变化率与导数及计算
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fx在一点x0处的导数 个别与 “导数” 导函数
基 础 知 识 梳 理 聚 焦 考 向 透 析 感 悟 经 典 考 题 课 时 规 范 训 练
一般 (4)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x ＝x0 处的函数值．
3．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α 是实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝a
【方法总结】 根据导数的定义，求函数 y＝ f(x)在 x＝x0 处导 数的方法是： (1)求函数值的增量 Δy＝ f(x0＋ Δx)－ f(x0)； Δy fx0＋ Δx－ fx0 (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)计算导数 f′(x0)＝liΔm x→0 Δx.
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【知识梳理】 1．平均变化率及瞬时变化率 Δy fx2－fx1 (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是 ＝ . Δx x2－x1 (2)f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
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公式和求导法则求导．
【解】
(1)法一：∵y＝ (3x3－4x)(2x＋1)
＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 法二：y′＝ (3x3－4x)′(2x＋1)＋ (3x3－4x)(2x＋1)′ ＝ (9x2－4)(2x＋1)＋ (3x3－4x)· 2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝ (x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x.
2．导数的概念 (1)f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 fx0＋Δx－fx0 ＝ Δx 处的导数，记作 f′(x0)＝ (2)导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数 值记作 f′(x)：f′(x)＝ fx＋Δx－fx ，则 f′(x)是关于 x 的 Δx Δy ，称其为函数 y＝f(x)在 x＝x0 Δx fx0＋Δx－fx0 . Δx
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考向一
导数的定义
(3)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝ x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2
1 1 ∴y′＝ x－ sin x ′＝x′－ (sin 2 2
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1 x)′＝ 1－ cos x. 2
x
导函数 f′(x)＝0 f′(xБайду номын сангаас＝αxα
－1
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f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝a ln_a f′(x)＝ex 1 f′(x)＝ xlna 1 f′(x)＝ x
x
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
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函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数．
(3)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 切线的斜率． (3)导函数也简称导数．所以
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【方法总结】
求导之前，应利用代数、三角恒等式变形对函
数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减 少差错； (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前 利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以 避免使用商的求导法则，减少运算量． (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的 基础． (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．
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【基础自测】 1 3 1．f′(x)是函数 f(x)＝ x ＋2x＋1 的导函数，则 f′(－1)的值为 3 ( ) A．1 B．3 C．1 或 3 D．4 解析：∵ f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3. 答案：B
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◆两个关系 (1)“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的关系 ①函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数； ②函数 y＝ f(x)的导函数， 是针对某一区间内任意点 x 而言的． 如 果函数 y＝ f(x)在区间 (a，b)内每一点 x 都可导，是指对于区间(a，b) 内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在 开区间(a， b)内构成了一个新函数， 就是函数 f(x)的导函数 f′(x)． 在 不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．
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1 2．曲线 y＝x －x在点(1,0)处的切线方程为(
2
)
A．3x－y＋3＝0 C．3x－y－3＝0
B．x＋3y－3＝0 D．x＋3y－1＝0
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2．(2013· 亳州月考)求下列各函数的导数： (1)y＝e · ln
x
2 1 1 x；(2)y＝xx ＋x＋ 3 ； x
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1 1．用导数定义求函数 f(x)＝ 的导数． x ＋2 Δy fx＋ Δx－ fx 解： ＝ Δx Δx 1 1 － x＋2＋ Δx x＋2 ＝ Δx x＋2－x＋2＋ Δx ＝ Δxx＋2x＋2＋ Δx －1 ＝ ， x＋2x＋2＋ Δx
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第11课时
变化率与导数、导数的计算
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1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， 1 y＝x，y＝ x的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
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◆一条原则 函数求导的原则： 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导 时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不 必要的运算失误．
1 解析：∵k＝ f′(1)＝2x＋ 2＝3，∴切线方程为 y＝3(x－1)，即 x 3x－ y－3＝0. 答案：C
3．已知函数 y＝ f(x)＝ 2x2 图像上一点 (1,2)及附近一点 (1＋ Δx,2 Δy ＋Δy)，则 等于( Δx )
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4.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)± g′(x)； (2)[f(x)· g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
fx f′xgx－fxg′x (3) ′＝ (g(x)≠0)． 2 g x [ g x ]
用导数定义，求函数 y＝ x在 x＝1 处的导数． 【审题视点】 利用导数定义求解．
【解】
∵ f(x)＝ x，
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∴ Δy＝f(1＋ Δx)－ f(1)＝ 1＋ Δx－1， 1＋ Δx－1 1＋ Δx2－12 Δy ∴ ＝ ＝ Δx Δx Δx 1＋ Δx＋1 Δx ＝ Δx 1＋ Δx＋1 1 ＝ . 1＋ Δx＋1 Δy 1 1 当 Δx→0 时， → ，∴ f′(1)＝ . Δx 2 2
x x (3)y＝x－sin cos ； 2 2 (4)y＝(
x＋1) 1 －1. x
解：(1)y′＝ (ex· ln x)′ 1 x 1 ＝e ln x＋ e · x＝ e ln x＋x.
