极限求法总结

极限的求法1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、 利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限[3] 12、利用中值定理求极限 13、 利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限 15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限1、利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：()0lim x x f x A →=的ε-δ 定义是指：∀ε＞0， ∃δ=δ(0x ，ε)＞0，0＜|x-0x |＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对0x 的邻域半径适当限制， 如然后适当放大｜f(x)-A ｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：｜x+a ｜=|(x-0x )+(0x +a)|≤|x-0x |+|0x +a|＜｜0x +a ｜+δ1 域|x+a|=|(x-0x )+(0x +a)|≥|0x +a|-|x-0x |＞|0x +a|-δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-0x |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.例：设lim n n x a →∞=则有12 (i)nn x x x a n→∞++=.证明：因为lim n n x a →∞=,对110()N N εε∀>∃=，,当1n N >时，-2n x a ε∣∣<于是当1n N >时，1212......n n x x x x x x na a n n+++∣+++-∣∣-∣=0ε<<1其中112N A x a x a x =∣-∣+∣-∣+∣-α∣是一个定数,再由2A n ε<，解得2An ε>,故取12max ,A N N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭12...+=22n x x x n N n εεε+++>-α<当时，。

2、 直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为例 1. 求. 分析由于,所以采用直接代入法.解 原式=3、利用函数的连续性求极限定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义区间内的一点，则有)()(lim 00x f x f x x =→。

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果()f x 是初等函数，0x 是其定义域内一点，则求极限0lim ()x x f x →时，可把0x 代入()f x 中计算出函数值，即lim ()x x f x →=0()f x 。

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若()u x φ=在0x 连续且00()u x φ=，()y f u =在0u 处连续，则复合函数[()]y f x φ=在0x 处也连续，从而lim o x xof x f x φφ→[()]=[()]或lim lim x xox xof x f x φφ→→[()]=()。

例：2lim ln sin x x π→解：复合函数=2x π在处是连续的，即有2lim ln sin =ln sin ln102x x ππ→==4、利用单调有界原理求极限这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求lim ...n a a a →∞+解：令...n x a a a =+++，则1n n x a x +=+， a a a +>，即1n n x x +>，所以数列{}n x 单调递增，由单调有界定理知，lim ...n a a a →∞+有限，并设为A ，1lim lim n nn n x a x +→∞→∞=+，即114,2aA a A +++=A=，所以114lim (2)n aa a a →∞+++=。

5、利用极限的四则运算性质求极限定理[1]：若极限0lim ()x x f x →和0lim ()x x g x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[]0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±②[]0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅又若c ≠0，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x g x g x →→→=. 利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现00，∞∞，∞-∞ 等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。

变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例：求3131lim 11x x x→---（）解：由于当→x 1时，331x -与11x-的极限都不存在，故不能利用“极限的和等于和的极限”这一法则，先可进行化简23322313(1)(1)(2)(2)=111-(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x -++-++-==---++++这样得到的新函数当1x →时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即321131(2)lim =lim =111(1)x x x x x x x →→+---++（）例2. 求11lim2+-→x x x 。

解 11lim 2+-→x x x )1(lim )1(lim 22+-=→→x x x x 31=6. 利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

例：求214-7lim 32x x x x →-+解：当时1x →，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒数的极限2132lim =04-7x x x x →-+，故214-7lim =32x x x x →∞-+。

例5． 求极限分析因为不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形.解原式= (恒等变形)因为当时,, 即是当时的无穷小,而≤1, 即是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,得=0.7、无穷小量分出法求极限适用于分子、分母同时趋于,即型未定式例3．分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当时，分子、分母同时趋于，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.为什么所给函数中,当时，分子、分母同时趋于呢?以当说明：因为,但是趋于的速度要比趋于的速度快，所以.不要认为仍是(因为有正负之分).解原式 (分子、分母同除)（运算法则）（当时，都趋于.无穷大的倒数是无穷小.）8、消去零因子法求极限适用于分子、分母的极限同时为0,即型未定式例4．分析所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.解原式= (因式分解) =(约分消去零因子)=(应用法则)=9、 利用拆项法技巧求极限例6：))12)(12(15.313.11(lim +-+⋅⋅⋅++∞→n n n分析：由于))12)(12(1+-n n =)12112(1(21+--n n原式=21)1211(21)]121121()5131()311[(21lim lim =+-=+--+⋅⋅⋅+-+-∞→∞→n n n n n10、换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。

例: 求11lim ln x x x x x→-解：令1x t x =- 则ln ln(1)x x t =+10011limlim lim 1ln(1)ln ln(1)x x t t x t t x x t t→→→-===++ 例7 求极限 .分析当时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.解原式 == (令,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极限.)=.( 型,最高次幂在分母上)11、利用夹逼准则求极限[3]已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足： （1） ),3,2,1(,Λ=≤≤n z x y n n n ； （2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

则极限∞→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得n n n y x z ≤≤。

例：222111 (1)2n x n n n n=++++++，求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项2222111...n n x n n n n n n n n ≥+++=++++2222111 (111)1n n x n n n n ≤+++=++++则221n nnx n nn ≤≤++又因为22limlim1n n n n n n n→∞→∞=++，则lim 1n x x →∞=。

12、利用中值定理求极限(1)微分中值定理[1]：若函数()f x 满足①在[],a b 连续，②在(a ，b)可导； 则在(a ，b)内至少存在一点ε，使得'()()()f b f a f b a ε-=-。

例：求3sin(sin )sin limx x xx →-解：sin(sin )sin (sin )cos[(sin )]x x x x x x x θ-=-⋅⋅-+，(01)θ<< 3sin(sin )sin limx x xx →-＝3(sin )cos[(sin )]limx x x x x x x θ→-⋅⋅-+＝3cos 1cos 3limx x xθ→-⋅ ＝0sin 6limx xx→- ＝16-(2)积分中值定理[1]：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续； ()g x 在[],a b 上不变号且可积，则在[],a b 上至少有一点ξ使得()()()()()..,b baaf xg x f g x dx a b εε=≤≤⎰⎰例：求 40sin lim n n xdx π→∞⎰解：40sin lim n n xdx π→∞⎰＝sin (0)4lim n n x πξ→∞⋅⋅- (0)4πξ≤≤＝(sin )4lim nn πξ→∞=013、 利用罗必塔法则求极限定理[4]:假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）；则极限)()(limx g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(lim x g x f '' 。