第六章 轨道结构力学
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Pd − P 定义α = P Pd = (1 + α )P
当V ≤ 120km / h时，查表2 − 4 − 5
牵引 种类 内燃 电力 蒸汽
2011-3-18
速度系数 计算轨底弯曲应力用
M
α
R,y
0.4v 100 0.6v 100 0.8v 100
计算轨道下沉及轨下基 础部件的荷载及应力用 0.3v 100
2011-3-18 29
单轮载作用下计算y、M、R公式
Pβ − βx R = q⋅a = e (cos βx + sin βx ) 2 令µ = e − βx (cos βx − sin βx ),η = e − βx (cos βx + sin βx )
钢轨挠度 钢轨弯矩 轨枕反力
P Pβ y= η= η (mm) 3 8 EJβ 2k P M= µ (kN ⋅ m ) 4β Pβa R= η (kN ) 2
单位：N
2011-3-18
/ mm
22
3、钢轨基础弹性系数k
定义：使钢轨产生单位下沉而必须作用 在单位长度钢轨上的压力。 R 公式： k =
ay p a →轨枕间距（mm）。
N / mm 2或Mpa 单位：
2011-3-18
23
C、D、k之间的关系
R R R ∵k = ,D = ,C = , y0 = αy p bl ay p yp y0 2
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30
多个集中轮载作用下计算公式
根据力的叠加原理： y= M=
∑ Pη (mm) 2k
β
1 ∑ Pµ (kN ⋅ m) 4β βa R= ∑ Pη (kN ) 2 当βx > 5时只计算一个转向架轮载的影响
∑ Pη = Pη (βx ) + P η (βx ) + Pη (βx )
2011-3-18
18
反映轨道基础弹性的参数
了解基础弹性的特点
道床系数 钢轨支点刚度系数 钢轨基础弹性系数
C D k
2011-3-18
19
1、道床系数C
定义：作用在道床单位面积上使道床顶 面产生单位下沉的压力。
单位：N / mm3
2011-3-18
20
R C= bl y0 2 R → 轨座上的压力（N）； y0 → 道床平均下沉量（mm）；
2011-3-18 9
二、横向水平力
1、定义：轮缘作用在轨头侧面的横向水平力 2、产生原因
导向力——最主要的原因 蛇行力 曲线上未被平衡的离心力 轨道方向不平顺
图6-1 轮轨之间作用力
2011-3-18
10
三、纵向水平力
爬行力——钢轨在动载作用下波浪形挠曲 坡道上列车重力的纵向分力 制动力——9.8Mpa 温度力 摩擦力纵向分力
d 1d 1 d 2d 2
s 1d
图6-6 弹性基础上梁的挠曲
轨头：
σ 2d
K σs ′ + σ t ≤ [σ ] = K
t
[σ ]为允许应力，σ s为屈服极限，K为安全系数，
2011-3-18
新轨K = 1.3，旧轨K = 1.35
41
（2）钢轨局部接触应力计算
计算模型：赫兹接触理论：两个垂直圆 柱体，接触面为椭圆。
17:59
39
(一)钢轨强度检算
作用在钢轨上的应力： 1）基本应力：弯曲应力、温度应力 2）局部应力：接触应力、应力集中 3）固有应力：残余应力 4）附加应力：制动应力、爬行力 桥上附加应力
2011-3-18
40
（1）钢轨基本应力计算
弯曲应力： M σ = (Mpa ) 轨底： W M 轨头： σ = (Mpa ) W 温度应力： 普通线路：查表6-5,P208 无缝线路： σ t = 2.5∆t 基本应力：弯曲应力+温度应力= σ d + σ t 轨底： σ + σ ≤ [σ ] = σ
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2、确定垂向力的方法
1）概率组合：前苏联代表 2）计算模型：动力仿真计算 3）速度系数法：
2011-3-18
6
（1）概率组合确定垂向力
弹簧振动 轨道不平顺 车轮单独不平顺（扁瘢） 车轮连续不平顺（不圆顺车轮） 概率组合——数学平均值与其均方差的 2.5倍之和。 F = F + 2.5σ 垂
M d = M (1 + α + β p ) f Rd = R (1 + α + β p ) yd = y (1 + α + β p )
式中y、M、R分别为钢轨的静挠度、静弯矩、静压力。
2011-3-18
36
动力计算方法：准静态
计算步骤： 1）计算静态情况下的y、M、R 2）计算系数 α、β p、f 3）计算准静态的yd、Md、Rd 4）各部件强度检算
