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（由组委会填写）
第十二届“中关村青联杯”全国研究生
数学建模竞赛
学校上海电力学院
参赛队号10256084
队员姓名1.王亚楠
2.李浩然
3.吴正阳
参赛密码
（由组委会填写）
第十二届“中关村青联杯”全国研究生
数学建模竞赛
题目面向节能的单/多列车优化决策问题
摘要：
关键词：列车；节能优化；惰性控制；巡航控制
一问题重述
轨道交通系统的能耗是指列车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产生的能耗。

根据统计数据，列车牵引能耗占轨道交通系统总能耗40%以上。

在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。

请研究以下问题：
一、单列车节能运行优化控制问题
（1）请建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A7站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，
列车参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

（2）请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从A6站出发到达A8站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在A7车站停站45
秒，A6站和A8站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间），列车
参数和线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

二、多列车节能运行优化控制问题
（1）当100列列车以间隔H={h1,…,h99}从A1站出发，追踪运行，依次经过A2，A3，……到达A14站，中间在各个车站停站最少D min秒，最多D max秒。

间
隔H各分量的变化范围是H min秒至H max秒。

请建立优化模型并寻找使所
有列车运行总能耗最低的间隔H。

要求第一列列车发车时间和最后一列列
车的发车时间之间间隔为T0=63900秒，且从A1站到A14站的总运行时间不
变，均为2086s（包括停站时间）。

假设所有列车处于同一供电区段，各
个车站间线路参数详见文件“列车参数.xlsx”和“线路参数.xlsx”。

补充说明：列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车（后车）速度不能超
过限制速度，以免后车无法及时制动停车，发生追尾事故。

其计算方
式可简化如下：
其中是列车当前位置的线路限速（km/h），是当前时刻前后车之间的
距离(m)，是列车制动的最大减速度(m/s2)
（2）接上问，如果高峰时间（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于
5分钟，每天240列。

请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。

三、列车延误后运行优化控制问题
接上问，若列车i在车站A j延误（10秒）发车，请建立控制模型，找出在确
保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。

假设为随机变量，普通延误（0<<10s）概率为20%，严重延误
（>10s）概率为10%（超过120s，接近下一班，不考虑调整），无延误（0）
概率为70%。

若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，如何对第二问的控制方案进行调整？
二基本假定和符号规定
2.1基本假定
1.假定忽略列车运行过程中的工况转换时间
2.假定忽略列车上空调等设备的能耗
3.假定忽略列车上乘客的体重
4.假定忽略乘客的舒适度
5.假设电网中有足够的消耗电阻来消耗多余的能量
6.假定忽略能量传递对网压的影响
2.2符号规定
文章中所用主要符号与意义说明如表1所示，其他见正文。

三 优化方案分析
3.1 文中难点的理解分析
对μ值的理解分析：题目中已经给出μ值的定义，为实际输出的牵引加速度与最大加速的的百分比。

由公式
μ===
max
max max
F F
Ma Ma a a 可以反向理解，笔者认为μ就相当于实际
列车运行过程中的油门。

由于文中要求节能的运行方式，列车参数中限定了最大加速度，牵引力过大只能导致“空转”，空耗能，所以在对后面的题目求解过程中实际输出的牵引力F 分为两种情况：
(1).当最大牵引力产生的加速度max 'a a ≤，则max F F =。

(2).当最大牵引力产生的加速度max 'a a ≥，则max max a M
F =-ω
μ，即max
max F Ma ω
μ+=。

制动中的μ类似。

对坡道的理解分析：由题目给出的附件中的车站公里标可以看出，类似于A6-A7的时候坡道系数应该取反。

原理图如下：
图1 坡道的理解图
如上图1所示，正方向为上坡的时候，反方向为下坡。

类似的，正方向为下坡的时候，反方向为上坡。

对列车线路曲率为0情况的理解分析：在题中给出列车曲线阻力为：R c w c /=，列车行驶过程中曲率半径R=0m 的情况，并非列车曲线阻力c ω为无穷大。

相反，R 为0m ，代表为“直路”，在后面问题的求解算法中，均加入判定条件，若R 为0m ，则c w =0N 。

3.2 问题（一）分析建模与结果
3.2.1 问题（一）（1）分析
问题（一）（1）是求A6-A7站间的节能优化驾驶方案。

最优的操纵序列的选取：针对一些路况的驾驶采用的驾驶阶段题目说明中已经给出分析：列车在平道或者坡度较小的线路上时，理论上存在最优的操纵序列：最大加速-恒速-惰行-最大制动。

