衡水金卷高三理科数学
衡水金卷先享题2024届新高三摸底联考 数学
1—→ 1—→ 1—→ 2—→ 1—→ 1—→ 1—→ 1—→ —→ —→ —→2024届新高三摸底联考数学试题本试卷共 4 页 , 22题 。
全卷满分 150分 。
考试用时 120分钟。
注意事项:1. 答题前 , 先将自己的姓名 、准考证号填写在答题卡上 , 并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后 , 用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目 的答案标号涂 黑 。
写在试题卷 、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内 。
写在试题卷 、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。
4. 考试结束后 , 请将本试题卷和答题卡一并上交 。
一 、选择题:本题共 8小题 , 每小题 5 分 , 共 40分 . 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 .1. 设全集U=R , A={ 儿∈R | 儿2 —5儿十6<0} , B={ 儿∈R | \儿>1} , 则 AUB=A. (2, 十∞)B. (2, 3)C. (1, 3)D. (1, 十∞) 2. 已知 z= |3i —4| i 十z - , 则 z 的虚部为A. B. 5 C. i D. 5i3. 已知O 为 △ABC 的重心 , AD=2DC , 则AO=A. 3AB 十 3ADB. 3AB 十 2ADC. 2AB 十 2ADD. 3AB 十 3AD4.(\i 儿十 十1)8的展开式中的常数项为A. 588B. 589C. 798D. 7995. 如图 , 正方形 ABCD , ABEF 的边长均为 2, 动点 N 在线段AB 上移动 , M , O 分别为线 段EF , AC 中点 , 且 MO 丄平面 ABCD , 则当 上MNO 取最大值时 , 异面直线 MN 与 FC 所成角的余弦值为A. \ 42C. \ 23 CA6. 中国古代钱币历史悠久 , 品种纷繁 , 多姿多彩 , 大多数是以铜合金形式铸造的 , 方孔钱是 古代钱币最常见的一种 , 如图 1. 现有如图 2 所示某方孔钱中心方孔为正方形 , M , N 为 正方形的顶点 , O 为圆心 , A 为圆上的点 , 且 tan 上MAO= , MN 丄OA , 定义方孔钱金 属面积比率=金属面积×100% 则该方孔钱金属面积比率约为(方孔钱厚度不计 π≈3)A. 83. 3%B. 88. 9%C. 92. 3%D. 96. 3%7. 数列{a n }满足a n 十1=4an 2an十— 21, 且a 1 =1, 则数列{a n }的前 2024项的和 S 2024=A. — 253 B — 253 C — 1771 D — 17718. 已知正数 a , b , c∈ (1, 十∞) , 满足 a — 1 =2十log 2a , b — 1 =3十log 3b , c — 1 =4十log 4c , 则下列不等式成立的是A. c<b<aB. a<b<cC. a<c<bD. c<a<b二 、选择题:本题共 4小题 , 每小题 5 分 , 共 20分 . 在每小题给出的选项中 , 有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5分 , 部分选对的得 2分 , 有选错的得 0分 .9. 已知α,β为两个不同的平面 , m , n , l 为三条不同的直线 , 则下列结论中不一定成立的是 A. 若α丄β, lⅡα , 则 lⅡβ B. 若l 丄β, l 丄α , 则αⅡβC. 若l 丄m , l 丄n , 且lG α , m , nG β,则α丄βD. 若lⅡm , lⅡn , 且 mG α , nG β,则αⅡβ10. 在某市高二年级举行的一次体育统考中 , 共有 10000名考生参加考试. 为了解考生的成绩情况 , 随机抽取了 n 名考生的成绩 , 其成绩均在区间[50, 100] , 按照[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100]分组作出如图所示的频率分布直方 图. 若在样本中 , 成绩落在区间[50, 60)的人数为 32, 则A. n=100B. 考生成绩的中位数为 71C. 考生成绩的第 70百分位数为 75D. 估计该市考生成绩的平均分为 70. 6(每组数据以区间的中点值为代表)11. 已知 O 为坐标原点 , F 为抛物线E :y 2 =2儿 的焦点 , 过点 P(2, 0)的直线交 E 于A , B 两点 , 直线 AF , BF 分别交E 于C , D , 则A. E 的准线方程为 儿= —B. 上AOB=90。
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学(理)试卷
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。
衡水金卷(一)理科数学试题(卷)含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）学*科*网...A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，故选C.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．试题解析：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：（1）连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．（2）由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由，易求得．设（），则，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为0 1 2 3 4∴．【解析】试题分析：（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为0 1 2 3 4∴．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．（2）由得，则，解得或．设，，则，，设存在点，则，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：（1），当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴（其中），解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得．综上所述，实数的取值范围是．（2）．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，（），因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：（1）此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。
河北省衡水金卷2025届高三数学12月第三次联合质量测评试卷理含解析
河北衡水金卷2024—2025年度高三第三次联合质量测评数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满意，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 其次象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数满意，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2.已知全集，集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为，所以或.所以.故选B.【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.3.若命题p为：为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】依据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4.朱世杰是历史上最宏大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府接连派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从其次天起先每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位须要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】依据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位须要n天，则.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理实力与计算实力，属于基础题.5.如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地匀称的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】计算正方形与阴影的面积，依据面积概型公式得到答案.【详解】法一：设正方形的边长为 2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事务的面积；几何概型问题还有以下几点简洁造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确推断事务是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本领件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事务是否等可能性导致错误.6.已知定义在R上的函数满意：(1) ；(2) 为奇函数；(3)当时，图象连续且恒成立，则的大小关系正确的为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先明确函数的周期性、奇偶性与单调性，把问题转化为在上利用单调性比较大小的问题.【详解】因为，所以函数是周期为2的周期函数.又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数，又由当时，图象连续，且恒成立，得函数在区间（-1，1）内单调递增，而.所以.故选C.【点睛】本题综合考查了函数的图象与性质，涉及到周期性、单调性、对称性，利用单调性比较大小，解题关键如何把自变量转化到同一个单调区间上，属于中档题.7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出几何体的直观图，视察截去几何体的结构特征，代入数据计算．【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体，如图所示，该几何体的表面三角形有，，，，，，由对称性只需计算，的大小，因为，.所以该几何体的表面积为.故选B.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思索方法：1、首先看俯视图，依据俯视图画出几何体的直观图；2、视察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再依据三视图进行调整.8.如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P 作AE的垂线，垂足为F，当最小时，A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图易知向量所成角为钝角,结合题意可知当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，确定点P的位置，从而得到结果.【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.【点睛】本题考查了平面对量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算实力，属于中档题.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与双曲线C的右支交于P点，且的外接圆面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知：，从而易得，利用正弦定理可得外接圆的半径，得到的外接圆面积.【详解】因为，所以，由已知得A（-1.0），B（1，0），（2，0），且，所以，在三角形ABP 中，由正弦定理得.，所以三角形APB的外接圆的面积为.故选C.【点睛】本题考查了双曲线的简洁几何性质，平面对量数量积的几何意义，正弦定理，考查了推理论证实力，计算实力，属于中档题.10.利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，表示正四棱锥的体积，利用导数探讨函数的最值，即可得到结果.【详解】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示，.所以记，所以令，易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(十三)理科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡相应位置上） 1.若集合A ={0,1,2,3}，B ={x ︳21,x m m A =-∈}，则A B =（ ）A. {0,3}B. {1,3}C. {0,1}D. {3}【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案. 【详解】{1,1,3,5}B =-,{0,1,2,3}{1,1,3,5}{1,3}A B ⋂=⋂-=,【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题. 2.若sin 0,sin 20αα><，则α是第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式以及sin 0α>，可得cos 0α<，由此可得α是第二象限角. 【详解】因为sin 22sin cos 0ααα=<，且sin 0α>， 所以cos 0α<， 所以α是第二象限角. 故选：B【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了正弦函数与余弦函数的符号规则，属于基础题.3.已知命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<，则⌝P 是（ ）A. ,sin 10xx R e x ∃∈-+≥ B. ,sin 10xx R e x ∀∈-+< C. ,sin 10xx R e x ∀∈-+≥ D. ,sin 10x x R e x ∃∈-+≤【答案】C 【解析】 【分析】“存在”改为“任意”，“小于”改为“大于等于”即可得到. 【详解】因为命题P ：,sin 10xx R e x ∃∈-+<， 所以p ⌝：,sin 10xx R e x ∀∈-+≥故选：C【点睛】本题考查了存在量词的命题的否定，属于基础题. 4.函数3()log (1)f x x =+的定义域为（ ） A. [1,1]-B. [1,1)-C. (]1,1-D. (1,1)-【解析】 【分析】利用偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列不等式组解得结果即可.【详解】由22010x x ⎧-≥⎨+>⎩解得11x -<≤，所以定义域为(]1,1-， 故选：C【点睛】本题考查了求含偶次根式和对数符号的函数的定义域，偶次根式的被开方非负与真数为正数是求定义域时，经常碰到的，需要牢固掌握，属于基础题. 5.已知4tan()30απ+-=，则cos2α的值为（ ） A.725B. 725-C.925D. 925-【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求得3tan 4α=，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将cos2α化为正切的形式，代入正切值即可得到.