推理的几种基本方法 (1)

备课笔记
课题序号§13.2 授课班级0965 / 0971/0952 授课课时2课时授课形式新授
授课章节
名称
推理的几种基本方法
使用教具幻灯片多媒体
教学目的
通过学习合情推理的方法使学生对学习数学产生兴趣，形成一定的创造性思维能力及创造的欲望，能从教学案例中学到一些合情推理的具体方法。

理解演绎推理的涵义及其常用结构（三段论），体会在证明和计算过程中所用到的演绎推理模式，并逐步形成良好的演绎推理习惯及较强的逻辑思维能力。

理解数学归纳法的原理和一般步骤，会用数学归纳法证明一些简单的关于自然数n的命题。

教学重点
1.合情推理与演绎推理的一般的方法
2.归纳推理与类比推理在数学发现中的应用
3.演绎推理的一般形式及其应用
4.数学归纳法的原理与应用
教学难点1.归纳推理与类比推理在数学发现中的应用
2.演绎推理的一般形式及其应用
3.数学归纳法的原理与应用
更新、补
充、删节
内容
无
课外作业指导用书
教学后记
兴趣是最好的老师，在教学中要注重培养学生学习数学的兴趣让他们参与到用合情推理发现数学的过程中来。

授课主要内容或板书设计
§13.2双曲线的标准方程
1.几种主要的逻辑推理
简单的说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类。

定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程。

定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

（1）归纳推理
定义：归纳推理（简称归纳）是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式。

如果仅能对部分事实验证结论，则叫做不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做完全归纳法。

结论：不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必正确；
完全归纳法得出的结论是确凿可信的。

（2）类比推理
定义：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式。

（3）演绎推理
定义：演绎推理是由一般性的命题严格的推出特殊性命题的一种推理模式，主要用于证明给定的结论。

演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式。

三段论可以表示为：
一个一般性原理（大前提）：M——P（M是P）；
一个特殊情况（小前提）：S——M（S是M）；
结论：S——P（S是P）。

2.数学归纳法：数学归纳法是一种完全归纳法，由以下三步构成：
（1）验证命题p当n=1时为真；（2）设当n=k时p为真；
（3）证明当n=k+1时p为真，则p对一切正自然数n∈N+为真。

课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤
一导入
二新课讲授（双向沟通）三小结
“若p，则q”形式的数学命题的建立，命题是否为真的判定，都需要一个逻辑推理过程。

根据命题不同，证明的方法也各不相同。

这种推理、证明方法，也就是所谓逻辑思维。

在学习和掌握数学命题本省的同时，了解和学习逻辑推理过程、证明方法，有助于我们建立正确的推理方法，提高我们的逻辑思维能力。

3.几种主要的逻辑推理
简单的说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类。

定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程。

例如：①哥德巴赫猜想：大于4的偶数都可以表示为两奇素数之和。

6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7；……...
到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明，所以未必正确。

定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

（1）归纳推理
定义：归纳推理（简称归纳）是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式。

如果仅能对部分事实验证结论，则叫做不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做完全归纳法。

不完全归纳法举例：②给出数列前几项{a n}={2,4,6,8……}，
,......}
16
7
,
8
5
,
4
3
,
2
1
{
}
{
b n，要求写出数列的通项。

答：通项为n a n 2=，212n n n b -=（n=1，2，3，………） ③十七世纪数学家费马归纳出的猜想：)(122N n n
a n ∈+=是一个素数。

可验证当n=0，1，2，3，4时这个猜想是正确的但n=5时它是错的。

④结论：三角形的内角和为180°
结论：不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必正确；
完全归纳法得出的结论是确凿可信的。

练习:P18/1,2,3,4,5
（2）类比推理
定义：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式。

类比推理从已知规律探索和发现未知的规律，所得的结论也是一种猜想，属于合情推理。

例如：
正方形（边长为a ）
正方体（棱长为a ） 四边相等，邻边垂直
六面全等，邻面垂直 面积a 2
体积a 3 周长4a
表面积6a 2 对角线长a 2
体对角线长a 3 周长一定的矩形中，正方形面积
最大
表面积一定的长方体中，正方体体积最大 有内切圆（半径为2
a ） 有内切球（半径为2a ） 正方形内切圆的内接正方形面积为原正方形面积的21 正方体内切球的内接正方体表面积为原正方体表面积的
31
正方形的对称轴有4条？
（3）演绎推理
定义：演绎推理是由一般性的命题严格的推出特殊性命题的一种推理模式，它主要用于证明给定的结论。

演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式。

三段论可以表示为：
一个一般性原理（大前提）：M——P（M是P）；
一个特殊情况（小前提）：S——M（S是M）；
结论：S——P（S是P）。

例1已知f（x+3）=2x2-1，求f（0），f（x）。

解：对任意实数x，f（x+3）=2x2-1（大前提）
取x=-3（小前提），则
f（-3+3）=f（0）=17.（结论）
对任意实数x，f（x+3）=2x2-1
令x+3=t，即取x=t-3（小前提），则
f（t）=2（t-3）2-1=2t2-12t+17.(结论)
对任意实数t，f（t）=2t2-12t+17（大前提）
取t=x（小前提），则f（x）=2x2-12x+17（
例2求证：函数f（x）=x4+2x2-1的图像关于y轴对称。

证明：f（x）的定义域为R。

当x∈R时，
f（-x）=（-x）4+2（-x）2-1= x4+2x2-1= f（x）
所以f（x）为偶函数，
又因为偶函数的图像关于y轴对称，所以函数f（x）的图像关于y轴对称。

分析：先证得f（x）为偶函数的结论，使“f（x）的图像关于y轴对称”这个特殊问题与“偶函数图像关于y轴对称”这个一般性命题建立了联
系。

练习：P22/1
4. 数学归纳法
数学归纳法是一种完全归纳法，由以下三步构成：
（2） 验证命题p 当n=1时为真；
（3） 设当n=k 时p 为真；
（4） 证明当n=k+1时p 为真，则p 对一切正自然数n ∈N +为真。

这种方法适用于与自然数n 有关的命题的完全归纳。

例3：n=1时，a 1=a 1+（1-1）d=a 1，公式是正确的。

设当n=k 时公式正确，即a k =a 1+（k-1）d ，则当n=k+1时a k+1=a k +d 由归纳假设，a k+1=[a 1+(k-1)d]+d=a 1+kd=a 1+[(k+1)-1]d 所以当n=k+1时公式也是正确的。

例4证明对一切正自然数n ∈N +，12+22+32+……+n 2=6
1n （n+1）（2n+1） 证明过程（略）
练习：P24/1,2
提问：本堂课主要学了哪几种推理的方法？。