集合论(拓扑学)

关系之子偏序、逆偏序
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
Definition 设(X , )是偏 序集， A ⊆ X ，则 A = (A × A)∩ 是 个偏 序，称 (A, A )为(X , )的偏序 子集． 为 的 是 A上的一 上
如 实数集 合R关于 通常的 大小关 系是一 个 偏序集 ，有理 关 数 集Q关于通 常的大 小关系 就是R的 偏序子 集． 关 的 设 是X 上的 一个偏 序，则 −1 = {(x, y )|(y , x) ∈ }也 是 也 一个偏序，称为 的逆偏序或对偶偏序，常记为 ．
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
X × Y = {(x, y )|x ∈ X , y ∈ Y }叫X , Y 的笛卡 儿积． 类似地 叫 可定义有限个集合的笛卡儿积． Examples 设X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}， 则 ， X × Y = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. Example 平面 R2 是实 数集R与自 己的笛 卡尔集 ，即R2 = R × R；三 维 与 ； 空间是三个实数集的笛卡儿积，也可看成是平面与实数集 的 笛卡儿 积，即R3 = R × R × R = R2 × R．一 般 ．
关系之偏序集
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设R是集 合X 上的 一个关 系．若 xRy 和yRx不 能同时 成立（ 除 是 不 非x = y ）， 则称 R是反 对称的 ．X 上 的一个 偏序R是X 上 的 是 是 一个自反、传递和反对称的关系．给定偏序关系的集合称 为偏序集． 设 X = {1, 2, 3}， R = ， {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1), (1, 2), (3, 2)}，则R是X 上的偏 ， 是 序 关系， R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1)}也是偏 序关 也 系 ，(X , R)和(X , R )是 两个不同的偏 序集． 和 是 注 意，R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1), (1, 2)}不 是偏序 不 关系，因为不满足传递性．
2 ，称为积偏
关系之全序集
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
对于一个偏 序集(X , )，x, y ∈ X ，如果 x y 或 者y ， 则称 x与y 可比较 ，否则 称x和 y 不可比 较． 与 和 Definitions
x， ，
如果一个偏序集的任意两个元都可比较，则称该偏序集是 全序集或线性序集． 实 数集R、 有理数 集Q和自然数 集N关于通 常的大 小偏 、 和 关 序 关系都 是全序 集，而 R × R关于R的 通常偏 序的积 偏 关 的 序则不是全序集． 全序集的逆偏序集是全序集，全序集的子集是全序子 集。 全序集的乘积不必是全序集，如实数集之积不是全序 集。
x∈X
等 价类的 集合X / ∼≡ {[x]|x ∈ X }称 为X 关于 等价关 称 系 ∼的商集 ，映射 p : X → X / ∼，x → [x]叫自然 投影． 的 ， 叫 设 X , R如例， 则X 被 等价关 系R分 成两个 等价 如 分 类 [1] = {1, 3}和[2] = {2}，商集 为X /R = {[1], [2]}，自 和 ， ， 然 投影p为p(1) = p(3) = [1], p(2) = [2]． 为 ．
关系之偏序的表示
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
下 面我们一 般用 表 示偏序 关系， (X , )表 示偏序 集． 表 在偏序关系自明的情况下，可用X 表示偏序集而省掉偏 序关系 ． 对 x, y ∈ X ，x y 读 作x小 于等于 y 或y 大于 等 小 于 x；x y 表 示x y 但x = y ，读 作x小 于y 或y 大 ； 小 于 x；x y 表 示x y 不成立 ． ； 注 意，x y 不成 立并不 表示x大于y ．在上 例中， 如果 大 记 为R ， 则1 2不成立 ，但同 时1 2也 不成 立，因 不 也 为 1 2的意思是 “2 1且2 = 1”，但 (2, 1) ∈ R ． 的 且 ， /
f −1 (B)； ；
B∈B
B∈B
（ 4）． f ）
−1 B∈B
B
=
B∈B
f −1 (B)． ．