第四章轨道结构力学分析
第一节 概述
轨道结构力学分析： 应用力学的基本原理，在轮轨相互作用理 论的指导下，用各种计算模型来分析轨道及 其各个部件在机车车辆荷载作用下产生应力、 变形及其他动力响应。
17:59 1
轨道结构力学分析目的： （1）确定机车车辆作用于轨道上的力； （2）在一定运行条件下，确定轨道结构的承载能 力； 轨道结构承载能力计算包括三个方面： （1）强度计算； （2）寿命计算； （3）残余变形计算。
dy θ= dx
k −1 4 令β = mm 4 EJ β → 钢轨基础与钢轨刚比系数 式（ ）变为： 1
2011-3-18
(
)Βιβλιοθήκη Baidu
d4y 4 + 4β y = 0 4 dx
2 d y M = − EJ 2 dx 3 d y Q = − EJ 3 dx 4 dy q = − EJ 4 dx
q = ky
2011-3-18
16
（1）基本假设
1）钢轨与车辆符合标准要求； 2）钢轨是支承在弹性基础上的无限长梁； 3）轮载作用在钢轨对称面上，两股荷载相等； 4）两股钢轨分开计算； 5）不考虑轨道自重。
2011-3-18
17
（2）基本参数1
EJ x → 钢轨竖向抗弯刚度；
E → 钢轨钢弹性模量，E = 2.1×105 Mpa J x → 钢轨截面对水平轴惯性矩，查表6 − 1
2 bl → 道床有效支承面积（mm ）。 y0 = αy p
α →轨枕挠度系数
b →轨枕宽度（mm）； l → 轨枕支承长度（mm）。
2011-3-18 21
2、钢轨支点弹性系数D
定义：使钢轨支点顶面产生单位下沉而作 用在钢轨支点顶面上的钢轨压力。
R 公式：D = y p
支点刚度
R → 作用在支点上的钢轨压力（N）； y p → 支点下沉量（mm）。
2011-3-18 37
本节总结
作用在轨道上的力有哪些？ 轨道强度静力计算的方法 基本计算模型 基本参数 准静态计算步骤 各种系数
2011-3-18 38
轨道各部件的强度检算
准静态计算方法
1) 静力计算 y,M,R 2) 各种系数
α , βP , f
3) 准静态计算 yd , M d , Rd 4) 各部件强度检算
根据边界条件： 根据边界条件： x → ∞ , y = 0,得C1 = C 2 = 0， dy 当x = 0时， = 0，得C 3 = C 4 = C；当x = 0时， dx d3y P 2 EJ 3 = P，得C = dx 8 EJβ 3
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钢轨挠度y等
P y= e − βx (cos βx + sin β x ) 8EJβ 3 P θ =− e − βx sin β x 4 EJβ 2 P − βx M= e (cos βx − sin β x ) 4β P − βx Q = e cos β x 2 Pβ − βx q= e (cos βx + sin β x ) 2
1 1 2 2 3 3
+ P4η ( βx4 ) + P5η ( βx5 )
2011-3-18
η (βx3 ) = 1
x3 = 0, βx3 = 0,
31
二、轨道强度动力计算 ——准静态计算
三个系数： 1）速度系数 2）偏载系数 3）横向水平力系数
2011-3-18
α βp
f
32
1、速度系数 α
27
解四阶微分方程，利用特征根
通解为：y = Ae (1+i )βx + Be (1−i )βx + Ce (−1+i )βx + De (−1−i )βx 应用欧拉公式
e ±iβx = cos βx + i sin β x
最后得： y = C1e βx cos β x + C2 e βx sin β x + C3e − βx cos βx + C4 e − βx sin β x
d2y M = − EJ 2 dx 3 d y Q = − EJ 3 dx 4 dy q = − EJ 4 dx 26
根据Winkler假定 q = ky
得： d4y EJ 4 + ky = 0 dx
（1） ）
式中EJ → 钢轨的竖向抗弯刚度； k → 钢轨基础弹性系数； y → 钢轨挠度。
f =
σ0 +σi
2
0
轨底内缘弯曲应力。 σ i → 轨底内缘弯曲应力。
曲线半径（ 曲线半径（m）
线路平面 横向水平 力系数f 2011-3-18
直线 1.25
≥ 800
1.45
600 1.60
500 1.70
400 1.80
300 2.0
35
4、准静态计算公式
钢轨动挠度yd，钢轨动弯矩M d，钢轨动压力 （或轨枕动反力）Rd的计算公式为：
2011-3-18
2
轨道结构设计
