水平井渗流场的进一步探讨

2 2
( 2) =
向渗流 球面径 向渗流
等势线 面 1 ② ln 2Π x 2+ y 2
q
-
式 ( 2 ) 中, L
( x - s) 2 + y 2。
4Π
Q
1
x 2+ y 2+ z 2
④
从而得到 55 2 55 2 q ( 3) 〕+ 〔 〕= 5x 5y 2Π L R 由此可以得出结论: 平面椭圆渗流场的等速线 为卡西尼 (C assin i) 卵形线。 当 y = 0 时, 由式 ( 3) 得半平面的入流剖面, 再乘
a w
0
a
- a
w
百度文库
( 12)
式 ( 12) 最后一个等式, 揭示出三维椭球渗流场 的入流剖面为
v= Q 2s
( 13)
( x - s) 2 + y 2 + z 2。
从而求得 55 2 55 2 55 2 〕+ 〔 〕+ 〔 〕 5x 5y 5z Q 1 ( 9) = 4Π [ (L R ) 2 + ( x 2 + y 2 + z 2 - s2 ) L R ] 2 可见, 三维椭球渗流场的等速面既不是椭球面, 也不是卡西尼卵形线的旋成面。 将 s = 0 代入式 ( 9) , 得式③。 即, 三维椭球渗流 场能够包含球面径向渗流场作为其特殊情况, 与本 文第三部分的期望一致。 下面来求入流剖面。
v=
〔 -
显而易见, 式 ( 3) 在 s = 0 时, 正是式①。 这意味 着平面径向渗流场是平面椭圆渗流场的特例。 那么, 式③也应该是三维椭球渗流场的特例。 式 ( 3) 揭示了平面椭圆渗流场的等速线是卡西 尼卵形线这一重要特征。 而三维椭球渗流场的等速 面是否也具有这一特征, 有待于进一步探讨。 4 三维椭球渗流场
Ξ
收稿日期: 2009- 07- 26 作者简介: 齐成伟 ( 1983—) , 男, 汉族, 山东泰安人, 2007 年毕业于中国石油大学 ( 华东) 石油工程专业, 现就读于中国石 油大学 ( 北京) 研究生院。 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
194
内蒙古石油化工 2009 年第 24 期
面。 推导如下
2
∫2Πs
x1
x2
q
1+ y ’ x dx =
2
∫Π
x1 x2 x1
x2
q s- x
2 2
dx
( 16)
将直径为 2s 的球面向心渗流, 压缩成任一直径 所在的线汇, 也可得到三维椭球渗流场的沿程入流 剖面。 推导如下
Q = 4Π aw bw cw
( 11)
4 2 4
aw + y
4
2
= cw , 得 8
∫
Ν
∞
dΝ
( 6)
∫ ∫ 4ΠQ a b
0 0
w
Π2 Π2
1
2
w
aw bw bw + z
2 4 2
2
x
2
2
aw + y
2
4
2
bw
4
5= -
Q
2 2 2 式 ( 7) 中, Ν = {- aw - bw + x 2 + y 2 + z 2 + [ ( - aw 2 2 2 2 2 2 - bw + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 + 4bw x + 4aw ( - bw + y + 2 z ) ]} 2。 将 aw = s、 bw = 0、 cw = 0 代入式 ( 7) 得 Q 2s Q s ( 8) = 5= arctan h arctan h 4Π s L+R 4Π s a ( x + s) 2 + y 2 + z 2、 R = 式 ( 8 ) 中, L =
2009 年第 24 期 齐成伟等 水平井渗流场的进一步探讨 当水平井筒无限导流时, 假设水平井的等势面 为椭球面。由此, 水平井筒为细长旋转椭球面。井筒 半长轴记为 aw , 另两个正交的半短轴记为 bw 、 cw 。 在椭球坐标系中, 势 5 满足的L ap lace 方程为 d 2 2 2 d5 ) (Ν ) (Ν ) ]= 0 ( 5) [ (Ν + aw + bw + cw dΦ dΝ 解 ( 5) 得 5= C
2
2
s bw + s
2 2
〕 = 2Πrw 2s ( 19)
