二维射影对应

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高等几何复习课

（4）完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离.
（5）交比点列线束
λ µ λ µ
µ1λ2 λ1µ2 µ1λ2 λ1µ2
(λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 ) (λ1 − λ3 )(λ2 − λ4 ) (λ2 − λ3 )(λ1 − λ4 )
Γ'
σ :Γ → Γ'
满足
3. 代数定义如果两个一维基本形之间的一个对应 (1). σ : RP1 → RP1 为一个双射； (2). ∃A ∈ GL(2)，使得
σ :Γ → Γ'
满足
σ : RP1 → RP1，[x] a [ x '] = [Ax]，
则称σ为Γ到 Γ ' 的一个射影对应记作射影对应, 射影对应注射影对应与非退化矩阵
Γi
Γ
Γ1
L
Γn
Γ'
Γ'
则称由此决定的 Γ到Γ ' 的对应为一个射影对应记作 Γ 射影对应, 射影对应注射影对应成链
2. Steiner定义如果两个一维基本形之间的一个对应 (1). σ为一个双射； (2). σ使得任意四对对应元素的交比相等, 则称由此决定的 Γ到Γ ' 的对应为一个射影对应记作 Γ 射影对应, 射影对应注射影对应保交比
sin(l1l3 ) sin(l2l4 ) sin(l2l3 ) sin(l1lk4 )
(k1 − k3 )(k2 − k4 ) (k2 − k3 )(k1 − k4 )
4、大定理
Desargues Pappus Pascal Brianchon
定理定理

二维射影几何基本定理

二维射影几何基本定理
射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。

”。

《高等几何》复习大纲设计、样题及问题详解全

《高等几何》复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。

熟练掌握单比的定义和坐标表示。

2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。

3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。

二、考试内容1.单比的定义和求法。

2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。

3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。

射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。

2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。

3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。

4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。

5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。

二、考核内容1.中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。

2.笛萨格（Desargues）定理应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。

3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。

4.线坐标线坐标的计算及其应用。

5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。

射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。

2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。

3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。

4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。

5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。

二、考试内容1.交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。

2.完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。

3.一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。

4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。

6.射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。

7.一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。

6.4二维射影对应(变换)

存在, 使
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 | A E | f ( ) 0. (2.23)
§ 6.4 二维射影对应（变换）
定理4.2 射影变换有不变点的矩阵A有特征根. 推论4.3平面上任一射影变换至少有一个不变点.
注: 已知四对对应元素的坐标, 求射影对应式,与一维类似,
§ 6.4 二维射影对应（变换）
二、二维射影变换对于二维射影对应 : ', 若' =, 则称为二维射影变换. 注1 对于射影变换, (x1, x2, x3)与(x'1, x'2, x'3)为相对于上同一个射影坐标系的对应点坐标. 注2 射影坐标变换式(1.19)也可看做射影变换, 定理 2.29为推论1.7的推广.
注2. 因A是非异方阵, 可求出射影对应(2.21)的逆对
应.
1 : xi Aji x'j
j 1 3
(i 1, 2,3),| Aji | 0, 0
(1)
其中 =|A|/, Aji为aji的代数余子式. (Aji)=A*亦为非异方阵, 从而射影对应的逆对应仍然为射影对应.
§ 6.4 二维射影对应（变换）
注1 透视对应是特殊的射影对应, 反之未必. 注2 二维射影对应使得：点点; 直线直线. 因此, 也称此处的二维射影对应为直射(二维同素射影对应).
§ 6.4 二维射影对应（变换）
代数定义设在射影平面 , '上各取定了射影坐标系. 称由
x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3 ' x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x' a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3

高等几何课程标准

高等几何课程标准一、课程概况课程目标1：掌握射影几何的基本概念、基础知识与基本理论，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习建立良好的知识储备。

课程目标2:理解基本定理的证明过程，训练学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力，培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质，为后续专业课程、其它相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的能力基础。

课程目标3:使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、对立与统一等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点，提高学生的直观想象以及数学建模的能力，掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，为后续专业课程、其它相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的思想方法基础。

课程目标4:使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建瓶地掌握和处理中学数学教材；同时，通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习与职后发展的能力。

