第五章 第五节 数列的综合应用
第五节 数列的综合应用-高考状元之路
第五节 数列的综合应用预习设计 基础备考知识梳理1．等差、等比交汇，考查数列的综合问题2．以递推关系为背景，考查数列的通项与前n 项和3．数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用4．以实际问题为背景，考查数列的应用(1)解答数列应用题的步骤：①审题——仔细阅读材料，认真理解题意．②建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．③求解——求出该问题的数学解，④还原——将所求结果还原到原实际问题中．(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差．②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比．(3)与银行利率相关的几类模型：①银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和=y ，属于等差模型，②银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和=y ，属于等比模型．③产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值=y(4)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是 n a 与1+πa 的递推关系，还是前n 项和n s 与1+n s 之间的递推关系．(5)分期付款模型；设贷款总额为a ，年利率为r ，等额还款数为b ，分n 期还完，则=b典题热身1．已知等差数列}{n a 的公差,0=/d 它的第1，第5，第17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )4.A 3.B 2.c 21.D 答案：B2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线322+-=x x y 的顶点是(b ，c)，则ad 等于( ) 3.A 2.B 1.c 2.-D答案：B3．数列}{n a 的通项公式是关于x 的不等式)(2⋅∈<-N n nx x x 的解集中的整数个数，则数列}{,l a 的前n 项和=n s ( )2.n A )1(.+n n B 2)1(.+n n c )2)(1.(++n n D 答案：C4．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为 答案：25%5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的71是较少的两份之和，最小的一份的量为 答案：35课堂设计 方法备考题型一 等差、等比数列的综合应用【例1】已知各项均为正数的数列}{n a 前n 项和为,n s 首项为,1a 且n n S a ,,2成等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若,,log 2nn n n n a bc a b ==求数列}{n c 的前n 项和⋅n T 题型二 数列与函数的综合应用【例2】已知,0(log )(>=a x x f u 且),1=/a 设),(),(21a f a f ))((,*∈⋅⋅N n a f n 是首项为4，公差为2的等差数列．(1)若a 为常数，求证：}{n a 是等比数列；(2)若}{),(n n n n b a f a b =的前n 项和是,n s 当2=a 时，求⋅n s题型三 数列在实际问题中的应用【例3】某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交量的?31)48.0~3lg ,30.0~2lg ,82.2~657(lg 题型四 数列与函数、不等式的综合问题【例4】已知点)31,1(是函数)1,0()(=/>=a a a x f x 且的图像上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为 ,)(c n f -数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n s 满足+=--n n n s s s 1).2(|1≥-n s n(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(2)若数列}1{1+n n b b 的前n 项和为,n T 问：满足20091000>n T 的最小正整数n 是多少？ 技法巧点(1)深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆，同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．(2)在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解．在解方程（组）时，仔细体会两种情形中解方程（组）的方法的不同之处．(3)数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角函数、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度，解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解 题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．(4)在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．失误防范1．等比数列的前n 项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1．最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习，2．解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义n a 是表示“第n 年”还是“n 年后”，随堂反馈1．等差数列}{n a 的前n 项和为,52,18,139-=-=s s s n 等比数列}{n b 中，,,7755a b a b ==则15b 的值为( )64.A 64.-B 128.c 128.-D2．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )P A . P B 12. 12)1.(P c + 1)1.(12-+P D答案：D3．（2011．兰州模拟）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n s （万件）近似地满足关系式),12,,2,1)(5ln 2(902 =--=n n n s n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月、答案：C4．（2011．济南模拟）已知数列}{n a 是首项为41=a 的等比数列，且3512,,4a a a -成等差数列，则其公比q 等于( )1.A 1.-B 11.-或C2.D答案：C5．设x ，y 为正数，且y a a x ,,,21成等差数列，y b b x ,,,21成等比数列，则21221)(b b a a +的最小值是 答案：4高效作业 技能备考一、选择题1．各项都是正数的等比数列}{n a 中，132,21,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为( ) 215.-A 215.+B 251.-c 215215.+-或D 答案：B2．（2011．黄冈模拟）据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟答案：C3．数列}{,l a 中，*),.(73N n n a n ∈-=数列}{n b 满足,311=b ,2271≥=-n b b n n （且*),N n ∈若n k n b a log +为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为31 B ．唯一存在，且为3 C ．存在，且不唯一 D ．不一定存在 答案：B4．（2011．抚顺模拟）已知数列}{n a 满足.11=+-+n n a a ,.2≥n 点0是平面上不在L 上的任意一点，L 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知,20092a a =+则=2010s （ ) 1004.A 2010.B 2009.c 1005.D答案：D5．抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴交点分别为*),(,N n B A n n ∈以||n n B A 表示该两点的距离，则+||11B A ||||2010201022B A B A ++ 的值是( ) 20102009.A 20112010.B 20122011.c 20132012.D 答案：B6．(2011．舟山一模)已知数列}{},{n n b a 满足,11=a 且1,+n n a a 是函数n n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，则10b 等于 ( )24.A 32.B 48.c 64.D答案：D二、填空题7．已知等比数列}{n a 中，,132=>a a 则使不等式+-)1(11a a +-)1(22a a +-)1(33a a 0)1(≥-+nn a a 成立的最大自然数n 是 答案：58．已知函数,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差,0=/d 若 +++...)()(21a f a f ,0)(27=a f 则当=k 时，.0)(=k a f答案：149．(2011．银川模拟)在各项均为正数的数列}{n a 中，n s 为前n 项和，1221)1(++++=n n n n a a a n na 且,3π=a 则=4tan S 答案：3三、解答题10.（2011．湖南高考）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75℅(1)求第n 年初M 的价值n 。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第五章 第五节数列的综合应用