观察图 2 可以发现, 当 n →∞时入流剖面趋于水 平, 符合式 ( 13) 显示的特征。 那么是什么力量维持均 匀分布的呢? 均匀分布情况下, 偏离生产段中心位置 处其左右两侧产生的合速度怎么会等于零? 比较合 理的解释是, 水平井的细长椭球模型, 导致了这种结 果。 在细长椭球模型下, 端部井壁面积小于中部井壁 面积。 端部入流速度大, 但由于井壁面积小, 其流量 与中部相等。 可见, 椭球等势面假设具有很强的合理 性。 如果已知水平井沿程均匀入流, 容易求得
- 1 (n - 4) 2 - 1 (n - 5) 2 - 1 (n - 6) 2 : 1 12
- 1 (n - 3) 2 - 1 (n - 4) 2 - 1 (n - 5) 2 : 0 1 0
- 1 (n - 2) 2 - 1 (n - 3) 2 - 1 (n - 4) 2 : 1 - 2 1 1 1
4Π
2 2 aw - bw F〔 2 2 , arcsin 2 2 a w - cw aw - cw
2 2 aw - cw 〕 2 aw + Ν
( 7)
Π2
0
co s Η sin Η co s Υ sin Η sin Υ + sin Η dΗ dΥ 2 + 2 2
2 2
aw
bw
bw
=
Q Q ∫Q sin ΗdΗ=∫ d x =∫ d x = Q a 2a
192
内蒙古石油化工 2009 年第 24 期
水平井渗流场的进一步探讨
齐成伟, 师文静
Ξ
( 中国石油大学 ( 北京) 石油天然气工程学院, 北京 昌平 102249)
摘 要: 本文从点汇 ( 源) 与线汇 ( 源) 等速线 面的比较出发, 深入分析了平面椭圆渗流场和三维椭 球渗流场的入流剖面, 得出了重要结论。 最后, 作者提出了水平井势叠加构想, 对未来的研究指明了方 向。 关键词: 等速线 面; 茹科夫斯基变换; 卡西尼卵形线; 拉普拉斯方程; 产能公式; 无穷乘积 水平井的应用已经越来越广泛, 而其渗流场的 研究却一直处于拟三维[ 1～ 3 ] 的水平上。 笔者查阅了 大量的中外文献资料, 并经过深入研究, 对水平井渗 流场提出了全新的见解。 希望本文对水平井渗流场 的研究思路有所启发或者激发更多研究者的兴趣。 1 思想来源 平面径向渗流场的等压线和等速率线 ( 以下简 称 " 等速线" ) 都是以点汇 ( 源) 为中心的圆, 速率在等 压线上均匀分布。 球面径向渗流场的等压面和等速率 面 ( 以下简称" 等速面" ) 都是以点汇 ( 源) 为中心的球 面, 速率在等压面上均匀分布。而水平井的等压面和等 速面没有这样的一致关系, 从而导致了求解困难。 这样的差异, 预示着从等速面入手或许会有所 发现。 2 平面椭圆流动 ) 变换[ 4 ] , 可以把 通 过茹科夫斯基 ( Жу к о в с к и й 平面径向渗流场变换成平面椭圆渗流场, 并得到:
( 18) Φ i 5 i= ln th ( Φ i →∞时, 5 i →0 ) 4Π s 2 式 ( 18) 中, 等效半径 bw 通过细长椭球表面积与
4Π s
Q
a rctan h
s bw + s
2 2
圆柱井筒表面积相等得到, 即
2Π bw〔 bw +
图 2 三维椭球渗流场的沿程入流剖面
bw + s a rcsin s
(Ν + aw ) ( Ν + bw ) ( Ν + cw ) ) 。 于是得 利用边界条件容易定出C = - Q ( 8Π
2 2 2
193
由式 ( 7) 解出 55 5Ν , 代入式 ( 10) 得
vw = Q
4Π
ΓΦ
1
x
2
bw + z cw 令 x = aw co sΗ 、 、 、 y = bw sin Η co sΥ z = cw sin Η sin Υ bw
式 ( 19) 中, 由于 bw ν s, 反正弦部分可近似取为 Π 2。 于是, 可解得 ( 另两根已舍去) 2 ( 4- 3Π ) s2 1 3 ( 20) [ - 2s+ + ] bw = 3 3Π