轨道结构承载能力设计 变形设计 行车舒适性设计 安全设计 动力仿真计算
2011-3-18
3
第二节 作用在轨道上的力
垂向力：竖直力 横向力 纵向力
z垂向 x纵向
y横向
车体
图6-1 轮轨之间作用力
2011-3-18
4
一、垂向力组成
静载：自重+ 静载：自重+载重 动载：附加动压力（动力附加值） 动载：附加动压力（动力附加值）
0.45v 100 0.6v 100
33
2、偏载系数
∆P P0 − P 定义：β p = = P P 式中：∆P → 外轨偏载值； P → 车轮静载；
βp
P0 → 车轮作用于外轨上的轮载。
β p = 0.002∆h
∆h → 允许欠超高。
2011-3-18 34
3、横向水平力系数 f
定义：轨底外缘弯曲应力与轨底中心弯 曲应力的比值。 公式： 轨底外缘弯曲应力； 式中σ → 轨底外缘弯曲应力； σ0
2011-3-18 7
(2) 动力仿真计算
根据车体结构， 根据车体结构，建 立动力方程， 立动力方程，然后 用数值求解方程组， 用数值求解方程组， 得到随时间变化的 轮轨之间作用力。 轮轨之间作用力。
2011-3-18
8
（3）速度系数法确定垂向力
速度系数α 偏载系数β p 计算垂向动轮载Pd Pd = P (1 + α + β p ) P为静轮载
关系1： 关系2：
2011-3-18
D k= a
Cblα D= 2
q = ky
24
（3）计算公式推导
钢轨在集中荷载作用下发生挠曲变形
弹性曲线方程为
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y = y (x )
25
由材料力学可知：
钢轨各截面的转角θ、弯矩M，剪力Q和 基础反力强度q分别为
dy θ= dx
2011-3-18
1）机车车辆构造与状态原因引起： 机车车辆构造与状态原因引起： 车轮扁瘢、擦伤——冲击荷载； 冲击荷载； a）车轮扁瘢、擦伤 冲击荷载 车轮不圆顺——冲击 b）车轮不圆顺 冲击 轨道构造与状态引起： 2）轨道构造与状态引起： 接头——冲击 a）接头 冲击 焊缝——冲击 b）焊缝 冲击 c）轨道不平顺 3）机车车辆在轨道上的运动方式引起 蛇行——偏载 a）蛇行 偏载 曲线——偏载 b）曲线 偏载
2011-3-18
11
第三节 轨道结构竖向受力分析及计算方法
计算在垂直动荷载作用下，各部件的应力
准静态计算方法： 1）轨道强度静力计算； 2）轨道强度动力计算——准静态计算； 3）轨道各个部件强度检算。
2011-3-18 12
一、轨道静力计算
计算模型：有两种 1）连续弹性基础梁模型； 2）连续弹性点支承梁模型。
2011-3-18
13
弹性点支承模型
图示 假设 计算方法：有限元
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14
弹性基础梁法
钢轨：支承在弹性基础上的无限长梁 垫板＋轨枕+道床+路基=弹性基础 符合Winkler假设
q = ky
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Winkler 假定
作用于弹性基础单位面积上的压力，和 压力所引起的沉陷之间成直线比例关系。
轮轨之间接触面积约100mm2 接触应力可达1000MPa
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赫兹理论计算公式
3 P (Mpa ) σ max = ⋅ 2 πab 式中P →轮载(N ) ；
当V ≤ 120km / h时，查表2 − 4 − 5
牵引 种类 内燃 电力 蒸汽
2011-3-18
速度系数 计算轨底弯曲应力用
M
α
R,y
0.4v 100 0.6v 100 0.8v 100
计算轨道下沉及轨下基 础部件的荷载及应力用 0.3v 100
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单轮载作用下计算y、M、R公式
Pβ − βx R = q⋅a = e (cos βx + sin βx ) 2 令µ = e − βx (cos βx − sin βx ),η = e − βx (cos βx + sin βx )
钢轨挠度 钢轨弯矩 轨枕反力
P Pβ y= η= η (mm) 3 8 EJβ 2k P M= µ (kN ⋅ m ) 4β Pβa R= η (kN ) 2
单位：N
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/ mm
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3、钢轨基础弹性系数k