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课时提升作业(三十四)一、选择题1.等差数列{a n }的公差为3，若a 2,a 4,a 8成等比数列，则a 4=( ) (A)8 (B)10 (C)12 (D)162.等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )(A)90 (B)100 (C)145 (D)1903.(2013·济南模拟)某火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( )(A)10秒钟 (B)13秒钟 (C)15秒钟 (D)20秒钟4.(2013·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( ) (A)53(B)103(C)56 (D)1165.(2013·海淀模拟)已知数列{a n }满足：a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )(A)4 (B)5 (C)24 (D)25 6.(2013·合肥模拟)已知数列{a n }为等差数列，公差为d,若1110a a ＜-1，且它的前n项和S n有最大值，则使得S n＜0的n的最小值为( )(A)11 (B)19 (C)20 (D)217.在1到104之间所有形如2n和3n(n∈N*)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg 2≈0.301 0)( )(A)1 631 (B)6 542 (C)15 340 (D)17 4248.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )(A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值(C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定二、填空题9.(2013·温州模拟)设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则数列{n a}的前n项和S n等于___________.n110.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.11.(2013·山东师大附中模拟)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S10＞0并且S11=0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为_______.12.(能力挑战题)数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点(S n,a n+1)在直线y=2x+1上，n∈N*，若数列{a n}是等比数列，则实数t=__________.三、解答题13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列， (1)求{a n }的公比q. (2)若a 1-a 3＝3，求S n .14.(2012·安徽高考)设函数f(x)=x 2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(1)求数列{x n }的通项公式.(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .15.(2013·宁波模拟)在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，q=22S b . (1)求a n 与b n . (2)证明：12n 111123S S S 3≤+++<….答案解析1.【解析】选C.令首项为a ，根据条件有(a+9)2=(a+3)〃(a+21)⇒a=3， a 4=3+3〓3=12.故选C.2.【解析】选B.设公差为d ，则(1+d)2=1〃(1+4d). ∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100.3.【解析】选C.设每一秒钟通过的路程依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ，则数列{a n }是首项a 1=2,公差d=2的等差数列，由求和公式有1n(n 1)dna 2402-+=,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.4.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d ＞0)，则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20. 由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a,∴d=556， 所以，最小的一份为a-2d=20-110563=. 5.【解析】选C.由a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)可得2n a n =,即n a =,要使a n <5，则n<25,故选C.6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“1110a a ＜-1”及“S n 有最大值”如何使用，从而列出关于a 1,d 的不等式组，求出1a d的取值范围，进而求出使得S n ＜0的n 的最小值，或者根据等比数列的性质求解.【解析】选C.方法一：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由111a 9d 0,a 10d 0,2a 19d 0,d 0,+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩＞＜＜＜得1a 1992d --＜＜.∵()2n 11n n 1d dS na d n (a )n 222-=+=+-, 由S n =0得n=0或n=1-12a d. ∵12a 19120d-＜＜, ∴S n ＜0的解集为{*12a n N |n 1d∈-＞}, 故使得S n ＜0的n 的最小值为20.方法二：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由a 10＞0知S 19＞0,由a 11＜0知S 21＜0, 由a 10+a 11＜0知S 20＜0,故选C. 7.【解析】选B.由2n <104，得44n lg20.301 0<≈≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和1312(21)S 16 38221-==-；同理数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和823(31)S 9 84031-==-， ∴|S 1-S 2|=6 542.8.【解析】选C .设甲各个月份的产值构成数列{a n }，乙各个月份的产值构成数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=b 1,a 11=b 11，故a 6=1116a a b 2+≥===，由于在等差数列{a n }中的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6，即6月份甲的产值大于乙的产值. 9.【解析】∵y ′=nx n-1-(n+1)x n ,∴y ′|x=2=n 〃2n-1-(n+1)〃2n =-n 〃2n-1-2n , ∴切线方程为y+2n =(-n 〃2n-1-2n )(x-2), 令x=0得y=(n+1)〃2n ，即a n =(n+1)〃2n , ∴n n a 2n 1=+,∴S n =2n+1-2. 答案:2n+1-210.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比11a 2=，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n 〃12, ∴n 1n n n 1111a a q (),()2210-==∴<，得n ≥4. 答案:4【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题，首先分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系，然后构建数学模型，将实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题，最后通过建立的关系求出相关量.11.【解析】在等差数列{a n }中，由S 10＞0,S 11=0得，()110101105610a a S 0a a 0a a 0,2+=⇒+⇒+＞＞＞ ()11111111611a a S 0a a 2a 0,2+==⇒+==故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6=0, 所以S 5=S 6≥S n ,即k=5或6. 答案:{5，6}12.【思路点拨】得出关于a n+1,S n 的式子，降低一个角标再得一个关于a n ,S n-1的式子，两个式子相减后得出a n+1,a n 的关系，可得数列{a n }中，a 2,a 3,a 4,…为等比数列，只要21a a 等于上面数列的公比即可. 【解析】由题意得a n+1=2S n +1, a n =2S n-1+1(n ≥2),两式相减得a n+1-a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2), 所以当n ≥2时，{a n }是等比数列， 要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需21a 2t 1a t+==3，从而t=1. 答案:113.【解析】(1)依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2),由于a 1≠0，故2q 2+q=0. 又q ≠0，从而q=-12. (2)由已知可得a 1-a 1(-12)2=3, 故a 1=4,从而n n n 14[1()]812S [1()]1321()2--==----. 14.【思路点拨】(1)根据导数，x n 的左侧导函数小于0，x n 的右侧导函数大于0，求出极小值点.(2)由(1)求出{x n }的前n 项和为S n ，再代入sin S n 求解. 【解析】(1)f(x)=x 2+sin x,令f'(x)=12+cos x=0,得x=2k π〒23π(k ∈Z), f'(x)>0⇒2k π-23π<x<2k π+23π(k ∈Z), f'(x)<0⇒2k π+23π<x<2k π+43π(k ∈Z),当x=2k π-23π(k ∈Z)时，f(x)取极小值,x n =2n π-23π(n ∈N *).(2)由(1)得：x n =2n π-23π,S n =x 1+x 2+x 3+…+x n =2π(1+2+3+…+n)-2n 3π=n(n+1)π-2n 3π.当n=3k(k ∈N *)时，sin S n =sin(-2k π)=0, 当n=3k-1(k ∈N *)时，sin S n =sin 23π=2, 当n=3k-2(k ∈N *)时，sin S n=sin43π=.所以**n *0,n 3k,k N ,sin S n 3k 1,k N ,n 3k 2,k N .⎧⎪=∈==-∈⎪⎪=-∈⎪⎩15.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，因为2222b S 12,S q ,b +=⎧⎪⎨=⎪⎩所以q 6d 12,6d q ,q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解得q=3或q=-4(舍)，d=3. 故a n =3+3(n-1)=3n ，b n =3n-1. (2)因为n n(33n)S 2+=， 所以()n 12211()S n 33n 3n n 1==-++. 故12n111S S S +++… =2111111121[(1)()()()](1)322334n n 13n 1-+-+-+⋯+-=-++.因为n ≥1，所以110n 12<≤+，于是11112n 1≤-<+， 所以1212(1)33n 13≤-<+. 即12n 111123S S S 3≤++⋯+<. 关闭Word 文档返回原板块。
高考数学必修5总复习《数列的综合应用》
留多少？
(2)该同学若长期服用该药会不会产生副作用？
解析：(1)设该同学第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，a1＝220，a2 ＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4.
