§7.4 逆Z变换
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第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
反Z变换
A = Re s[ X (z) ] P 4 0 表2 - 1 k z=zk z 1 d r−k r x(z) Ck = r−k [(z − zi ) (r − k)! dz z z=z , k=1,2⋯r i
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
7.4 z变换
Tz z z 1 2 2 Z[ x( t T ) x( t )] Z[2Tt T ] 2T T T z 2 ( z 1) z 1 ( z 1)2
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
Z反变换
域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）
12.帕塞瓦定理(parseval)
如果 X (z) Z[x(n)], Rx z Rx ;
H (z) Z[h(n)], Rh z Rh ; 且Rx Rn 1 Rx Rn .
*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。
X (z)
z
A1 A2
z (4 z)(z 1) 4 z z 1
4
4
A1 [(4 z)
X
( z
z
)
]z
4
4 4 1
16 15
4
1
A2
[( z 1 ) 4X (z) Nhomakorabeaz
]z 1 4
4 4 1
1 15
4
X (z) 16 /15 1/15 z 4z z1 4
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
X
(z)
16 15
4
z
z
1 15
z
z
1
4
1 15
(
16z 4z
z
z
1
)
4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
12.帕塞瓦定理(parseval)
如果 X (z) Z[x(n)], Rx z Rx ;
H (z) Z[h(n)], Rh z Rh ; 且Rx Rn 1 Rx Rn .
*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。
X (z)
z
A1 A2
z (4 z)(z 1) 4 z z 1
4
4
A1 [(4 z)
X
( z
z
)
]z
4
4 4 1
16 15
4
1
A2
[( z 1 ) 4X (z) Nhomakorabeaz
]z 1 4
4 4 1
1 15
4
X (z) 16 /15 1/15 z 4z z1 4
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
X
(z)
16 15
4
z
z
1 15
z
z
1
4
1 15
(
16z 4z
z
z
1
)
4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
对差分方程两边进行Z变换
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
n
a z
n 0
结论：（1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 1 z z z （2）根据x(n)是左边、右边、还是双边序列，直接 a z z a z b 1 1 写出收敛域形式 z b
a 1 z
n
a z b z
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n
z 1
z 0.5
0.5 z 1
求三种可能收敛域的逆变换 解：1. 三种可能收敛域 2. 收敛域|z|>1时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1
x( z ) z
n 1
z2 z n1 n 1 z ( z 1)(z 0.5) ( z 1)(z 0.5)
§7.4 常系数线性差分方程的求解
yn C
yn C r
n
xn r （r与
n
n
X
三．零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 齐次解： yzi ( n) C zi k k
k 1 N n
第 6 页
C zi k由 y( 1), y( 2), , y( N )确定（相当于0-的条件）
第
7.4 常系数线性差分方程的求解 求解方法
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 4. z变换法反变换y(n)
1 页
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法
2 页
缺点：得不到输出序列 yn 的解析式
X
二．时域经典法
1.齐次解：齐次方程的解
X
小结
y( n) C zi k C zs k D( n)
k 1 n k k 1 n k N N
第 7 页
零输入响应
零状态响应
C zi k由 y( 1), y( 2), , y( N )确定 C zs k由 yzs (0), yzs (1), , yzs ( N 1)确定 ( y( 1) y( 2) y( N ) 0)
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1 y 2 0
n y ( n ) C ( ) zs k k D(n) 经典法：齐次解+特解 zs N
C zs k由 yzs (0), yzs (1), , yzs ( N 1)确定
k 1
卷积法 yzs ( n) x( n) h( n)
Z反变换
n m1
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故
因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 1 z
上收敛。所以可取z 1的极限。
n
lim (z 1)X (z) lim [x(m 1) x(m)1m
z1
n m1
lim {[ x(0) 0] [x(1) x(0)] [x(n 1) x(n)]}
]zzk
Ck
1 d rk
(r
k
)!
dz
r
k
[( z zi )r
x( z)
z
zzi ,
k 1,2r
分别求出各部分分式的z反变换（查 表），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例]利用部分分式法，求 X (z) 1 (1 2z1)(1 0.5z1) , z 2
的z反变换。
解：
1
z2
X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) (z 2)(z 0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2,
查p54表2.1得
x(n)
4 3
z 1
z
1)
X
(
z)]
Re
s[
X
(
z )] z 1
证明：Z[x(n 1) x(n)] (z 1) X (z)
[x(n 1) x(n)]z n
n
利用x(n)为因果序列这一特性可得：
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故
因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 1 z
上收敛。所以可取z 1的极限。
n
lim (z 1)X (z) lim [x(m 1) x(m)1m
z1
n m1
lim {[ x(0) 0] [x(1) x(0)] [x(n 1) x(n)]}
]zzk
Ck
1 d rk
(r
k
)!