2 2 2 式 ( 20) 中, = - 8s3 + 9Π 3Π s ( 6 rw + s) + 3 s 2 2 2 2 2 2 1 2 { [ 108 Π rw + 4 ( - 8+ 9Π ) rw s+ Π ( - 1+ Π ) s ]} 。 从而得到三维无界地层水平井的稳态产能公式 4Π s5 w ( 21) Q= 2 2 ( ) a rctan h s bw + s 5 水平井势叠加构想 在当前渗流力学文献资料上, 从未有人提过水
vw = -
55 5n
1 12 1 22 1 32 : 1
Ν = 0
=-
2
2 2 (Ν+ aw ) (Ν+ bw ) (Ν+ cw 2 ) 55 5Ν (Ν- Γ) (Ν- Φ )
Ν = 0
(10)
0 1 12 1 22 : 1 (n - 3) 2 1
-
1 12 0 1 12 : 1
… … … ω …
∫- s
s
Q
8Π s
(x - l) + y + z
2
2
2
dl = ±
8Π s
Q
ln
平井的势叠加思想。 接下来我们探索一下。
R ± ( x - s) L ± ( x + s)
( 15)
可以证明, 式 ( 15) 与式 ( 8) 相等。 这再一次呈现 出三维椭球渗流场具有均匀入流剖面特征。 水平井处于板状油藏中, 既不是平面椭圆渗流, 也不是三维椭球渗流。 可以认为水平井介于二维与 三维之间, 于是得出重要结论: 水平井中部入流量低 于端部入流量本质上是近二维效应。 经过仔细推敲, 可以发现一个规律。 假设有一口 直径为 2s 的无限长直井, 将井筒压缩成任一直径所 在的带面, 恰可得到平面椭圆渗流场的沿程入流剖
v=
〔 -
这是个出乎意料的结果。 油田生产数据表明水 平井生产段踵端和趾端的入流量大于中间部分的入 流量, 而式 ( 13) 显示出均匀的入流剖面。 到底是现场 数据不可靠, 还是椭球等势面的假设有问题? 为了解决这个疑难, 以下从最根本的概念出发 进行研究。 井筒无限导流等价于井筒等势, 即井筒内沿井 轴方向速度为零。将井筒均分为 n ( 偶数) 段, 当 n 足 够大时, 可近似认为每一段上均匀入流。 那么左侧第 1 ～ i - 1 段在第 i 段处的速度, 与右侧第 i + 1 ～n 段 在第 i 段处的速度相抵消。 i 从w 遍历到 n - 1, 可列 出n - 2 个方程。再加上总流量已知和入流剖面的对 称性, 可得到封闭的方程组。 其矩阵形式为
表 1 平面径 点汇的二维和三维渗流场 等速线 面 1 ① 2Π x 2 + y 2
q Q 1 ③ 4Πx 2 + y 2 + z 2
x
2
+
s sh ( 2Π 5 q)
2 2
y
2
= 1
( 1)
将 5 看作未知数, 解方程 ( 1) 得 5=
arccsch 2Π
q
( s 2 - x 2 - y 2 + L R ) ( 2y 2 ) = ( x + s) + y 、 R
2Π x 1
∫4Πs y
Q
2
x2
1+ y ’ x dx =
2
Q dx ∫ 2s
( 17)
绘出入流剖面, 如图 2。
在这个规律上, 平面椭圆渗流场与三维椭球渗 流场在几何学上呈现出完美的一致性。 同时, 这种一 致性使我们更加坚信均匀入流特征。 下面来求三维无界油藏的产能公式。 令 a = sch Φ 、 , 代入式 ( 8) 得到 b= s sh Φ 5w = Q
http://www.cnki.net
q1 q2 q3
0 0 0 = :
2 1
:
qn qn qn
( 14)
0
Q
(n - 2) 2 1
(n - 4) 2 1
… 1 - 1 0 0 … 0 应用M a tlab 7. 0 语言编制程序如下
0
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
s ch ( 2Π 5 q)
2 2
以 2 得整个平面的入流剖面 ( 见图 1)
v= q
Π s2 - x 2
( 4)
图 1 平面椭圆渗流场的沿程入流剖面
观察图 1, 得出结论: 平面椭圆渗流场的沿程入 流剖面呈中部低、 两端高的对称形态。 3 探索规律 为了方便对比, 将平面径向渗流场和球面径向 渗流场的等速线 面和等势线 面汇集成表 1。