a3＝220＋a2×(1－60%)＝220＋220×1.4×0.4＝343.2. 第二天早间是他第三次服药，故服药后，药在他体内的残留量为343.2毫克．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该
模型是等比模型，这个固定的数就是公比．其一般形式是：
an＋1 an
＝q(常
数)．
(3)混合模型：在一个问题中同时涉及到等比数列和等差数列的模
型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或
减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模
∴{an}是以23为公差的等差数列． 又a1＝1，∴an＝23n＋31.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n53＋423n＋31＝－49(2n2＋3n)． (3)当 n≥2 时，
变式1－1 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房 ，在以后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每 年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年 底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不低 于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ (1.085≈1.47)
高考理科第一轮复习课件(5.5数列的综合应用)
1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数 列，则{an}的前n项和Sn=(
n 2 7n (A) 4 4 n 2 5n (B) 3 3
) (D)n 2+n
n 2 3n (C) 2 4
【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得
(2+2d)2=2·(2+5d)，解得 d 1 或d=0（舍去），所以数列{an}
【变式备选】已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn
为{an}的前n项和. （1）求通项an及Sn. （2）设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn} 的通项公式及其前n项和Tn.
【解析】（1）因为{an}是首项为a1=19，公差d=-2的等差数
列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21, Sn=-n2+20n. （2）由题意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1, 即bn=-2n+21+3n-1. Tn=Sn+(1+3+„+3n-1)
3n 2 11n 2 2 , n 2, 所以Sn 2 3n 11n 10, n 2, 2 2 4,
这个式子中n=2时两段函数值相等，
n 1,
故可以写为
Sn 3n 2 11n 10, n 2. 2 2
【互动探究】本例题（1）中将条件“S1,S2,S4成等比数列”改
第五节 数列的综合应用
数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解——求出该问题的数学解. ④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
第三章 第五节 数列的综合应用
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高考一轮第五章 第五节 数列的综合问题
C．15秒钟
D．20秒钟
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解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an， 则数列{an}是首项为a1＝2，公差为d＝2的等差数列，由等差数列求 和公式得 nn－1d na1＋ ＝240， 2 即2n＋n(n－1)＝240， 解得n＝15(n＝－16舍去)．
答案：C
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3．(2012· 山海关模拟)从2005年1月2日起，每年1月2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保 持不变，并约定每年到期后存款及利息均自动转为 新一年的定期存款，到2011年1月2日将所有存款及
数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、 方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差 数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用， 随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容
也将受到越来越多的关注．
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[精析考题] [例1] 1 (2010· 福建高考)数列{an}中，a1＝3，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn
解析：由题意知a1＝3，d＝0.5 5×4 S5＝3×5＋ 2 ×0.5＝20.
答案： 20 返回
2π 5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 3 ，公差 π 为36，则这个多边形的边数为________．
解析：由于凸多边形的内角和为(n－2)π， nn－1 π 2π ∴ n＋ × ＝(n－2)π. 3 2 36 化简得n2－25n＋144＝0. 解得n＝9或n＝16. 2π π 13 当n＝16时，最大的内角为 ＋(16－1) ＝ π>π，而凸多边 3 36 12 形内角小于π，故只有n＝9.
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3n－6 ＝780－210×4 ， 3n－6 780－210×4
An＝
第三章 第五节 数列的综合应用
第三章 第五节 数列的综合应用数列，则a m ＋cn 等于 ( )A.4B.3C.2D.1解析：由题意得b 2＝ac ,2m ＝a ＋b ,2n ＝b ＋c ，则a m ＋c n ＝an ＋cmmn＝2222b c a b a c a b b c +++++＝22ab ac ac bcab ac b bc ++++++＝2. 答案：C2.数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ) A.a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B.a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C.a 3＋a 9≠b 4＋b 10D.a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定解析：∵a3＋a 9≥＝2a 6＝2b 7＝b 4＋b 10，当且仅当a 3＝a 9时， 不等式取等号. 答案：B3.(文)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项 和为T n ，求T n .解：(1)∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36.∵a 2＝3，∴a 5＝9，∴3d ＝a 5－a 2＝6，∴d ＝2， 又∵a 1＝a 2－d ＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由等比数列{b n }满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24，得4512b b b b ++＝q 3＝8，∴q ＝2，∵b 1＋b 2＝3，∴b 1＋b 1q ＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1， ∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n ，即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列. (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n －2}为等比数列； (3)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列， ∴(a n ＋1＋S n ＋1)－(a n ＋S n )＝2，即a n ＋1＝22n a +. ∵a 1＝1，∴a 2＝32，a 3＝74.(2)证明：由题意得a 1－2＝－1，又∵122n n a a +--＝2222n n a a +--＝12，∴{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列.(3)由(2)得a n －2＝－(12)n －1，∴na n ＝2n －n ·(12)n －1，∴T n ＝(2－1)＋(4－2·12)＋[6－3·(12)2]＋…＋[2n －n ·(12)n －1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n )－[1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n －1]，设A n ＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n －1，①∴12A n ＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ，②①－②得12A n ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ·(12)n ，∴12A n ＝11()2112n--－n ·(12)n ，∴A n ＝4－(n ＋2)·(12)n －1， ∴T n ＝(22)2n n +＋(n ＋2)·(12)n －1－4＝(n ＋2)·(12)n －1＋n (n ＋1)－4.4.若数列{a n }满足1n na a +-＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列.已知 数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝ .解析：由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，所以{1x n }为调和数列，则可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝ x 2＋x 19＝…＝20010＝20.答案：205.(2010·安庆模拟)某市2009年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流 感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人， 由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染 者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病 毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一 天的新患者人数.解：设第n 天新患者人数最多，于是，前n 天每天新感染者的总人数构成一个首项为 20，公差为50的等差数列，前n 天流感病毒感染者总人数S n ＝20n ＋n (n －1)2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N)，后30－n 天每天新增流感病毒感染者构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为30，项数为30－n 的等差数列，而后30－n 天的流感 病毒感染者总人数T n ＝(30－n )(50n －60)＋(30)(29)2n n --×(－30)＝－65n 2＋2445n －14850，依题设构建方程有，S n ＋T n ＝8670， ∴25n 2－5n ＋(－65n 2＋2445n －14850)＝8670，化简，n 2－61n ＋588＝0，∴n ＝12或n ＝49(舍)，第12天的新的患者人数为20＋ (12－1)·50＝570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.6.2个， 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟解析：设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1212n --≥100，∴n ≥7. 