光学设计 第7讲 光的传播基本原理
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光学设计基础理论
第7讲 光的传播基本原理
1 几何光学基本定律 2 能量分配法则 3 物质光学性质 4 非成像光学原理
1 几何光学基本定律
1、光线
光线：一条携带能量并带有方向的几何线，它 代表光的传播方向。
光路：光线的传播途径。 光束：无数多条光线的集合称为光线束，简称
光束。光束包括平行光束、同心光束、像散光 束。
n2 n' 2
i0
arcsin(
1 na
当入射角 i i0 时，可以全反射传送
n2 n'2 )
当 i i0 时，光线将会透过内壁进入包层
1 几何光学基本定律
7、费马原理（ Fermat’s Principle ）
光程： 均匀介质中，光程表示光在该介质中走
过的几何路程 l 与介质折射率 n的乘积。
kN
k n12 n22 2n1n2 (Q2 Q1)
A (B C) B(A C) C(A B)
i2
n2Q2
i1
n1Q1
i1 i2 i2
n2
n12 n22 2n1n2 cos(i1 i2（) n1 n2,取正号）
极大值——凹球面反射镜
光具组后均应以相等的光程到
常 数——成像系统的物像关系 达像点 。
1 几何光学基本定律
由费马原理可以导出三个基本实验定律。 1．在均匀介质中，光程最小即为路程最小，
两点间的最小路程是直线——直线传播定律。 2．证明反射定律。 3．证明折射定律。 注意：费马原理只指出光在两点间的光程取极值
n1
理想光学系统物像之间的等光程性
理想光学系统成像时，物点s到像点S‘的个光 线的光程相等，请用费马原理解释
n
1 2
n
nL
P
s1
O1 O2
s2 P
d s1 s2
等光程面
物像对应只需单个反射面或折射面 该面＝物像共轭点的等光程面
x n1 M (x, y)
P O
P z
z n2
s
s
S 是一个焦点
解：S 发出的光波经 面折射后成 平面光，各折射光线路径是等光 程。
P(x, y)
n1SP n2PQ n1SO
上式化为 n1(x2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
z2 (n1 n2 )d 2 /(n1 n2 )
P
O
z n2
s
s
P
z
转而形成的曲面称为笛卡儿
卵形面，它就是PP等光程
面。此面只是轴上物点的等
光程面。
1 几何光学基本定律
8、马吕斯定律
光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保 持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对 应点之间的光程均为定值。
这种正交性表明，垂直于波面的光线束经过任意 多次折、反射后，无论折、反射面形如何，出射光 束仍垂直于出射波面。
ni
x x2 yA2
nt
x xB ( xB x )2 yB2
即： nisini ntsint
3、光程为极大、常值的实例 凹球面镜反射是一个光程为极大值的例子，APA’>AQA’； 椭球面是光程为常数的例子。
例 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。请用费马原理阐述其中原理。
6
1 几何光学基本定律
5、矢量表示
单位矢量：入射
Qi，反射
Qr1，折射
Qr
，法线
2
N
n1Q1 N n2Q2 N (n1Q1 n2Q2 ) N 0
直线传播 n1 n2
Q1 Q2
反射定律 n1 n2
Qi N Qr1 N
而不涉及光的传播方向。
20
▲ 费马原理的应用
1、由费马 原理导出反射定律
Q、P两点在反射面Σ的同一侧。P’是P点关于反射面的对称点 。P、Q、O'三点确定平面Π。直线QP'与反射面交于O点。则 易知QO+OP为光程最短的路径。
2、由费马 原理导出折射定律
Q、P分别在介质1和介质2
中，分界面为Σ。
1 几何光学基本定律
2、直线传播定律
在各向同性的均匀介质中，光线沿直线传播。 局限性：没有考虑衍射现象。
3、独立传播定律
不同的光源发出的光线在空间某点相遇时，彼 此互不影响，各光束独立传播。
局限性：没有考虑光的波动性质，干涉现象。
1 几何光学基本定律
4、反射和折射定律
（1）反射光线、折射光线在由入射光线和法线所决 定的平面内（称为入射面）
何路程不同，但光程相同。 P
Q
光实际传播的路径，是
与介质有关的。借助光程，可将光在各种介质中走过的路
程折算为在真空中的路程，便于比较光在不同
介质中传播所需时间长短。