【详解】因为4tan()30απ+-=，所以3tan 4α=， 所以222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+221tan 1tan αα-==+ 2231()743251()4-==+. 故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的余弦公式以及同角公式，弦化切是解题关键，属于基础题.6.函数3log 2,0()5,0xx x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A. 0m <B.112m << C. 102m <<D. 0m ≤或1m【答案】A 【解析】 【分析】先求充要条件为1m 或0m ≤，再根据充分不必要条件的概念以及四个选项可得答案. 【详解】先求充要条件：因为当0x >时，令3log 20x -=，解得9x =符合，所以当0x ≤时，令50x m -=，则此方程无解，因为0x ≤时，051x <≤，所以1m 或0m ≤ ， 所以 3log 2,0()5,0xx x f x m x ->⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点的充要条件是1m 或0m ≤， 根据四个选项，结合充分不必要条件的概念可知选A. 故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，考查了函数的零点，属于基础题. 7.已知1sin()124πα+=，则17cos()12πα-的值等于（ ）A.14 B. 14-C.4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】分别根据诱导公式三，二，五转化为sin()12πα-+，结合已知可得答案.【详解】因为17cos()12πα-=5cos()12παπ--5cos()12ππα=+- 5cos()12πα=--cos[()]212ππα=--+ sin()12πα=-+14=-.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式三，二，五，属于基础题.8.已知34xyk ==，且212x y+=，则实数k 的值为（ ）A. 12B.C. D. 6【答案】D 【解析】 【分析】将34x y k ==化为对数式，再倒过来，利用对数的运算法则即可得到答案. 【详解】由34x y k ==得3log x k =，4log y k =，所以1log 3k x=，1log 4k y =，所以212log 3log 4log 362k k k x y+=+==， 所以236k =，又0k >， 所以6k =. 故选：D【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，考查了对数的运算法则，属于基础题.9.已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<，133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．10.设有限集合A =123{,,,}n a a a a ，则称123A n S a a a a =++++为集合A 的和.若集合M ={x ︳2,N ,6x t t t *=∈<},集合M 的所有非空子集分别记为123,,,k P P P P ，则123k P P P P S S S S ++++=（ ）A. 540B. 480C. 320D. 280【答案】B 【解析】 【分析】求出{2,4.6.8.10}M =后，分别求出含有2,4,6,8,10的子集个数，然后可求得结果. 【详解】{2,4.6.8.10}M =，其中含有元素2的子集共有4216=个，含有元素4的子集共有4216=个，含有元素6的子集共有4216=个，含有元素8的子集共有4216=个，含有元素10的子集共有4216=个，所以123k P P P P S S S S ++++(246810)16480=++++⨯=.故选：B【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了集合的子集个数的计算公式，属于基础题. 11.设(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且cos tan (1sin )βαβ=-，则下列式子中为定值的是（ ）A. βα+B. 2αβ-C. 2αβ-D. 2αβ+【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式切化弦后，利用两角差的余弦公式以及诱导公式变为cos()cos()2παβα-=-，再根据余弦函数cos y x =在[0,]π上为递减函数可得到结果. 【详解】因为cos tan (1sin )βαβ=-， 所以sin cos (1sin )cos αββα=-， 所以cos cos sin sin sin αβααβ=-， 所以cos()sin αβα-=， 所以cos()cos()2παβα-=-，因为(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-， 所以0αβπ<-<，022ππα<-<，因为cos y x =在[0,]π上为递减函数， 所以2παβα-=-，即22παβ-=（定值），故选：C【点睛】本题考查了同角公式切化弦，考查了两角差的余弦公式，考查了诱导公式，考查了余弦函数的单调性，属于中档题.12.已知函数()log 2(0,1)m f x x m m =->≠，若a b c d >>>且()()()()f a f b f c f d ===，则11111111a b c d +++----的值为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 4m【答案】A 【解析】 【分析】不妨假设1m ，作出函数()f x 的图像，根据图像可得21a ->，021b <-<，021c <-<，122d <-<，根据已知可得log (2)log (2)log (2)log (2)m m m m a b c d -=--=--=-，进一步可得13a d -=-，13c b -=-，122b d-=-，再将所求式子化为221(2)11(2)dd=+--+-+-，化简可得答案.【详解】不妨假设1m，作出函数()f x的图像如下：由图可知321a b c d>>>>>>，所以21a->，021b<-<，021c<-<，21d->，因为()()()()f a f b f c f d===，且1m，所以log(2)log(2)log(2)log(2) m m m ma b c d-=--=--=-，所以22a d-=-，22b c-=-，(2)(2)1b d--=，所以13a d-=-，13c b-=-，122bd-=-，所以111111111133a cb d d b+++=+------1111b d++--1111()()3131b b d d=+++----22(3)(1)(3)(1)b b d d=+----22224343b b d d=+-+--+-2222(2)1(2)1b d=+--+--+221(2)11(2)d d =+--+-+- 2222(2)2(2)1(2)1d d d -=+----+ 22228824343d d d d d d -+=+-+-+- 22288243d d d d -+-=-+ 2=.故选：A【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020届河北省衡水金卷高三第七次联考数学(理)试题
2020届河北省衡水金卷高三第七次联考理科数学试题 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．复数2z i =+，其中i 是虚数单位，则=zA ．1 C ． 3 D ．5 2．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A ．23B ． 43C ．83 D 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是 A ．1-B ．12C ．1D ．25．在△ABC 中，6B π=，c=4，cosC =，则b= A．B ．3C ．32 D ．436．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为 A ．83B ．3C ．163D ．68．五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有 A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为 A.125B ．340C ．18D ．3510．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关11．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关 于{}n a 的判断正确的是 A ．0,2,a n∀>∃≥使得n aB ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)x xx x f x x x e ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是A ．211(,)16e -B ．211(,0)(0,)16e - C ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21[0,)e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是 .14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2yx =，则离心率等于 .15．在6)x 的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答）16．已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ② 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分）已知ABC ∆中，4A π=，3cos 5B =，8AC =.（Ⅰ）求ABC∆的面积；（Ⅱ）求AB边上的中线CD的长.18．（12分）为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.甲型乙型（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X为其中二级品的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较. 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，PC PD==E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E AC D--的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．21．（12分）已知函数()ln 1f x x x ax a =++-. （Ⅰ）求证：对任意实数a ，都有min [()]1f x ≤；（Ⅱ）若2a =，是否存在整数k ，使得在(2,)x ∈+∞上，恒有()(1) 2 1f x k x k >+--成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（ 2.71828e =）（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 曲线1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）设l 与C 1相交于AB 两点,求|AB |； （Ⅱ）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．23．已知函数()21(0)f x x x m m =+-->.（Ⅰ）当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；（Ⅱ）令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ， C ，若三角形ABC的面积为12，求m 得值.理科数学试题参考答案1．A 2．C3．C4．A5．B6．B7．C8．C9．B10．B11．D 12．C13．2 1415．6016．②④17．解：（1）3cos ,5B =且(0,)B π∈，∴4sin 5B ==．sin sin()sin()C A B A B π∴=--=+34sin cos cos sin 252510A B A B =+=⋅+⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC ABB C=，即84510=AB = 所以ABC ∆的面积为11sin 828222S AB AC A =⋅⋅=⋅⋅= （2）在ACD ∆中，2AD =， 所以由余弦定理得222658()282222CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =． 18．（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件A 由图可得()(0.020.03)50.25P A =+⨯= （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3()003313270()()4464P X C ===，()112313271()()4464P X C ===()22131392()()4464P X C ===，()33031313()()4464P X C ===所以X 的分布列为方法一：()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法二：X 服从二项分布(3,0.25)XB 所以()30.250.75E X np ==⨯=（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案） 1可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；2可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好； 19．（I ）设BD 交AC 于点F ，连结EF . 因为底面ABCD 是矩形,所以F 为BD 中点 . 又因为E 为PB 中点 , 所以EF ∥PD .因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ,所以PD ∥平面ACE .（II ）取CD 的中点O ，连结PO ，FO . 因为底面ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点,所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -,则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A CB P E -，,，设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =， 131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-所以20,2,0,131.00222x y x y AC m z y x y z AE m -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩ 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11m =-（，）. 平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，则cos ,m OP m OP m OP⋅<>==-⋅||如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为6-. （Ⅲ）在棱PD 上存在点M , 使AM BD ⊥. 设([0,1]),(,,)PMM x y z PD=∈λλ,则,01,0PM PD D =-λ（，）. 