复数型傅里叶级数

2010届本科毕业论文
题目：复数形式的傅里叶级数的讨论学生姓名：迪力夏提。

阿不都许苦尔
所在学院：数学科学学院呢
专业班级：06级数学实验班
指导教师：XAWKAT
答辩日期：2009年5月23日
新疆师范大学教务处
复数形式的傅里叶级数的讨论
摘要 傅里叶级数的三角形式和复数形式在本质上是一致
的，其联系纽带是欧拉公式，复数形式比较简洁，在工程技术中应用也较方便
关键词 傅里叶级数，展开式，复数形式
1．引言
傅里叶级数是一类特殊项级数，它是由余弦和正弦连个简单三角函数组成
的。

随着计算机计算能力的不断提高，傅里叶级数理论在工程计算和自然科学方面发挥着更重要的作用。

它将周期函数用三角函数进行无限叠加。

复数形式的傅里叶级数的计算公式只有一个，便于使用，而且条件也较宽，一般的函数都能满足收敛定理，这也是它用广泛之所用
2．傅里叶级数 定理 若在整个轴上
∑∞
=++1
)sin cos (2~)(n n n o nx b nx a a x f
○
1 且等式右边级数一致收敛，则有如
⎰-==π
π
π
,1,0cos )(1n nxdx x f a n ○
2 ⎰-
==
π
ππ
,1,0sin )(1
n nxdx x f b n ○
3 一般地说，若f 是以π2为周期且在[]ππ，-上可积函数，则○
2，○3计算出n a 和
n b ，它们称为f （关于三角函数）的傅里叶系数，以f 德傅里叶系数的三角级数
○
1称为f （关于三角函数）的傅里叶级数，记作 ∑∞
=++1
)sin cos (2~)(n n n o nx b nx a a x f
在上式中，符号“～”仅表示三角级数是由于)(x f 所生成的，并不意味着级数就等于)(x f ，也不意味着级数是否收敛。

3．复数形式的傅里叶级数 3.1
在函数)(x f 的傅里叶级数
∑∞
=++1
)sin cos (2~)(n n n o nx b nx a a x f ○
4 中，由欧拉公式
n i n e in sin cos += n i n e in sin cos -=-
容易到处
2
cos inx
inx e e nx -+=
i
e e nx inx
inx 2sin ---=
将其代入○
1就得到 ∑∞=-----+++1)22(2~)(n inx
inx inx inx inx inx o e i
e e e e e a x f
∑∞=-++-+1)2
2(2~)(n inx
n n inx n n o e ib a e ib a a x f
设2n
n n ib a c -=
，则其共轭复数2
n n n ib a c +=，上式即可化为 ∑∞
=-++1
)(2~)(n inx n inx n o e c e c a x f ○
5
下面计算○
5式中的n c 和n c 。

由 2
n
n n ib a c -=
=⎰⎰---πππ
πππ]sin )(1cos )(1[21nxdx x f i nxdx x f =⎰--πππdx nx i nx x f )sin )(cos (21 =⎰--πππdx e x f inx )(21 )2,1( =n 同理，可求出
⎰-=ππ
πdx e x f c inx
n )(21 )2,1( =n
为同一起见，可设
⎰--=πππdx e x f c inx
n )(21 易见，n n c c = 所以○
5式可化为 ∑∞
=--++=1
)(2)(n inx n inx n o
e c e c a x f
=∑∑∞=∞
=--++11
02n n inx n inx
n e c e c a
=∑∑∞=∞-=-++11
02n n inx n inx
n e c e c a 若记2
0a c =
，则上式右边三项可统一写为 ∑∞
-∞
==
n inx
n
e
c x f )(
其中 ⎰--=π
π
πdx e x f c inx n )(21 这就是复数形式的傅里叶级数
例1 设π
≤≤<⎪⎩⎪
⎨⎧=x x x f 11
2
1)(
将[]ππ，在-)(x f 上展开为复数形式的傅里叶级数
解 因为复数形式的傅里叶系数为
⎰-=π
π
πdx x f c o )(21
⎰-=112121dx π π21= ⎰--=π
π
πdx e x f c inx n )(21 ⎰--=11)(21dx e x f inx π
11|)1(41--=-inx e in
π
),2,1(sin 21
==
n n n
π
所以
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=≤≤-=
n inx
n inx
n x e n n e
c x f πππ,2sin ~
)(
3.2 以2l 为周期的函数的傅里叶级数 设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换
t l
x
=π 或 π
lt
x =
可以把f 变换成以π2为周期的t 的函数)()(π
lt
f t F =，若f 在[]l l ，-上可积，则
F 在[]ππ，-上也可积，这时函数F 的傅里叶级数的复数形式的展开式是
∑∞
=++1
)sin cos (2~)(n n n o nt ib nt a a t F
因为π
lx
t =
，所以)()()(x f lt
f t F ==π
∑∞=++1)sin cos (2~)(n n n o l
x n ib l x n a a t f ππ
即
∑∞
-∞
=n x l
in n
e
c x f π
~
)(
其中
⎰--=l
l
x l
in n dx e
x f l c π
)(21
这就是以l 2为周期的函数f 的复数形式的傅里叶级数 例 将图所示的扫描电压展开复数形式的傅里叶级数． 解 有图可知．函数)(t u 的周期４，在)2,2[-上的表达式为
)22()
2(2
1
)(≤≤-+=t t x u
)(t u 满足收敛定理，而在它的端点2±=x 处收敛于
12
2
0=+．由复数形式的傅里叶级数的展开式，它的傅里叶系数为
)2
()(4122π
πωω===⎰--l dt e x u c t in n
⎰--+=222)2(2
1
41dt e t t in π
⎰
--
-+-+-=2
2
2
2
122]2[41dt e
in e in t t n t n i πππ
π
22]24[42
--=-t
n in e in e n i πππ
π
⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-=
πππππn n n i n n i sin 4)sin (cos 44 ππ
n n i
cos =
)0(cos )1(≠-=n n n π
补算0c
dt t c ⎰-+=220)2(21
41
)]2[(161
+=t 1=
函数+=1)(t u
例 把宽度t ，高度为h ，周期为T 2
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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