三、课程目标与毕业要求的关系、课程目标与毕业要求的对应关系1课程目标4:使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建箱德萨格定理及其逆定理、对偶原理、交比和调合比、一维射影坐标和一维射影对应（变换）的代数表示、二维射影变换和二地掌握和处理中学数学教材；同时，通过课前预习、课堂引导和维射影坐标、克莱因变换群观点、二次曲线的射影定义、二阶曲线与二级曲线、帕斯卡与布利安桑定理、极点与极线、配极启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习与职后发展的能力。

原则、二次曲线的中心和直径、二次曲线的渐近线。

同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。

参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。

九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下：十、持续改进根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。

高等几何_南京师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

高等几何_南京师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.射影平面上的任一个非恒同的二维射影变换最多有三条不共点的不变直线。

答案:正确2.在射影仿射平面上，有心非退化二阶曲线的两条渐近线必被任意一对相异的共轭直径调和分离。

答案:正确3.正方形的仿射对应图形是答案:平行四边形4.在射影仿射平面上，若非退化二阶曲线与无穷远直线相离，则该二阶曲线必是。

答案:椭圆5.对于非退化二阶曲线上取定的六个点，按其不同的次序最多可以得到多少条不同的Pascal线。

答案:606.在射影平面上，两个同类一维基本形之间的任一个射影对应必可表示为不超过两个透视对应的积。

答案:正确7.任一个非恒同的一维射影变换最多有两个相异的不变元素。

答案:正确8.在射影仿射平面上，非退化二阶曲线【图片】为双曲线的充要条件是其与无穷远直线交于两个互异实点。

答案:正确9.梯形两腰延长线的交点与对角线交点的连线上下底。

答案:平分10.设【图片】是点列【图片】的一射影变换，且【图片】为其两个互异的不变点，则【图片】是对合的充要条件是对【图片】的任一对互异的对应点【图片】，【图片】___________。

答案:-111.给定二级曲线【图片】与直线[1,2,3]，则曲线在该直线上的切点为(1,4,-3)12.点（6,4,1）关于二阶曲线【图片】的极线线坐标为答案:[15,23,14]13.二阶曲线【图片】与二级曲线【图片】是同一条二次曲线，则【图片】= 。

答案:14.给定二阶曲线【图片】与点（1,4,0）。

则此曲线过该点的切线线坐标为答案:[4，-1, 17] 和 [4, -1, -17]15.在射影平面上，按照射影分类，所有非退化二阶曲线可以分为几类？答案:216.射影平面上五条直线（其中无三线共点）可确定唯一一条非退化二级曲线。

答案:正确17.射影平面上任意五点可确定唯一一条非退化二阶曲线。

错误18.非退化二阶曲线的任一内接三点形每一顶点处的切线与对边的交点三点必共线。

167;13射影平面

图形Σ
作对偶变换
图形Σ'
互为对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例
(1) 点
(1)' 直线
(2) 点列(共线点集) l(P)
(2)' 线束(共点线集)
L( p)
(3) 点场(共面点集)
(3)' 线场(共面线集)
(4) 简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线构成的图形.
§ 1.3 射影平面
一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型三、射影坐标变换四、实射影直线(一维实射影空间)
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射影平面
实射影平面
三维实向量类: RP2 , (RP2 )*
复射影平面
三维复向量类: CP2 , (CP2 )*
实-复射影平面
将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为其子空间)，即带有虚元素的实射影平面
Desargues定理画图过程演示
提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.5 Desargues定理
今日作业 P.35: 1(图1.19, 1.22); 4; 5
祝同学们国庆节快乐！
The Class is over. Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和
若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargues 线.
有趣请问你是怎样画出这两个图的？
问题存在透视中心存在透视轴？
画图过程演示
§ 1.5 Desargues定理
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系

第三章射影变换

第三章射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。

然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。

§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。

交比又称交叉比和复比。

由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(，其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。

我们不难得出：（1）点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0；（2）点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0；（3）当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1；（4）当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。

定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即（AB ，CD ）=（CD ，AB ）证明由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即（AB ，CD ）=（BA ，DC ）定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解（P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。