当运行路线较短时，只有3个控制阶段，即“最大加速-惰行-最大制动”。

论文XX 中提出一种最优的惰行控制方案，惰行控制即在制动降速前惰行，减少牵引能耗，通过选择合适的惰行点从而实现全程运行节能。

问题的最终是求能耗的最优，上文中所提出的四个阶段中，只有牵引阶段和巡航阶段是耗能的，而惰行阶段和制动阶段是不产生耗能的。

结合问题（一）（1）中的问题，即需要惰行阶段的时间越长越好，而理想状况是“最大牵引-惰行至终点”在后面的算法得出不能同时满足时间和距离这两方面的约束。

故得到问题的节能最优驾驶方案为：最大加速-惰行-最大制动。

线路中限速情况的分析说明：从附件中可以查出两站间的距离为1354m ；前120m 的限速为55h km /，后面1234m 的限速为80h km /。

根据列车最大牵引加速到第一次限速1m V
值时有没有到达新的限速值阶段，理论上存在如图2上面的两种情况。

为了定性分析实际属于哪种情况，本文特将列车以最大牵引加速至第一限速55h km /,所行驶距离为121m ，而55h km /限速段距离为120m 。

当列车加速到55h km /时，已经进入80h km /的限速段。

通过上述分析，最终得到结果从A6-A7的路况列车节能最优的方案为情况2。

另外，题中给出了从A6到A7的运行时间为110s ，为了更好的寻找最优能耗的运行方案，算法在运行时间的基础上给予一定的裕量--富裕时间，为s 1±。

图2 对于限速情况的考虑
3.2.2 问题（一）（1）建模与算法
优化驾驶模型是一个同时含有等式约束和不等式约束的非线性规划问题。

本文对问题一的建模如下： 牵引阶段：∑==
N
i i i
i dL F
E 1
max **μ；N 为牵引阶段的总步长数，i μ、i F max 为每个步长对
应μ、m ax F 实时的取值，i dL 为每个步长列车对应行驶的距离。

巡航阶段：∑==1
1
*N i i
dL j
E ω；由于ω=实际
F
（阻力），且只有0>ω时，此时j=1,牵引
力才做功；当0<ω时，j=；此时没有牵引力，只有制动力，故没有耗能。

惰行阶段：0=E ，不耗能。

制动阶段：0=E ，不耗能。

目标：∑==n
i i
E E 0
min ；E 为能耗，n 为阶段数。

约束条件：
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<==<==∑∑==；
；；；总总max 1
max 0
)(1354)()(110a t a m L L t V t V s t t n i i n
i i
惰行点与制动点的求取：整个最优方案中最重要的一环就是惰行点与制动点的选取，本文中采用的求解方法为：如图3所示，由于本题中1m V 限速并没有影响，首先求取列车以最大牵引加速到第二次限速2m V 可以得到一条牵引曲线；类似，通过反向推理，在终点A7处反向推出制动曲线。

图3 问题一算法原理说明图
然后在牵引曲线选择步长进行迭代运算惰行曲线，由于制动曲线是在终点处方向算出的，迭代中只需满足以下两个条件：（1）以牵引曲线上采样点为基础得出的惰行曲线必须得与制动曲线有交点。