因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ,所以(0,,1)M --λλ.(1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--λλ.因为AM BD ⊥,所以0AM BD ⋅=.所以121=0--λ（），解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M,使AM BD ⊥，且12PM PD =. 20．（Ⅰ）由已知，得1a c ==，所以3c ea ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m mM x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B 的坐标分别为(0,，(． 因为()0,m m MA x y =-，()0m mMB x y =-，()0,0m mMO x y=--，所以()3,30m m MA MB MC x y ++=--=uuu r uuu r uuu r r ．所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2232630k x kx ++-=，()22236123272240k k k ∆=++=+>． 所以122632k x x k -+=+.，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--，所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=uuu r uuu r uuu r r．所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m kx k -=+，243032m y k =>+， 消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭． 把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称. 21．解：（1）证明：由已知易得()(1)ln 1f x a x x x =-++，所以()1ln f x a x '=++令()1ln 0f x a x '=++=得：(1)a x e -+= 显然，(1)(0,)a x e-+∈时，()f x '<0，函数f （x ）单调递减；(1)(,)a x e -+∈+∞时，()f x '>0，函数f （x ）单调递增所以min [()]f x (1)(1)()1a a f ea e -+-+==--令min ()[()]t a f x =，则由(1)()10a t a e-+'=-+=得1a =-(,1)a ∈-∞-时，()t a '>0，函数t （a ）单调递增；(1,)a ∈-+∞时，()t a '<0，函数t （a ）单调递减，所以max [()](1)1111t a t =-=+-=，即结论成立.（2）由题设化简可得ln (2)x x x k x +>-令()ln (1)2t x x x k x k =+-+，所以()ln 2t x x k '=+-由()ln 2t x x k '=+-=0得2k x e -=①若22k e -≤，即2ln2k ≤+时，在(2,)x ∈+∞上，有()0t x '>，故函数PCD S ∆=递增所以()(2)22ln 20t x t >=+>②若22k e ->，即2ln 2k >+时，在2(2,)k x e -∈上，有()0t x '<，故函数PCD S ∆=2(2,)k x e -∈上单调递减在2(,)k x e -∈+∞上，有()0t x '>.故函数PCD S ∆=2(,)k x e -∈+∞上单调递增所以，在(2,)x ∈+∞上，22min ()()2k k t x t e k e --==-故欲使ln (2)x x x k x +>-，只需22min ()()20k k t x t e k e--==->即可 令22()2,()2k k m k k e m k e --'=-∴=-，由2()20k m k e -'=-=得2ln2k =+ 所以，2ln 2k >+时，()0m k '<，即()m k 单调递减又422(4)2480m e e -=⨯-=->，423(5)25100m e e -=⨯-=-<，故max 4k =22.（1）的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程为221x y +=联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得与1C 的交点为()1,0A,1,2B ⎛ ⎝⎭,则1AB =. （2）2C的参数方程为122x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数).故点P的坐标是1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,从而点P 到直线24πθ⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦, 由此当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时, d 取得最小值,且最小值为)14. 23．(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤，①当1x <-时，不等式化为50x +≥，解得：51x -≤<-；②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤，解得：113x -≤≤； ③当2x >时，不等式化为30x +≤，解集为φ，综上，不等式的解集为{153x x ⎫-≤≤⎬⎭. (2)由题设得41()31x m x g x x mx m x m x m ---<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩， 所以()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为(4,0)A m --，(0,)B m -，(,0)3m C ， 于是三角形ABC 的面积为2(3)123S m m =+=， 得3m =，或6m =-（舍去），故3m =.。
全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三数学先享题信息卷二理
（全国卷Ⅲ，衡水金卷）2021年高三数学先享题信息卷（二）理本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z－2i＝(2－i)i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x<1}，则A∪B＝A.(－2，1)B.(－∞，2)C.(－∞，3)D.(－2，3)3.已知a＝134 ，b＝log23，c＝log315，则A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c4.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是A.13B.24C.32D.36 5.函数f(x)＝2x xx 22-+的部分图象大致为6.中国古典乐器一般按“八音”分类。
这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(p áo)、竹”八音。
2023年河北省衡水中学高考数学押题卷(理科)(金卷二)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二） 一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．23．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,96．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤08．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．412．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=_______．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=_______．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为_______．16．将三项式（x 2+x +1）n 展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x 2+x +1）0=1（x 2+x +1）1=x 2+x +1（x 2+x +1）2=x 4+2x 3+3x 2+2x +1（x 2+x +1）3=x 6+3x 5+6x 4+7x 3+6x 2+3x +1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k 行共有2k +1个数．若在（1+ax ）（x 2+x +1）5地展开式中,x 7项地系数为75,则实数a 地值为_______．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC 地个内角A 、B 、C 对应地三条边分别为a 、b 、c,且角A 、B 、C 成等差数列,a=2,线段AC 地垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（1）若△BCD 地面积为,求线段CD 地长；（2）若DE=,求角A 地值．18．如图,已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA=CB,侧面AA 1B 1B 是菱形,且∠ABB 1=60°．（I ）求证:AB ⊥B 1C ；（Ⅱ）若AB=B 1C=2,BC=,求二面角B ﹣AB 1﹣C 1地正弦值．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号28问3577110771024778957755卷得分62806028040880457385（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i ）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii ）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E （ξ）及其方差D （ξ）．20．已知点M 是抛物线C 1:y 2=2px （p ＞0）地准线与x 轴地交点,点P 是抛物线C 1上地动点,点A 、B 在y 轴上,△APB 地内切圆为圆C 2,（x 一1）2+y 2=1,且|MC 2|=3|OM |为坐标原点．（I ）求抛物线C 1地标准方程；（Ⅱ）求△APB 面积地最小值．21．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+ax +2,g （x ）=lnx ﹣bx,且曲线y=f （x ）在点（0,2）处地切线与x 轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a 地值；（Ⅱ）若m 、n 是函数g （x ）地两个不同零点,求证:f （mn ）＞f （e 2）（其中e 为自然对数地底数）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC 并延长,交圆于点A,弦BC 和AD 相交于点F ．（I ）求证:AB •FC=AC •FB ；（Ⅱ）若D 、E 、C 、F 四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC ．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中,直线l地参数方程为（t为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O为极点,x轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C地圆心C地极坐标为（2,）,半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点．（I）求圆C地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN|地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）参考解析与试卷解析一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）【考点】交、并、补集地混合运算．【分析】先化简集合M,根据N={x|x=2n﹣1,n∈Z},和{1,3,5,7}可得解析．【解答】解:∵x2﹣8x＞0,解得x＜0或x＞8,∴M=（﹣∞,0）∪（8,+∞）,∴∁R M=[0,8],∵N={x|x=2n﹣1,n∈Z},∴（∁R M）∩N={1,3,5,7}．故选:B．2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式地乘除运算求得,再由求得解析．【解答】解:由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,得=,∴．故选:C．3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换．【分析】利用两角差地正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣）,根据函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+）,利用正弦函数地对称性即可得解．【解答】解:f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）,将函数地图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）,由2x+=kπ+,k∈Z,可得所得地图象地对称轴方程为:x=+,k∈Z,当k=0时,可知函数g（x）图象关于直线x=对称．故选:B．4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．【分析】由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用"裂项求和"方法即可得出．【解答】解:由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．故选:D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,9【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序框图可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量s地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:模拟执行程序,可得s=1,k=0执行循环体,s=2,k=2不满足条件2＞n,执行循环体,s=6,k=4不满足条件4＞n,执行循环体,s=22,k=6不满足条件6＞n,执行循环体,s=86,k=8此时,应该满足条件8＞n,执行循环体,退出循环,输出s地值为86,所以,判断框内n地值满足条件:6≤n＜8,则判断框内地正整数n地所有可能地值为6,7．故选:B．6．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]【考点】平面向量数量积地运算．【分析】由向量垂直地条件可得•=0,运用向量地平方即为模地平方,可得|+|=2,再化简运用向量地数量积地定义,结合余弦函数地值域,即可得到所求最大值,进而得到所求范围．【解答】解:由题意可得•=0,可得|+|==2,（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜+,＞=0,即为||=2cos＜+,＞,当cos＜+,＞=1即+,同向时,||地最大值是2．则||地取值范围为[0,2]．故选:B．