南京师范大学《高等几何》课程教学大纲

南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。

本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。

通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。

如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。

（7）学会构造射影图形。

因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。

二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。

二维射影变换及其性质

二维射影变换及其性质王玮数学科学学院06050203摘要二维射影变换是射影几何的一个重要分支,重点研究的是点和直线在射影变换下的不变性.本文着重研究了二维射影变换下二重元素的分布状况及其特征性质,从理论上解决了二维射影变换二重元素的结构问题.另外本文对二维射影变换的对合性和变换式的求法进行了探索.二维射影变换式的求法在现行的教科书中涉及较少,本文通过具体例子来说明二维射影变换式的几种求法. 关键词：二维射影变换,对合对应,特征方程,特征根,交比,矩阵引言射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

一、二维射影变换定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'ϕππ→满足（1）ϕ为双射；（2）ϕ使得共线点变为共线点；（3）ϕ保持四点的交比不变，则称ϕ为点场π到点场'π的一个二维射影对应。

定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.定义 1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应()111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠*⎨⎪=++⎩为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换.定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换. 显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换. 二、二维射影变换式的求法二维射影变换式的求法在现行的射影几何教科书中涉及较少.本节通过具体例子说明二维射影变换式的求法.定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1,2,3,4i i P P i →= 定理 2.2设平面π上无三点共线()()()112321233123,,,,,,,,,P a a a P b b b P c c c()4123,,P d d d 和另外无三点共线的四点()()11232123'',',','',',',P a a a P b b b()()31234123'',',','',','P c c c P d d d 成射影对应,则存在而且只有一个射影对应ϕ,使得()()112233''1,2,3,4,','i i x x p p i x A x A x x ϕϕρδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中：112131122232132333''''''''''''''''''a b c a b c a b c λλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112131112223241122334132333112233,,'(1,2,3),''''''',i i a b c a b c BC i p p p p p a b c p p p λλλλλλδλλλλλλλλλλλδ--⎛⎫⎪===++= ⎪ ⎪⎝⎭++由确定，为一定常数.定理 2.3设共线四点的坐标为 ()()()112321233123,,,,,,,,,p a a a p b b b p c c c()4123,,,p d d d 则其交比为()412311112222,.11112222c ad b c a d b p p p p c b d a c b d a =定理2.4设射影标架{}123;A A A E =∑下（如图1）,任一点()123,,P x x x 在射影变换ϕ下的像点为()1123'',',',P x x x 则有()()131********:,'',''':x x A A E P A A E P x ===()()3232311231123',:,'',''':'x x x A A E P A A E P x x ===图 1A 1A A 3A'2A'3A'121. 举例（没有1哪来2 啊）下面举例说明二维射影变换式的求法.例 2.1 求射影变换,使点()()()()12341,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1P P P P 分别变换点()()()()1234'1,0,0,'0,1,0,'0,0,1,'1,1,1.P P P P解法1：把射影变换式设出,利用点之间的对应关系求出(),1,2,3ij a i j =之间的关系,进而求出射影变换式. 