dz
r
k
[( z zi )r
x( z)
z
zzi ,
k 1,2r
分别求出各部分分式的z反变换（查 表），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例]利用部分分式法，求 X (z) 1 (1 2z1)(1 0.5z1) , z 2
的z反变换。
解：
1
z2
X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) (z 2)(z 0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2,
查p54表2.1得
x(n)
4 3
z 1
z
1)
X
(
z)]
Re
s[
X
(
z )] z 1
证明：Z[x(n 1) x(n)] (z 1) X (z)
[x(n 1) x(n)]z n
n
利用x(n)为因果序列这一特性可得：
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
Z变换及逆变换与-稳定性
数字信号处理课程设计课程名称数字信号处理题目名称Z变换与逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生XX学号指导教师二○××年××月××日Z变换-反变换求系统响应与稳定性判断引言 (1)数字信号处理 (2)MATLAB (2)GUI (2)课题相关 (2)设计要求 (1)理论知识 (1)离散时间系统 (2)Z变换 (2)数字信号处理 (2)离散时间系统的频域分析 (2)系统函数 (6)因果性和稳定在Z域的描述 (6)系统函数的零极点位置 (6)MATLAB仿真 (1)M脚本涉与函数 (2)GUI控件介绍 (2)常用控件 (6)控件的公共属性 (6)程序实现 (1)稳定系统I (5)稳定系统II (5)非稳定系统 (5)致谢 (1)参考文献 (4)附录 (1)1 引言1.1 数字信号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。
另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。
有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以与数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。
第三节逆Z变换
1 j2 1 j2 1 1 e Z e Z Z Z 2 2 2 2 所以：F ( Z ) 2 2 Z j 2 Z j2 ( Z j 2) ( Z j 2)
k 1) 即： f (k ) f1 (k ) f 2 (k ) f (k ) (k ) f (k ) ( f (k ) F ( Z ) Z [ f1 (k ) f 2 (k )] f (k ) Z k 双边序列： k 因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z 反因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z
式中各系数为：ki ( Z Z i ) Z Zi Z kn Z k1Z ...... 两边同时乘以Z得：F (Z ) k0 Z Z1 Z Zn 利用常用序列的Z变换：
1 (k ) Z , Z a a k (k ) Z a Z , Z a a k k 1 Z a
k 1 1 1 k 0
0 2 2 2 k
k
注：已知象函数求出原函数不仅要注意F(Z)的形式还要注意其收 敛域。
一、幂级数展开法
：
步骤为：先由F(Z)的收敛域确定原序列的形式（因果反因果或双 边），然后再利用长除法将F(Z)展为幂级数，取其系数即可得到 Z2 f(k). Z 2, Z 1,1 Z 2 F (Z ) , ( Z 1)(Z 2) 例1：已知 求收敛域为 的Z 变换。 解:(1)F(Z)的收敛域为︱ z︱>2时,该序列为因果序列，利用长除 Z 1 法展为 的幂级数时F(Z)为降幂级数。
具体作法如下： Z2 Z 2 Z2
f (k ) 1,1,3,5......
逆z变换(部分分式展开法)
hk 2 K11 k k 1 cos[( k 1) 1 ) (k ) 2 K12 k cos( k 2 ) (k )
X
第
例题
13 页
同学练习：
z2 １求单边z变换F ( z ) 2 的原序列 . z 1
3z ２分别求象函数F ( z ) 2 . 2 z 5z 2 在下列三种收敛域下所对应的时间序列 1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
X
二．部分分式展开法（重点）
1．z变换式的一般形式
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1 z b0 X (z) D( z ) z n an1 z n1 an 2 z n 2 a1 z a0
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 所以 xk , 4, 3, 2, 1 5z 5 4z 6 n 1
第 2 页
直接用长除法进行逆变换
X z xk z
k 0
k
（是一个z 的幂级数）
X
第
例题
13 页
同学练习：
z2 １求单边z变换F ( z ) 2 的原序列 . z 1
3z ２分别求象函数F ( z ) 2 . 2 z 5z 2 在下列三种收敛域下所对应的时间序列 1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
X
二．部分分式展开法（重点）
1．z变换式的一般形式
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1 z b0 X (z) D( z ) z n an1 z n1 an 2 z n 2 a1 z a0