7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域,化z=ax+y为y=﹣ax+z,从而可得﹣a＜﹣1,从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下,,z=ax+y可化为y=﹣ax+z,∵z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,∴﹣a＜﹣1,∴a＞1,故选:B．8．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地定义结合直角三角形地边角关系进行求解即可．【解答】解:设双曲线地右焦点为F2,则由对称性知,|P0F2|=|PF1|=a,则|P0F1|﹣|P0F2|=2a,即|P0F1|=3a,∵=0,∴P0F1⊥PF1,即P0F1⊥P0F2,则4c2=（3a）2+a2=10a2=4（a2+b2）即3a2=4b2,则,即=,即双曲线地渐近线方程为y=x,故选:C．9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e【考点】函数地图象．【分析】根据函数地单调性地定义可得g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f （x）地简图,利用树形结合地思想即可求出．【解答】解:对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）,∴[g（x2）﹣g（x1）]（x2﹣x1）＞0,∴g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f（x）地简图,如图所述,令f（x）≤1,由f（x）地图象可知x≤e,若f（x﹣a）≤1,则x≤e+a,∴D=（﹣∞,e+a],又2e∈D,∴2e≤a+e,∴a≥e,则a地最小值是e,故选:C．10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,画出直观图求出几何体地棱,结合几何体地体积和柱体地体积公式列出方程,求出x即可．【解答】解:根据三视图知几何体是:直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,直观图如下图所示:其中AB=x,且BC=2,长方体底面地宽是,∵该几何体地体积为,∴=,解得x=,故选:D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,再求出b n,分别计算前4项和,5﹣8项和,9﹣12项和,找到规律得到T4n递减,当n=2时,满足,问题得以解决．【解答】解:由题意可得,当n=2时, +=1,∴=1,即a22﹣a2﹣6=0,解得a2=3或a2=﹣2（舍去）,当n≥2, +=1,∴2（S n+1）+S n﹣1•a n=a n（S n+1）,∴2（S n+1）+（S n﹣a n）a n=a n（S n+1）,∴2S n+2=a n2+a n,当n≥3时,2S n﹣1+2=a n﹣12+an﹣1,两式相减得2a n=a n2+a n﹣a n﹣12﹣an﹣1,∴a n+a n﹣1=a n2﹣a n﹣12,∵正项数列{a n},∴a n﹣a n﹣1=1,（n≥3）,∵a2﹣a1=1,∴数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,∴a n=2+（n﹣1）=n+1,∴b n=（n+1）2sin,∴当n=1时,sin=1,n=2时,sinπ=0,n=3时,sin=﹣1,n=4时,sin2π=0,∴b1+b2+b3+b4=4+0﹣16+0=﹣12,b5+b6+b7+b8=36+0﹣64+0=﹣28,b9+b10+b11+b12=102+0﹣122+0=﹣44,…b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b n=（4n﹣2）2﹣（4n）2=﹣2（8n﹣2）=4﹣16n＜0,∴T4n递减,当n=2时,满足,故选:B12．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设公切线与f（x）、g（x）地切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数地单调区间、最值,即可求出实数a地取值范围．【解答】解:设公切线与f（x）=x2+1地图象切于点（x1,）,与曲线C:g（x）=ae x+1切于点（x2,）,∴2x1===,化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,∵2x1=,且a＞0,∴x1＞0,则2x2=x1+2＞2,即x2＞1,由2x1=得a==,设h（x）=（x＞1）,则h′（x）=,∴h（x）在（1,2）上递增,在（2,+∞）上递减,∴h（x）max=h（2）=,∴实数a地取值范围为（0,],故选:A．二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n（n≥1）,可得S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n利用等比数列地通项公式即可得出．【解答】解:∵a n+1=2S n（n≥1）,∴S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n,∴数列{S n}是等比数列,首项为S1=3,公比为q=3,∴S n=3•3n﹣1=3n．故解析为:3n．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=．【考点】三角函数中地恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=,由二倍角公式得tan[2（α+）]=,由两角差地正切公式得结果．【解答】解:∵cos（α+）=,α∈（0,）,∵cos2（α+）+sin2（α+）=1,α+∈（,）∴sin（α+）=,∴tan（α+）=,∴tan[2（α+）]==,∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan[2（α+）﹣]=．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为=1．【考点】椭圆地简单性质；椭圆地标准方程．【分析】如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,解得m．又|OT|=2,可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2,即可得出．【解答】解:如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,∴4=2m2,解得m=．又|OT|=2,∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C地标准方程为=1．故解析为:=1．16．将三项式（x2+x+1）n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为75,则实数a 地值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,即可求出实数a地值．【解答】解:由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,所以a=1．故解析为:1．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC地个内角A、B、C对应地三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD地面积为,求线段CD地长；（2）若DE=,求角A地值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）先根据三角形地内角A,B,C成等差数列,求出B地度数,再根据三角地面积公式求出BD,再根据余弦定理即可求出,（2）根据垂直平分线地性质得到AC=2AE=,再根据正弦定理,即可求出解析．【解答】解:（1）三角形地内角A,B,C成等差数列,则有2B=A+C．又A+B+C=180°,∴B=60°,∵△BCD地面积为,a=2∴BD•BC•sin60°=,∴BD=,由余弦定理,CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=,∴CD=,（2）∵线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点,DE=,∴AE=,∴AC=2AE=2×=,由正弦定理可得=,即=,∴cosA=,∵0＜A＜180°,∴A=45°18．如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．（I）求证:AB⊥B1C；（Ⅱ）若AB=B1C=2,BC=,求二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值．【考点】二面角地平面角及求法；直线与平面垂直地性质．【分析】（1）取AB中点,连接OC,OB1,证明AB⊥平面OCB1,即可证明．AB⊥B1C；（2）建立空间坐标系,求出平面地法向量,利用向量法先求出二面角地余弦值,然后求正弦值即可．【解答】解:（1）∵四边形AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形,取AB中点,连接OC,OB1,则AB⊥OB1,∵CA=CB,∴AB⊥OC,∵OC∩OB1=O,OB1,OC⊂平面OB1C,∴AB⊥平面OCB1,∴AB⊥B1C；（2）∵△ABB1是等边三角形,AB=2,∴OB1=,∵在△ABC中,AB=2,BC=AC=,O为AB地中点,∴OC=1,∵B1C=2,0B1=,∴OB12+OC2=B1C2,∴OB1⊥OC,∵OB1⊥AB,∴OB1⊥平面ABC,以O为坐标原点,OB,OC,OB1地方向为x,y,z轴地正向,建立如下图所示地坐标系,可得A（﹣1,0,0）,B1（0,0,）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,则=+=+=（﹣1,1,）,则C（﹣1,1,）,=（1,0,）,=（0,1,）,则平面BAB1地一个法向量为=（0,1,0）,设=（x,y,z）为平面AB1C1地法向量,则:•=x+z=0,•=y+z=0,令z=﹣1,则x=y=,可得=（,,﹣1）,故cos＜,＞==,则sin＜,＞==,即二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值是．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735 855（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生地概率；离散型随机变量地期望与方差．【分析】（Ⅰ）数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,即可求出解析；（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,即可求出解析,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,根据数学期望和方差地计算公式计算即可．【解答】解:（Ⅰ）记数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,公差d=10,且a3=28,得到为100分地居民编号分别对应为a6,a9,则a6=a3+3d=58,a9=a3+6d=88,所以得分为100分地居民编号分别为58,88,（Ⅱ）通过茎叶图可以看出,该地区农村居民问卷得分地平均值明显高于城市居民问卷得分地平均值,农村居民问卷得分地中位数为（94+96）=95,城市居民问卷得分地中位数为（72+73）=72.5,农村居民问卷得分地中位数明显高于城市居民问卷得分地中位数,所以农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,每次抽到"持赞同态度"居民地概率为=,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,ξ01234PE（ξ）=4×=所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=20．已知点M是抛物线C1:y2=2px（p＞0）地准线与x轴地交点,点P是抛物线C1上地动点,点A、B在y轴上,△APB地内切圆为圆C2,（x一1）2+y2=1,且|MC2|=3|OM|为坐标原点．（I）求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）求△APB面积地最小值．【考点】抛物线地简单性质；抛物线地标准方程．【分析】（I）求出M（﹣,0）,可得=,即可求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,求得直线PA地方程,运用直线和圆相切地条件:d=r,求得b,c地关系,求得△PAB地面积,结合基本不等式,即可得到最小值．【解答】解:（I）由题意,C2（1,0）,∵|MC2|=3|OM|,∴M（﹣,0）,∴=,∴p=1,∴抛物线C1地标准方程是y2=2x；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,直线PA地方程为:（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0,又圆心（1,0）到PA地距离为1,即=1,整理得:（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0,同理可得:（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0,所以,可知b,c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0地两根,所以b+c=,bc=,依题意bc＜0,即x0＞2,则（c﹣b）2=,因为y02=2x0,所以:|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号,所以△PAB面积最小值为8．21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2,g（x）=lnx﹣bx,且曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线与x轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a地值；（Ⅱ）若m、n是函数g（x）地两个不同零点,求证:f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数地底数）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点地判定定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）地导数,可得切线地斜率,运用两点地斜率公式可得a=3:（Ⅱ）求出f（x）地导数,可得f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相加减,可得ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,只需证得当t＞1时,h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2,求得导数,判断单调性,即可得证．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+ax+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+a,可得曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线斜率为k=a,由两点地斜率可得=a,解得a=3；（Ⅱ）证明:f（x）=x3﹣x2+x+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0,即有f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n）,相加可得lnm+lnn=b（m+n）,可得b==,即有ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,下证当t＞1时,h（t）＞2．