设所求的射影变换式为：111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩由()()()()()()()()1,0,11,0,0,0,1,10,1,0,1,1,10,0,1,0,0,11,1,1→→→→得()()()()111131************2123222232122234233133323333132334330010;2;30;400a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aρρρρρρ=+=+=++=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎩⎩⎩⎩ 由（1）、（2）、（3）、（4）解得112213233341232213140;;.a a a a a a a a a ρρ=========- 故所求射影变换式为：142431232414321334142433123''','''x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xρρρσρρρσρρρρσ=-+=-+⎧⎧⎪⎪=-+=-+⎨⎨⎪⎪=--+=--+⎩⎩即，01110110111--=≠--其中解法2：利用矩阵方法求射影变换式因为4123P P P P =+- ，即12311 1.λλλ===-，， 4123'''',P P P P =++ 即1'1λ=，23'1,' 1.λλ==从而100101010;011,001111B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1011101111C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以1A BC δ-==011101111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,其中1δ=.即所求的射影变换式为：1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中. 解法3：利用交比求变换式设射影变化将动点()123,,X x x x 变换为点()123'',','X x x x ,如图2所示图 2P 2P 3P 1直线13224,,PP P X P P 的线坐标分别为()()()3211,0,1,,,1,0,0x x x --.2P X与13P P 的交点E ,坐标为()11231,,x x x x x +-.2413P P PP 与的交点F ,坐标为（0,1,0）.根据定理 3有 ()2123131123101110,011110x x x x PP EF x x x x +-=+-.23123x x x x x -+=--+.直线23141,,P P PP P X 的线坐标分别为()()()21320,1,1,0,1,0,,,x x x x ---+-123P X P P 与的交点H ,坐标为()12322,,x x x x x --+--.()123132312312321010121,110011x x x x x x P P GH x x x x x x x ---+--+===---+--+- 由定理3.4得()()12132333'',;,''x x PP FE P P GH x x == 故所求射影变换式为1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中.三、二维射影变换的二重元素定义3.1：二维射影变换的二重元素,就是指经过二维射影变换后不变的元素. 二维射影变换()111112213322112222333311322333'',0,0.1'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩存在二重元素的条件是它的特征方程()11121321222331323302a a a a a a a a a μμμ--=-存在.将方程（2）的特征根代入二重点方程组()()()()1111221332112222333113223330030a x a x a x a x a x a x a x a x a x μμμ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重点的坐标或二重点列的方程. 将特征方程（2）的根代入二重直线方程组()()()()1112123131212223231312323330040a t u a u a u a u a t u a u a u a u a t u -++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重直线的坐标或二重线束的方程. 二维射影变换的二重元素与特征根的关系特征方程（2）是一个关于u 的三次方程,它的三个根的情况有三种可能：三个单根或一个单根与一个二重根或一个三重根,二重元素的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是二重根（二重直线）还是二重点列（二重线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵D 来决定.111213212223313233(5)a a a D a a a a a a μμμ-=--（1）当系数矩阵的秩等于2,则可得一个二重点(二重直线). （2）当系数矩阵的秩等于1,则可得一个二重点列(二重直线束). 3.1特征根为三个根的情况当特征方程（2）有三个单根时,对于每个特征根,由方程组（3）可求出与之对应的一个二重点,则有三个不同的二重点,设为p 1, p 2, p 3;对偶地,由二重直线方程组（4）可求的三条二重直线,设为l 1, l 2, l 3.这三个二重点与三条二重直线之间有如下关系：由p 1, p 2为二重点,则直线p 1 p 2 必是一条二重直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p 1 p 2的对应仍是直线p 1 p 2 . 同理： p 3 p 2 、 p 3 p 1也是二重直线.因此,把特征根代入二重直线方程（4）中求出的三条直线l 1, l 2, l 3就是直线p 1 p 2、 p 3 p 2、 p 3 p 1.这样,当求出三个二重点p 1, p 2, p 3后,除了可以通过二重直线方程组（4）求二重直线,还可以用两点坐标之向量外积p 1× p 2、 p 3× p 2、 p 1× p 3求二重直线的坐标. 