x x
1 2 (2)∵ y＝x3＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 3. x x
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ln x′x2＋1－ ln x· x2＋1′ (3)y′＝ x2＋12 1 2 xx ＋1－2xln x ＝ x2＋12 x2＋ 1－2x2ln x ＝ . xx2＋ 12 (4)设 y＝ln u， u＝2x＋5，则 y′x＝y′u· u′x， 1 2 ∴y′＝ · (2x＋ 5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
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(2)曲线 y＝ f(x)在“点 P(x0，y0)处的切线与”过点 P(x0，y0)的切 线的关系 曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率 存在时，切线斜率为 k＝ f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝ f(x) 过点 P(x0， y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切点，也可 以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
A．3＋2Δx B．4＋Δx C．4＋2Δx D．3＋Δx 解析：∵ Δy＝2(1＋Δx)2－2＝2Δx2＋4Δx，
2 Δx 2Δx ＋4Δx ∴ ＝ ＝2Δx＋4，故选 C. Δy Δx
答案：C
4．(教材改编题)函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2 的导数为________． 解析：f′(x)＝ (x－a)2＋ (x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：3(x2－a2) 5．(2011· 高考江西卷改编)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)>0 的解集为________． 4 2x－2x＋1 解析：令 f′(x)＝ 2x－2－x＝ >0，解得 x>2. x 答案：(2，＋∞)
∴ f′(x)＝ liΔm x→0
Δy Δx
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－1 ＝liΔm x→0 x＋2x＋2＋ Δx 1 ＝－ . x＋22
考向二
导数的计算
求下列函数的导数．(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x； ln x (3)y＝ 2 ； x ＋1 (4)y＝ln(2x＋5)． 【审题视点】 观察所给的函数形式，化简变形后，利用导数
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一般 (4)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x ＝x0 处的函数值．
3．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α 是实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝a
【方法总结】 根据导数的定义，求函数 y＝ f(x)在 x＝x0 处导 数的方法是： (1)求函数值的增量 Δy＝ f(x0＋ Δx)－ f(x0)； Δy fx0＋ Δx－ fx0 (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)计算导数 f′(x0)＝liΔm x→0 Δx.
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【知识梳理】 1．平均变化率及瞬时变化率 Δy fx2－fx1 (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是 ＝ . Δx x2－x1 (2)f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
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公式和求导法则求导．
【解】
(1)法一：∵y＝ (3x3－4x)(2x＋1)
＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 法二：y′＝ (3x3－4x)′(2x＋1)＋ (3x3－4x)(2x＋1)′ ＝ (9x2－4)(2x＋1)＋ (3x3－4x)· 2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝ (x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x.