答案：B7.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元， 第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名 恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励.解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2046.答案：20468.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9(k ∈N *)，则k 的值为 .解析：∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n >1)，即a n ＝(23a n －13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a na n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等 比数列，S k ＝a 1(1－q k )1－q ＝(－2)k －13，∵1<S k <9，∴1<(－2)k －13<9，即4<(－2)k <28，仅当k ＝4时不等式成立. 答案：49.(2010·徐州模拟)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列， 且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ＝1,2,3…)，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n <72.解：(1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n 即b n b n －1＝13所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .(2)数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n∴T n ＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…＋(3n －1)·13n ]，13T n ＝2[2·132＋5·133＋…＋(3n －4)·13n ＋(3n －1)·13n ＋1] ∴23T n ＝2[3·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －13－(3n －1)·13n ＋1] 从而T n ＝72－72·13n －n 3n －1<72.10.(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N). (1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围. 解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0， ∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列.(2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2， ∴S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立.设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283].(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上.数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值. 解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式. ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列， 由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5，∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1). ∵n 增大，T n 增大，∴{T n}是递增数列.∴T n≥T1＝1 3.T n＞k57对一切n∈N *都成立，只要T1＝13＞k57，∴k＜19，则k max＝18.。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案章节一：数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的性质1.3 数列的通项公式1.4 等差数列与等比数列章节二：数列的求和2.1 等差数列求和2.2 等比数列求和2.3 数列的错位相减法2.4 数列的分组求和章节三：数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 数列极限的运算3.4 无穷小与无穷大章节四：数列的收敛性与发散性4.1 数列的收敛性4.2 数列的发散性4.3 数列收敛性的判断方法4.4 数列发散性的判断方法章节五：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用5.2 数列在概率论中的应用5.3 数列在数论中的应用5.4 数列在其他领域的应用《数列综合应用举例》教案（续）章节六：等差数列的应用6.1 等差数列在数学分析中的应用6.2 等差数列在物理中的应用6.3 等差数列在经济学中的应用6.4 等差数列在其他领域的应用章节七：等比数列的应用7.1 等比数列在数学分析中的应用7.2 等比数列在生物学中的应用7.3 等比数列在金融学中的应用7.4 等比数列在其他领域的应用章节八：数列的插值与逼近8.1 数列插值的概念与方法8.2 数列逼近的概念与方法8.3 等差数列与等比数列的插值与逼近8.4 数列插值与逼近在其他领域的应用章节九：数列的级数展开9.1 数列级数的概念9.2 数列级数的收敛性与发散性9.3 数列级数展开的方法9.4 数列级数展开在数学分析中的应用章节十：数列的应用实例分析10.1 数列在数学建模中的应用10.2 数列在信号处理中的应用10.3 数列在数据分析中的应用10.4 数列在其他学科中的应用实例分析《数列综合应用举例》教案（续）章节十一：数列与函数的关系11.1 数列与函数的定义11.2 数列与函数的性质11.3 数列与函数的转化11.4 数列与函数在数学分析中的应用章节十二：数列的线性表征12.1 数列的线性表征方法12.2 数列的线性表征性质12.3 数列的线性表征应用12.4 数列的线性表征在其他领域的应用章节十三：数列的矩阵表示13.1 数列矩阵表示的概念13.2 数列矩阵表示的性质13.3 数列矩阵表示的运算13.4 数列矩阵表示在数学分析中的应用章节十四：数列的变换与映射14.1 数列变换的概念与方法14.2 数列映射的概念与方法14.3 等差数列与等比数列的变换与映射14.4 数列变换与映射在其他领域的应用章节十五：数列研究的现代方法15.1 数列研究的现代方法概述15.2 数列研究的计算机方法15.3 数列研究的随机方法15.4 数列研究的其他现代方法重点和难点解析本教案《数列综合应用举例》涵盖了数列的基本概念、性质、求和、极限、收敛性与发散性，以及数列在各个领域的应用。
第5章第6课时数列的综合应用
第6课时 数列的综合应用1. 在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________． 答案：9解析：设公差d ，由题设知3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－433a 1>0，所以n<374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10，a n <0.故当n ＝9时，S n 取得最大值．2. 已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)，则i ＝1n 1a i ＝________．答案：2·3n －n －24解析：条件化为1a n ＋1＝3a n ＋12，即1a n ＋1＋14＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋14，所以1a n ＝3n －1－14，故∑i ＝1n 1a i ＝1－3n 1－3－n 4＝2×3n －2－n 4.3. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________．答案：3＋22解析：∵ a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴ 2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0，则a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，∴ a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴ q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或1－2(舍)，a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9（1＋q ）a 7（1＋q ）＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2.4. 已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________． 答案：16 解析：因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.5. 现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝__________．答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为{a n }，公差为d ，(d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n .由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，所以(a 1＋5d)2＝a 1(a n －1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.6. (2014·扬州期末)设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，则S n ＋10a n的最小值是__________．答案：21解析：由题设知S n ＝⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋d 2n 2，又S n 为等差数列，从而a 1＝d 2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d ⎝⎛⎭⎫n －12，S n ＝d2n 2，∴ S n ＋10a n ＝d 2（n ＋10）2d ⎝⎛⎭⎫n －12＝（n ＋10）22⎝⎛⎭⎫n －12＝（n ＋10）22n －1.令2n －1＝t(t ≥1)，原式＝⎝⎛⎭⎫t ＋12＋102t ＝14·⎝⎛⎭⎫t ＋212t ＋42，从而当t ＝21时，即n ＝11时，原式取到最小值21.7. (2014·南京学情调研)已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n, {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d.由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2) 由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n .记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1 ＋(n ＋1)×2n ，2 T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1, 即T n ＝n·2n ＋1，n ∈N *. 