小波去噪

加性噪声中最难去除的是白噪声，白噪声在时间上是不相关的， 它在整个信号中影响每个单独的频率分量。 带有加性噪声的有限长度 的信号 ������ n = ������ n + σ ������ n (0 ≤ ������ ≤ ������ − 1) 其中 y[n]是信号 x[n]掺杂噪声的观测值，x[n]是信号，r[n]分布是 标准正态分布的噪声，σ 是参量，N-1=2j+1-1。 我们的目标是恢复出 x[n]。在变换域中信号可以表示为 ������ = ������ + σ ������ 其中 ������ = ������y W 为转换矩阵。 设������是根据 Y 对 X 的估计， 对应到时域， ������是根据 y 对 x 的估计。 定义线性对角投影 ������ =△ ������ 其中 △= diag δ0 ，δ1 ， … ，δN −1 δi ∈ [0,1] 估计过程如下式 ������ = ������−������ ������ = ������−������ △ ������ = ������−������ △ ������������ 定义估计的风险测量函数如下 ������ ������, ������ = ������ =E ������ − ������ |������ ������ = ������ ������ − ������ |������ ������ = E
上式表明，大于阈值的系数含有噪声信号的概率趋于 0， 这个阈值由于同信号的样本集大小的对数的平方根成正比， 所 以当 n 比较大时，阈值趋向于将所有小波系数置零，此时小波 滤波器退化为低通滤波器。
������ ������ ������ ������ ������ ������ = {| ������−������ |������ =| ������ |������ ,������ >ℇ ������ ������ ������ ������ ������
������−������ ������ − ������ |������ ������ △ ������ − ������ |������ ������
传统小波去噪与小波去噪 去噪的实质是抑制信号中的无用部分,增强信号中的有用部分,重 建出原始信号的信号处理过程。 传统的去噪方法是将被噪声干扰的信 号通过一个滤波器，滤掉噪声频率成分，但对脉冲信号、白噪声、非 平稳过程信号等，传统方法有一定的局限性。比如基于 Fourier 变换 的去噪方法要求信号和噪声在频率域内重叠得越少越好， 然后使用线 性时不变滤波器可以近似将它们分开， 而这种线性滤波方法不能分开 信号和噪声频谱重叠部分。基于样条估计的去噪方法/核估计（spline estimator/kernel estimator） 没有能够很好地解决信号的局部结构问题， 而当处理的信号中包含不同尺度和幅度的结构时， 这又显得非常必要， 比如神经处理信号。 图 12.1 为以上两种去噪方法的比较。从途中可以看出，图（c） 样条方法去噪虽然有效地去除了噪声，但加宽或丢失了细节结构。相 反，Fourier 变换方法去噪虽然保留了细节结构但噪声并没有很好地 去除。 在实际工程应用中， 所分析的信号可能包含许多尖峰和突变部分， 并且噪声也不是平稳的白噪声。对这种信号进行分析，首先要做信号 的预处理，将信号的噪声部分去除，提取有用信号。而这种信号的去 噪，用传统的傅里叶变换分析，显然无能为力，因为傅里叶分析是将 信号完全在频域中进行分析， 它不能给出信号在某个时间点上的信号 变化情况， 使得信号在时间轴上的任何一个突变都会影响信号的整个 频谱。而小波分析由于能同时在时、频域中对信号进行分析（并且在
������������������ ������ ������ −δ , ������ ≥δ
硬阈值化表示为
, ������ ≥δ Wδ = {������ ������, ������ <δ
两种阈值方法各有差异，相比较而言，软阈值具有连续性，在数 学上易于处理，获得的结果更加平滑，因此视觉上更加自然，容易接 受。而硬阈值能更好的保存边缘信息，更接近实际情况。所以，有时 会将软阈值应用到细节少的分解级别（小波子代）中，而英语之用在 其他地方。阈值化处理的关键是阈值的选择，如阈值太小，去噪后仍 留有噪声，但阈值如果太大，重要的信号与图像特征会被滤掉，引起 偏差。图 12.6 是软阈值化与硬阈值化图示。 图 12.7 是用不同的阈值方法对图像去噪的结果，从图中可见，硬 阈值可以很好地保存图像边缘，但噪声没有得到完全抑制；软阈值处 理的图像边缘信息模糊，单曲早效果好。结合这两种放哈可以得到更 好的结果。 3、 常用阈值
������
di =
������ =0
Baidu Nhomakorabea
dt + σ zi (������ = 1, … , ������ − 1)
然后将上式的关系进行转换一下： yi = di − di −1 ，y0=d0 这等价于下式非白噪声 yi = xi + σ (zi − zi −1 ) 重建中根据下式按小波分解级别来选择阈值 t j,n = 2 ln ������ ∗ 2σ ������ ∗ 2(������ −������ )/2 (������ = j0 , … , ������)
