怎样判定两个三角形相似

怎样判定两个三角形相似

如何正确理解与灵活应用有关相似三角形的各种判定方法，具有十分重要的意义，它与“判定两个三角形全等”构成了平面几何问题的两大基本思想体系，也就是说，平面几何中的大量问题，主要依赖于全等形或相似形求解．

1．利用“定义”判定两个三角形相似．

“对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形”．

相似三角形的定义属演绎性定义，又称实质性定义，定义指出这个概念区别于其他概念的主要特征．由于它从“等角”和“比例线段”两个方面在数量关系上作出了明确规定，所以，相似三角形的定义就成为判定两个三角形相似的最基本方法．也是推导其它判定方法的理论依据．(有些演绎性定义不能作为判定方法应用，例如平行线定义“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，由于无法从其他途径得知两条直线在同一平面内是否相交，故平行线的定义不能用来判定两条直线平行．)

根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似．

如图1，在△ABC和△A′B′C′中，

∵∠A=∠A′∠B=∠B′

∠C=∠C′

∴△ABC∽△A′B′C′．

这种判定方法正确无疑．但是由于它需要的条件太繁，应用时有不便之感，更主要的是它的实用价值不大．因此，人们不断研究、探讨，努力寻求只需少许条件，便能判定两个三角形相似，然后再利用相似三角形的性质，解决大量的实际问题，这是应具备的科学态度和思想方法．

2．利用“预备定理”判定两个三角形相似．

定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

如图2，若DE∥BC．则△ADE∽△ABC．

显然，定理的题设部分简单易得，只需要一条平行于三角形一边的平行线，即可获得相似三角形．

(1)定理证明的理论依据是“相似三角形的定义”．

(2)定理构成的特点决定了它在判定三角形相似问题中的重要地位．是否能在组合图形中迅速而准确地找到予备定理的基本图形，直接影响着解题思路的顺利进展．

(3)定理所需平行线大致有以下几种来源．

①利用同位角相等，内错角相等或同旁内角互补．

②利用比例线段．

③利用三角形中位线或梯形中位线．

④利用平行四边形对边平行或梯形的两底平行．

⑤结合题目的具体情况添加的辅助平行线．

[例1]已知：如图3，D是AB中点．CF∥AB， G、F、E、D在一条直线上．

分析：由已知CF∥AB，结合图形，应迅速准确地判断出△GCF∽△GAD，

△CEF∽△BED，从而可以获得比例式

再由D是AB中点，易知AD=DB，

证明：略．

求证：FE=FC

证明：略．

3．利用“三角形相似的判定定理”判定两个三角形相似

由以上分析看出，利用“予备定理”判定相似三角形的方法简便易行，但存在着一定的局限性．当题目中不能构成“予备定理”的基本图形时，应考虑利用三角形相似的判定定理．

三角形相似的判定定理不受“予备定理”基本图形的限制，是判定相似三角形的主要方法．首先应熟悉每个定理的题设和结论，牢记每个定理的构成特点．其次是能根据已知条件，配合与之相适应的定理．方能收到事半功倍的效果，特别要注意以下几点．

(1)判定定理1的题设简而明，所以这个定理的应用较为广泛．

当题目中出现一个等角时，应考虑到三种可能性：

①如能继续找到另一对等角，可利用判定定理1；

②如能继续找到等角的夹边成比例，可利用判定定理2；

③如果这对等角是直角，还可考虑用直角三角形相似的判定定理．

(2)判定定理3的题设比较单调，只需对应边的比例关系．所以这个定理的应用不广泛，必须使用时，条件也比较明显．

(3)判定定理2的题设要求比较高，既有等角，又有比例线段．而且必须满足夹等角的边对应成比例，所以使用这个定理时一定要注意落实题设的条件，不可粗心大意．

(4)有关直角三角形相似的判定，除上述定理外，应重视定理“直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似”的应用．

[例3]已知：如图5，AC⊥BE于C，EF⊥AB于F，且AF=FB

求证：FC2=FE·FD

分析：欲证FC2=FE·FD，

因为∠CFE=∠DFC是公共角，关键是能否再证出另一对角对应相等．

由AC⊥BE于C，EF⊥AB于F，易证∠E=∠A．

由CF为RtΔABC斜边AB上的中线，得∠A=∠FCD．

进而推出∠E=∠FCD．

根据三角形相似的判定定理1即可获证．

证明：略．

[例4]已知：如图6，∠BAD=∠BCE，∠ABD=∠CBE

求证：ΔABC∽ΔDBE．

分析：由∠ABD=∠CBE，易知∠ABC=∠DBE，但是，若想仿照例3的解法，在ΔABC和ΔDBE中获得另一对等角，却感到十分棘手．此时，应从已知两对角相等的条件，首先考虑到

△ABD∽△BECO（三角形相似判定定理1），借以得到比例式AB BD

AC BE

，从而可根据判定

定理2获证。

证明：略

求证：∠BAD=∠CAE

分析：根据三角形相似的判定定理3，首先证明ΔABC∽ΔADE，利用相似三角形对应角相等，得∠BAC=∠DAE

∴∠BAD=∠CAE

证明：略．