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 所以 xk , 4, 3, 2, 1 5z 5 4z 6 n 1
第 2 页
直接用长除法进行逆变换
X z xk z
k 0
k
（是一个z 的幂级数）
z变换,反Z变换两部分补充PPT
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
Z变换补充材料
15
逆Z变换
2、高阶极点 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修
Bk z k
1
j Im[ z ]
n
n
a z
Z平面 收敛域
0
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
X ( z) 1
z 1 或 | z || a | a
1 z z 1 ( a ) z a | z | | a |
Z变换补充材料
3
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) X (1/3)|n| 的Z变换。
零点：0，极点：3，1/3
Z变换补充材料 4
Z变换的收敛域
Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n
x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
5
Z变换补充材料
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
z变换反演积分法
z变换反演积分法
Z变换反演积分法是通过利用逆Z变换的公式，将Z变换的结果反变换成时域信号。
具体步骤如下：
1. 根据信号的Z变换结果，确定其逆Z变换的公式。
2. 将Z变换结果的极坐标形式转换为分数形式，即将Z变换
结果表示为分子和分母的比值。
3. 将分数形式的Z变换结果进行部分分式展开，得到Z变换
结果的逆Z变换表达式。
4. 反变换的结果通常是关于n的时域信号，其中n为正整数。
5. 根据逆Z变换的公式，对得到的逆Z变换表达式进行展开，得到最后的时域信号。
需要注意的是，逆Z变换涉及到部分分式展开，通常需要使
用拉普拉斯反演公式、维特公式等方法来求解。
对于复杂的Z
变换结果，逆Z变换可能会比较繁琐或难以求解，因此在实
际应用中，常常利用Z变换表格或数值计算方法来进行逆Z
变换。
第七章 z变换、离散时间系统的z域分析 PPT课件
1
n
u(n)的z变换，
2
3
并标明收敛域，绘出零极点图。
解：Zx(n)
x(n)zn
1
n
z
＋
n
1
n
z
n
1
n
＋
1
n
n－
n0 2
n0 3
n0 2z n0 3z
当 1 2z
1即 z
1时，
1
n
2 n0 2z
1 1－1/(2z)
z z1
2
当1 3z
1即 z
1时，
1
n
X (z) k A
m
z
m0 z z
m
其中，z 是 X (z)的极点，z 0。
m
z
0
A m
z
z m
X (z) z
zzm
k
X (z)
Az m
m0 z z
m
k
m0
A m
z m
n
u
(
n)，
（右边Fra bibliotek序列
）
x(n)
Z
X 1
(z)
Z
1
k
m0
A m
z
z z
m
k
m0
A m
z m
n
u(n
1)，（左边序列）
级数的系数就是序列x(n)。
• 右边序列，N(z)、D(z)按z的降幂（或z-1的升幂）排列
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 n0
• 左边序列，N(z)、D(z)按z的升幂（或z-1的降幂）排列
1
X (z) x(n)zn x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3 n
信号与系统-逆Z变换
在 z > R 的区域内收敛，因此C包围了X(z)的奇点。通常
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
《z变换的性质》课件
通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
逆z变换
= Kx(−2)z2 + x(−1)z1 + x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 +L
级数的系数就是序列 x(n)
2．右边序列的逆z变换
将X(z) 以z 的降幂排列
X(z) = ∑ x(n)z−n = x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 + L
n=0 ∞
3．左边序列的逆z变换 将X(z)以z的升幂排列
高阶极点（重根）
设 X(z) = ∑
j =1 s
Bj z ( z − zi )
j
z = zi为s阶极点。 阶极点。
则
1 ds− j s X ( z) Bj = s− j (z − zi ) (s − j)! d z z z=z
i
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是 的有理函数，可表示为： 变换式一般是z的有理函数，可表示为：
推导
1 X (z)zm−1 d z = 2 πj ∫c 1 x(n) z−n+m−1 d z ∑ 2 πj ∫c n=0
∞ ∞
1 m−n π j( m−n)θ R ∫ e dθ = ∑ x(n) −π 2π n=0
只有当 = m积分不为零， = m时积分为 π n 积分不为零， n 2
x(n) 右= 0 n= m n≠ m
m
左边序列 围线积分等于围线 外所有极点的留数之和 围线积分等于围线C外所有极点的留数之和 x(n) = −∑Re s X ( z)zn−1
[
]
m
z=zm
X ( z) =
n=− ∞
x(n)z −n = x(−1)z1 + x(−2)z 2 + x(−3)z 3 + L ∑
