对数正态分布参数的精确估计及其应用

2 72
辽宁科技大学学报
第 31 卷
2004, 331( 3 4) : 617- 638. [ 5] ZHI H, SHEN H. A better estimate of log normal means on pharmacokinetic data[ J] . Clinical Pharmacolog y & T herapeutics,
i3
1 n2
+
i4
1 n3
+
i5
1 n5
,
i=
1, 2, 3, 4。
T araldsen 通过数量上的模拟表明, 当样本容量很大时, Y + 与 Y * 近似相等, | ln( Y + ) - ln( Y * ) | <
0 07, 且
F
n2
1,
(
n
- 1) 4n
2
S
2
ex p
1 2
S 2F n(
S)
2004, 75( 2) : 42. [ 6] 胡晓华, 虞敏. 上海股市成交量服从( 或近似服从) 对数正态分布[ J] . 应用概率统计, 2005, ( 1) : 101- 105. [ 7] 卯诗松, 王静龙, 濮小龙. 高等数理统计[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 1998: 95, 96. [ 8] 范金成, 梅长林. 数据分析[ M] . 北京: 科学出版社, 2002: 3, 4.
1 2
r2
Fn
(
r)
其中: r 2 = ( mS ) 2 , 0< mS < 3。
同时得到, 对数正态分布的 m 阶中心距 U m = exp( m
m
)
(-
1)
j
C
j m
exp
j= 0
( m- j ) 2+ j 2
2
的修正极
大似然估计
U+m =
m
(-
1
)
j
C
j m
ex
p(
mX ) exp
j= 0
1 2
r2
Fn
(
r)
其中:
r2=
n n-
1
( m-
j) 2+
j-
m2 n
S 2, 0<
n n- 1
( m-
j) 2+
j-
m2 n
S< 3。
另外, 也得到对数正态分布的峰度
K=
U4
U
2 2
-
3=
exp( 4
2) -
ex p( 3
2) -
3exp( 2
2) -
6
的修正极大似然估计。由推论 1 分别令 a= 0, b = 2, 3, 4 可得。
Precise estimation and application of log normal distribution parameters
ZH A N G Zhi guo, CA O Yang, S UN Ping
( 1. School of Scien ce, U niversity of S cience an d Technology Liaoning, A nshan 114051, China; 2. Anshan T echnician College, Anshan 114001, China;
推论 1
exp( a + b 2) 的修正极大似然估计 exp( aX ) ex p
1 2
r2
Fn (
r)
,
其中
r2=
2
bn n-
a2 1
S
2,
n
2, 0<
2
bn n-
a2 1
S
<
3。
由推论 1 可得, 对数正态分布的 m 阶原点距 V m = exp
m
+
1 2
2 m2
的修正极大似然估计
V
+ m
=
ex p( mX ) ex p
271
矛盾; 同理, 总体的众数 ex p( 矛盾。总体的偏度
- 2 ) , 其中
r2 =
2bn n-
a2 1
S2
=
-
2n n-
1
1
S
2
<
0
S=
U3
U
3 2
2
=
[ exp(
2 ) + 2] [ exp(
2 ) - 1] 1 2 =
[ ex p( 2 ) + 2]
C
k 1
2
(
-
1) k [ exp(
2 ) ] 1 2- k
i
,
S2
=
1 n-
n
1i=
(
1
X
i-
X ) 2。
1 1 三种均值估计 Zhou 总结了均值三种常见的估计方法[ 1] , 即样本均值 Y ; 极大似然估计
Y^ =
ex p X +
1 2
nn
1S 2
一致最小方差无偏估计
Y * = ex p( X ) F
n2
1, (
n - 1) 4n
2
S2
其中: F [ a, b ] = j= 0 j !
( 1. 辽宁科技大学 理学院, 辽宁 鞍山 114051; 2. 鞍山技师学院, 辽宁 鞍山 114001; 3. 东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110003)
摘 要: 分析了两参数对数正态分布 均值四种常见的估计方法, 其中 Gunnar T ar aldsen 提出的 修正极大 似然
估计优于其他三种估计。在此基础上讨论了总体 m 阶原点矩和 m 阶中心矩以及峰度 的修正极大 似然估计, 而且 提出总体的中位数、众位数和偏度不存在修正的极大 似然估计, 并用 M athematica 4 0 对上海股票市 场的 大盘日成交量进行仿真分析, 结果表明与理论推 导完全一致。
-
k< 0 时
矛盾。
r2 =
2bn n-
a2 1
S2
=
2n
1 2
-
k
n- 1
S2 <
0
3 股票市场中的应用
A nt oniou, Zhi, Shen, 胡晓华等分别应用对数正态分布分析了相关数据[ 4- 6] , 其中, 胡晓华等利用 M at lab6 1 对上海股票交易所大盘日成交量( 单位: 百万股) , 时间为 2000- 2002 年 6 月 23 日两年半时 间, 共 584 个交易日进行统计分析, 表明股市大盘日成交量服从或近似服从对数正态分布。本文利用 M at hematica4 0 计算得到对数正态分布均值估计 Y = 1 290 0, Y^ = 1 285 32, Y * = Y + = 1 285 29; 峰 度估计 K^ = - 8 225< 0。仿真结果与前面的理论分析结果完全一致。
由推论 1 也可得出如下结论: 推论 2 总体的中位数、众数和偏度虽然也具有 exp( a + b 2 ) 的形式, 但是没有修正极大似然估
计。
证明 总体的中位数为 ex p( ) , 由推论 1 得
r2 =
2bn n-
a2 1
S2
=
-1 n-
1
S
2
<
0
第34期
张志国, 等: 对数正态分布参数的精确估计及其应用
=
k= 0
ex p
32 2
+
k= 1
( - 1) 2kk 22k- 1
1
C [ k- 1 2 k- 2
exp (
2 ) ] 3 2- k + 2exp
2
2+
k=
1
( - 1) 2 k- 1 k 22 k- 2
C
k- 1 2 k-
2

[
ex
p(
2 ) ] 1 2- k
由推论 1, 当 a=
0, b =
1 2
4结语
讨论了对数正态总体的 m 阶原点矩和 m 阶中心矩以及总体峰度的修正极大似然估计问题, 并应 用到上海股票市场的大盘日成交量, 得到了一些有价值的结论。在实际的应用当中, 有时两参数的对数 正态分布并不能对数据进行充分的描述, 因此还可以应用三参数对数正态分布处理股票市场的大盘日 成交量。
参 考 文 献:
[ 1] ZHO U X H. Estimat ion of the log nor mal mean[ J] . Statistics in M edicine, 1998, 17( 19) : 2251- 2264. [ 2] T ARAL DSEN G. A precise est imator for the log normal mean[ J] . Statistical M ethodolog y, 2005, 2( 2) : 111- 120. [ 3] 孙孝前, 陈学华. 对数正态分布参数的 U M V U E[ J] . 铁道师院学报, 1998, 15( 4) : 20- 24. [ 4] AN T ON IOU I , IV AN OV Vi V , IVA NOV V a V , et al. On the log normal distr ibution of stock market data[ J] . P hysica,
3. College of S cience, Nort heast U n iversit y, S henyang 110003, China)