例3.1 求射影变换1122123123'4'63'x x x x x x x x x xρρρ=-⎧⎪=-⎨⎪=--⎩的二重元素. 解：由特征方程123410630,13 2.111μμμμμμ----=-==----=0得特征根:，，分别把特征根代入二重点方程()()()()()()121212340630001110165.10x x x x x x x μμμ--=⎧⎪-+=⎨⎪--+=⎩,得二重点坐标分别为，，，，，，把特征根分别代入二重直线方程组()()()[][][]123123346030110555610.10u u u u u u u μμμ-++=⎧⎪--+-=---⎨⎪-+=⎩,得二重直线坐标分别为，，，，，，这三条直线与三个二重点两两向量外积所得的直线相同()()[]()()[]()()[]001110110110165555165001610⨯=-⨯=-⨯=-，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况当特征方程（2）有一个单根及一个二重根时,对应于单根的必是一个二重点（二重直线）,但对于二重根却有两种情况：可能得到一个二重点（二重直线）或可能得到一个二重点列（二重线束）,这由系数矩阵（5）的秩来决定. 3.2.1系数矩阵的秩为2如果对应于单根的一二重点p 1,对应于二重根（系数矩阵（5）的秩为2）得另一二重点p 2,这时点p 1, p 2的连线必是两条二重直线l 1, l 2中的一条,而另一条二重直线也比过这两二重点中的某一点.对偶地,两条二重直线l 1, l 2的交点一定是p 1, p 2中的某一点,而且另一点也必定在此二直线中的一条上.因此只要把特征根代入求二重点和二重直线的方程组（3）,（4）中,就可以得到二重点和二重直线. 例 3.2.1 求射影变换11222323'26'2'3x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩的二重元素. 解：由特征方程123260020,32013μμμμμμ--===--=0得特征根:，（二重根）对应于µ1=3的一个二重点p 1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（5）得秩等于2,也得一个二重点p 2.对偶地,对应于这两个根有两条二重直线. 把µ1=3和µ2=µ3=2代入二重点方程组()()()()()1221223260200,0,1,1,0,0.30x x x p p x x μμμ-+=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩,得二重点分别为把µ1=3,µ2=µ3=2代入二重直线方程组()()()[][]112312320620,0,1,1,0,1,0.30l l μμμμμμμμ-=⎧⎪+--=-⎨⎪-=⎩得二重直线由此看到,p 1, p 2连线就是l 2,而直线l 2经过p 2,即l 1, l 2相交于p 2,而p 1在直线l 2上. 3.2.2系数矩阵的秩为1如果对应单根得一二重点p 1（二重直线l 1）,对应于二重根（系数矩阵的秩为1）得一二重点列l （二重线束o ）.这时二重直线l 1就是二重点列的底,而二重点就是二重线束束心o ,即l 1=l ,p 1=o ,因为二重点列上的点都是二重点,它们的底直线l 在射影变换中不会改变,从而成为二重直线.对偶地,二重线束束心o 在射影变换中不变,成为二重点.由此可知,在这种情况下,只要把特征方程（2）的根代入方程组（3）,就可以求出二重点与二重点列,则二重线束束心与二重直线也就得到了. 例3.2.2求射影变换11223223'''22x x x x x x x xρρρ=⎧⎪=⎨⎪=--+⎩的二重元素. 解：由特征方程123100010,2(1122μμμμμμ--===---=0得特征根单根），（二重根）对应于单根µ1=2得一二重点,对于二重根µ2=µ3=1,代入系数矩阵（5）, 其秩等于1,故得以二重点列. 把µ1=2,µ2=µ3=1代入二重点方程组()()()1211231231010(0,0,1)20.220x x p x x x x x x μμμ-=⎧⎪-=+-=⎨⎪--+-=⎩,得二重点列二重点列方程这时,在已知射影变换下,二重直线方程坐标是[1,2,-1],而二重直线方程的束心方程是：µ3=03.3特征根为三重根的情况当特征方程（2）的根式三重根时,对应于这个三重根也有两种可能：可能得到一个二重点（二重直线）,也可能得到一个二重点列（二重线束）.此时仍可用系数矩阵（5）的秩来判定. 3.3.1系数矩阵的秩为1如果把特征根代入系数矩阵（5）,得秩等于1,则对应于特征根有一个二重点列（二重线束）.这时二重线束的束心就在二重点列上.因此可通过二重点（二重直线）方程组得到二重点列（二重线束）. 例 3.3.1求射影变换11232233'2''x x x x x x x xρρρ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩的二重元素. 解：由特征方程1120010,1(001μμμμ--=-=0得特征根三重根）把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组()()()123223312010010x x x x x x x μμμ-++=⎧⎪-=+=⎨⎪-=⎩,得二重点列2 将µ1=1代入二重直线方程组()()()()11212313102100.1002010u u u u x x u u μμμ-=⎧⎪+-==+=⎨⎪+-=⎩,得二重线束的束心方程其中束心，，在点列上.3.3.2系数矩阵的秩为2如果把特征根代入系数矩阵（5）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个二重点及一条二重直线,二重点与二重直线之间具有结合关系.此时可通过求二重点（二重直线）方程组得到二重点（二重直线）的坐标. 例 3.3.2求射影变换11222333'''x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的二重元素。