1 几何光学基本定律
费马原理（即光程极端定律）：光从一点传播 到另一点，其间无论经过多少次折射和反射， 其光程为极值。或者说,光是沿着光程为极值 （极大、极小或常量）的路径传播的。
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线 抛物线性质
F N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知，
光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平
PMMA到空气：c
sin1( 1 ) 1.5
41.8
全反射现象
全反射的应用：
（1）制成各种全反射棱镜，用于折转光路， 代替平面反射镜。 （2）测液体折射率。 （3）制造光导纤维。
（4）TIR透镜。
光导纤维：由内层折射率较高的纤芯和外层折 射率较低的包层组成
进入光纤的光线在纤芯与包层的分界面上 连续发生全发射，直至另一端出射。
N r1
Qi
Qr1
Qr 2
折射定律
i1 i
Q1 N sin i1 Q2 N sin i2
n1sini1 n2sini2
1 几何光学基本定律
A (B C) B(A C) C(A B)
（1）反射
Q2 Q1 2 sin(i)P
Q1 i
- 2(Q1 N )N
i
Q1
Q2
1 几何光学基本定律
（2）折射
n1
n1Q1 N n2Q2 N
kN
n2Q2
n1Q1
(n2Q2
N
n1Q1
N
)N
(n2 cosi2 n1 cosi1)N
d
这就是反射定律。
费马原理的应用(2)——折射定律
折射定律的证明（取极小值）设A(0,yA)，O(x,0) ，B(xB，yB) y
Δ ni AO+nt BO
=ni x2 yA2 nt ( xB x )2 yB2
dΔ dx
=ni
2x x2
yA2
nt
2(x xB ) 0 (xB x)2 yB2
2 能量分配法则
光的偏振 菲涅尔公式
一：光的偏振
E
1、线偏振：
H
S
Y
Z
E
Ay
A Axi Ay j
O
Ax x E ( Axi Ay j) cos(t kz)
2、圆偏振光
E Exi Ey j
Ex Acos(t kz)
Ey
1 几何光学基本定律
9、光路的可逆性原理
若 光 线 在 折 射 率 为 n’ 的 介 质 中 沿 CO方向入射，由折射定律可知，折 射光线必沿OA方向出射。
同样，如果光线在折射率为n的介 质中沿BO方向入射，则由反射定律 可知，反射光线也一定沿OA方向出 射。
由此可见，光线的传播是可逆的， 这就是光路的可逆性。
Leabharlann Baidu
由曲线积分计算光程：s
B
ndl
A
n
B
dl
B
s A ndl 0
A
非均匀介质中的光线与光
程
光线沿光程为平稳值的路径而传播。 光程：
光在i介质中的光程等于在相同时间t内光线在真空中所走的路程。
平稳值的三种基本含义：
费马原理推论：物象等光程，
极小值——直线传播、反射、折射 即由物点发出的所有光线通过
从Q、P两点分别向Σ面做 垂 线 ， 垂 足 为 Q’ 和 P’ ， 则 平
h1
行线QQ’和PP’可以确定一个
平面Π。在Π上，O’为两平面
交 线 Q’P’ 外 任 一 点 ， 从 O’ 向
Q’P’ 做 垂 线 ， 垂 足 为 O ， 则
由Q到P的路径中，过O'点的
总比过O点的要大。即实际路
径一定在平面Π中。
6、全反射现象
在一定条件下，入射到介质上的光会全部反射回原来的介质 中，没有折射光产生，这种现象称为光的全反射现象。
n光密 n光疏
光疏介质
n光密 sinc n光疏 sin 90 n光疏
c
sin1( n光疏 ) n光密
发生全反射的条件： （1）光线从光密介质射向 光密介质
光疏介质； （2）入射角大于临界角。
Q1 N Qr1 N
N ((Qr1 Q1) N ) 0
Q2 Q1 -(2Q1 N ) N
Q2 Q1 2 - 2(Q2 Q1)N
- （2 1- cos( 2i)）N
Q2 Q1 -2 cos(i)N
n1MP n2MP n1s n2s
n1 (s z)2 x2 n2 (s z)2 x2 n1s n2s
或 n2 (s (s z)2 x2 ) n1(s (s z)2 x2 ) 0
x n1 M (x, y)
这样，得到的是一个四次曲 线方程，将此曲线绕光轴旋
（2）折射光线和入射光 线分居法线两侧
i1 i
i1
sin i1 n2 sin i2 n1
n1sini1 n2sini2
I
n
n’
I’
n<n’, I>I’
I n
n’ I’
