图像加密技术

1引言
随着宽带网和多媒体技术的发展，图像数据的获取、传输、处理遍及数字时代的各个角落。

安全问题也日益严重。

很多图像数据需要进行保密传输和存储，例如军用卫星拍摄的图片、新型武器图纸、金融机构建筑图等，还有些图像信息根据法律必须要在网络上加密传输，例如在远程医疗系统中，患者的病历和医学影像等[1]。

由于这些图像数据的特殊性，图像加密技术将它们处理为杂乱无章的类似噪音的图像，使未授权者无法浏览或修改这些信息。

近十年来，用光信息处理技术来进行数据加密和保障数据安全引起了相当的关注。

Pefregier和Javidi最早发表了这个领域的研究论文[2]。

由于光学信息处理系统的高度并行性和超快处理速度[3]，光学安全（optical security）技术对信息安全技术的发展具有重要的理论意义和应用前景。

光学加密技术提供了一个更加复杂的环境，并且和数字电子系统相比，他对于攻击更有抵抗力。

另外，由于傅里叶光学信息处理系统具有读写复振幅的能力，而该复振幅信息由于其相位部分在普通光源下是无法看到的，故不能用仅对光强敏感的探测器，如CCD摄像机、显微镜等，进行读和写。

因此利用光学信息处理对光学图像进行安全加密是一种行之有效的方法。

1995 年， Philippe Refregier 等[4]提出了双随机相位编码方法，这种方法具有较好的安全性和鲁棒性。

从此光学加密技术进入快速发展时期。

研究人员随后提出了基于分数傅里叶变换的加密方法、基于菲涅耳变换的加密方法、基于联合变换相关器的加密系统、利用离轴数字全息的加密系统和利用相移干涉技术的加密系统等大量新的或改进的加密系统，使得光学加密领域的研究异彩纷呈。

虽然目前光学加密技术的发展方兴未艾，但其前景不可估量。

总的来说，与电子手段相比，现有的光学加密系统还存在一些缺点：可实施性、灵活性与稳定性都有待提高。

以下将从基于傅里叶变换的双相位编码图像的加密原理入手，将其推广到分数阶傅里叶域，并介绍几种方法，以及基于分数阶傅里叶变换的其他图像加密方法。

2 基于傅里叶变换的双相位编码图像加密及解密[2][5]
2.1双相位编码图像加密的原理
双相位编码由一个4f系统和分别位于其输入平面和傅里叶频谱面的相位掩膜构成，如图1（a）所示。

图1（a）基于傅里叶变换的双向位编码加密的光学实现
两个相位掩膜分别处于输入平面和傅里叶频谱面，该方法可将图像加密为广义平稳
白噪声。

为表述简单，仅用一维形式表示。

f(x)表示归一化处理后待加密的图像，像素值范围[0,1]；g(x)表示得到的密文图像，n 1(x)和n 2(x)是两个统计独立并在[0,1]上分布均匀的白序列。

exp(j2πn 1(x))和exp(j2πn 2(x))称为随机相位掩膜（random phase mask ）。

加密过程可以分为两步，首先将f(x)与掩膜函数exp(j2πn 1(x))相乘，然后将乘积f(x)exp(j2πn 1(x))与h(x)卷积，即完成加密（见图1（b ））。

所的加密后的图像g(x)可表示为
{})())(2exp()()(1x h x n j x f x g *=π
符号*代表传统傅里叶意义下的卷积公式。

其中h(x)是纯相位传递函数H(v)的冲击
响应
{}))(2exp()()(2v n j x h v H πF ==
对g(x)解密时，将其（含相位信息）进行傅里叶变换后与掩膜exp(j2πn 2(x))相乘，再做逆傅里叶变换，所得结果的幅度信息等与原图f(x)(当原图f(x)为实值图像时)，见图1（c ）。

可见该算法仅有一个密钥，即为exp(j2πn 2(x))。

下面讨论密图g(x)的统计特性
)-))h(x (j2exp()()(11
ηηηηn f x g N
π∑
==
g(x)的自相关
)())((1)]()([2
1
*
τδητη∑==
+N
f N
x g x g E
可见g(x)是均值为0，方差为2
1
)
(1∑
=N
f N
ηη的白噪声，证明过程从略。

2.2仿真实例
图1（c ） 基于傅里叶变换的双相位编码解密算法框图
图1（b ）基于傅里叶变换的双相位编码加密算法框图
对大小为128×128的二值图像进行双相位编码加密，得到加密图，然后分别对加密图叠加高斯白噪声和近似信号色噪声再解密，可见解密后可通过低通滤波降低原图与解密图的MSE ，达到改善图像质量的目的，如图2（e ）和图2（f ）所示。

3基于分数阶傅里叶变换的图像加密及解密
[6][7]
3.1基于分数阶傅里叶变换的图像加密的实现
将双相位编码加密推广到分数阶傅里叶域，即输入平面、加密平面和输出平面都有双相位编码加密的空域或频域改变为分数阶傅里叶域。