2．导数的概念 (1)f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 fx0＋Δx－fx0 ＝ Δx 处的导数，记作 f′(x0)＝ (2)导函数 如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数 值记作 f′(x)：f′(x)＝ fx＋Δx－fx ，则 f′(x)是关于 x 的 Δx Δy ，称其为函数 y＝f(x)在 x＝x0 Δx fx0＋Δx－fx0 . Δx
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考向一
导数的定义
(3)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝ x－sin cos ＝x－ sin x， 2 2 2
1 1 ∴y′＝ x－ sin x ′＝x′－ (sin 2 2
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1 x)′＝ 1－ cos x. 2
x
导函数 f′(x)＝0 f′(xБайду номын сангаас＝αxα
－1
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f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝a ln_a f′(x)＝ex 1 f′(x)＝ xlna 1 f′(x)＝ x
x
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
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函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数．
(3)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 切线的斜率． (3)导函数也简称导数．所以
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【方法总结】
求导之前，应利用代数、三角恒等式变形对函
数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减 少差错； (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前 利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以 避免使用商的求导法则，减少运算量． (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的 基础． (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．
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【基础自测】 1 3 1．f′(x)是函数 f(x)＝ x ＋2x＋1 的导函数，则 f′(－1)的值为 3 ( ) A．1 B．3 C．1 或 3 D．4 解析：∵ f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3. 答案：B
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◆两个关系 (1)“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的关系 ①函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数； ②函数 y＝ f(x)的导函数， 是针对某一区间内任意点 x 而言的． 如 果函数 y＝ f(x)在区间 (a，b)内每一点 x 都可导，是指对于区间(a，b) 内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在 开区间(a， b)内构成了一个新函数， 就是函数 f(x)的导函数 f′(x)． 在 不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．
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1 2．曲线 y＝x －x在点(1,0)处的切线方程为(
2
)
A．3x－y＋3＝0 C．3x－y－3＝0
B．x＋3y－3＝0 D．x＋3y－1＝0
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2．(2013· 亳州月考)求下列各函数的导数： (1)y＝e · ln
x
2 1 1 x；(2)y＝xx ＋x＋ 3 ； x
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1 1．用导数定义求函数 f(x)＝ 的导数． x ＋2 Δy fx＋ Δx－ fx 解： ＝ Δx Δx 1 1 － x＋2＋ Δx x＋2 ＝ Δx x＋2－x＋2＋ Δx ＝ Δxx＋2x＋2＋ Δx －1 ＝ ， x＋2x＋2＋ Δx
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第11课时
变化率与导数、导数的计算
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1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， 1 y＝x，y＝ x的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
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◆一条原则 函数求导的原则： 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导 时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不 必要的运算失误．
1 解析：∵k＝ f′(1)＝2x＋ 2＝3，∴切线方程为 y＝3(x－1)，即 x 3x－ y－3＝0. 答案：C
3．已知函数 y＝ f(x)＝ 2x2 图像上一点 (1,2)及附近一点 (1＋ Δx,2 Δy ＋Δy)，则 等于( Δx )
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4.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)± g′(x)； (2)[f(x)· g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
fx f′xgx－fxg′x (3) ′＝ (g(x)≠0)． 2 g x [ g x ]
用导数定义，求函数 y＝ x在 x＝1 处的导数． 【审题视点】 利用导数定义求解．
【解】
∵ f(x)＝ x，
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∴ Δy＝f(1＋ Δx)－ f(1)＝ 1＋ Δx－1， 1＋ Δx－1 1＋ Δx2－12 Δy ∴ ＝ ＝ Δx Δx Δx 1＋ Δx＋1 Δx ＝ Δx 1＋ Δx＋1 1 ＝ . 1＋ Δx＋1 Δy 1 1 当 Δx→0 时， → ，∴ f′(1)＝ . Δx 2 2
x x (3)y＝x－sin cos ； 2 2 (4)y＝(
x＋1) 1 －1. x
解：(1)y′＝ (ex· ln x)′ 1 x 1 ＝e ln x＋ e · x＝ e ln x＋x.
x x
1 2 (2)∵ y＝x3＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 3. x x
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ln x′x2＋1－ ln x· x2＋1′ (3)y′＝ x2＋12 1 2 xx ＋1－2xln x ＝ x2＋12 x2＋ 1－2x2ln x ＝ . xx2＋ 12 (4)设 y＝ln u， u＝2x＋5，则 y′x＝y′u· u′x， 1 2 ∴y′＝ · (2x＋ 5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
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(2)曲线 y＝ f(x)在“点 P(x0，y0)处的切线与”过点 P(x0，y0)的切 线的关系 曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率 存在时，切线斜率为 k＝ f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝ f(x) 过点 P(x0， y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切点，也可 以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
A．3＋2Δx B．4＋Δx C．4＋2Δx D．3＋Δx 解析：∵ Δy＝2(1＋Δx)2－2＝2Δx2＋4Δx，
2 Δx 2Δx ＋4Δx ∴ ＝ ＝2Δx＋4，故选 C. Δy Δx
答案：C
4．(教材改编题)函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2 的导数为________． 解析：f′(x)＝ (x－a)2＋ (x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：3(x2－a2) 5．(2011· 高考江西卷改编)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)>0 的解集为________． 4 2x－2x＋1 解析：令 f′(x)＝ 2x－2－x＝ >0，解得 x>2. x 答案：(2，＋∞)
∴ f′(x)＝ liΔm x→0
Δy Δx
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－1 ＝liΔm x→0 x＋2x＋2＋ Δx 1 ＝－ . x＋22
考向二
导数的计算
求下列函数的导数．(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x； ln x (3)y＝ 2 ； x ＋1 (4)y＝ln(2x＋5)． 【审题视点】 观察所给的函数形式，化简变形后，利用导数