n=n’, I=I’
I n
n’ I’
n>n’, I<I’
结论: 光在介质中传播时,有偏 向折射率较高一侧的趋势
s nl nvt ct
光在介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走过的 几何路程。
为什么要引入光程的概念？
例如：同频率的两束光波，分别在两种不同的介质
中传播，在相同的传播时间内，两光波所传播的几
何路程不同即：
t
l1
l2
l1
l2
v1
v2
c
c
有 n1l1 n2l2
n1
n2
可见，光在不同的介质中，相同的时间内传播的几
n' B
na
i0
n
i'0 A
2
i'0
S
练习：
i0 符合什么条件时 发生全反射现象？
na
i0
n' B
n
i'0
2
i'0
A
S
当
2 i'0
大于临界角时，就发生全发射。
根据折射定律，有：na sin i0 n sin i'0 n cos i'0 n'
可以得到：na sini0
O’P’=p h2
费马原理的应用(1)——反射定律
A与B时折射率为n的均匀介质
B 中的两点，有一光线APB，其
A
光程为：
a
i i’
xP
d
b
L(APB) n a2 x2 n b2 (d x)2
n
根据费马原理，这光程 应为极小，所以
dL
n
1
(a2
x
2
)
1 2
(2x)
n
1
[b2
1
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
中心 [n2d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a2 b2 2n2d /(n1 n2 ) 偏心率e n2 1
行光束。 抛物面与球面反射镜性能比较
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
(d
x)2
]
1 2
2(d
x)(1)
0
dx 2
2
dL
n
1
(a2
x
2
)
1 2
(2x)
n
1
[b2
(d
x)
2
]
1 2
2(d
x)(1)
0
dx 2
2
x
dx
上式可以写成：
a2 x2 b2 (d x)2
B
A
a
i i’
xP
由图可知：
sini sini '
b
n 即： i i '
第7讲 光的传播基本原理
1 几何光学基本定律 2 能量分配法则 3 物质光学性质 4 非成像光学原理
1 几何光学基本定律
1、光线
光线：一条携带能量并带有方向的几何线，它 代表光的传播方向。
光路：光线的传播途径。 光束：无数多条光线的集合称为光线束，简称
光束。光束包括平行光束、同心光束、像散光 束。
n2 n' 2
i0
arcsin(
1 na
当入射角 i i0 时，可以全反射传送
n2 n'2 )
当 i i0 时，光线将会透过内壁进入包层
1 几何光学基本定律
7、费马原理（ Fermat’s Principle ）
光程： 均匀介质中，光程表示光在该介质中走
过的几何路程 l 与介质折射率 n的乘积。
kN
k n12 n22 2n1n2 (Q2 Q1)
A (B C) B(A C) C(A B)
i2
n2Q2
i1
n1Q1
i1 i2 i2
n2
n12 n22 2n1n2 cos(i1 i2（) n1 n2,取正号）
极大值——凹球面反射镜
光具组后均应以相等的光程到
常 数——成像系统的物像关系 达像点 。
1 几何光学基本定律
由费马原理可以导出三个基本实验定律。 1．在均匀介质中，光程最小即为路程最小，
两点间的最小路程是直线——直线传播定律。 2．证明反射定律。 3．证明折射定律。 注意：费马原理只指出光在两点间的光程取极值
n1
理想光学系统物像之间的等光程性
理想光学系统成像时，物点s到像点S‘的个光 线的光程相等，请用费马原理解释
n
1 2
n
nL
P
s1
O1 O2
s2 P
d s1 s2
等光程面
物像对应只需单个反射面或折射面 该面＝物像共轭点的等光程面
x n1 M (x, y)
P O
P z
z n2
s
s
S 是一个焦点
解：S 发出的光波经 面折射后成 平面光，各折射光线路径是等光 程。
P(x, y)
n1SP n2PQ n1SO
上式化为 n1(x2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
z2 (n1 n2 )d 2 /(n1 n2 )
P
O
z n2
s
s
P
z
转而形成的曲面称为笛卡儿
卵形面，它就是PP等光程
面。此面只是轴上物点的等
光程面。
1 几何光学基本定律
8、马吕斯定律