射影。仿射变换的基本知识

射影变换的基本知识定义设为平面上的四个共线点，称两个单比和的比为这四点的交比或复比，记作，其中和称为基础点对，和称为分点对。

定义如果四点的交比，则称点对和调和分离点对和，或称点对与点对调和共轭，这时也称为的第四调和点，交比值称为调和比。

定理：中心射影保持共线四点的交比不变证明：如图为射影中心直线上任意四点在中心射影下的像分别是直线上的设的垂直于的高长度为，的垂直于的长度为则于是同理于是故定义如果平面上的点变换使共线三点还变成共线三点，并且保持共线四点的交比不变，称此变换为平面上的射影变换。

因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。

射影变换的基本不变性质：定理：平面上全部射影变换的集合构成群证明：（1）设是平面上的两个射影变换，是共线四点据定义有且且所以仍是射影变换（2）设是平面的上射影变换且且所以是射影变换故平面上全部射影变换的集合构成群称之为射影变换群，仿射变换群、相似变换群、正交变换群都是它的子群。

§2.6 几个重要的变换群下面讨论正交变换（运动）、相似变换、仿射变换、射影变换，以及它们的基本性质。

这些变换群可以决定四种不同的几何学，即欧氏几何学、相似几何学、仿射几何学和射影几何学。

一、正交变换群定义：平面上保持两点间距离不变的点变换称为正交变换或运动。

即将平面上的点建立一一对应，且对于平面上任意两点，若其对应点分别为，则对应线段的长度。

正交变换具有的基本不变的性质（1）正交变换把直线变成直线，并且保持点和直线的结合关系和共线三点的介于关系。

证明：设是直线上有序的三点，它们共线的充要条件为如果正交变换把它们依次变为，则有于是因此在同一直线上。

就是说，共线点变成共线点，直线变成直线。

（2）正交变换把不共线的点变成不共线的点证明：设为不共线三点，则三点不共线充要条件为如果它们依次变为，则有于是因此不共线由（1）、（2）知，正交变换把相交直线变成相交直线，把角变成角。

§ 13 射影平面

(1). 点x在直线u上 x在u上. (1)'. 直线u过点x u过x.
(对 uj xj 0两边取共轭即得结论)
(2). 虚点x在实直线u上 x在 (2)'. 虚直线u过实点x u过x. u上.
(3). 实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.
(3)' . 过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线.
u3 0.
(3) 无穷远直线上的点 (A, B,0)
Au1 Bu2 0.
(4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9
(1)' 直线 [A, B,C]
Ax1 Bx2 Cx3 0.
(2)' 无穷远直线 [0,0,1]
x3 0.
(3)' 过原点的直线 [A, B,0]
Ax1 Bx2 0.
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1、基本概念 2、对偶图形举例
3、作一图形的对偶图形例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12).
翻译
点 P,Q
2个直线 p, q
2条
直线 l, a,b,c, d
5条点 L, A, B,C, D
5个
关联关系 (1) P, Q在l上；
关联关系 (1) ' p, q过点L；
(2). 对偶运算过一点作一直线
在一直线上取一点
(3). 对偶变换互换对偶元素地位、作对偶运算
(4). 对偶图形在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系
构成的图形Σ，若将Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对偶运算(即对Σ作对偶变换)，则得到另一个图形Σ'. 称Σ、 Σ'为一对对偶图形.

