高等数学练习题(含答案)

1．求抛物线2x y =与直线02=--y x 之间的最短距离。

2．求点)8,2(到抛物线x y 42=的最短距离。

3．求过点)31,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。

4．计算二重积分dxdy xy I D

⎰⎰=

2，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线1=xy 所围成的区域。

5．计算二重积分dxdy e I D y ⎰⎰-=2，其中区域D 由y 轴，直线x y y ==,1所围成。

6．求dxdy y xy I D

⎰⎰+=31，其中D 由2,1,0x y y x ===所围成。 7．求dy e dx x I x y ⎰⎰

-=

11

022。 8．求dxdy y x I D ⎰⎰+=)(，其中D 为224,x y x y ==及1=y 所围成的区域。

9．求σd y x I D

⎰⎰+=)|(|，其中D 为：1||||≤+y x 。

10．求dxdy y x I D ⎰⎰--=

221，其中D ：y y x ≤+22。 11．求dxdy y x x I D

⎰⎰--=)2(22，其中D ：1)1(22≤+-y x 。 12．设{}x y x y x D ≤+=22),(，求dxdy x D ⎰⎰。

13．计算二重积分dxdy y

x y x D ⎰⎰++--222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一卦限内的闭区域。

14．求ds y x c ⎰

+)(，其中c 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形边界。 15．设L 是半圆周24y x -=上由点)2,0(A 到点)2,0(-B 之间的一段弧。计算⎰++L

ds y x )1(。 16．计算ds y x L ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+（0>a ）。

17．计算曲线积分⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周x y x =+22。

18．计算曲线积分：dy y x dx y x I L

)653()42(-++--=⎰，其中L 是从点)0,0(O 到点)2,3(A 再到点)0,4(B 的折线段。

19．计算：xdy dx y I L -=⎰2，其中L 是抛物线2x y =上从点)1,1(A 到点)1,1(-B 再沿直线

到点)2,0(C 所构成的曲线。

20．计算：zdz ydy xdx I L ++=

⎰：其中L 为从)1,1,1(到)4,3,2(的直线段。 21．计算：⎰+++-=L y

x dy y x dx y x I 22)()(，其中L 在222x y -=上从点)0,1(-到点)0,1(。 22．已知点)0,0(O 及点)1,1(A ，且曲线积分

⎰-=OA

dx x y y ax I )sin cos (2dy y x x by )sin cos (2-+ 与路径无关，试确定常数b a ,，并求I 。

23．计算⎰⎰∑+--=

dS z x x xy I )22(2，其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限内的部分。

24．计算⎰⎰∑++=dS zx yz xy I )(，

，其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所

截得的部分。

25．计算曲面积分：

⎰⎰∑++dS z y x )(，其中∑为球面1222=++z y x 上21≥z 的部分。 26．计算曲面积分：

⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑为抛物面)(222y x z +-=在xoy 面上方的部分。

27．计算⎰⎰∑=

dxdy z I 2，其中∑为平面1=++z y x 位于第一卦限部分的上侧。 28．计算⎰⎰∑-=

dxdy z I )1(，其中∑为球面1222=++z y x

在第一卦限内的部分，方向是球的内侧。12π 28．计算⎰⎰∑+=

xydzdx

zdxdy I ，其中∑为抛物面22y x z +=的上侧，位于10,0,0≤≤≥≥z y x 内的部分。

29．计算⎰⎰∑++=

zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑为球面2222a z y x =++的外侧。 30．计算⎰⎰∑

-+-+-=dxdy z x dzdx z y dydz y x I )23()3()2(，其中∑是由0=x 0=y ，

0=z 及13

2=++z y x 在第一卦限所围成的立体Ω的外侧。

31．计算dxdy y x z dydz z y I 2223++=

⎰⎰，其中∑为221y x z ---=的上侧。 32．计算zdxdy dydz z x I ++=⎰⎰

)2(，其中∑为有向曲面)10(22≤≤+=z y x z ，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。

33．计算⎰⎰∑-+=dxdy z yzdzdx xzdydz I 22，其中∑是由曲面22y x z +=与

222y x z --=所围立体的外侧。

1、8

27；2、20；3、136=++z y x ；4、1019；5、)11(21e -；6、)12(31-；7、e 3161-；8、52；9、32；10、943-

π；11、2

π；12、158；13、)2(8-ππ；14、21+；15、82-π；16、22a π；17、2；18、16-；19、30113；20、13；21、π-；22、,2==b a I 1cos 2=；23、427-；24、415

264a ；25、43π；26、30149π；27、121；28、1528-π；29、34a π；30、2；31、8

2

π-；32、2π-；33、2π。