高中数学思想方法之五等价转化与非等价转化

高中数学思想方法之五——等价转化与非等价转化

例题1、（1）求函数)(2)(2

22x x x x y -+-=的最小值；

例题2、（1）已知关于x 的方程0)1(log 1)2(log 212=-+-+ax x 有解，求a 的取值范围；

（2）解关于x 的不等式：0)2|)(|32(2≤---x x x 。

例题3、函数52)(2+-=x kx x f 在区间]5,2[-单调递增，求k 取值范围。

例题4、（1）已知组合数m n C 是整数，求证：连续五个正整数的乘积能被120整除；

例题5、（1）已知复数z 满足2||)1)(1(z z z =++，且1

1+-z z 为纯虚数，求z ；

（2）已知等差数列}{n a 和等比数列}{n b 满足3172511,,b a b a b a ===，问5b 是数列}{n a 中的第几项？

例题6、ABCD 为矩形，a BC AB ==,3，⊥PA 平面ABCD ，点M 在边BC 上。

（1） 若4=a ，存在几个M ，使得BC PM ⊥？

（2） 若0>a ，存在几个M ，使得BC PM ⊥？

例题7、已知集合

22{|540},{|220}A x x x B x x ax a =-+≤=++-≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围。

例题8、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n

S n 14-=， (1)若对一切正整数n ，都有m a n ≤，求常数m 取值范围；

(2)若存在正整数n ，使得m a n ≤，求常数m 取值范围。

例题9、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥+-=0

,20,12)(222x a x x x x x a x f 是奇函数，求a 值。

例题10、已知函数22()x x a f x x

++=，若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围。

练习

1．正方形ABCD 与正方形ABEF 成90°的二面角，则AC 与BF 所成的角为_____。

A. 45°

B. 60°

C. 30°

D. 90°

2. 函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，则下列各式中成立的是_____。

A. ab ≤1

B. ab<1

C. ab>1

D. a>1且b>1

3. lim n →∞[12+++…n －121+++-…()n ] (n ∈N)的值为______。 A. 22 B. 2 C. 0 D. 1

4. (a ＋b ＋c)10展开式的项数是_____。

A. 11

B. 66

C. 132

D. 310

5. 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，AA ’＝AD ＝1，AB ＝3，则顶点A 到截面A ’BD 的距离是_______。

6. 已知点M(3cosx ，3sinx)、N(4cosy ，4siny)，则|MN|的最大值为_________。

7. 函数y ＝x ＋1-x 的值域是____________。

8. 不等式log 8（x 3＋x ＋3）>log 2(x ＋2)的解是____________。

9．设x>0，y>0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13

10. 当x ∈[0, π2]时，求使cos 2x －mcosx ＋2m －2>0恒成立的实数m 的取值范围。

11. 设x 、y ∈R 且3x 2＋2y 2＝6x ，求x 2＋y 2的范围。

12. 已知抛物线C ：y ＝(t 2＋t －1)x 2－2(a ＋t)2x ＋(t 2＋3at ＋b)对任何实数t 都与x 轴交于P(1,0)点，又设抛物线C 与x 轴的另一交点为Q(m,0)，求m 的取值范围。