初中数学变量与函数

初中数学--变量与函数

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14.1 变量与函数

重要知识点讲解

1、常量与变量

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。

2、函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。

3、在一个函数关系式中，如果当x a

=，那么b叫做当自变量的值为a时的

=时，y b

____________。

4、自变量的取值范围

确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。

5、函数的图像

（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。

（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；

（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。

（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。

答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。

重要知识点讲解

知识点一：变量和常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。

注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不

、、三者之间；

相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t

（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；

（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。

例1 写出下列各问题中所满足的关系式，并支出各关系式中，哪些是常量，哪些是变量。（1）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔n之间的关系；

（2）运动员在400m一周的跑道上训练，他跑一圈所用的时间()

v m s的关

t s与跑步速度(/)

系。

答案：（1）y与n之间的关系为：0.4

=，其中，常量为0.4，变量为y和n。

y n

（2）t 与v 之间的关系式为400

t v

=

，其中，常量为400，变量为t 与v 。 知识点二：函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，

y 都有唯一的值与其对应，那么就说x 为自变量，y 是x 的函数。

详解：例如，一列货车以80/km h 的速度匀速行驶，如果行驶了th ，那么路程80s t =（km ）。这时的速度80/km h 是不变的量，而t 和s 是变化着的量，

t 可以在非负实数范围内取任意值，对于t 的每一个确定的值，必可以求出唯一的一个确定的路程s 与之相对应，因此路程s 是时间t 的函数。

注意：对函数概念的理解，主要应该抓住以下五点：

（1）在某一个变化过程中必须有两个变量x 与y 。如3,5,4,x y x y xy +=-==225y x x =-+等。

（2）对于自变量x 的取值，必须使代数式有意义。如：21y x =+中的自变量x 可以在实数范围内取值；如21y x =-中的被开放书要满足210x -≥。另外，在实际问题中，自变量x 的取值必须使实际问题有意义。如多边形的内角和y 是变数n 的函数，即0(2)180y n =-?，如果只是从代数式有意义的角度来考虑，n 是可以取任意实数的，但我们知道多边形的边数

n 必须是大于2的正整数。

（3）函数的实质揭示了两个变量之间的对应关系：x 每取一个值，y 都有唯一的值与之相对应，否则y 就不是x 的函数。

（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该从自变量的取值范围，函数y 的取值范围、函

数解析式是否一致来判断。如：①y x =和②2

x y x =，其中①中的x 可以取任意实数，②中

的x 取不等于0的实数，所以y x =和2

x y x

=不是同一个函数。

（5）含有一个变量的代数式可以看作是这两个变量的函数。如35x +，我们可以将x 和x 看作两个变量，35x +随x 的变化而变化，x 在实数范围内每取一个值，35x +就有唯一的值与之对应，所以35x +是x 的函数。

例2 判断下面变量之间的关系是不是函数关系： （1）已知圆的半径2r cm =，则圆的面积2S r π=； （2）长方形的宽一定时，其长与周长； （3）王明的年龄和他的身高。

答案：（1）和（3）不是函数关系，（2）是函数关系。 知识点三：自变量的取值范围

函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义。 （1）当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取全体实数；

（2）当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值范围要使分母不等于零。

（3）当解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；

（4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义；

（5）自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。例如：2y x =-中，自变量x 的取值范围是0x =；33y x x =-+-中，自变量的取值范围是3x =。

（6）在一个函数关系式中，当自变量x 同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是使它们分别有意义的取值的公共部分。 例3 求下列函数中自变量x 的取值范围：

（1）23y x =-； （2）2341y x x =-+； （3）1

1

y x =+； （4）2y x =-； （5）3

x

y x =

+； （6）2

1

x y x +=

- 例4 已知：等腰三角形的周长为30cm ，设底边长为ycm ，腰长为xcm ，试写出y 关于x 的

函数关系式，并确定x 的取值范围。若底边长为6cm ，求腰长是多少？

答案：由题意，得230x y +=，所以302y x =-。由解析式本身有意义，得x 为全体实数。又由使实际问题有意义，则要考虑边长为正数，且要满足三角形三边关系定理。所以有： 002x y x y >??>??>?即030202302x x x x >??

->??>-?，解得7.515x <<。 当6y =时，3026x -=，解得12x =。所以腰长是12cm 。

知识点四：函数值

对于一个函数，当自变量x a =时，我们可以求出与它对应的y 的值，我们就说这个值是x a =时的函数值。

详解：（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值就是解方程。

（2）对于一个函数，可能有若干个函数值。x 取不同的值，函数值可能不相等。因此我们应该说明自变量x 取什么值时的函数值，如：函数3y x =-，当0x =时的函数值是-3，3x =时的函数值就是0.而不能简单地说函数3y x =-的函数值是-3。 例5 已知：函数1k y x =+，当2x =-时，3y =-。（1）求k 的值；（2）当1

2

x =时，求y 的值。

答案：（1）3k =；2y =； 知识点五：函数的表示方法

函数的表示方法，一般有三种：解析式法、列表法和图像法，其中解析式法应用较多。有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示。 详解：解析式（函数关系式）：用来表示的函数关系式的数学式子叫做函数解析式或函数关系式，例如以前我们学过的代数式都是解析式。