即当t＞1时,lnt•＞2,即lnt＞=2（1﹣）,只需证t＞1时,lnt+﹣2＞0,设φ（t）=lnt+﹣2,则φ′（t）=﹣=＞0,即φ（t）在（1,+∞）递增,可得φ（t）＞φ（1）=0,即ln（mn）＞2,故f（mn）＞f（e2）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC并延长,交圆于点A,弦BC和AD 相交于点F．（I）求证:AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC．【考点】与圆有关地比例线段；圆內接多边形地性质与判定．【分析】（I）连接CD,证明:△CFD∽△ACD,得到,即可证明AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB,即可求∠BAC．【解答】（I）证明:连接CD,∵直线ED与圆相切于点D,∴∠EDC=∠EAD,∵ED∥BC,∴∠EDC=∠DCB,∴∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=∠DCF,∵∠CDF=∠ADC,∴△CFD∽△ACD,∴,∴AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）解:∵D、E、C、F四点共圆,∴∠CFA=∠CED,∵ED∥BC,∴∠ACF=∠CED,∴∠ACF=∠CFA．由（I）可知∠EAD=∠DCB,∠DCB=∠DAB,∴∠EAD=∠DAB,设∠EAD=∠DAB=x,则∠ABC=∠CAB=2x,∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,在等腰△ACF中,∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x,∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy 中,直线l 地参数方程为（t 为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O 为极点,x 轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,半径为2,直线l 与圆C 相交于M,N 两点．（I ）求圆C 地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN |地取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线地极坐标方程．【分析】（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为: =4,展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,利用根与系数地关系可得:|MN |=|t 1﹣t 2|=,再利用三角函数地单调性与值域即可得出．【解答】解:（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为:=4,展开可得:x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0,化为极坐标方程:ρ2﹣2ρcos θ﹣2ρsin θ=0,即ρ=2cos θ+2sin θ=4cos ．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,∴t 1+t 2=﹣2cos φ,t 1t 2=﹣3．∴|MN |=|t 1﹣t 2|==2,∵φ∈[0,],∴cos φ∈,cos 2φ∈．∴|MN |∈．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣a |．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式地解法．【分析】（Ⅰ）a=1时,通过讨论x地范围,求出各个区间上地不等式地解集,取并集即可；（Ⅱ）a=3时,通过讨论x地范围,求出f（x）地最小值,从而求出m地范围即可．【解答】解:（Ⅰ）a=1时,f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=,x≤1时,4﹣3x≤2,解得:≤x≤1,1＜x＜2时,x≤2,∴1＜x＜2,x≥2时,3x﹣4≤2,∴x=2,综上,不等式地解集是{x|≤x≤2}；（Ⅱ）a=3时,f（x）=,x≤1时,6﹣3x≥3,∴f（x）≥3,1＜x≤2时,2≤4﹣x＜3,∴2≤f（x）＜3,2＜x≤3时,2＜f（x）≤3,x＞3时,3x﹣6＞3,∴f（x）＞3,综上,x=2时,f（x）地最小值是2,若f（x）≥m恒成立,则m≤2,故实数m地范围是（﹣∞,2]．2023年9月8日。
衡水金考卷新课标理数(1)答案
衡水金考卷新课标理数(1)模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个是奇函数？（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = e^x2. 已知等差数列{an}，若a1=1，a3=3，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点坐标为（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)4. 下列函数中，哪个是增函数？（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = 1/xD. y = x5. 若三角形的三边长分别为3、4、5，则该三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是实数。
（）2. 一元二次方程的解必定是实数。
（）3. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形。
（）4. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。
（）5. 函数y=2x+1是一次函数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知f(x) = x^2 2x + 1，则f(2) = _______。
2. 若log2(x1) = 3，则x = _______。
3. 直线y = 2x + 3的斜率为_______。
4. 等差数列5, 8, 11, 14的下一个数是_______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，则θ = _______度。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理。
2. 解释什么是一元二次方程的判别式。
3. 什么是函数的单调性？4. 如何判断两个三角形是否相似？5. 简述等差数列的通项公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知等差数列{an}，a1=3，公差d=2，求前5项的和。
2. 解方程：2x^2 5x + 3 = 0。
3. 已知函数f(x) = x^2 4x + 3，求f(x)的最小值。
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二十一)理科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11i z i -=+，则z =（ ）A.22+ B.22- C.1122i + D. i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则运算即可求解. 【详解】()11i z i -=+,∴11)11222i i z i i i +====+--+,【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模，属于容易题.2.已知集合{|216}x A x =∈<N ，2{|540}B x x x =-+<，则()R A B =（ ） A. {1} B. {0,1}C. {1,4}D. {0,1,4}【答案】B 【解析】 【分析】化简集合,A B 后，根据集合的补集和交集运算的概念进行运算可得. 【详解】因为{0,1,2,3}A =,{|14}B x x =<<, 所以(,1][4,)R C B =-∞⋃+∞， 所以()R A C B = {0,1}.故选：B【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 3.海水稻就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻，具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来，我国的海水稻研究取得了阶段性成果，目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm ），得到了如下的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（ ）A. 海水稻根系深度的中位数是45.5cmB. 普通水稻根系深度的众数是32cmC. 海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数D. 普通水稻根系深度方差小于海水稻根系深度的方差【解析】 【分析】由茎叶图可知两组数据，分别计算中位数，均值，方差即可求解. 【详解】A 中，海水稻根系深度中位数为444745.52+=，正确；B 中普通水稻根系深度的众数由茎叶图知是32cm ，正确；C 中，由茎叶图可知海水稻根系深度平均数大于普通稻根系深度的平均数，正确；D 中，分别计算两组数据的方差，海水稻根系深度的平均值为1(38393951)4510++++=， 普通水稻根系深度的平均值为1(25273245)3510++++=海水稻222211[(3845)(3945)(5145)]21.510S =-+-++-=,普通稻222221[(2835)(2735)(4535)]35.410S =-+-++-=，所以海水稻根系深度方差小，错误. 故选：D .【点睛】本题主要考查了茎叶图，均值，方差，中位数，众数，属于中档题.4.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内随机抽取一点，则该点恰好在以A 为球心，12半径的球的内部的概率是（ ） A.6π B.12πC.24πD.48π 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型，用体积比可得答案. 【详解】以A 为球心，12为半径的球在正方体内部的体积为3141()832π⨯⨯⨯148π=， 又正方体的体积为1111⨯⨯=，根据几何概型的概率公式可得所求概率为：1148148ππ=.故选：D【点睛】本题考查了几何槪型中的体积比求概率，属于基础题. 5.已知(3,4)OA =-，(2,1)OB =，则||AB OB OA ⋅+=（ ） A. 2 B. 6C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算以及向量的模长公式运算可得. 【详解】因为(3,4)OA =-，(2,1)OB =， 所以(1,5)AB OB OA =-=-，所以||AB OB OA ⋅+=22(1,5)(2,1)34-⋅++2558=-++=. 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了平面向量的模长公式，属于基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 42π+B. 922π+C. 52π+D. 62π+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱截去四分之一所得几何体，由此可求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个圆柱截去四分之一所得几何体， 其表面积为：2121252ππππ⋅+⋅+⋅+⨯=+. 故选：C【点睛】本题考查了由三视图还愿几何体，考查了求圆柱的侧面积，求圆柱的底面积，考查了求组合体的表面积，属于中档题.7.过抛物线的焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，其中点A 位于第一象限．若5AF FB =，则直线AB 的斜率为（ ）A.5 B. 5±C.5 D. 5±【答案】C 【解析】 【分析】过A 作AM 与准线垂直，垂足为M ，过B 作BN 与准线垂直，垂足为N ，过B 作BE AM ⊥，垂足为E ，设||FB t =，则||5AF t =，所以||6AB t =，根据抛物线的定义求出||AE 和||BE ，在直角三角形AEB 中可解得.【详解】如图：过A 作AM 与准线垂直，垂足为M ，过B 作BN 与准线垂直，垂足为N ， 过B 作BE AM ⊥，垂足为E ，因为5AF FB =，所以||5||AF FB =， 设||FB t =，则||5AF t =，所以||6AB t =，根据抛物线的定义可得||||5,AM AF t ==，||||BN FB t ==， 所以||4AE t =，所以22||(6)(4)25BE t t t =-=，所以斜率||255tan ||BE t k FAE AE =∠===. 故选：C【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，通过作辅助线，转化为在直角三角形中解决是解题关键，属于中档题.8.函数29x x y -=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，排除,A B ，根据(1)f 的符号，排除C ，可知选：D .【详解】令29()x x f x -=，则29()()x x f x f x ---==-， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，所以排除,A B ，又2(1)01f e e=>+，所以排除C ， 故选：D【点睛】本题考查了奇函数的应用，考查了排除法，考查了函数图象的识别，属于基础题. 9.已知函数233()sin()sin 3(0,]24f x x x x x ππ=-∈，则()f x 的值域为（ ）A. 3[,1]2-B. 3(C. 3(1)- D. 1[,1]2-【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数()f x 化为sin(2)3x π-，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】因为23()sin()sin 3cos 2f x x x x π=--+1cos 23cos sin 32x x x +=-⋅+13sin 2cos 222x x =- sin(2)3x π=-，因为3(0,]4x π∈，所以72(,]336x πππ-∈-， 所以3()sin(2)(,1]3f x x π=-∈-， 故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了两角差的正弦公式的逆用，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.10.一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90B F ∠=∠=︒，60A ∠=︒，45D ∠=︒，BC DE =．现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O 与AC 中点M ，则下列直线与平面OFM 所成的角不为定值的是（ ）A. ACB. AFC. BFD. CF【答案】B 【解析】 【分析】通过证明BC ⊥平面OMF ，可以找到,,BF CF AC 与平面OFM 所成的角，计算可知都为定值，由此可得答案.【详解】因为,O M 为中点，所以//OM AB ，所以OM BC ⊥， 又OF BC ⊥，且OM OF O ⋂=， 所以BC ⊥平面OMF ，所以,BF CF 与平面OFM 所成的角分别为BFO ∠和CFO ∠，它们相等，等于45°， 根据直线与平面所成角的定义知，AC 与平面OFM 所成的角为60CMO A ∠=∠= 故只有AF 与平面OFM 所成的角不为定值. 