§7.4 逆Z变换

x n
1 2πj
c
X
z
z m 1dz
该式便是z变换的逆变换表达式。c是 z平面上包含 X(z)zn-1 所有极点的逆时针闭合环路积分路线，如图所示。
X
三、围线积分法
根据留数定理，图中沿围线c的积分等 于c所包围的 X(z)zn-1极点的留数之和， 即
x(n)
c
内极点
Re
s
X
(
z
)z
n1
Re s X (z)zn1
n0
2πj π
X
三、围线积分法
1
xn
znm1dz x n
1
π Rmn1e j(mn1) j Rej d
n0
2πj c
n0
2πj π
xn
1 Rmn e d π j(mn)
n0
2π
π
由第三章中讨论的指数函数的正交性可得，若m≠n ，则
上式为0。而当m=n 时，
π e j(mn) d 2π π
x n znzm1dz
2πj c
2πj
c n0
交换积分和求和的顺序，得到
1
X z zm1dz
x n
1
z n m 1dz
2πj c
n0
2πj c
令积分环线为z=Rejθ，则上式右端
1
xn
znm1dz x n
1
π Rmn1e j(mn1) j Rej d
n0
2πj c
1
n2n1 u(n 1)zn n
x(n)
n2n1
u(n
1)
...,
3 16
,
1 4
,
1 4
n 1
X
二、部分分式分解法
将 X(z)分解
X(z) Xi(z)
i
x(n) xi (n)
i
z变换的表现形式一般为z变量的有理多项式分式，即
X(z)
B(z) A(z)
bm zm an z n
n 0，积分线c内的极点 n 0，积分线c外的极点
c 外极点
Im z
0
r1
r2 Re z
c
（1）若zi 为X(z)zn-1的单极点，则
Re s X (z)zn1 zzi z zi X (z)zn1 zzi
（2）若zi 为X(z)zn-1的K重极点，则
Re s X (z)zn1 zzi
(K
1
dK 1
1)! dz K 1
z zi
K
X
(
z
)
z
n1
z
zi
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X(z)
z2
z 4z
4
z1 +4z2 12z3 n2n1 zn
n2n1 u(n)zn n0
X
一、幂级数系数
x(n)
n2n1 u(n)
0
,1, 4,12, ...
n0
当收敛域为|z|<2时， x(n)为左边序列，则将X(z)表示为
z X(z) 4 4z z2
1 z 1 z2 3 z3 4 4 16
bm1zm1 an1zn1
b1z b0 a1z a0
基本形式:
kz za
1.ROC |z|>a: kanun
1.ROC |z|<a: kanun 1
X
三、围线积分法
对于x(n) 的z变换
X z xn zn n0
上式两端乘以z m-1，再进行围线积分，得到
1 X z zm1dz 1
信号与系统
§7.4 逆Z变换
北京航空航天大学电子信息学院 2020/9/30
一、幂级数系数
由序列 z变换的定义
X (z) x(n)zn n
只要把给定的X(z)展开成幂级数形式，则幂级数的系数就 是相应的 x(n)。
for example
X(z)
z2
z 4z
4
当收敛域为|z|>2时， x(n)为右边序列，则将X(z)表示为