（1）解析式法：用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。解析式法能揭示变量之间的内在联系，便于我们研究、分析变化趋势，但较抽象，且并不是所有的函数都能列出解析式。如：人的体重和时间之间的函数关系，就很难用解析式法来表示。

（2）列表法：用表格来表示函数关系的方法，这种方法比较具体，但有时很难找出两个变量之间的内在联系。

（3）图像法：用图像来表示函数关系的方法，这种方法直观，通过图像可以直观地发现两个变量之间的对应关系及变化发展趋势，但不精确。

三种方法各有优缺点，在学习应用中，应视具体情况，选择适当的表示法，或将三种方法结合适用。

例6下列图形不能体现y是x的函数关系的是（）

答案：C

知识点六：图像的概念

一般地，对于一个函数，如果你把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。

详解：如：对于函数y x

=，在坐标平面内描出的横坐标和纵坐标相等的点。由几何知识（到一个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线）知，这样的点组成的图形是一条直线（第一、三象限角平分线），这条直线就是函数y x

=的图像，如下图所示。

函数图像上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图像的定义可知图像上任意一点(,)

P x y中，,x y是解析式方程的一个解。反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图像上。

通常判定点是否在函数图像上的方法：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数解析式，这个点就不在函数的图像上。说明：两个函数图像的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。

由于实际问题的制约，自变量的取值范围，应符合以下条件：①使函数表达式有意义；

②符合题意与实际情况。

例7 小明晚饭后出去散步，从家里出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明离家的距离y（米）与离家的时间x（分）之间的函数关系式是（）

答案：D

知识点七：由函数解析式画图像的一般步骤 （1）列表：列出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出对应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

注意：用描点法画函数图像应注意以下几点：（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图像能反映出函数的全貌。（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图像越准确。（3）连线时要用光滑的曲线把所描的点顺次连接起来。函数的图像可以是直线或者是射线或线段或曲线，它形象直观地反映两个变量之间的对应关系，在确定函数图像时要注意自变量的取值范围。 例8 画出函数21y x =-+的图像。

经典例题讲解

例1 ABC 底边BC 上的高是6cm ，当三角形的顶点C 沿底边BC 向点B 运动时，三角形的面积发生了变化，如图所示，

（1）如果三角形的底边BC 长为x cm ，那么三角形的面积2

ycm 可以表示为______________; （2）在这个变化过程中，常量是___________，变量是___________;

（3）当底边长从12cm 变化到3cm 时，三角形的面积从___2cm 变化到______2cm . 例2 下列式子中的y x 是的函数吗？为什么？

22

(1)=3- 5 ;(2) = -1 ; (3)-=0;

-2(4)=; (5)=--1 ; (6)=.

-1y x y x x y x y y x y x x 答案：（1）（2）（4）是，（3）（5）（6）不是。

例3 一水库的水位在最近6天内持续上涨，记录数据如下表所示：

n （天） 0

1 2 3 4 5 6

()h m

12 12.5 13 13.5 14 14.5

15

（1）由记录表推出这6天中水位()h m 随时间n （天）变化的函数解析式，并画出函数图像； （2）估计这种上涨的势头还会持续2天，试预测再过2天水位将达到多少米。

例4 如下图，在长方形ABCD 中，2,7,AB BC P ==是BC 边上与B 点不重合的动点，过点P 的直线交CD 的延长线与点E ，交AD 于点Q （Q 与D 不重合），且045EPC ∠=，设BP x =，梯形CDQP 的面积为y ，求当05x <<时，y 和x 之间的函数关系式。

例5 下图是古代一种计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，若用x 表示时间，y 表示壶底水面的高度，下列的图像适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）

答案：B

例6 如图，在矩形ABCD 中，=4AB ，=3BC ，点P 从起点B 出发，沿,BC CD 方

向向终点D 匀速运动。设点P 走过的路程为x ，则线段,AP AD 与举行围成的图形的面积为y ，下列图像中能大致反映y 和x 函数关系的是（ ）

答案：A

基础闯关全练

一、选择题

1、下列关于圆的面积S 与半径R 之间的函数关系2

S R π=中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）

A 、S ，2

R 是变量，π是常量

B 、S ，R 是变量，2是常量

C 、S ，R 是变量，π是常量

D 、S ，R 是变量，π和2是常量

2、下表是一项试验的统计数据，表示皮球从高处d 处落下时，弹跳高度b 的关系 d 50 80 100 150 b

25

40

50

75

下落高度d 与弹跳高度b 变化的关系式是（ ） A 、2=b d B 、=2b d C 、=

2

d

b D 、=+25b d 3、函数3-=

x

y x

的自变量x 的取值范围是（ ） A 、>3x B 、3x ≤且0x ≠ C 、3x ≤ D 、<3x 且0x ≠

4、如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是（ ）

5、如图，小亮在操场上完，一段时间内沿M A B M →→→的路径匀速散步，能近似画出小亮到出发点M 的距离y 与时间x 之间关系的函数图象是（ ）

6、向最大容量为60升的热水器