即一直惰行至速度为0时，距离必须超过终点。

（2）牵引阶段、惰行阶段和制动阶段三部分时间相加总和在110s 左右富裕时间1s ，富裕时间在上文已交代过。

此种方法可以得出多组解，由于题中要求的是求节能最优方案，而上述三个阶段中只有牵引阶段是耗能的，所以只需取1t 最小值的那组解即为所求解。

具体主要算法程序见附录XXX ，全部程序见附件XXX 。

算法伪代码如下所示：
算法伪代码（一）： 列车运行惰行点与制动点的寻找算法（主要） 1.计算从起点即v =0、T=0时的牵引曲线，采样点共N 个。

2.从110s 终点处方向求解制动曲线，采样点共M 个。

3.for i=1; i ≤N; i++ do
4.以牵引曲线第i 个采样点作为惰行阶段的初始点，计算惰行曲线。

5.如果惰行曲线重点的公里标<A7公里标，执行6，否则返回3。

6.寻找惰行曲线与制动曲线的交点b 。

7.如果整个时间）（111,109∈T ，执行8，否则返回3。

8. end for
9.计算总耗能。

3.2.3 问题（一）（1）算法结果分析
根据上述方法建模与算法，得到问题一（1）中的距离速度曲线如图4所示。

为了更好对上文的限速情况进行分析，特用小图局部放大了公里标在13747m 处限速改变时的情况，证明前面所分析是正确有效的。

根据图4可以得出如下分析结果：
图4 问题一(A)的迭代结果图
1.列车从A6站开始以最大牵引加速，在限速55h km /的下是没有影响的。

加速到速度为64.05h km /的时候，开始惰行，牵引阶段的时间为20.90s 。

2.到20.90s 时列车开始惰行，不产生能耗，惰行至98s 时，列车速度降为41.47h km /。

惰行阶段时间约为78s.
3.到98s 时，列车开始制动，最大制动减速，当约为111s 时，列车速度降为0h km /,刚好行驶1354m ，到达A7站。

将问题（一）(1)的求解结果统计在表格2中：
表2 A6-A7最节能方案结果
另外，求解中关键点μ的牵引阶段各个时刻的取值也统计在了附录XXX 中，其余各相关值已按要求填写至文件“数据格式.xlsx ”中。

3.2.4 问题（一）（2）分析
问题一（2）和（1）的相比，模型需要做出了很大的一些改变。

首先两个站分别限定的时间1t 、2t 并没有告知，只是有条件s 22021=+t t ；再者所求能耗为两个运行过程的总能耗最低。

故模型与算法需要重新建立。

为了更好的对运行时间进行定性分析，特对最大能力运行方案与最节能（最耗时）运行方案两个极端情况进行演算。

理论上在站间存在如图5的最大能力运行曲线，这种运行操作序列为：最大牵引加速—巡航阶段—最大制动减速。

这种运行操作序列所花时间最少，但是同时也是最不节能的方案。

单列车单站间最节能运行曲线在上文中已经讨论过“最大牵引加速—直接惰行”方案的可能性是不存在的，所以时间最长的方案只能是问题一（1）中所采取的方案。

运行操作序列为：最大牵引加速—惰行阶段—最大制动减速。

运行曲线如图6所示。

图5 理论站间最大能力运行曲线图
图6 理论站间时间最长运行曲线
A6—A7站间距离为1354m ，A7—A8站间距离为1280m ，限速情况前120m 限速均为55h km /，后面限速均为80h km /。

A6—A8站间路况也类似：曲率均为0m ，坡度均为“平路—上坡—下坡—平路”阶段，而且坡度均比较小。

上述情况均表明两站路程是相似的，所以运行时间与运行距离速度曲线也是相似的，可以粗略得到问题一（2）的最优节能运行曲线如图7所示。

上述分析表明两段路程的运行时间应均在[100,120]之间，可以建立题一（2）数学模型如下所示，其中求取每段惰行点位置和制动点位置的方法均与题一（1）相似，模型与算法中不再赘述。

图7 问题一（2）理论分析节能最优运行方案图
目标：21m in min min E E E +=；E 为总能耗，1min E 、2min E 分别为A6-A7、A7-A8两个阶段的耗能。

约束条件：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎧<====<=+∈∈∑∑==；；；；；总总max 1
22111max 2
1max min 2max min 1)(m 12801354)()(220];2,2[];1,1[a t a L L m L L t V t V s t t t t t t t t n
i i n i i 具体算法主要程序见附录XXX ，全部程序见附件XXX 。

由于数据较大，约束条件增多，实际运行中精确到秒S 就可以了，特将本算法的迭代步长调整为1s ，。

算法伪代码如下所示：
算法伪代码（二） A6-A8运行能耗最低方案的算法（主要） 1. for 1t =100; 1t ≤120; 1t ++ do 2. 2t =220-1t ;
3. 计算在1t 情况下，A6-A7站间最优节能方案运行的最小耗能1min E ；
4. 计算在2t 情况下，A7-A8站间最优节能方案运行的最小耗能2min E ；
5. if min E <（1min E +2min E ） do
6. m i n E =1min E +2min E ;
7. end if
8. end for
9. min E 即为最低的能耗，此时的1t 、2t 值即为对应在两站的运行时间
3.2.3 问题（一）（2）算法结果分析
根据上述方法建模与算法，得到问题一（2）中的距离速度曲线如图8所示。

图中已将两个运行过程的牵引、惰行、制动三个阶段的情况位置等信息清晰标注。

根据图8可以得出如下分析结果：
图8 问题一（2）迭代结果图
结果分析：1.A6-A7站间运行时间和A7—A8站间运行时间大致相同，均为110s 左右，运行曲线也大致相同，这就证明上文中的分析是正确的。

2.列车整个运行情况：从A6站以最大牵引加速出发，到19.8s 的时候加速到63.44h km /，此时开始惰行至97.9s 的时候开始以最大制动减速，到109.9s 时候到达A7站。