故选：B【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面所成角，属于基础题. 11.已知函数()|sin |cos f x x x =+.有下列四个结论：①函数的值域为⎡⎣； ②函数的最小正周期为2π；③函数在[],2ππ上单调递增； ④函数的图像的一条对称轴为x π=. 其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ②④C. ①④D. ①②【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦余弦函数的图像和性质，逐项判断即可.【详解】对于①，因为|sin |0x ≥，cos y x =的最小值为1-，所以()1f x ≥-，故错误；对于②，因为(2)()f x f x π+=，所以2π是周期，且没有比2π小的，所以正确；对于③，当[],2x ππ∈时，59()sin cos [,]44f x x x ππ=-+=∈，4x π+59[,]44ππ∈时，函数不单调，故错误；对于④，因为()cos 1f ππ==-，即取得最小值，所以函数的图像的一条对称轴为x π=正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象与性质，属于中档题.12.已知函数()ln(1)()f x ax x a =--∈R ，若()f x 在2x =处取得极值，且，()1f x bx b ≥-+恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A. 1e +B. 11e+C. 211e +D. 11e-【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 在2x =处取得极值，可得1a =，将不等式转化为ln(1)11x b x -≤--在(1,)+∞上恒成立，右边构造函数求导得到最大值即可得到答案.【详解】因为函数()ln(1)()f x ax x a =--∈R ，所以1()1f x a x '=--， 因为()f x 在2x =处取得极值，所以1(2)021f a '=-=-，所以1a =， 所以()ln(1)f x x x =--，所以()1f x bx b ≥-+即ln(1)1x x bx b --≥-+，即ln(1)11x b x -≤--在(1,)+∞上恒成立， 令ln(1)()11x g x x -=--，则221(1)ln(1)1ln(1)1()(1)(1)x x x x g x x x ⋅------'=-=---， 所以(1,1)x e ∈+时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x e ∈++∞时，()0g x '>，()g x 递增，所以1x e =+时，min ln(11)1()1111e g x e e+-=-=-+-，所以11b e≤-， 所以b 的最大值为11e-. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数x，y满足3,220,1.x yx yy+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数31z x y=+-的最大值为________．【答案】6【解析】【分析】作出可行域，比较斜率找到最优解，代入最优解的坐标即可得到答案.【详解】作出可行域，如图所示：由图可知最优解为(2,1)M，所以max32116z=⨯+-=.故答案：6【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，根据斜率的关系，找到最优解是解题关键.14.在3()nxx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中4x的系数为________．【答案】448-【解析】【分析】先根据二项式系数的性质可得8n=，再利用通项公式可得4x对应的=5r，然后由通项公式可求得答案.【详解】因为展开式中，只有第5项二项式系数最大，根据二项式系数的性质可知，8n=，所以488831883()()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-⋅⋅，0,1,2,,8r =，令4843r -= 解得=5r ，所以所求系数为58558(1)2C --⨯⋅448=-. 故答案为：448-【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了利用通项公式求指定项的系数，属于中档题. 15.若1F ，2F 是双曲线22:22:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||5:12:13AB BF AF =，则双曲线的离心率是________． 【答案】41 【解析】 【分析】设1||,||5AF t AB x ==,根据双曲线的定义可得120||3a AF =，226||3AF a =，结合22||:||:||5:12:13AB BF AF =得到△2ABF 为以B 为直角的直角三角形，根据勾股定理以及离心率的定义可得答案. 【详解】如图所示：设1||,||5AF t AB x ==，则22||12,||13BF x AF x ==， 根据双曲线的定义得2112||||||||2AF AF BF BF a -=-=， 即13(5)122x t t x x a -=+-=，解得2 10,3t x x a==，即120||3aAF=，226||3AF a=，因为22||:||:||5:12:13AB BF AF=，所以△2ABF为以B为直角的直角三角形，则1||51051510BF t x x x x a=+=+==，2||128BF x a==，所以由2221212||||||F F BF BF=+得2224(10)(8)c a a=+，所以224164c a=，所以2241ca=，所以41e=.故答案为：41.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了求双曲线的离心率，属于中档题.16.某小区欲利用一块直角三角形空地（如图ABC）建一个正三角形（如图DEF）健身器材休闲场地，经测量20mAC=，90BAC∠=︒，30ABC∠=︒．若正三角形DEF的顶点在ABC的三条边界线上，则该健身器材休闲场地面积的最小值为________2m．3003【解析】【分析】设DE t=，ADEθ∠=，根据已知条件将t用θ表示可得7sin()3tθϕ=+，再根据面积公式以及三角函数的性质可得答案..【详解】如图所示：设DE t =，ADE θ∠=，则cos AD t θ=， 则CDF ∠=180°60120θθ--=-， 又60ACF ∠=，所以CFD θ∠=在△CDF 中，由正弦定理得sin 60sin DF CD θ=，解得23sin 33CD t θ==， 由20AD DC +=得23cos sin 203t θθ+=， 得22323cos sin 1()sin()33t θθθϕ==+++ 7sin()3θϕ=+ （其中3tan 2ϕ=） 所以正三角形DEF 的面积23S =234007sin ()3θϕ=+3400300373≥=，当且仅当2sin ()1θϕ+=时，等号成立. 3003【点睛】本题考查了三角形内角和定理，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦函数的最值，考查了三角形的面积公式，解题关键是正确选择变量，属于中档题. 三、解答题：17.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足对任意的正整数n ，均有21n n S a =- （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令22log 3n n b a =+，求数列11{}n n b b +⋅的前项n 和n T ． 【答案】（1）1*2()n n a n N （2）3(23)nn +【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥可得结果； （2）得到21n b n =+后，根据11111()22123n n b b n n +=-⋅++，裂项相消法可求得答案.【详解】（1）11121S a a =-=，∴11a = 当时2n ≥时，1121n n S a --=+，∴1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，即12n n a a -=， ∴{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项为1*2()n n a n N ．（2）因为22log 321n n b a n =+=+， 所以111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-⋅+⨯+++，∴1111111[()()()]235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++ 111()23233(23)n n n =-=++． 【点睛】本题考查了利用1(2)n n n a S S n -=-≥求数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和法， 1111()(21)(23)22123n n n n =-+⨯+++是常用的裂相公式，属于中档题.18.如图，四边形ABCD 为矩形，22AB AP BP AD ====，5DP =，M 为线段DP 上的动点．（1）若M 为线段DP 的中点，求证：//BP 平面AMC ；（2）若三棱锥M ABP -的体积记为1V ，四棱锥P ABCD -的体积记为2V ，当213V V =时，求二面角M AB P --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】 【分析】（1）连接BD ，AC ，记它们的交点为N ，连接MN ，利用中位线可得//MN BP ，再利用线面平行的判定定理可证.（2）设(01)MP tDP t =≤≤，取AB 中点E ，利用三棱锥的体积公式和213V V =，可得23t =，再建立空间直角坐标系，利用向量可得二面角M AB P --的余弦值. 【详解】（1）连接BD ，AC ，记它们的交点为N ，连接MN 因为四边形ABCD 为矩形，∴N 为BD 中点， 又M 为线段DP中点，∴//MN BP ，而MN ⊂平面MAC ，BP ⊄平面MAC ∴//BP 平面MAC ．（2）∵矩形ABCD ，∴DA AB ⊥，又22222215AP DA DP +=+==，∴DA AP ⊥，AP AB A =，∴DA ⊥平面ABP ，设(01)MP tDP t =≤≤，取AB 中点E ，因为ABP △是等边三角形，∴PE AB ⊥， 又因为DA ⊥平面ABP ，∴DA PE ⊥，AB AD A ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD ，且323PE == 设三棱锥M ABP -的高为h ，则1h MP t DP==，∴h t =， 由213V V =得21131233233t ⨯⨯⨯⨯，解得23t =，由题意，如图以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(3,1,0)P ，(0,0,1)D∵23MP DP =，∴12,)33M ， 易知平面ABP 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 设平面MAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则120,33320.AM n x y z AB n y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩令2x =则得平面MAB 的一个法向量(2,0,n =， cos ,||||m nmn m n ⋅<>=⋅因为二面角M AB P --为锐角二面角， 所以二面角M AB P --． 【点睛】本题考查了直线与平面垂直判定定理，考查了棱锥的体积公式，考查了利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.19.某饼屋进行为期5天的五周年店庆活动，现策划两项有奖促销活动，活动一：店庆期间每位顾客一次性消费满40元，可得10元代金券一张；活动二：活动期间每位顾客每天有一次机会获得一个一元或两元红包．根据前一年该店的销售情况，统计了200位顾客一次性消费的金额数（元），频数分布表如下图所示：以这200位顾客一次消费金额数的频率分布代替每位顾客一次消费金额数的概率分布．（1）预计该店每天的客流量为200人次，求这次店庆期间，商家每天送出代金券金额数的期望；（2）假设顾客获得一元或两元红包的可能性相等，商家在店庆活动结束后会公布幸运数字，连续5天参加返红包的顾客，如果红包金额总数与幸运数字一致，则可再获得5元的“店庆幸运红包”一个．若公布的幸运数字是“8”，求店庆期间一位连续5天消费的顾客获得红包金额总数的期望． 【答案】（1）800元（2）14516元 【解析】 【分析】（1）先计算出顾客一次消费满40元的概率，再可得()200100.4800E ξ=⨯⨯=；（2）记店庆期间一位连续5天消费的顾客获得红包金额总数为η，则η的可取值为5，6，7，13，9，10，计算出η取每一个值的概率后，利用期望公式计算可得.【详解】（1）依题意，顾客一次消费满40元的概率为551960.4200++=记商家每天送出代金券金额数为ξ，则()200100.4800E ξ=⨯⨯=， ∴商家每天送出代金券金额数的期望为800元；（2）记店庆期间一位连续5天消费的顾客获得红包金额总数为η，则η的可取值为5，6，7，13，9，10，且05511(5)()232P C η===，15515(6)()232P C η===，25515(7)()216P C η===， 35515(13)()216P C η===，45515(9)()232P C η===，55511(10)()232P C η===．∴15101051290145()567139103232323232323216E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 店庆期间一位连续5天消费的顾客获得红包金额总数的期望为14516元． 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了独立重复实验的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>一个顶点的坐标为(0,1)，且离心率2e =，A ，B 是其左、右顶点．过点B 的直线l 与x 轴垂直，点M 在直线l 上，N 为MB 的中点．设P 是椭圆上异于椭圆顶点的一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，射线HP 与直线AM 交与点Q ，且QH PH λ=．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若OQ QN ⊥，求λ的值．【答案】（1）2212x y +=（2）λ=【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 即可得到椭圆C 的标准方程； （2）设00(,)P x y，)M m，根据已知可得2m ，再根据OQ QN ⊥可得λ=【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知1b =，且222222222112c a b a e a a a --=====，解得22a =．∴所求椭圆方程为2212x y +=．（2）设00(,)P x y，)M m 则由题意220012x y +=，)2m N∵QH PH λ=，∴00(,)Q x y λ，(A ． ∴直线AM的方程为y x =+，Q 在直线AM上，∴00y x λ=，∴2m． ∵OQ QN ⊥，∴0000(,),)02mOQ QN x y x y λλ⋅=⋅-=，∴0000)()02mx x y y λλ+-=，∴0000))0x x y y λλ+=，∴000)0x x y λ+=，∵00x ≠2200x +=，∴2200()(1)02x x x λ--=，由于0λ>，0x ≠λ=【点睛】本题考查了根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，考查了直线的点斜式方程，考查了平面向量垂直的坐标表示，属于中档题.21.