为表述简单，仍采用一维形式表示，并且令输入平面为0阶分数阶傅里叶域（即空域），除非特别声明，都认为待加密图为实值图像，以f(x 0)表示。

n 1(x)和n 2(x)是两个统计独立并在[0，1]上均匀分布的白序列。

α(x)= exp(j2πn 1(x))和β(x)= exp(j2πn 2(x))为双随机相位掩膜。

加密过程如下（上角标e 表示加密过程，d 表示解密过程）（如图2（a ）所示）：
（1）
f(x 0)与掩膜α(x 0)= exp(j2πn 1(x 0))相乘，对乘积做a 阶分数阶傅里叶变换
[])()()(00x x f x g a
a e αF
=
图2（e ） 对混叠有标准差为σ=0.3的白噪声的字母E 的加密图进行解密
（1）原图（2）白噪声（3）加密图（4）解密图（5）解密图经过低通滤波后的结果
（1） （2） （3） （4） （5）
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
图2（f ）对混叠有标准差为σ=0.3的色噪声的字母E 的加密图进行解密
（1）原图（2）色噪声（3）叠加色噪声的原图（4）加密图（5）解密图（6）解密图经过低通滤波后的结果
图2（a ）分数阶傅里叶域双相位编码加密框图
(2)在a 阶分数阶傅里叶域（加密平面）将g e (x a )乘以掩膜β(x a )(密钥)，再对乘积做（b-a ）阶分数阶傅里叶变换，得到b 阶分数阶傅里叶域的加密结果ξe （x b ）
)()()(a a e
a e x x g x h β=
[]
[]
)()()()(a a e
a
b a e
a
b b e x x g
x h
x βξ--==F
F
即
[][]
)()()()(00
a a
a
b b e
x x x
f x βαξF F
-=
由此，解密过程作为加密过程的逆过程可简单描述为（如图2（b ）所示）
[][]
)()()()()(00*
)
(0x x f x x x f a b e
a b a
d
αβξ
==---F
F
此外也可以使用另一种解密方法（如图2（c ）所示）
[]
[]
[][]*
0*
0*
0)()()()()(x x f x x x f a b e
a
b a
d
αβξ
==-F
F
当原图f(x 0)为实值时，有上述两种解密方法得到的f d (x 0)的幅度即为解密结果f(x 0)。

可见推广后的双相位编码加密算法密钥除了相位掩膜β，还增加了两次分数阶变换的阶数，扩大了密钥空间，阶数未知时将无法正常解密。

可以证明，ξe (x b )是平稳白噪声，其自相关函数为
[
])())
()((/
*
/b b
b e b e x x
k x x E -=δξξ
其中，du u f k b ⎰
=
2
)(。

Lohmann 提出了两种实现分数阶傅里叶变换的光学系统（type Ⅰ和type Ⅱ），在光学加密处理时通常采用type Ⅰ型（单透镜）结构进行级联。

分数阶傅里叶域双相位编码加密的光学实现见图
2（d ），)2/sin(/1πa f F s =)4/tan(1πa f Z s =，
图2（
c ） 分数傅里叶域双相位编码解密框图
图2（b ） 分数傅里叶域双相位编码解密框图
4/)tan((2πa b f Z s -= ,)2/)sin((/2πa b f F s -=。

f s 是标准焦距。

由该结构可以看出，当使用第二种解密方法时，即密图取共轭，可利用与加密相同的光学结构来完成该处理，只是输入和输出平面互换，光路的方向不同（加密左至右，解密右至左）。

处理图像时应用二维分数阶傅里叶变换的，实际密钥为两对变换阶数（a x ,a y ,b x ,b y ）和掩膜β，而基于傅里叶变换的双相位编码加密密钥仅有掩膜β，可见安全性得到增强。

3.2仿真结果及分析
对大小为100×100的灰度图像（图3（a ）所示）进行仿真，当密钥出错时将不能得到正确的解密图像。

图3（b ）为解密阶数出现不同的偏差时，解密图和原图的MSE 曲线，可见盲解密时作为密钥的分数阶傅里叶变换阶数是安全和鲁棒的。

原始图像 加密图
以正确密钥（0.75,0.9）、 （1.25,1.1）解密
以（0.7,0.85）、 （1.2,1.05）解密
图3（a ）对灰度图加密和解密的仿真
图2（d ） 分数傅里叶双相位编码加密的光学实现
图3（b）解密阶数出错时，解密图与原图的MSE曲线
4 结论
基于傅里叶变换图像加密技术建立在双随机相位加密技术的基础上,而分数阶傅里叶变换是傅里叶变换图像加密技术在实际应用中的改进，是在傅里叶变换基础上发展起来的，对傅里叶变换的补充和完善。

傅里叶光学信息处理是在空域或空频域进行滤波，在进行信息处理时往往受到限制，尤其是在空频域，傅里叶变换要求严格的频谱面（透镜焦平面）；而分数阶傅里叶变换则不然，可根据需要，在既包括空域信息也包括空频域信息的平面（非透镜焦平面）进行操作，使得光学信息处理更加灵活[8]，具有强鲁棒性能和加密防伪性能。

分数阶傅里叶变换在光学上易于实现，并且由于分数阶傅里叶变换的变换角度（阶数）参数及其可加性提供了更多自由度，可扩大密钥空间，不仅使得被保护信息的安全性增加，而且免去了硬盘设备的复杂性，为算法的优化设计以及与密码学的结合提供了更多简便可行的方法，具有实际应用前景。