停站45s 后，再次用18.7s 以最大牵引加速到速度62.41h km /，开始惰行到速度至36.84h km /时以最大制动减速至0。

3.能耗方面：A6—A7站间运行的能耗为7104535.3⨯J ，A7—A8站间运行的能耗为7100335.3⨯J ，整个A6—A8过程所花的能耗为710487.6⨯J 。

以上结果主要数据以统计至表3中。

表3 A6-A7最节能方案结果
运行时间/s 运行距离/m 惰行点位置 （公里标） 制动点位置（公里标） 能耗/(J)
A6-A7 109.9s 1354 13400m 12327m 7104535.3⨯ A7-A8 110s 1280 12079m
10960m 7
3.3 问题（二）分析建模与结果 3.3.1 问题（二）（1）分析
问题二（1）加入了能量的转换，列车由单列车情况转换为多列车，且需要跑完全程。

为了更好的节能，前一列车的制动时间内，后面运行的列车需要尽可能的运行在牵引或者巡航阶段。

不失不一般性，在对A1—A14全程路程进行研究分析中发现13段路程中，有10站的限速与路况等情况是类似的，本文把这类站规定为“一般站”来进行统一研究分析，一般站的限速情况约为前120m 的限速为55h km /，后面的限速为80h km /，如图9(a)所示。

特殊的站间“A5—
A6”、“A11—A12”、“A13—A14”三段路程单独进行分析，限速情况如图9(b)、(c)、(d)所示。

图9(a) 一般站间的限速情况图图9(b) A5—A6限速情况图
图9(c) A11—A12限速情况图9(d) A13—A14限速情况
图9线路全程限速情况分析
一般站间的理论运行曲线在题（一）中已经给出，其中A11—A12里面的7m就不需要考虑，因为7m不可能从55h
km/。

A5—A6与A13—A14
km/加速到80h
中的节能运行曲线仿真出来如图10、11所示。

图10 A5—A6站间最节能的运行距离速度曲线
图11 A13—A14站间最节能的运行距离速度曲线
3.3.2 问题（二）（1）建模与算法
将题中的条件与所求总结模型： 目标函数：min ∑∑==-=
100
2
21001
1j j
i i E
E E ;
∑=100
1
1i i
E
为列车正常行驶的耗能，
∑=100
2
2j j
E
为后面99
辆列车得到前车制动时转换的能量。

；
；
约束条件为：
[][]⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤=≤∈∈==∑∑==;
);2min(;;
;2086;63900max lim max min,max
min,100
1
100
1a a LBe V V V H H H D D D t H line it i i i i ； 后车制动-前车牵引模型：图12阐述了再生制动能产生和利用的匹配原理。

再生制动能的利用率与列车运行的关系为：后车制动时前车恰好牵引，前车制动时后车恰好牵引。

根据列车运行的时间关系可以得到以下几个基本公式：
8929
102452853418374),max(),min(t t T t t T t t T t t T t t T t t t t T ac d s
f z c -=-=-=-=-=-=
由上组公式可得
⎩⎨⎧-=+-=+3
51
28
102
2t t T T t t T T z s ac d 上式为后车制动-前车牵引模型。

图2 后车制动—前车牵引分析
从上面的分析可知，如果可以同时满足38t t ≥，77t t ≥，105t t ≥，116t t ≤则可以视为再生制动能充分利用的理想情况。

取这两个模型的边界情况，令模型一种后车制动时刻和前车牵引时刻相同即t 8=t 3，模型二中前车制动时刻和后车牵引时刻相同即t 5=t 10, 则有t 5-t 3=t 10-t 8。

结论：当且仅当2
221ac d s z f T T T T T +=+=时再生制动能的利用率最大：本文中
只考虑最理想的状态。

针对上述理论模型的复杂度，选择经典的博弈论来进行节能寻优。

博弈论的基本要素是：（1）局中人；（2）策略集；（3）收益函数。

局中人的数量为100个，各局中人为：1车，2车，…，100车。

策略集为：{}n j c c c C ,,,21 =，该策略集为某一运行区间的策略集，其中策略集取决于时刻表约束和该运行区间的具体线路条件，故这一策略集是这100辆车在某一运行区间共有的策略集，其中i =1,2,…,100.同时每一个c j 对应着一条列车区间运行曲线l j , 其中j =1,2,…,n ,对应于C j 的运行曲线集合为：L j ={l 1,l 2,…,l n }。