8. 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 解：(1) 设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n.(2) 由(1)可得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k)2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.9. 设数列{a n }是首项为4，公差为1的等差数列，S n 为数列{b n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋2n. (1) 求{a n }及{b n }的通项公式a n 和b n ；(2) 若f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为正奇数，b n ，n 为正偶数，是否存在k ∈N *使f(k ＋27)＝4f(k)成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：(1) a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋n －1＝n ＋3. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝3.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1)＝2n ＋1. 当n ＝1时上式也成立，∴ b n ＝2n ＋1(n ∈N *)． ∴ a n ＝n ＋3，b n ＝2n ＋1.(2) 假设符合条件的k(k ∈N *)存在，由于f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，n 为正奇数，2n ＋1，n 为正偶数，∴ 当k 为正奇数时，k ＋27为正偶数．由f(k ＋27)＝4f(k)，得2(k ＋27)＋1＝4(k ＋3)．∴ 2k ＝43，k ＝432.(舍)当k 为正偶数时，k ＋27为正奇数，由f(k ＋27)＝4f(k)，得(k ＋27)＋3＝4(2k ＋1)．∴ 7k ＝26，∴ k ＝267.(舍)因此，符合条件的正整数k 不存在．10. 已知数列{a n }为等比数列，S n 是其前n 项的和，若S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2(k ∈N *)成等差数列． (1) 求证：a k ＋1，a k ＋3，a k ＋2也成等差数列；(2) 试比较S 2k ＋1＋S 2k ＋2与2S 2k ＋3的大小．(1) 证明：∵ S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2(n ∈N *)成等差数列， ∴ S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ＋3，∴ (S k ＋3－S k ＋2)＋(S k ＋3－S k ＋1)＝0，即a k ＋3＋(a k ＋3＋a k ＋2)＝0，2a k ＋3＋a k ＋2＝0，∴ q ＝－12.∴ 2a k ＋3－(a k ＋1＋a k ＋2)＝a k ＋1(2q 2－q －1)＝0， ∴ a k ＋1，a k ＋3，a k ＋2成等差数列．(2) 解：(解法1)∵ S 2k ＋1＋S 2k ＋2≥（S k ＋1＋S k ＋2）22＝（2S k ＋3）22＝2S 2k ＋3， 又S k ＋2－S k ＋1＝a k ＋2≠0，S k ＋2≠S k ＋1，∴ S 2k ＋1＋S 2k ＋2>2S 2k ＋3.(解法2)S 2k ＋1＋S 2k ＋2－2S 2k ＋3＝a 21（1－q k ＋1）2（1－q ）2＋a 21（1－q k ＋2）2（1－q ）2－2a 21（1－q k ＋3）2（1－q ）2＝a 21（1－q ）2[(1－2q k ＋1＋q 2k ＋2)＋(1－2q k ＋2＋q 2k ＋4)－2(1－2q k ＋3＋q 2k ＋6)] ＝a 21（1－q ）2[2q k ＋1(2q 2－q －1)＋q 2k ＋2(1＋q 2－2q 4)] ＝a 21（1－q ）2q 2k ＋2(1＋q 2－2q 4)，(*)∵ q ＝－12，∴ 1＋q 2－2q 4＝1＋⎝⎛⎭⎫－122－2×⎝⎛⎭⎫－124＝98>0， ∴ 由(*)可知，S 2k ＋1＋S 2k ＋2＞2S 2k ＋3.11. 已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)．(1) 若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1) λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴ S n ＝a n ＋1a n S n.∵ a n ＞0，∴ S n ＞0.∴ a n ＋1＝a n . ∵ a 1＝1，∴ a n ＝1.(2) ∵ S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1，a n ＞0，∴ S n ＋1a n ＋1－S na n＝λ·3n ＋1.则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1，S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…，S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n ≥2)． 相加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1.则S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ≥2)． 上式对n ＝1也成立，∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ∈N *)． ① ∴ S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1(n ∈N *)． ②②－①，得a n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1－(λ·3n －32＋n)·a n ，即(λ·3n ＋1－32＋n)·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n)·a n .∵ λ≥0，∴ λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0.∵ a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，∴ λ·3n －32＋n ＜12(λ·3n ＋1－32＋n)对一切n ∈N *恒成立．即λ＞2n3n ＋3对一切n ∈N *恒成立．记b n ＝2n 3n ＋3，则b n －b n ＋1＝2n3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝（4n －2）3n －6（3n ＋3）（3n ＋1＋3）. 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0； 当n ≥2时，b n －b n ＋1＞0；∴ b 1＝b 2＝13是一切b n 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是λ＞13.。
2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第5章第五节 数列的综合应用(苏教版江苏专用
考点探究·挑战高考 考点探究·
考点突破 等差、 等差、等比数列的综合问题 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高 考考查的重点， 特别是等差、 考考查的重点 ， 特别是等差 、 等比数列的通 项公式， 项和公式以及等差中项、 项公式 ， 前n项和公式以及等差中项、等比中 项和公式以及等差中项 项问题是历年命题的热点． 项问题是历年命题的热点．
数列中的探索问题 本问题中， 题目的设置多含有参数， 本问题中 ， 题目的设置多含有参数 ， 又多与 存在、 不存在等问题相关联， 综合性较强， 存在 、 不存在等问题相关联 ， 综合性较强 ， 一般可利用特殊值法或者从特殊到一般的处 理思想分析、 归纳、 猜想等， 理思想分析 、 归纳 、 猜想等 ， 从此过程中找 到解题的入口或线索． 到解题的入口或线索．
－ ＝ (1)对于等差数列：_______________________ 对于等差数列： an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1 对于等差数列 －d) ， _____，当d≠0时，an是n的一次函数．对应的 的一次函数． 时 是 的一次函数 是位于直线上的若干个点． 点(n，an)是位于直线上的若干个点．当d>0时， ， 是位于直线上的若干个点 时 函数是增函数， 对应的数列是递增数列 ； 同 函数是增函数 ， 对应的数列是递增数列； 理 ， d＝ 0时 ， 函数是常数函数 ， 对应的数列 ＝ 时 函数是常数函数， 是常数列； 是常数列 ；d<0时，函数是减函数， 对应的数 时 函数是减函数， 列是递减数列． 列是递减数列．
数列与函数、 数列与函数、不等式的综合应用
涉及到函数、 方程、 不等式知识的综合性试 涉及到函数 、 方程 、 在解题过程中通常用递推思想、 题 ， 在解题过程中通常用递推思想 、 函数与 方程、 归纳与猜想、 等价转化、 方程 、 归纳与猜想 、 等价转化 、 分类讨论等 数学思想方法，属于中、高档难度的题目． 数学思想方法，属于中、高档难度的题目．
第六篇 第5讲 数列的综合应用
(2)利息＝本金×利率×存期，如果涉及复利问题，常用
Байду номын сангаас等比数列模型解决．涉及分期付款问题时，由于一般采用 复利计算利息的办法，所以也要借助等比数列模型解决．
(3)一般地，涉及递增率要用等比数列，涉及依次增加或
者减少要用等差数列．有的问题是通过转化得到等差数列 或等比数列的，在解决问题时要往这些方面去联系． (4)在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一 是从特例入手，归纳猜想，推广到一般结论；二是从一般 入手，找到递推关系，再进行求解．
a(1＋p)2，…，12月底为a(1＋p)12.设年增长率为x，则一年
底为a(1＋x)，所以a(1＋x)＝a(1＋p)12，解得：x＝(1＋p)12
－1. 答案 (1＋p)12－1
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一
等差、等比数列的综合应用
【例1】►已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d>0，且第1
类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)由于在等差数列的通项公式 an＝ a1＋ (n－ 1)d(d≠ 0)中， an 是关于 n 的一次函数，在其前 n 项和公式 Sn＝ na1＋ n n－ 1 d 中，Sn 是关于 n 的二次函数；在等比数列的通项 2 公式 an＝ a1qn－1(q>0 且 q≠ 1)中， an 和 n 的关系类似于指数 函数，所以等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与 指数函数有着密切的关系． (3)数列与不等式的综合问题主要有三种：一是判断数列问 题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的 恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明问 题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例 如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两 项的大小进行判断．
第五节 数列的综合应用
[解题技法] 1．新定义数列问题的特点 通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给 出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的 基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现 信息的迁移，达到灵活解题的目的．
[解] (1)数列{an}为“P(1)数列”，则 Sn＝an＋1－1，故 Sn＋1 ＝an＋2－1，两式相减得 an＋2＝2an＋1.