定义：使钢轨产生单位下沉而必须作用 在单位长度钢轨上的压力。 R 公式： k =
ay p a →轨枕间距（mm）。
N / mm 2或Mpa 单位：
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23
C、D、k之间的关系
R R R ∵k = ,D = ,C = , y0 = αy p bl ay p yp y0 2
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30
多个集中轮载作用下计算公式
根据力的叠加原理： y= M=
∑ Pη (mm) 2k
β
1 ∑ Pµ (kN ⋅ m) 4β βa R= ∑ Pη (kN ) 2 当βx > 5时只计算一个转向架轮载的影响
∑ Pη = Pη (βx ) + P η (βx ) + Pη (βx )
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反映轨道基础弹性的参数
了解基础弹性的特点
道床系数 钢轨支点刚度系数 钢轨基础弹性系数
C D k
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1、道床系数C
定义：作用在道床单位面积上使道床顶 面产生单位下沉的压力。
单位：N / mm3
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20
R C= bl y0 2 R → 轨座上的压力（N）； y0 → 道床平均下沉量（mm）；
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二、横向水平力
1、定义：轮缘作用在轨头侧面的横向水平力 2、产生原因
导向力——最主要的原因 蛇行力 曲线上未被平衡的离心力 轨道方向不平顺
图6-1 轮轨之间作用力
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10
三、纵向水平力
爬行力——钢轨在动载作用下波浪形挠曲 坡道上列车重力的纵向分力 制动力——9.8Mpa 温度力 摩擦力纵向分力
d 1d 1 d 2d 2
s 1d
图6-6 弹性基础上梁的挠曲
轨头：
σ 2d
K σs ′ + σ t ≤ [σ ] = K
t
[σ ]为允许应力，σ s为屈服极限，K为安全系数，
2011-3-18
新轨K = 1.3，旧轨K = 1.35
41
（2）钢轨局部接触应力计算
计算模型：赫兹接触理论：两个垂直圆 柱体，接触面为椭圆。
17:59
39
(一)钢轨强度检算
作用在钢轨上的应力： 1）基本应力：弯曲应力、温度应力 2）局部应力：接触应力、应力集中 3）固有应力：残余应力 4）附加应力：制动应力、爬行力 桥上附加应力
2011-3-18
40
（1）钢轨基本应力计算
弯曲应力： M σ = (Mpa ) 轨底： W M 轨头： σ = (Mpa ) W 温度应力： 普通线路：查表6-5,P208 无缝线路： σ t = 2.5∆t 基本应力：弯曲应力+温度应力= σ d + σ t 轨底： σ + σ ≤ [σ ] = σ
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2、确定垂向力的方法
1）概率组合：前苏联代表 2）计算模型：动力仿真计算 3）速度系数法：
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（1）概率组合确定垂向力
弹簧振动 轨道不平顺 车轮单独不平顺（扁瘢） 车轮连续不平顺（不圆顺车轮） 概率组合——数学平均值与其均方差的 2.5倍之和。 F = F + 2.5σ 垂
M d = M (1 + α + β p ) f Rd = R (1 + α + β p ) yd = y (1 + α + β p )
式中y、M、R分别为钢轨的静挠度、静弯矩、静压力。
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动力计算方法：准静态
计算步骤： 1）计算静态情况下的y、M、R 2）计算系数 α、β p、f 3）计算准静态的yd、Md、Rd 4）各部件强度检算
第四章轨道结构力学分析
第一节 概述
轨道结构力学分析： 应用力学的基本原理，在轮轨相互作用理 论的指导下，用各种计算模型来分析轨道及 其各个部件在机车车辆荷载作用下产生应力、 变形及其他动力响应。
17:59 1
