APT模型

险利率的部分）。方便起见用 代替，则（9-12）进一步改
1
写为：
1 1 r f
（9-13）
同样道理，考虑一个只对因素 F2 存在单位敏感性，对其他
因素的敏感性为0的纯因素组合 那么：
P2

，其期望收益率为
2
，
2 2 rf
（9-14）
以此类推，可以得到：
3 3 rf
b 其中 为 K 1 个常数， 个因素的敏感性。
1 K
i1
（9-9）
i
biK
分别表示资产
对K
在均衡状态下，资产的期望收益率都可以表示为（9-9）
的形式，那么无风险资产也满足（9-9）。由于无风险资 产对任何风险因素敏感性为0，则可以得到：
0 rf
（9-10）
现代证券组合理论篇
APT模型
第一节 套利的含义
第二节 套利组合 第三节 套利对定价的影响 第四节 APT和CAPM的关系
第一节
套利含义
套利（Arbitrage）机会 :不增加风险就能增加收益的机会 套利行为：投资者利用利用这个机会增加收益的行为。
如果市场上存在套利机会，则称这个市场处于非均衡状态； 如果市场上没有套利机会，则称市场处于均衡状态。 投资者的套利行为会使得套利机会很快消失，使得市场从
其次，套利组合是无风险的。
b1 若资产的收益率用因素模型表示，则套利组合对各个因素的敏感性都 b2 bn 为0。对于简单的单因素模型，假设个资产对因素的敏感性分别 、 1b1 2 b 2 ，则第二个原则可以表述为： n b n 0
K
1b1 1 2 b 2 1 n b n 1 0 1b1 2 2 b 2 2 n b n 2 0 b b b 0 1 1K 2 2K n nK
止下来，此时资产期望收益率之间会达到一种均衡。
如果所有资产的期望收益率只受一个因素影响，即资产的
期望收益率可用单因素模型表示，那么均衡时资产的期望 收益率和敏感性之间应满足如下的线性关系：
E ri 0 1bi
（9-8）
其中 0 和 1 为常数， i 是资产 i 对因素的敏感性。 b
6 .3
很多人都从事这样的套利活动，会使得该种商品在美国的价格
上升，在中国的价格下降，直到两个市场的美元价格一致，套 利行为停止。
第二节 套利组合
套利组合：初始组合、新组合和套利组合。
初始组合是投资者对各资产初始持有量或持有权重 i , 0 ；
套利组合是投资者对资产持有量或持有权重的变动
易壁垒的自由竞争市场上，一件相同商品在不同国家出售，如 果以同一种货币计价，其价格应是相等的。
例如，当1美元＝6.3元人民币时，在美国卖1美元一件的商品在
中国就应该卖6.3元人民币一件，即该商品在中国的美元价格也 应该是1美元一件。
但是如果该商品在中国卖7元人民币，则商人就会做这样的套
利，在美国以1美元的价格买入，到中国以7元人民币的价格， 相当于1.11美元（ 7 ）卖出，赚取0.11美元的无风险利润。
新组合是变动后对各资产的持有量或持有权重 i ,1
i；
（ i ,0 ）。 i
套利组合的严格定义 ：
首先，套利组合是一个“零投资组合”，即投资者为套利
所
1 2 n 0 构造的这个组合不需要投资者额外投入资金：
（9.1）

K K rf
（9-15）
那么套利定价方程可以表述为：
E ri r f 1 r f bi 1 2 r f bi 2 K r f b iK
（9-16）
第四节 APT和CAPM的关系
期望收益率
E rM
相等。因此 E ri r f i E rM r f
E ri r f b i 1 r f

。 i bi
（9-18）

要使得式（9-18）中CAPM和APT都成立，则
单因素情形
如果因素不是市场组合，而且这种情况是更一般的情况，
上述这个等式则称为单因素模型下的套利定价方程。
原因：对照（9-6）和（9-8），各资产期望收益率的表达
式中常数项不相同，同样的敏感性 bi
会对应不同的期望收
益率，即敏感性和期望收益率之间不是一一对应的关系。
如果资产的期望收益率是一个多因素模型，则套利方程表
示为：
E ri 0 1bi1 2 bi 2 K biK
非均衡状态达到均衡状态。
套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）的
基本假设:
如果市场上存在不增加风险就能增加收益的机会，则每个
投资者都会利用这个机会增加收益；
资产的收益率可以用因素模型来表示，即套利定价理论是
建立在因素模型上。
读一读 一价定律和套利
一价定律（the law of one price）：指在没有运输费用和官方贸
（9.2a）
对于
元的多因素模型
（9.2b）
再次，套利组合能为投资者带来回报，即套利组合的收益
率大于0。
假设个资产的期望收益率分别为 E r 、 r E r ，则第三个原则可以 E 表述为： 1 E r1 2 E r2 n E rn 0
APT（套利定价模型）和CAPM（资本资产定价模型）比较：
不同点：假设条件和推导过程完全不同
相同点：都是均衡模型，模型结果类似，CAPM模型可以看
成是APT模型的一个特例，APT模型是CAPM模型的一般形式。
单因素情形
考虑下列的情形：如果资产的期望收益率由一个因素模型
生成，因素为市场组合。在这种情况下， 1 和市场组合的
（9-22）
此时有：

(9-23)
i
F ,M
1
M
2
bi1
F
2
,M
M
2
bi 2
第1个因素的单位纯因素组合 组合
P2

P1

和第2个因素的单位纯因素
的期望收益率 1 和 2 分别为：
F1 , M E rM r f 1 r f 2 M F2 , M rf E rM r f 2 2 M
考虑一个只对因素 F1 存在单位敏感性，而对其他因素的敏
感性为0的纯因素组合 益率为： 将（9-11）转化为：
P1
*
，那么该纯因素组合
P1
*
的期望收
（9-11）
E rP r f 1
1

1 E rP
r
1
f来自百度文库
（9-12）
1 的含义是单位敏感性组合的期望超额收益率（高出无风
此时 b i 和 i 的关系可以表述为：
i F ,M
1
M
2
bi
（9-19）
单位纯因素组合
P1

的超额收益率：
1 F ,M
1
M
2
b i E rM
rf
（9-20）
多因素情形
考虑双因素模型，CAPM和APT同时成立可表示为：
E ri r f i E rM r f E ri r f b i 1 1 r f b i 2 2 r f
1
2
n
（9.3）
第三节 套利对定价的影响
价格与期望收益率之间的关系： E P1 P0 E r
P0
其中， P0 是资产当前的价格， E P 是资产的预期价格。
1
购买资产，会提高其当前价格，导致期望收益率下降； 出售资产，会使其当前价格下降，期望收益率上升。
这种套利行为，直至3个资产之间的套利机会完全丧失后停