信号与系统§8.4 逆z变换
§8.4 逆z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法(了解)
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X(z)
N(z) D(z)
b0 b1z b2z2 a0 a1z a2z2
br1zr1 ak1zk1
br zr akzk
xn
1 2 πj
X zzn1 c
d
z
3
1 X zzm1 d z xn 1 znm1 d z
2 πj c
n0
2 πj c
2
2．用留数定理求围线积分
右边序列
xn
1 2 πj
X zzn1 c
d
z
围线积分等于围线C内所有极点的留数之和
2 πj c
n0
2 πj c
令积分路径上的 z Re jθ
右 x n
1
π Rmn1 e j(mn1)θ j Re jθ d θ
n0
2π j π
xn
1 Rmn eπ j(mn)θ d θ
n0
2π
π
只有当n m积分不为零，n m时积分为2 π。
1 2 πj
X zzn1 c
d
z
3
3式即为z 逆变换的围线积分表示。
应用柯西定理
1
2πj
z
c
k 1
d
z
1 0
k0 k0
4 比 较(2)和(4源自式即（4）式当k 0时，与(2)式右边积分中n m相当。
右边的结果为xn。 同样也可得到(3)式。
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法(了解)
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X(z)
N(z) D(z)
b0 b1z b2z2 a0 a1z a2z2
br1zr1 ak1zk1
br zr akzk
xn
1 2 πj
X zzn1 c
d
z
3
1 X zzm1 d z xn 1 znm1 d z
2 πj c
n0
2 πj c
2
2．用留数定理求围线积分
右边序列
xn
1 2 πj
X zzn1 c
d
z
围线积分等于围线C内所有极点的留数之和
2 πj c
n0
2 πj c
令积分路径上的 z Re jθ
右 x n
1
π Rmn1 e j(mn1)θ j Re jθ d θ
n0
2π j π
xn
1 Rmn eπ j(mn)θ d θ
n0
2π
π
只有当n m积分不为零，n m时积分为2 π。
1 2 πj
X zzn1 c
d
z
3
3式即为z 逆变换的围线积分表示。
应用柯西定理
1
2πj
z
c
k 1
d
z
1 0
k0 k0
4 比 较(2)和(4源自式即（4）式当k 0时，与(2)式右边积分中n m相当。
右边的结果为xn。 同样也可得到(3)式。
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x n znzm1dz
2πj c
2πj
c n0
交换积分和求和的顺序，得到
1
X z zm1dz
x n
1
z n m 1dz
2πj c
n0
2πj c
令积分环线为z=Rejθ，则上式右端
1
xn
znm1dz x n
1
π Rmn1e j(mn1) j Rej d
n0
2πj c
x n
1 2该式便是z变换的逆变换表达式。c是 z平面上包含 X(z)zn-1 所有极点的逆时针闭合环路积分路线，如图所示。
X
三、围线积分法
根据留数定理，图中沿围线c的积分等 于c所包围的 X(z)zn-1极点的留数之和， 即
x(n)
c
内极点
Re
s
X
(
z
)z
n1
Re s X (z)zn1
n 0，积分线c内的极点 n 0，积分线c外的极点
c 外极点
Im z
0
r1
r2 Re z
c
（1）若zi 为X(z)zn-1的单极点，则
Re s X (z)zn1 zzi z zi X (z)zn1 zzi
（2）若zi 为X(z)zn-1的K重极点，则
Re s X (z)zn1 zzi
信号与系统
§7.4 逆Z变换
北京航空航天大学电子信息学院 2020/9/30
一、幂级数系数
由序列 z变换的定义
X (z) x(n)zn n
只要把给定的X(z)展开成幂级数形式，则幂级数的系数就 是相应的 x(n)。
for example
X(z)
z2
z 4z
4
当收敛域为|z|>2时， x(n)为右边序列，则将X(z)表示为
n0
2πj π
X
三、围线积分法
1
xn
znm1dz x n
1
π Rmn1e j(mn1) j Rej d
n0
2πj c
n0
2πj π
xn
1 Rmn e d π j(mn)
n0
2π
π
由第三章中讨论的指数函数的正交性可得，若m≠n ，则
上式为0。而当m=n 时，
π e j(mn) d 2π π
X(z)
z2
z 4z
4
z1 +4z2 12z3 n2n1 zn
n2n1 u(n)zn n0
X
一、幂级数系数
x(n)
n2n1 u(n)
0
,1, 4,12, ...
n0
当收敛域为|z|<2时， x(n)为左边序列，则将X(z)表示为
z X(z) 4 4z z2
1 z 1 z2 3 z3 4 4 16
(K
1
dK 1
1)! dz K 1
z zi
K
X
(
z
)
z
n1
z
zi
X
1
n2n1 u(n 1)zn n
x(n)
n2n1
u(n
1)
...,
3 16
,
1 4
,
1 4
n 1
X
二、部分分式分解法
将 X(z)分解
X(z) Xi(z)
i
x(n) xi (n)
i
z变换的表现形式一般为z变量的有理多项式分式，即
X(z)
B(z) A(z)
bm zm an z n
bm1zm1 an1zn1
b1z b0 a1z a0
基本形式:
kz za
1.ROC |z|>a: kanun
1.ROC |z|<a: kanun 1
X
三、围线积分法
对于x(n) 的z变换
X z xn zn n0
上式两端乘以z m-1，再进行围线积分，得到
1 X z zm1dz 1