轨道结构力学分析目的： （1）确定机车车辆作用于轨道上的力； （2）在一定运行条件下，确定轨道结构的承载能 力； 轨道结构承载能力计算包括三个方面： （1）强度计算； （2）寿命计算； （3）残余变形计算。
dy θ= dx
k −1 4 令β = mm 4 EJ β → 钢轨基础与钢轨刚比系数 式（ ）变为： 1
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(
)Βιβλιοθήκη Baidu
d4y 4 + 4β y = 0 4 dx
2 d y M = − EJ 2 dx 3 d y Q = − EJ 3 dx 4 dy q = − EJ 4 dx
q = ky
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16
（1）基本假设
1）钢轨与车辆符合标准要求； 2）钢轨是支承在弹性基础上的无限长梁； 3）轮载作用在钢轨对称面上，两股荷载相等； 4）两股钢轨分开计算； 5）不考虑轨道自重。
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17
（2）基本参数1
EJ x → 钢轨竖向抗弯刚度；
E → 钢轨钢弹性模量，E = 2.1×105 Mpa J x → 钢轨截面对水平轴惯性矩，查表6 − 1
2 bl → 道床有效支承面积（mm ）。 y0 = αy p
α →轨枕挠度系数
b →轨枕宽度（mm）； l → 轨枕支承长度（mm）。
2011-3-18 21
2、钢轨支点弹性系数D
定义：使钢轨支点顶面产生单位下沉而作 用在钢轨支点顶面上的钢轨压力。
R 公式：D = y p
支点刚度
R → 作用在支点上的钢轨压力（N）； y p → 支点下沉量（mm）。
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本节总结
作用在轨道上的力有哪些？ 轨道强度静力计算的方法 基本计算模型 基本参数 准静态计算步骤 各种系数
2011-3-18 38
轨道各部件的强度检算
准静态计算方法
1) 静力计算 y,M,R 2) 各种系数
α , βP , f
3) 准静态计算 yd , M d , Rd 4) 各部件强度检算
根据边界条件： 根据边界条件： x → ∞ , y = 0,得C1 = C 2 = 0， dy 当x = 0时， = 0，得C 3 = C 4 = C；当x = 0时， dx d3y P 2 EJ 3 = P，得C = dx 8 EJβ 3
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钢轨挠度y等
P y= e − βx (cos βx + sin β x ) 8EJβ 3 P θ =− e − βx sin β x 4 EJβ 2 P − βx M= e (cos βx − sin β x ) 4β P − βx Q = e cos β x 2 Pβ − βx q= e (cos βx + sin β x ) 2
1 1 2 2 3 3
+ P4η ( βx4 ) + P5η ( βx5 )
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η (βx3 ) = 1
x3 = 0, βx3 = 0,
31
二、轨道强度动力计算 ——准静态计算
三个系数： 1）速度系数 2）偏载系数 3）横向水平力系数
2011-3-18
α βp
f
32
1、速度系数 α
27
解四阶微分方程，利用特征根
通解为：y = Ae (1+i )βx + Be (1−i )βx + Ce (−1+i )βx + De (−1−i )βx 应用欧拉公式
e ±iβx = cos βx + i sin β x
最后得： y = C1e βx cos β x + C2 e βx sin β x + C3e − βx cos βx + C4 e − βx sin β x
d2y M = − EJ 2 dx 3 d y Q = − EJ 3 dx 4 dy q = − EJ 4 dx 26
根据Winkler假定 q = ky
得： d4y EJ 4 + ky = 0 dx
（1） ）
式中EJ → 钢轨的竖向抗弯刚度； k → 钢轨基础弹性系数； y → 钢轨挠度。
f =
σ0 +σi
2
0
轨底内缘弯曲应力。 σ i → 轨底内缘弯曲应力。
曲线半径（ 曲线半径（m）
线路平面 横向水平 力系数f 2011-3-18
直线 1.25
≥ 800
1.45
600 1.60
500 1.70
400 1.80
300 2.0
35