当 n＝1 时，a1＝a2－1，所以 a2＝2，故 an＋1＝2an 对任意的 n∈N *恒成立，即aan＋n1＝2，故数列{an}为等比数列，其通项公式
为 an＝2n－1，n∈N *.
[解析] 当 0≤x＜2 时，f(x)＝2x－x2＝1－(x－1)2，可得 f(x)
的极大值点 a1＝1，极大值 b1＝1； 当 2≤x<4，即 0≤x－2＜2 时，可得 f(x)＝3f(x－2)＝3[1－(x
－3)2]，可得 a2＝3，b2＝3；
当 4≤x＜6，即 0≤x－4＜2 时，可得 f(x)＝9f(x－4)
2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数 学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡
献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到
十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的
12
前一个单音的频率的比都等于 2.若第一个单音的频率为
f，则第八个单音的频率为
()
3
A. 2f
时，f(x)＝2x－x2；当 x≥2 时，f(x)＝3f(x－2)．若函数 f(x)的极
一轮复习课时训练§5.5： 数列的综合应用
第五章§5：数列的综合应用(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数也是常数的是A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 132．△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则tanC 等于 A ．－12B ．12C ．－112D ．1123．某厂在2002年底制订生产计划，要使2014年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为A ．2121－1 B ．2111－1 C ．4121－1 D ．4111－14．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的 横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2 011＋a 2 012等于A ．1 509B ．503C ．1 006D ．2 011 5．设f(x)是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)， 若a 1＝12，a n ＝f(n)(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1]D ．[12，1)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知函数f(x)＝sinx ＋tanx.项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(－π2，π2)，且公差d ≠0.若f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 27)＝0，则当k ＝________时，f(a k )＝0.7．在数列{a n }中，a n ＝3n －7，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值为______． 8．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为等差比数列，k 称为公差比．现给出下列命题： ①等差比数列的公差比一定不为0； ②等差数列一定是等差比数列；③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝na n －2n(n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，试求T n 的取值范围．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）一辆邮政车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站(包括起点站A 和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a k }(k ＝1,2,3，…，n)． 试求：(1)a 1，a 2，a 3；(2)邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋多少个？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：∵a 2＋a 6＋a 10＝3a 6，∴a 6为定值．S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6为定值．答案：B2．解析：由题意知：tanA ＝－1－(－4)7－3＝34，tan 3B ＝412＝8， ∴tanB ＝2，∴tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－34＋21－34×2＝112.答案：D3．解析：设2002年底总产量为a ，年平均增长率为x ，则到2014年的总产量为 a(1＋x)12＝4a ，解得x ＝4121－1.答案：C 4．解析：由题意知观察其规律可得 a 2 012＝2 0122＝1 006，a 2 011＝－1 0062＝－503. ∴a 2 011＋a 2 012＝503. 答案：B5．解析：由f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，a n ＝f(n)，令x ＝n ，y ＝1，得a n ·a 1＝a n ＋1，∴a n ＋1a n＝a 1，又∵a 1＝12，∴数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列，∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ，∴当n ∈N *时，12≤1－12n <1. 答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由题意，函数f(x)＝sinx ＋tanx 是奇函数，所以f(0)＝0，因为a n ∈(－π2，π2)，且f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 27)＝0，所以f(a 1)，f(a 2)，…，f(a 27)应分布在x 轴两侧，且中间的数f(a 14)＝0，即k ＝14. 答案：147．解析：∵b n ＝b 1·(127)n －1＝13·(13)3n －3＝(13)3n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k (13)3n －2＝3n －7＋(3n －2)·log k 13＝(3＋3log k 13)n －7－2log k 13.若a n ＋log k b n 为常数，则3＋3log k 13＝0，则k ＝3.答案：38．解析：若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为0的等差数列不是等差比数列，②错误；a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1，则a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a 1q n ＋1－a 1q n a 1q n －a 1q n －1＝q ，④正确． 答案：①③④三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由S n ＝na n －2n(n －1)，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， ∴a n ＋1－a n ＝4.所以，数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝4n －3. (2)∵T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)(4n ＋1)＝14[1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1] ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15.∴15≤T n <14，即T n 的取值范围是[15，14)．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由题意得a 1＝n －1， a 2＝(n －1)＋(n －2)－1＝2n －4，a 3＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)－1－2＝3n －9. (2)在第k 站出发时，放上的邮袋共 (n －1)＋(n －2)＋…＋(n －k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共1＋2＋3＋…＋(k －1)个，故a k ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋(n －k)－[1＋2＋…＋(k －1)]＝kn －12k(k ＋1)－12k(k －1)＝kn －k 2(k ＝1，2，…，n)，即邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋个数为kn －k 2(k ＝1,2，…，n)．。
2021届新课标数学一轮复习讲义_第五章_第5讲_数列的综合应用
第5讲 数列的综合应用考点一__等差数列与等比数列的综合问题______已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.[规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．1.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25 ，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .考点二__数列的实际应用问题__________________某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，求S n (n ≥7)．[解] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ； 当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列．又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. (2)由等差及等比数列的求和公式得 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6 ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6.[规律方法] 解答数列实际应用问题的步骤：(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．基本特征见下表：数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少等比数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推数列指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a (常数)作为下年度的开销，即数列{a n }满足a n ＋1＝1.2a n －a(2)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确；(3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．2.现有流量均为300 m 3s 的两条河A ，B 汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2 kgm 3和0.2 kgm 3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1 s 内交换100 m 3的水量，即从A 股流入B 股100 m 3水，经混合后，又从B 股流入A 股100 m 3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01 kgm 3(不考虑沙沉淀)． 解：设第n 个观测点处A 股水流含沙量为a n kg m 3，B 股水流含沙量为b n kgm 3，则a 1＝2，b 1＝0.2，b n ＝1400(300b n －1＋100a n －1)＝14(3b n －1＋a n －1)，a n ＝1400(300a n －1＋100b n －1)＝14(3a n －1＋b n －1)，a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)，∴{a n －b n }是以(a 1－b 1)为首项，12为公比的等比数列．∴a n －b n ＝95×⎝⎛⎭⎫12n －1.解不等式95×⎝⎛⎭⎫12n －1<10－2，得2n －1>180，∴n ≥9.因此，从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01 kg m 3.考点三__数列与不等式的综合问题(高频考点)__数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大． 高考对数列与不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度： (1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *， ∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2.∴2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3. ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)，∴3(2n －1)>k ·3·2n －1－2，∴k <2－13·2n －1对一切n ∈N *恒成立． 令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，∴f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，∴k <53.∴实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，53. [规律方法] 数列与不等式的综合问题的解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题；(2)与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．3.(1)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.①当n ∈N *时，求f (n )的表达式；②设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－⎝⎛⎭⎫2n ＋1a n (n ∈N *)．①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；②设数列{2n a n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n 的大小．解：(1)①令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n .