 更敏感。
偏相关系数：是指在控制或消除其他变量影响的情况 下，衡量多个变量中的某两个变量之间线性相关程度 的指标。
当 X2 保持不变时，Y 与 X1 之间的偏相关系数为
rYX 1 X 2
Y
变化ˆ
j
个标准差（即
Y
ˆ
j
SY
）。
例如 ˆ1 1.02，ˆ2 0.24 ，则表示：解释变量 X1 变化 1 个
标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变 量 X2 变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 0.24 个标 准差。因此，可以说，Y 对于 X1 变化的敏感程度远大于 Y 对于 X2 变化的敏感程度。
1．Beta系数
Beta系数
j
表示
Beta
系数，则
ˆ
j
ˆ j
S Xj SY
ˆ j
x2ji yi2
其中
SXj
x2ji n 1
(X ji Xi)2 n 1
SY
yi2 n 1
(Yi Y )2 n 1
可见，Beta系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变 量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调整后 得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较， 用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。
二元线性回归模型的估计
最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型， 即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模 型：
Yi 0 1X1i 2X2i i ， i=1，2，…，n 。
2 liya(二元回归)
另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设 另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设 暗含 不是针对u （不是针对u）： 假设6. 随着样本容量的无限增加，解释变量X 假设 随着样本容量的无限增加，解释变量 的样本方差趋于一有限常数。 的样本方差趋于一有限常数。即
Q ∑(X −X) /n→ ,
（二）一元线性回归模型的统计假设
-------应用最小二乘法的前提；注意，是针对 u 应用最小二乘法的前提；注意， 应用最小二乘法的前提
(1). E(ut) = 0, (2). (3). (4). (5).
t= 1, 2, ...,n 扰动项的均值(期望值 期望值)为 即扰动项的均值 期望值 为0. E(uiuj) = 0 i≠ j ≠ 各期扰动项互不相关. 即各期扰动项互不相关 E(ut2 ) = σ2 , t= 1, 2, ...,n 各期扰动项方差是一常数. 即各期扰动项方差是一常数 解释变量X 解释变量 t 为非随机量 即Xt的取值是确定的 ut ~ N( 0, σ2 ) , t= 1, 2, ...,n 各期扰动项服从正态分布。 即各期扰动项服从正态分布。
（2）E(uiuj) = 0, i≠j ）
也就是假定它们之间无自相关或无序列相关。 也就是假定它们之间无自相关或无序列相关。 实际上该假设等同于： 实际上该假设等同于： cov( uI, uj) = 0, i≠j 这是因为： 这是因为：cov(uI, uj) = E{[ui - E(ui)][uj - E(uj)]} 根据假设（ ） = E(uiuj) ——根据假设（1） 根据假设 －－－否则说明 存在某种系统趋势 －－－ 否则说明u存在某种系统趋势， 可能遗漏重 否则说明 存在某种系统趋势， 要变量
µ i = Yi − E (Y | X i )