收益函数：E al =E 1+E 2+...+E 100, E al 为全线总能耗，E i 为某一车的总能耗，i =1,2, (100)
收益函数1：V al =V 1+V 2+...+V 100, V al =min E al ,V i =min E i 。

B al =B 1+B 2+...+B 100, B al 为全线列车总共利用的再生制动能，B i 为某一车总共利用的再生制动能，i =1,2, (100)
收益函数2：U al =U 1+U 2+…+U 100, U al =max B al , U i =max B i 。

注：B ri ≥B i , Br i 为
某一列车制动能产生的能量，i=1,2, (100)
下面是算法的简易流程图。

图13 算法流程图
3.3.3 问题（二）（1）结果分析
根据上文中针对此题分析的建模与算法，100辆列车运行最后得到的总能耗总耗能约为4.73727
10
KJ。

为了更好的了解出列车的运行情况，特提取中间第49辆车的运行情况，各阶段运行时间与节能前后能耗的具体数据详见表4。

从表中数据分析看，一般站间的运行是相似的，而上文中提出的三个特殊情况由于路程较大比较发现需均加上了巡航阶段以满足要求，基本情况均与上文分析中是相符的。

另外，为了了解最优的发车间隔时间，特提取每次的发车间隔时间H制成表格统计至表5中，具体数据见表5。

表4 其中第49辆列车运行情况说明表
起点终点时间
（s）牵引
时间
制动
时间
巡航
时间
不节能耗能
最小值
理论回收能量
的最大值
节能消耗能量
的最小值
A1 A2 112 26 15 0 29905.488 5928.923077 23976.56492 A2 A3 112 21 10 0 29372.085 4806.428571 24565.65643 A3 A4 163 20 18 50 36136.962 4470.552 31666.41
A4 A5 158 19 15 56 37872.486 3711.387833 34161.09817
A5 A6 172
25 10
34 50409.639
3815.61674
46594.02226
A6 A7 110 23 14 0
30166.515
6310.043478
23856.47152
A7 A8 110 22 12 0 26572.374 4980.763636
21591.61036
A8 A9 113 27 14 0 31316.256 5580.088889 25736.16711 A9 A10 109 13 10 0 28275.597 7474.384615 20801.21238 A10 A11 164 24 18 39 36895.599 4814.772152 32080.82685 A11 A12 173 28 11 22 51264.306 4703.461165 46560.84483 A12 A13 109 21 11 0 29617.398 5331.228571 24286.16943 A13 A14 168 32 15 63 60704.928 4482.979943 56221.94806
表5 题目中H从1到99的各值
1~11 12~22 13~23 14~24 15~25 16~26 17~27 88~28 89~99 632 645 646 640 643 648 645 649 649 644 640 644 649 641 646 647 645 642 641 644 648 643 649 643 646 643 640 650 648 640 644 644 645 646 641 648 649 645 647 640 643 649 649 642 645 656 640 646 650 647 649 649 640 648 647 645 644 648 647 647 643 647 646 644 645 646 649 645 640 648 647 645 649 648 642 649 646 649 649 644 650 645 647 647 645 647 646 642 650 649 646 648 642 643 642 643 647 649 641
3.3.4 问题（二）（2）分析
3.3.5 问题（二）（2）建模与算法
3.3.6 问题（二）（2）结果分析
3.4 问题（三）分析与方案
问题分析：假设第i辆车与第i-1辆车之间的发车时间间隔为，则当第i-1辆
车发生延误时，间隔时间就变为了，所以后一辆车与前一辆车之间的距
离也变为了()，所以第i辆车的当前速度有很大的可能受到影响，如果需要让后续的车辆尽快的回复正点运行，则必须从第i辆车开始首先尽最大可能的提前发车，如果提前发车仍然不足以“抵消”（严重延误），则需要尽可能的减小车辆在行进过程中的时间。

具体的方案大致如下：如果第i-1辆车的延误只是普通延误，则只需要将第i辆车在下一站的出发时间提前（<10s），这样就能使第i+1辆车及以后的车辆恢复正常运行；如果是严重延误，则需要修改第i辆车在最近一个区间的行驶工况，减少其惰行的时间，增加巡航或者牵引的时间，同时如果，第i辆车以最快速度通过相邻区间都无法“消除”延误时间，则需要更改第i+1辆车的出发时间，甚至是其在相邻区间的行驶工况，直至以最少的车辆去将延误时间“消除”。

图XXX 问题3方案流程图
4.全文评价与创新点附录XXX 问题一（1）中的算法部分主要程序
附录XXX 问题一（A）中μ的各个时刻取值
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