②证明：设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n <2.(2)①证明：由a 1＝S 1＝2－3a 1，得a 1＝12，当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n n ＝12×a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项和公比均为12的等比数列．②由①得a n n ＝12n ，于是2n a n ＝n ，所以T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，则1T n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，于是A n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1，而2na n ＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2n n 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2n n 2，g (n )＝n n ＋1，当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1，所以f (n )>g (n )． 经验证当n ＝1，2，3时，仍有f (n )>g (n )． 因此对任意的正整数n ，都有f (n )>g (n )．即A n <2na n.交汇创新——数列与函数的交汇设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . [解] (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以T n ＝2n ＋1－n －22n.[名师点评] 数列与函数的交汇创新主要有以下两类：(1)如本例，已知函数关系转化为数列问题，再利用数列的有关知识求解；(2)已知数列，在求解中利用函数的性质、思想方法解答．[提醒] 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，同时要注意n 的范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3⇒3a n ＋2S n －1＝3，得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，因此3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13，因为a 2a 1＝13，所以数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)因为∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，即32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，所以k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n .令f (n )＝1－⎝⎛⎭⎫13n，n ∈N *，所以f (n )单调递增，k 只需小于等于f (n )的最小值即可， 当n ＝1时，f (n )取得最小值，所以k ≤f (1)＝1－13＝23，实数k 的最大值为23.1．设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则a b 1＋a b 2＋a b 3＋a b 4＋a b 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0. 4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，则a n ＝( ) A ．(n －2)·2n B ．1－12n C.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n ，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)．设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n ＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n－2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n＝1时，上式成立，所以选A.5．在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q ，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q 3.又因为⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n ， 即a 1（1－q n）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q 3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：67．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________． 解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2. 再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2. 答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1. ∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)， 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n－（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.1．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n－1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1， 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.2．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，北京市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以{a n }的前n 项和S n ＝128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n1－32＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1，{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n （n －1）2a . 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n－1＋400n ＋n （n －1）2a .(2)若计划7年内完成全部更换，则S (7)≥10 000，所以256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.3．已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n .问T n >1 0002 015的最小正整数n 是多少？解：(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，a 1＝f (1)－c ＝13－c ， a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第七章第五节 数列的综合应用课件
B．S5＝S6－1
C．S2019＝F2021－1
D．S2019＝F2020－1
AC [根据题意有 Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以 S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1 ＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1 ＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…所以 S2019＝F2021－1.]
(1)求{an}的通项公式； (2)记 bm 为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100 项和 S100.
解析： (1)设{an}的公比为 q，由题设得 a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得 q＝12 (舍去)，q＝2，所以 a1＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n. (2)由题设及(1)知 b1＝0，且当 2n≤m<2n＋1 时，bm＝n. 所以 S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋ (b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63) ＝480.
所以 n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以 n＋Sn＝2an，即 n， an，Sn 成等差数列．
数列与其他知识的交汇
(开放型)(2020·山东省高三月考)在①Sn＝2bn－1，②－4bn＝bn－ 1(n≥2)，③bn＝bn－1＋2(n≥2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题 中．若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由．
因为 Sn＝2bn－1，所以 Sn－1＝2bn－1－1(n≥2)，
两式相减并整理得 bn bn－1
＝2(n≥2)，
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一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A 和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮
袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，
设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 {ak}(k＝1,2,3，„，n)． 试求：(1)a1，a2，a3. (2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？
解：(1)由题意得 a1＝n－1，a2＝(n－1)＋(n－2)－1＝2n－4， a3＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)－1－2＝3n－9. (2)在第 k 站出发时，放上的邮袋共(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－ k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共 1＋2＋3＋„＋(k－ 1)个， ak＝(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－k)－[1＋2＋…＋(k－1)] 故 1 1 ＝kn－ k(k＋1)－ k(k－1)＝kn－k2(k＝1,2，„，n)， 2 2 即邮政车从第 k 站出发时，车内共有邮袋个数为 kn－k2(k＝ 1,2，„，n)．
(2)由(1)知an＝2n 1，∴Sn＝2n－1， 2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 －1 2 －1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
n
－
2an＋1 ∴当n＝1时， S 的最大值为3. n
[归纳领悟]
1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的 重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和 公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时 对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好 性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件
[究 疑 点] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期
为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．
复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则 本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．
[题组自测] 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－ qan－1(n≥2，q≠0)． (1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
数列的综合应用
1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等 式和解析几何等知识解决一些数列综合题． 2.能在实际情形中运用数列知识解决实际问
题．
[理 要 点]
一、数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步
骤，可用图表示如下：
二、数列应用题常见模型
1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该
∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn 9 1 1 1 1 1 ＝ (1－ ＋ － ＋„＋ － ) 2 3 3 5 2n－1 Байду номын сангаасn＋1 9 1 9n ＝ (1－ )＝ ， 2 2n＋1 2n＋1 m－2 000 ∵Sn< 对一切 n∈N*成立． 2 9n m－2 000 9n 9 1 即 < ， ＝ (1－ )递增， 2 2n＋1 2n＋1 2 2n＋1 且 9n 9 < . 2n＋1 2
模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定 的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不
固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关
系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．
将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋„＋qn 2(n≥2)． 1－qn 1 1＋ ，q≠1， 1－q 所以，当n≥2时，an＝ n， q＝1.