已知函数1()(2)xf x e a x x=+++在区间(1,0)-内存在零点． （1）求a 的范围； （2）设22e a >，1221,()x x x x <是()f x 的两个零点，求证：122x x -<． 【答案】（1）0a >（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将问题转化为2()e (1)x g x x a x =++在区间(1,0)-有解，求导后，讨论a 可得函数在(1,0)-内的单调性，利用单调性，结合零点存在性定理可得答案； （2）当22ea >时，可得g()x 的单调性，利用零点存在性定理可得2120x x -<<<，从而可证122x x -<.【详解】（1）由题意，方程1e (2)0x a x x+++=在区间(1,0)-有解， 即方程2e (1)0x x a x ++=在区间(1,0)-有解，设函数2()e (1)x g x x a x =++，即g()x 在区间(1,0)-存在零点． 因为()(1()e )2x g x x a '=++，①若0a >，则e 20x a +>，10x +>，()0g x '>成立，g()x 在区间(1,0)-单调递增，(0)0g a =>，1(1)0e g -=-<，(0)(1)0g g ⋅-<，所以g()x 在区间(1,0)-存在零点；②若0a =，则()e 0x g x x '=<，g()x 在(1,0)-内单调递减， 且()(0)0g x g a >==，所以g()x 在区间(1,0)-无零点； ③若0a <，则e 0x x <，2(1)0a x +<， 当(1,0)x ∈-时，()0g x '<，()(1)0g x g <-< 故g()x 在区间(1,0)-无零点； 综上所述，0a >．（2）由（1）可知，22e a >时，g()x 在区间(,1)-∞-单调递减，在区间(1,)-+∞单调递增， 且g()x 在区间(1,0)-存在一个零点； 又22(2)0eg a -=-+>，(2)(1)0g g -⋅-<， 所以g()x 在区间(2,1)--也存在一个零点， 从而2120x x -<<<， 所以122x x -<，不等式得证．【点睛】本题考查了由函数零点的个数求参数的范围，考查了零点存在性定理，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，考查了利用导数证明不等式，属于中档题. 22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，过点()1,1P -的直线1:1x tl y kt =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若MN ≥k 的取值范围.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，直线l 的普通方程为10kx y k -++=（2）3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据极坐标公式转化为直角坐标方程，消去参数t 得普通直线方程（2）根据圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求解即可.【详解】（1）根据题意4cos P θ=，即24cos P P θ=⋅，从而曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=，又11x t y kt=-+⎧⎨=+⎩，消去参数t 可得直线l 的普通方程为10kx y k -++=.（2）根据题意，得圆心()2,0到直线的距离1d ≤=，1≤，解得304k -≤≤， 所以实数k 的取值范围为3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程，直线与圆的位置关系，圆的平面几何性质，属于中档题. 23.已知函数()121f x x x =++-.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[]1,0∃∈-，使得不等式()1f x a x ≥-成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）(][),11,-∞-+∞（2）2a ≤ 【解析】【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数即可求解（2）分离参数后转化为存在性问题，求函数21x y x-=-最大值即可. 【详解】（1）()13,211212,123,1x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩当12x ≥时，33x ≥，解得1x ≥； 当112x -<<时，23x -+>，不成立； 当1x ≤-时，33x -≥，解得1x ≤-.综上可知，不等式()3f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞.（2）[]1,0x ∃∈-，使得不等式1211x x a x ++-≥-成立，即()1121x x a x ++-≥-， 所以21x a x-≤-在[]1,0x ∈-时有解， 21111x y x x-==+--， 当[]1,0x ∈-时，11,112x ⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦，23,212x x -⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦， 所以2a ≤.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，含参不等式有解问题，属于中档题.。
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2021 年一般高等学校招生全国一致考试模拟试题理数〔一〕第一卷〔共 60 分〕一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1.会集，，，那么〔〕A. B. C. D.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕学* 科*网...A. B. C. D.5. 点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.6.函数那么〔〕A. B. C. D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.8.函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向右平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.10.某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 3212. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________ ．14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为 __________ ．16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为 __________ ．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，.又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；.〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．21. 函数，其中为自然对数的底数.〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于0的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1. 会集，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】会集，故，会集表示非负的偶数，故，应选 C.2.设是虚数单位，假设，，，那么复数的共轭复数是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】，依照两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，应选 A.3.等差数列的前项和是，且，那么以下命题正确的选项是〔〕A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数【答案】 D【解析】，为常数，应选 D.4.七巧板是我们祖先的一项创立，被誉为“东方魔板〞，它是由五块等腰直角三角形〔两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形〕、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色局部的面积与梯形的面积相等，那么所求的概率为，应选 A.5.点为双曲线：〔，〕的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，假设的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】由，解得点，又，那么的中点坐标为，于是，，那么，解得或〔舍去〕，应选 D.【方法点睛】此题主要观察双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的观察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，进而求出 ; ②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④依照圆锥曲线的统必然义求解．此题中，依照的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6.函数那么〔〕A. B. C. D.【答案】 D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，应选 D.7. 执行以以下图的程序框图，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，应选 C.8. 函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移B. 可由函数的图象向右平移C. 可由函数的图象向右平移D. 可由函数的图象向右平移个单位而得个单位而得个单位而得个单位而得【答案】 B【解析】，因为函数〔〕的相邻两个零点差的绝对值为，因此函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，应选 B.9.的张开式中剔除常数项后的各项系数和为〔〕A. B. C. D.【答案】 A【解析】令，得，而常数项为，因此张开式中剔除常数项的各项系数和为，应选 A.10. 某几何体的三视图以以下图，其中俯视图中六边形是边长为 1 的正六边形，点为的中点，那么该几何体的外接球的表面积是〔〕A. B. C. D.【答案】 C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为终究面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，应选 C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点观察学生的空间想象能力和抽象思想能力以及外接球的表面积，属于难题. 三视图问题是观察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热点 . 观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的重点，不仅需注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不相同地址对几何体直观图的影响 .11. 抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、.两点，直线与抛物线交于、两点，假设与的斜率的平方和为1，那么的最小值为〔〕A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】 C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又〔当且仅当时取等号〕，的最小值为，应选 C.12. 假设函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒建立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．假设函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．假设，，使建立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】 B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递加，故，依题意得，即实数的取值范围是，应选 B.【方法点睛】此题主要观察分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题 .解决这类问题的重点是理解题意、正确把问题转变成最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：〔1〕只需；〔2〕，只需；〔3〕，只需；〔4〕，，.第二卷〔共 90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，且，那么__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. ，满足拘束条件那么目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出拘束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，获取最小值，且，，故答案为.【方法点晴】此题主要观察线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔 1〕作出可行域〔必然要注意是实线还是虚线〕；（2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数，最先经过或最后经过的极点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，那么数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，那么由等比数列的性质，知，那么，由与的等差中项为，知，得，即，那么，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的地址，并使，那么五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，那么五棱锥的体积，，得或〔舍去〕，当时，单调递加，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．〔1〕求及角的大小；〔2〕求的值．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔 1〕由及正弦定理化简可得即，进而得．又，因此，由余弦定理得；〔 2〕由，得，因此．试题解析：〔1〕由及正弦定理得，即，在中，，因此．又，因此．在中，由余弦定理得，因此．〔2〕由，得，因此．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．〔1〕求证：；〔2〕假设动点在棱上，试确定点的地址，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】 (1)见解析 (2)【解析】试题解析：〔1〕连接，，，与的交点为，连接，那么，由正方形的性质可得，进而得平面，，又，因此；〔 2〕由勾股定理可得，由〔 1〕得因此底面，因此、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设〔〕，求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，进而可得结果 .