第八章 平面解析几何8-2圆的方程

第8章 第2节

一、选择题

1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A ．(x －3)2

＋⎝⎛⎭⎫y －

732＝1 B ．(x －2)2

＋(y －1)2

＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2

＝1 [答案] B

[解析] 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切得，|4a －3|

5＝1，解

得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2

＋(y －1)2

＝1，故选B.

(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x 2

6－y

2

3＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线

相切的圆的方程是( )

A ．x 2

＋y 2

－23x ＋2＝0 B ．(x －3)2＋y 2

＝9 C ．x 2＋y 2＋23x ＋2＝0

D ．(x －3)2＋y 2＝3

[答案] D

[解析] 双曲线右焦点F (3,0)，渐近线方程y ＝±2

2x ，故圆半径r ＝3，故圆方程为(x

－3)2＋y 2＝3.

2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )

A ．2，1

2(4－5)

B.12＋5)，1

2(4－5) C.5，4－ 5

D.12(5＋2)，1

2

(5－2) [答案] B

[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45

，故圆上的点P 到直线

AB 的距离的最大值是45

＋1，最小值是

45

－1.又|AB |＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值

分别是2＋

52，2－5

2

.

3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x ＋1)2

＋(y －1)2

＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )

A ．1 B.4

5 C.2

5

D ．2

[答案] A

[解析] ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为2，∴d min ＝2－1＝1.

(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )

A.13

B.15 C ．－13

D ．－15

[答案] D

[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－1

5

.

4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示的圆的充要条件是( ) A.1

41 C ．m <14

D ．m <1

4

或m >1

[答案] D

[解析] ∵方程表示圆

∴16m 2

＋4－20m >0，∴m <14

或m >1.

5．已知f (x )＝(x －1)(x ＋2)的圆象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )

A ．(0,1)

B ．(0，－1)

C ．(0，2)

D ．(0，

22

) [答案] A

[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (1,0)，B (－2,0)，与y 轴交于点C (0，－2)，设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，a )，易知a ＝1.

6．(2010·北京海淀区)已知动圆C 经过点F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，若直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，则圆C 的面积( )

A ．有最大值π

B ．有最小值π

C ．有最大值4π

D ．有最小值4π

[答案] D

[解析] 由于圆经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切，所以圆心C 到点F 与到直线y ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C 的轨迹方程为x 2

＝4y ，设C 点坐标为⎝⎛⎭

⎫x 0，x

02

4，

∵⊙C 过点F ，∴半径r ＝|CF |＝

(x 0－0)2

＋⎝⎛⎭⎫x 024－1

2＝x 02

4

＋1，直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，即转化为点⎝⎛⎭⎫x 0，x 02

4到直线3x －4y ＋20＝0的距离d ＝|3x 0－4×x 02

4＋20|5≤x 02

4＋1，解得x 0≥103或x 0≤－2，从而得圆C 的半径r ＝x

02

4

＋1≥2，故圆的面积有最小值4π. 7．(文)已知a ≠b ，且a 2sin θ＋a cos θ－π4＝0，b 2sin θ＋b cos θ－π4＝0，则连结(a ，a 2

)，(b ，

b 2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不能确定

[答案] A

[解析] ∵A (a ，a 2)，B (b ，b 2)都在直线x cos θ＋y sin θ－π

4＝0上，原点到该直线距离d ＝

⎪⎪⎪

⎪－π4sin 2θ＋cos 2θ

＝π4<1，故直线AB 与单位圆相交．

(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 2161的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线

上，则圆心到双曲线中心的距离为( )

A ．4 B.163

C.47

3

D ．5

[答案] B

[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±47

3

，