从上式可以看出，分辨率越高的变换级别阈值越大，其中j0 是高的分 辨率级别，J 是最低的分辨率级别。这样做的原因是随着分辨率级别
的减小，噪声的方差以 2 的指数级别减小。随着变换的进行，信号总 体结构信息越来越明显，噪声被大大抑制。 图 12.4 和 12.5 分别是离散小波变换方法去噪和 Fourier 变换取走 的比较，可见离散小波变换方法去噪能搞很好地抑制噪声，而这是 Fourier 变换方法所做不到的。 那么现在的问题就是用什么方法选择阈值， 选择什么样的阈值以 及选择单一的阈值还是对不同的分解级别选择不同的阈值。 2、 阈值化方法 软阈值化 （soft-thresholding） 和硬阈值化 （hard-thresholding） 是对超过阈值小波系数进行缩减的两种主要方法。 给定一个阈值 δ，所有绝对值小于 δ 的小波系数划为噪声， 它们的值用零代替；而超过阈值 δ 的小波系数的数值，被缩减后 再重新取值（符号为原小波系数的符号） 。这种方法意味着，阈值 化移去小幅度的噪声或非期望信号，经小波逆变换得到所需要的 信号。 使用阈值对信号或图像进行去噪的过程中，首先对信号（图 像）进行 n 层小波分解，分解后的尺度系数和小波系数组成一个 向量 W(如何由低频系数向高频系数排序)，所谓软阈值与硬阈值 方法，就是对系数向量 W 进行阈值化改造，得到新的小波系数向 量Wδ ，再有向量Wδ 用小波重构的方法，即可得到去噪后的信号。 软阈值的表达式为 Wδ = {������, ������ <δ
频域内分辨率高时，时间域内分辨率低；在频率域内分辨率低时，在 时间域内分辨率高，有自动变焦的功能） ，因此它能有效区分信号中 的突变部分和噪声，从而实现信号的去噪。 运用小波分析进行去噪处理一般有三种方法， 第一种为强制去噪 处理，即把小波分解结构中的高频系数全部变为 0，即把高频部分全 部滤除掉，然后再对信号进行重构处理。该法比较简单，重构后的信 号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成分。另外还有默认阈值去噪 处理和给定阈值去噪处理。图 12.2 为利用以上三种方法对污染信号 进行去噪处理的波形图。从图中可以看出，应用强制去噪处理后的信 号比较光滑，但它很有可能丢失了信号中的一些有用成分；默认阈值 去噪和给定阈值去噪这两种方法在实际中应用得更为广泛一些。 小波去噪 1、 小波去噪原理 在去噪领域，利用小波变换进行去噪以及重构是一个热门课题。 小波去噪取得成功的主要原因如下： （1）低熵性。小波系数的稀疏分 布，使图像变换后的熵降低。 （2）多分辨性。由于采用多分辨率的方 法，所以它能非常好的刻画信号的非平稳特征，如断点、边缘等，可 在不同分辨率下根据信号和噪声分布的特点去噪。 （3）选择基底的灵 活性。小波变换可灵活悬着不同的小波基，如单小波，多小波，小波 包等。下面简要说明其去噪的基本原理，我们重点讨论一维信号的情 况，对于二维图像信号也同样适用。 小波变换是线性的，先分析小波如何去除加性噪声。
| ������ −������ |������ =| ������ |������ ,������ <ℇ
整个去噪过程分三步进行: i. 使用 DWT 进行信号分解， 选择一个小波基并确定小波分解层 数 N,然后计算 Y=Wy. ii. 小波分解高频系数的阈值量化，在小波域选择阈值，对小波 系数进行阈值（软/硬）截断。 iii. 小波的重构，从截断过的系数中重建信号，计算 ������ = ������−������ ������ 下面讨论离散小波去噪，假设 yi= Kf t i + ℇzi 其中 Kf 是对 f 的一种变换（Fourier 变换、Laplace 变换或者卷积） 。目 标是重建信号t i ，这样问题就变成从非白噪声恢复小波系数。举例说 明，我们要从噪声数据di 重建离散信号(xi )(i=0,…,n-1)，其中
数。进行小波系数收缩时不必为每个子带单独计算阈值 δ。事 实上，对于有限长的信号，上式仅是阈值优化的上界。阈值优 化值随信号长度渐进变化，当信号为无限长时，才符合上式， 因此，信号足够长时，去噪效果才明显。 进行小波系数收缩时， 合理的做法是去除掉所有小于正态 分布噪声序列最大值的小波系数。假设独立同分布的白噪声 zi ~N(0,1): P max |zi | → 0 (n → +∞) ������
1) 通用阈值（VisuShrink） 对于阈值的选取，从直观上说，对于的道德小波系数，噪声越 大，阈值也就应当越大。大多数阈值选取的过程，是针对一组 小波系数，根据这组小波系数的统计性质，计算出它们的一个 阈值 δ，Donoho 等人提出来这种阈值选取方法，在理论上给 出并证明了阈值与噪声的方差成正比，其大小为 δ = σ ∗ 2 ∗ ln ������ 其中，σ 是噪声的标准差，n 是样本集的大小，即小波分解