试题解析：〔 1〕连接，，，因为，，因此和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，那么，又四边形是正方形，因此，而，因此平面．又平面，因此，又，因此．〔2〕由，及，知，于是，进而，结合，，得底面，因此、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，那么，，，，，，，，由，易求得．设〔〕，那么，即，因此．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，那么，解得或〔舍去〕，因此当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】此题主要观察利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立合适的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔 4〕将空间地址关系转变成向量关系；〔 5〕依照定理结论求出相应的角和距离 .19. “过大年，吃水饺〞是我国很多地方过春节的一大民俗．2021 年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1〕求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值遵从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，假设某人从某商场购置了 4 包这类品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这类质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学希望．附：① 计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设，那么，．【答案】 (1)(2)〔3〕的分布列为01234∴．【解析】试题解析：〔 1〕直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；〔 2〕①∵遵从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，依照独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，进而可得分布列，进而利用二项分布的希望公式可得的数学希望 .试题解析：〔 1〕所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．〔2〕①∵遵从正态分布，且，，∴，∴ 落在内的概率是．②依照题意得，；；；；．∴的分布列为01234∴．20. 椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为 2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线：与椭圆订交于，两点，在轴上可否存在点，使直线与的斜率之和为定值？假设存在，求出点坐标及该定值，假设不存在，试说明原由．【答案】 (1)(2)存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题解析：〔 1〕由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正.方形面积为可得，解方程组即可的结果；〔2〕由得，依照韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果 .试题解析：〔 1〕由可得解得，，所求椭圆方程为．〔2〕由得，那么，解得或．设，，那么，，设存在点，那么，，因此．要使为定值，只需与参数没关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21.函数，其中为自然对数的底数 .〔1〕假设函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；〔2〕函数，且，假设函数在区间上恰有 3 个零点，求实数的取值范围．【答案】 (1)(2)【解析】试题解析：〔1〕函数在区间上单调递加等价于在区间上恒建立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒建立，可得，综合两种情况可得结果；〔 2〕，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅调，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性谈论的零点，进而可得结果．试题解析：〔 1〕，当函数在区间上单调递加时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒建立，∴〔其中〕，解得．综上所述，实数的取值范围是．〔2〕．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，那么在区间内不仅一，因此在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，因此在区间内恰有两个零点．由〔 1〕知，当时，在区间上单调递加，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；因此．令，得，记的两个零点为，〔〕，因此，，必有，．由，得，因此，又，，因此．综上所述，实数的取值范围为．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为〔为参数，是大于 0 的常数〕．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．〔1〕求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；〔2〕分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，假设圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】 (1)，(2)，【解析】试题解析：〔 1〕先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；〔 2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长 .试题解析：〔 1〕圆：〔是参数〕消去参数，得其一般方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．〔2〕由〔 1〕知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】此题观察圆的参数方程和一般方程的转变、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转变以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，即可把参数方程化为一般方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转变即可 .23.选修 4-5 ：不等式选讲函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设正数，满足，求证：．【答案】 (1)(2)见解析【解析】试题解析：〔 1〕对分三种情况谈论，分别求解不等式组，尔后求并集，即可得不等式的解集；〔 2〕先利用根本不等式建立的条件可得，因此. 学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...学& 科& 网...试题解析：〔 1〕此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．〔2〕∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。
2022年 衡水金高三上9月大联考数学试理科配套精选
2021-2021学年河北省衡水金卷高三〔上〕9月大联考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．〔5分〕集合M={|2﹣54≤0}，N={|2＞4}，那么〔〕A．M∩N={|2＜＜4}B．M∪N=R C．M∩N={|2＜≤4}D．M∪N={|＞2}2．〔5分〕记复数的虚部为Im〔〕，复数〔i为虚数单位〕，那么Im〔〕为〔〕A．﹣3 B．2 C．﹣3i D．33．〔5分〕曲线在点〔1，f〔1〕〕处的切线的倾斜角为α，那么=〔〕A． B．2 C． D．4．〔5分〕2017年8月1日是人民解放军建军90周年，人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如下图是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元．为了测算图中军旗局部的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是〔〕A． B． C． D．5．〔5分〕双曲线C：的渐近线经过圆E：22﹣24=0的圆心，那么双曲线C的离心率为〔〕A． B． C．2 D．6．〔5分〕数列{a n}为等比数列，且，那么=〔〕A． B． C． D．7．〔5分〕执行如图的程序框图，假设输出的S的值为﹣10，那么①中应填〔〕A．n＜19？ B．n≥18？ C．n≥19？ D．n≥20218．〔5分〕函数f〔〕为R内的奇函数，且当≥0时，f〔〕=﹣e1mco，记a=﹣2f〔﹣2〕，b=﹣f〔﹣1〕，c=3f〔3〕，那么a，b，c间的大小关系是〔〕A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．〔5分〕一几何体的三视图如下图，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，那么该几何体的体积为〔〕A． B． C． D．10．〔5分〕函数f〔〕=2in〔ωφ〕〔〕的局部图象如下图，其中．即命题，命题q：将f〔〕的图象向右平移个单位，得到函数的图象．那么以下判断正确的选项是〔〕A．49〔〕，复数〔i为虚数单位〕，那么Im〔〕为〔〕A．﹣3 B．2 C．﹣3i D．3【解答】解：∵==，∴Im〔〕=﹣3．应选：A．3．〔5分〕曲线在点〔1，f〔1〕〕处的切线的倾斜角为α，那么=〔〕A． B．2 C． D．【解答】解：因为：．所以：函数f〔〕的导函数f′〔〕=22，可得：f′〔1〕=2，因为：曲线在点〔1，f〔1〕〕处的切线的倾斜角为α，所以：tanα=f′〔1〕=2，所以：===．应选：C．4．〔5分〕2021年8月1日是人民解放军建军90周年，人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如下图是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元．为了测算图中军旗局部的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是〔〕A． B． C． D．【解答】解：由圆形金质纪念币的直径为22mm，得半径r=11mm，那么圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π，∴估计军旗的面积大约是mm2．应选：C．5．〔5分〕双曲线C：的渐近线经过圆E：22﹣24=0的圆心，那么双曲线C的离心率为〔〕A． B． C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线C：，其焦点在轴上，那么其渐近线方程为=±，圆E：22﹣24=0的圆心为〔1，﹣2〕，假设双曲线的渐近线经过圆E的圆心，那么双曲线的一条渐近线方程为=﹣2，那么有=2，即b=2a，那么c2=a2b2=5a2，即c=a，那么双曲线的离心率e==；应选：A．6．〔5分〕数列{a n}为等比数列，且，那么=〔〕A． B． C． D．【解答】解：数列{a n}为等比数列，且=a33，那么a3=﹣4，a7=±8，根据等比数列的性质可得a7=8舍去，∴a7=﹣8，∴a4a6=a3•a7=32，∴=tan〔π〕=tan〔10ππ﹣〕=﹣tan=﹣，7．〔5分〕执行如图的程序框图，假设输出的S的值为﹣10，那么①中应填〔〕A．n＜19？ B．n≥18？ C．n≥19？ D．n≥2021【解答】解：模拟程序的运行，可得：第1次执行循环体后，S=﹣1，不满足输出的要求，n=2；第2次执行循环体后，S=1，不满足输出的要求，n=3；第3次执行循环体后，S=﹣2，不满足输出的要求，n=4；第4次执行循环体后，S=2，不满足输出的要求，n=4；第5次执行循环体后，S=﹣3，不满足输出的要求，n=6；…第2n﹣1次执行循环体后，S=﹣n，不满足输出的要求，n=2n；第2n次执行循环体后，S=n，不满足输出的要求，n=2n1；…第18次执行循环体后，S=9，不满足输出的要求，n=19；第19次执行循环体后，S=﹣10，满足输出的要求，故①中应填n≥19？应选：C．8．〔5分〕函数f〔〕为R内的奇函数，且当≥0时，f〔〕=﹣e1mco，记a=﹣2f〔﹣2〕，b=﹣f〔﹣1〕，c=3f〔3〕，那么a，b，c间的大小关系是〔〕A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵函数f〔〕为R内的奇函数，且当≥0时，f〔〕=﹣e1mco，∴f〔0〕=﹣11m=0，即m=0，∴f〔〕=﹣e1，令g〔〕=f〔〕，g〔〕为偶函数且在≥0时为减函数，那么a=﹣2f〔﹣2〕=g〔﹣2〕=g〔2〕，b=﹣f〔﹣1〕=g〔﹣1〕=g〔1〕，c=3f〔3〕=g〔3〕，故c＜a＜b，9．〔5分〕一几何体的三视图如下图，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，那么该几何体的体积为〔〕A． B． C． D．【解答】解：由中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，故组合体的体积V=π，应选：D10．〔5分〕函数f〔〕=2in〔ωφ〕〔〕的局部图象如下图，其中．即命题，命题q：将f〔〕的图象向右平移个单位，得到函数的图象．那么以下判断正确的选项是〔〕A．﹣1，M〔1，1〕，N〔2，2〕，联立方程得〔3m24〕2﹣6m﹣9=0，所以，．此时．同理，令直线1，1﹣1〕〔m2﹣1〕=m212﹣m〔12〕1，所以有〔m21〕12﹣m〔12〕1=0，整理得到，即12m25=0，上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MN in=f〔n〔1a〕〕=a1﹣b﹣〔a1〕n〔a1〕≥0，即a1﹣〔a1〕n〔a1〕≥b，所以〔a1〕b≤〔a1〕2﹣〔a1〕2n〔a1〕．令g〔〕=2﹣2n〔＞0〕，那么g'〔〕=〔1﹣2n〕．令g'〔〕＞0，得，令g'〔〕＜0，得，故g〔〕在区间内单调递增，在区间内单调递减．故，即当时，．所以〔a1〕b≤〔a1〕2﹣．所以．而e＜3，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系O中，曲线C的参数方程为〔t＞0，α为参数〕．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．〔1〕当t=1时，求曲线C上的点到直线的距离的最大值；〔2〕假设曲线C上的所有点都在直线的下方，求实数t的取值范围．【解答】解：〔1〕直线的极坐标方程为，即ρinθρcoθ=3，化为直角坐标方程是﹣3=0，t=1时，曲线C上的点到直线的距离为=，当时，，即曲线C上的点到直线的距离的最大值为；〔2〕∵曲线C上的所有点均在直线的下方，∴对∀α∈R，有tcoαinα﹣3＜0恒成立，即〔其中〕恒成立，∴；又t＞0，∴解得，∴实数t的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔〕=|2﹣1||1|．〔1〕解不等式f〔〕≤3；〔2〕记函数g〔〕=f〔〕|1|的值域为M，假设t∈M，证明：．【解答】解：〔1〕依题意，得，于是得或或，解得﹣1≤≤1．即不等式f〔〕≤3的解集为{|﹣1≤≤1}．〔2〕证明：g〔〕=f〔〕|1|=|2﹣1||22|≥|2﹣1﹣2﹣2|=3当且仅当〔2﹣1〕〔22〕≤0时，取等号，∴M=[3，∞〕．原不等式等价于=≥0，∵t∈M，∴t﹣3≥0，t21＞0．∴．∴．。