－
－
上式对n＝1显然成立．
2．已知三个实数 a,8,2，适当调整这三个实数的顺序，使它成 为递增的等比数列{an}的前三项． (1)请写出所有可能的前三项，并求相应的 a 值； (2)记首项和公比都最大的数列的前 n 项和为 Sn，求 Sn.
4 ＝－ (a2＋a4＋„＋a2n) 3 5 4n 1 n ＋ ＋ 4 3 3 3 ＝－ · 3 2 4 2 ＝－ (2n ＋3n)． 9 (3)当 n≥2 时，bn＝ ＝ 1 2 1 an－1an 2 n－ n＋ 3 3 3 3 1 1
9 1 1 ＝ ( － )， 2 2n－1 2n＋1 9 1 又 b1＝3＝ (1－ )， 2 3
解：(1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，
得an＋1－an＝q(an－an－1)．即bn＝qbn－1，n≥2. 又b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． (2)由(1)，得a2－a1＝1， a3－a2＝q， „
an－an－1＝qn－2(n≥2)．
答案：1 033
1 3．已知函数 f(x)＝a· 的图象过点 A(2， )，B(3,1)，若记 an b 2
x
＝log2f(n)(n∈N*)，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn 的最 小值是________．
解析：将 A、B 两点坐标代入 f(x)得 1 1 ＝ab2 a＝ 2 ，解得 8 ， 1＝ab3 b＝2 1 x 1 n ∴f(x)＝ · ，∴f(n)＝ · ＝2n－3， 2 2 8 8 ∴an＝log2f(n)＝n－3. 令 an≤0，即 n－3≤0，n≤3. ∴数列前 3 项小于或等于零，故 S3 或 S2 最小． S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.
1 解：(1)直线方程为 y－yn＝－ (x－xn)， xn＋2 因为直线过点 An＋1(xn＋1，yn＋1)， 所以 yn＋1－yn＝－ 1 (xn＋1－xn)， xn＋2
1 1 又 xy＝1，所以 －x ＝－ (xn＋1－xn)， xn＋1 xn＋2 n 得 xnxn＋1＝xn＋2.
1
1 1 (2)设 an＝ ＋ ， xn－2 3 1 1 由(1)得 an ＋ 1 ＝ ＋ ＝ xn＋1－2 3 1 1 xn 1 2 ＋ ＝ ＋ ＝－ － 2 3 2－xn 3 3 1＋x －2 n
联立方程求解.
[题组自测]
1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病 毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和 100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )
A．6秒钟
C．8秒钟
B．7秒钟
D．9秒钟
解析：设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋„＋2n－1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴n≥7. 1－2
解析：由 x2－x<nx，得 0<x<n＋1(n∈N*)， nn＋1 因此 an＝n，Sn＝ . 2
答案：C
2．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n＞1且n∈N)满
足y＝2x－1，则a1＋a2＋„＋a10＝________.
解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比数列，则 an＝2n－1＋1. ∴a1＋a2＋„＋a10＝10＋(20＋21＋22＋„＋29) 1－210 ＝10＋ ＝1 033. 1－2
3．已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且 a4，a5＋4， a6 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 2an＋1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S 的最大值． n
解：(1)设数列{an}的公比为q(q∈R)，
依题意可得2(a5＋4)＝a4＋a6，
即2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. ∵q∈R，∴q＝2，a1＝1. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
n＋49 解析：由第 n 天的维修保养费为 元(n∈N*)，可以得出观 10 测仪的整个耗资费用， 由平均费用最少而求得最小值成立时相 应 n 的值． 设一共使用了 n 天，则使用 n 天的平均耗资为 n＋49 5＋ n 10 3.2×104＋ 3.2×104 2 n ＝ ＋ ＋ 4.95 ， 当 且 仅 当 n n 20 3.2×104 n ＝ 时， 取得最小值， 此时 n＝800， 故应选 B 最合算． n 20
答案：B
3． 有一种零存整取的储蓄项目， 它是每月某日存入一笔相同金额， 这是零存；到一定的时期到期，可以提出全部本金和利息，这 是整取．它的本利和公式如下： 1 本利和＝每期存入的金额×[存期＋ ×存期×(存期＋1)×利 2 率]． (1)试解释这个本利和公式； (2)若每月初存入 100 元，月利率为 5.1%，到第 12 个月底的本 利和是多少？ (3)若每月初存入一笔金额，月利率是 5.1%，希望到第 12 个月 底取得本利和 2 000 元，那么每月初应存入多少？
答案：－3
4．已知曲线 C：xy＝1，过 C 上一点 An(xn，yn)作一斜率为 1 kn＝－ 的直线交曲线 C 于另一点 An＋1(xn＋1，yn＋1)， xn＋2 11 点列 An(n＝1,2,3，„)的横坐标构成数列{xn}，其中 x1＝ . 7 (1)求 xn 与 xn＋1 的关系式； 1 1 (2)求证：数列{ ＋ }是等比数列． xn－2 3
[归纳领悟] 建立数列模型时，首先判断是等差数列还是等比 数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an，
Sn，然后选用适当方法求解，最后的程序是还原，即把
数学问题的解结合实际问题的约束条件合理修正，使其 成为实际问题的解.
[题组自测] 1．数列{an}的通项公式是关于 x 的不等式 x2－x<nx(n∈ N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前 n 项和 Sn ＝ A．n2 nn＋1 C. 2 B．n(n＋1) D．(n＋1)(n＋2) ( )
2 1 1 ＝－2an，又 a1＝－2≠0，故{ ＋ }是以－2 为首项， xn－2 xn－2 3 －2 为公比的等比数列．