光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保 持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对 应点之间的光程均为定值。
这种正交性表明，垂直于波面的光线束经过任意 多次折、反射后，无论折、反射面形如何，出射光 束仍垂直于出射波面。
ni
x x2 yA2
nt
x xB ( xB x )2 yB2
即： nisini ntsint
3、光程为极大、常值的实例 凹球面镜反射是一个光程为极大值的例子，APA’>AQA’； 椭球面是光程为常数的例子。
例 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后， 会聚于焦点F。请用费马原理阐述其中原理。
6
1 几何光学基本定律
5、矢量表示
单位矢量：入射
Qi，反射
Qr1，折射
Qr
，法线
2
N
n1Q1 N n2Q2 N (n1Q1 n2Q2 ) N 0
直线传播 n1 n2
Q1 Q2
反射定律 n1 n2
Qi N Qr1 N
而不涉及光的传播方向。
20
▲ 费马原理的应用
1、由费马 原理导出反射定律
Q、P两点在反射面Σ的同一侧。P’是P点关于反射面的对称点 。P、Q、O'三点确定平面Π。直线QP'与反射面交于O点。则 易知QO+OP为光程最短的路径。
2、由费马 原理导出折射定律
Q、P分别在介质1和介质2
中，分界面为Σ。
1 几何光学基本定律
2、直线传播定律
在各向同性的均匀介质中，光线沿直线传播。 局限性：没有考虑衍射现象。
3、独立传播定律
不同的光源发出的光线在空间某点相遇时，彼 此互不影响，各光束独立传播。
局限性：没有考虑光的波动性质，干涉现象。
1 几何光学基本定律
4、反射和折射定律
（1）反射光线、折射光线在由入射光线和法线所决 定的平面内（称为入射面）
何路程不同，但光程相同。 P
Q
光实际传播的路径，是
与介质有关的。借助光程，可将光在各种介质中走过的路
程折算为在真空中的路程，便于比较光在不同
介质中传播所需时间长短。
1 几何光学基本定律
费马原理（即光程极端定律）：光从一点传播 到另一点，其间无论经过多少次折射和反射， 其光程为极值。或者说,光是沿着光程为极值 （极大、极小或常量）的路径传播的。
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线 抛物线性质
F N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知，
光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平
PMMA到空气：c
sin1( 1 ) 1.5
41.8
全反射现象
全反射的应用：
（1）制成各种全反射棱镜，用于折转光路， 代替平面反射镜。 （2）测液体折射率。 （3）制造光导纤维。
（4）TIR透镜。
光导纤维：由内层折射率较高的纤芯和外层折 射率较低的包层组成
进入光纤的光线在纤芯与包层的分界面上 连续发生全发射，直至另一端出射。
N r1
Qi
Qr1
Qr 2
折射定律
i1 i
Q1 N sin i1 Q2 N sin i2
n1sini1 n2sini2
1 几何光学基本定律
A (B C) B(A C) C(A B)
（1）反射
Q2 Q1 2 sin(i)P
Q1 i
- 2(Q1 N )N
i
Q1
Q2
1 几何光学基本定律
（2）折射
n1
n1Q1 N n2Q2 N
kN
n2Q2
n1Q1
(n2Q2
N
n1Q1
N
)N
(n2 cosi2 n1 cosi1)N
d
这就是反射定律。
费马原理的应用(2)——折射定律
折射定律的证明（取极小值）设A(0,yA)，O(x,0) ，B(xB，yB) y
Δ ni AO+nt BO
=ni x2 yA2 nt ( xB x )2 yB2
dΔ dx
=ni
2x x2
yA2
nt
2(x xB ) 0 (xB x)2 yB2
2 能量分配法则
光的偏振 菲涅尔公式
一：光的偏振
E
1、线偏振：
H
S
Y
Z
E
Ay
A Axi Ay j
O
Ax x E ( Axi Ay j) cos(t kz)
2、圆偏振光
E Exi Ey j
Ex Acos(t kz)
Ey
1 几何光学基本定律
9、光路的可逆性原理
若 光 线 在 折 射 率 为 n’ 的 介 质 中 沿 CO方向入射，由折射定律可知，折 射光线必沿OA方向出射。