平面射影几何中二维射影变换不变元素的分布

是不同于Ｚ与ｆ的不变直线．盾）矛．
３若Ａ：Ａ决定的矩阵（。：Ａ—Ａ）Ｅ的秩为ｌ此，时，＝Ａ决定无穷多个不变点，轨迹是一条不变Ａ：其
直线且就是ｆ；对偶地，＝Ａ也决定了无穷多条不Ａ：变直线，其交点是一不变点恰为Ｐ，时射影变换，此称为平面的同调，为同调的轴，Ｐ为该同调的中ｆ而
证明
点Ｐｙ，：Ｙ）为射影变换（）的不变（。Ｙ，１
点１Ｙ：３＝Ｙ：／ｙ甘存在ａ≠０使＝：２Ｙ：ｙ：／２３，
（ｉ＝ｌ２３ｙ：ａ，ｐ，，）ｙ记＝Ａ即（．Ａ—ｈ）ＥＹ＝
０有非零解（中表示三阶单位矩阵）Ｉ — 其甘
变直线均有无穷多个．
证明设厂Ａ（）＝（Ａ）Ａ— ：Ａ— （Ａ）＝０其中，
Ａ１ ≠ Ａ２．
１Ａ＝Ａ可决定一个不变点Ｐ与一条不变直。线ｆ
２若Ａ＝Ａ决定的矩阵（。：Ａ—ＡＥ）的秩为２则，
Ａ＝Ａ也决定一个不变点Ｐ与一条不变直线Ｚ这．时Ｐ，：Ｐ应处于２或Ｚ上，中一个是ｆ与ｆ的交其，点，因为Ｐ。鹾ｚ，而一定有Ｐ，２∈Ｚ（从，Ｐ：否则ｆ与Ｚ的交点是不同于Ｐ，：的不变点或Ｐ，２的连线，Ｐ。Ｐ
周明旺
（连云港师范高等专科学校数学系，江苏连云港２２０）２０６
摘
要：基于平面射影几何中二维射影变换不变元素的存在性及其求法，论了二维射影变换不变点与不变直线结合关系的讨

射影变换基础

1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质，这两个矩阵具有相同的特征值。再假定B1也为可逆矩阵，则相应的特征值不为0，因此根据特征值两两相除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不变量，当存在退化情况时，有一个特征值为0，因此只有一个不变量。
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换.
二维（高维）射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比）若A,B,C,D为直线L上任意四点，则下式定义的R称为交比(cross ratio)
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。如下图所示，平面上有两个线束O,O’，若它们所有对应线的交点共线，则称这两个线束的对应为中心射影。类似点列的射影变换，有限次中心射影的积称为线束间的射影变换。

射影公式与向量夹角

射影公式与向量夹角向量是数学中的重要概念，它可以表示空间中的方向和大小。

而向量夹角是指两个向量之间的夹角，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。

为了准确计算向量夹角，我们需要借助射影公式。

1. 射影公式的概念射影公式是指将一个向量在另一个向量上的投影表示出来的公式。

在二维空间中，我们可以使用向量的点乘来计算射影。

设向量A=(a₁,a₂)和向量B=(b₁, b₂)，则向量A在向量B上的射影表示为A₁=(a₁,a₂)·UnitB，其中UnitB是向量B的单位向量。

根据点乘的定义，我们可以得到射影公式A₁=(a₁, a₂)·UnitB=(a₁, a₂)·(b₁/|B|, b₂/|B|)，其中|B|是向量B的长度。

2. 向量夹角的计算在了解了射影公式的基础上，我们可以利用射影公式来计算向量夹角。

设向量A和向量B的夹角为θ，则向量A在向量B上的射影A₁的长度等于向量A的长度乘以向量A和向量B的夹角的余弦值。

即|A₁|=|A|cosθ。

另外，我们也知道向量A在向量B上的射影A₁的长度等于向量A在向量B上的投影的长度，即|A₁|=|A|sinα，其中α为向量A的方向和向量B的方向之间的夹角。

3. 应用举例通过射影公式和向量夹角的计算，我们可以在实际问题中应用它们。

例如，在力学中，当我们需要计算一个力在另一个力方向上的分量时，可以利用向量的射影来解决。

另外，在几何学中，当我们需要计算两个向量之间的夹角时，可以利用向量夹角的计算公式进行求解。

4. 总结射影公式与向量夹角密切相关，它们在数学、几何学和物理学中有着重要的应用。

通过射影公式，我们可以计算一个向量在另一个向量上的投影，而向量夹角的计算则可以帮助我们求解向量之间的夹角。

这些概念和公式的掌握对于进一步理解向量的性质和应用是非常有益的。

当我们在实际问题中遇到需要计算向量夹角的情况时，我们可以根据射影公式计算出向量在另一个向量上的投影，然后利用向量夹角的计算公式求解夹角大小。