4、准静态计算公式
钢轨动挠度yd，钢轨动弯矩M d，钢轨动压力 （或轨枕动反力）Rd的计算公式为：
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2
轨道结构设计
轨道结构承载能力设计 变形设计 行车舒适性设计 安全设计 动力仿真计算
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第二节 作用在轨道上的力
垂向力：竖直力 横向力 纵向力
z垂向 x纵向
y横向
车体
图6-1 轮轨之间作用力
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4
一、垂向力组成
静载：自重+ 静载：自重+载重 动载：附加动压力（动力附加值） 动载：附加动压力（动力附加值）
0.45v 100 0.6v 100
33
2、偏载系数
∆P P0 − P 定义：β p = = P P 式中：∆P → 外轨偏载值； P → 车轮静载；
βp
P0 → 车轮作用于外轨上的轮载。
β p = 0.002∆h
∆h → 允许欠超高。
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3、横向水平力系数 f
定义：轨底外缘弯曲应力与轨底中心弯 曲应力的比值。 公式： 轨底外缘弯曲应力； 式中σ → 轨底外缘弯曲应力； σ0
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(2) 动力仿真计算
根据车体结构， 根据车体结构，建 立动力方程， 立动力方程，然后 用数值求解方程组， 用数值求解方程组， 得到随时间变化的 轮轨之间作用力。 轮轨之间作用力。
2011-3-18
8
（3）速度系数法确定垂向力
速度系数α 偏载系数β p 计算垂向动轮载Pd Pd = P (1 + α + β p ) P为静轮载
关系1： 关系2：
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D k= a
Cblα D= 2
q = ky
24
（3）计算公式推导
钢轨在集中荷载作用下发生挠曲变形
弹性曲线方程为
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y = y (x )
25
由材料力学可知：
钢轨各截面的转角θ、弯矩M，剪力Q和 基础反力强度q分别为
dy θ= dx
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1）机车车辆构造与状态原因引起： 机车车辆构造与状态原因引起： 车轮扁瘢、擦伤——冲击荷载； 冲击荷载； a）车轮扁瘢、擦伤 冲击荷载 车轮不圆顺——冲击 b）车轮不圆顺 冲击 轨道构造与状态引起： 2）轨道构造与状态引起： 接头——冲击 a）接头 冲击 焊缝——冲击 b）焊缝 冲击 c）轨道不平顺 3）机车车辆在轨道上的运动方式引起 蛇行——偏载 a）蛇行 偏载 曲线——偏载 b）曲线 偏载
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第三节 轨道结构竖向受力分析及计算方法
计算在垂直动荷载作用下，各部件的应力
准静态计算方法： 1）轨道强度静力计算； 2）轨道强度动力计算——准静态计算； 3）轨道各个部件强度检算。
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一、轨道静力计算
计算模型：有两种 1）连续弹性基础梁模型； 2）连续弹性点支承梁模型。
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弹性点支承模型
图示 假设 计算方法：有限元
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弹性基础梁法
钢轨：支承在弹性基础上的无限长梁 垫板＋轨枕+道床+路基=弹性基础 符合Winkler假设
q = ky
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Winkler 假定
作用于弹性基础单位面积上的压力，和 压力所引起的沉陷之间成直线比例关系。
轮轨之间接触面积约100mm2 接触应力可达1000MPa
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赫兹理论计算公式
3 P (Mpa ) σ max = ⋅ 2 πab 式中P →轮载(N ) ；