同样，如果光线在折射率为n的介 质中沿BO方向入射，则由反射定律 可知，反射光线也一定沿OA方向出 射。
由此可见，光线的传播是可逆的， 这就是光路的可逆性。
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由曲线积分计算光程：s
B
ndl
A
n
B
dl
B
s A ndl 0
A
非均匀介质中的光线与光
程
光线沿光程为平稳值的路径而传播。 光程：
光在i介质中的光程等于在相同时间t内光线在真空中所走的路程。
平稳值的三种基本含义：
费马原理推论：物象等光程，
极小值——直线传播、反射、折射 即由物点发出的所有光线通过
从Q、P两点分别向Σ面做 垂 线 ， 垂 足 为 Q’ 和 P’ ， 则 平
h1
行线QQ’和PP’可以确定一个
平面Π。在Π上，O’为两平面
交 线 Q’P’ 外 任 一 点 ， 从 O’ 向
Q’P’ 做 垂 线 ， 垂 足 为 O ， 则
由Q到P的路径中，过O'点的
总比过O点的要大。即实际路
径一定在平面Π中。
6、全反射现象
在一定条件下，入射到介质上的光会全部反射回原来的介质 中，没有折射光产生，这种现象称为光的全反射现象。
n光密 n光疏
光疏介质
n光密 sinc n光疏 sin 90 n光疏
c
sin1( n光疏 ) n光密
发生全反射的条件： （1）光线从光密介质射向 光密介质
光疏介质； （2）入射角大于临界角。
Q1 N Qr1 N
N ((Qr1 Q1) N ) 0
Q2 Q1 -(2Q1 N ) N
Q2 Q1 2 - 2(Q2 Q1)N
- （2 1- cos( 2i)）N
Q2 Q1 -2 cos(i)N
n1MP n2MP n1s n2s
n1 (s z)2 x2 n2 (s z)2 x2 n1s n2s
或 n2 (s (s z)2 x2 ) n1(s (s z)2 x2 ) 0
x n1 M (x, y)
这样，得到的是一个四次曲 线方程，将此曲线绕光轴旋
（2）折射光线和入射光 线分居法线两侧
i1 i
i1
sin i1 n2 sin i2 n1
n1sini1 n2sini2
I
n
n’
I’
n<n’, I>I’
I n
n’ I’
n=n’, I=I’
I n
n’ I’
n>n’, I<I’
结论: 光在介质中传播时,有偏 向折射率较高一侧的趋势
s nl nvt ct
光在介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走过的 几何路程。
为什么要引入光程的概念？
例如：同频率的两束光波，分别在两种不同的介质
中传播，在相同的传播时间内，两光波所传播的几
何路程不同即：
t
l1
l2
l1
l2
v1
v2
c
c
有 n1l1 n2l2
n1
n2
可见，光在不同的介质中，相同的时间内传播的几
n' B
na
i0
n
i'0 A
2
i'0
S
练习：
i0 符合什么条件时 发生全反射现象？
na
i0
n' B
n
i'0
2
i'0
A
S
当
2 i'0
大于临界角时，就发生全发射。
根据折射定律，有：na sin i0 n sin i'0 n cos i'0 n'
可以得到：na sini0
O’P’=p h2
费马原理的应用(1)——反射定律
A与B时折射率为n的均匀介质
B 中的两点，有一光线APB，其
A
光程为：
a
i i’
xP
d
b
L(APB) n a2 x2 n b2 (d x)2
n
根据费马原理，这光程 应为极小，所以
dL
n
1
(a2
x
2
)
1 2
(2x)
n
1
[b2
1
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
S 是一个焦点
椭圆的几何参量：
中心 [n2d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a2 b2 2n2d /(n1 n2 ) 偏心率e n2 1
行光束。 抛物面与球面反射镜性能比较
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z P A M
Q Q
s C n1 O O
n2 N N
(d
x)2
]
1 2
2(d
x)(1)
0
dx 2
2
dL
n
1
(a2
x
2
)
1 2
(2x)
n
1
[b2
(d
x)
2
]
1 2
2(d
x)(1)
0
dx 2
2
x
dx
上式可以写成：
a2 x2 b2 (d x)2
B
A
a
i i’
xP
由图可知：
sini sini '
b
n 即： i i '