注 意，（ 1） 的等式一 般不成 立．例 如R上的 函 ） 上 数 f (x) = sin x把 A = [0, 2π]和B = [4π, 6π]都映 把 和 都 成 [−1, 1]， 但f (A ∩ B) = ∅，f (A) ∩ f (B) = [−1, 1]． ， ， ．
集合与映射之集合的原像
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
关于集合在映射下的像与原像，我们有： Theorem 设f : X → Y ，A ⊆ X , B ⊆ Y ，则 （1）． A ⊆ f −1 [f (A)]． 当f 是单 射时，A = f −1 [f (A)]； ） ． ； （2）． f f −1 (B) ⊆ B．当f 是 满射时 ，f f −1 (B) = B． ） ． ．
关系之商集
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设X 是一个 集合， ∼是X 上 的一个等 价关系 ，x ∈ X ． 是 称[x] = {y ∈ X |x ∼ y }为一个等价 类．等 价类与 代 表元 的选 为 取无 关，即 ：∀y ∈ [x]， 有[x] = [y ]；X 的等价 类构成 X 的一 ， ； 个划分，即：X 的任意两个等价类要么恒等，要么不相交， [x]． ． 而且X =
关系之积偏序
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
Definitions 设(Xi , i )， i = 1, 2是两个 非空 偏序集 ， 是X = X1 × X2 上 ， 是 的关系，定义如下： (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ⇔ x1
1
y1 , x2
2
y2 ,
则 是X 上的一个偏序关系，常记为 1 × 序 ，偏序 集(X1 × X2 , 1 × 2 )称为 偏序 称 集 (X1 , 1 )与(X2 , 2 )的积． 与 的
思 考：举 例说明 （1）、（2）中 的等式 一般不 成立． ） ）
关系之等价关系
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设X 是一个集合，R ⊆ X × X 叫X 的一个关系．如 果(x, y ) ∈ R，就 称x, y 有关 系R， 记为xRy ． 如果关 系R满 足 ， ， 满 以下三个条件，则称此关系为等价关系： （ 1）． 自反性 ：∀x ∈ X , xRx； ） ； （ 2）． 对称 性：若xRy ， 则yRx； ） ； （ 3）． 传递 性：若 xRy , yRz，则xRz． ） ， ． 等 价关系 一般用 ∼表 示； 表 设 X = {1, 2, 3}， ， 则 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)}是X 上 的一 个 等 是 价关系； 同 样设X = {1, 2, 3}， ， 则 R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3)}不是X 上的等 价关系 ， 不 因为对称性不满足．
n
地 ，Rn
． = R × · · · × R．
集合与映射之集合运算
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
Theorem 关于集合的运算，我们有 （1）． A × (B ∩ C ) = (A × B) ∩ (A × C )； ） ； （2）． A × (B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C )； ） ； （3）． A × (B\C ) = (A × B)\(A × C )； ） ； (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C ) ∩ (B × D) （4）． ） = (A × D) ∩ (B × C ); (A ∪ B) × (C ∪ D) （5）． ） = (A × C ) ∪ (B × D) ∪ (A × D) ∪ (B × C ); （6）．(A × B)\(C × D) = [(A\C ) × B] ∪ [A × (B\D)]； ） ；
集合与映射之映射与补集
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
关于映射与补集的关系，我们有： Theorem 设f : X → Y ，A ⊆ X , B ⊆ Y ，则 c （1）． f −1 (B c ) = f −1 (B) ； ） （2）． 若f 是单 射，则 f (Ac ) ⊆ [f (A)]c ；若 f 是满射 ， ） 则[f (A)]c ⊆ f (Ac )． ． 在 （2）中， 如果f 不 是单射， 则f (Ac ) ⊆ [f (A)]c 不 一定 ） 成立，比如常值映射就是如此．同理，当f 不是满射 时[f (A)]c ⊆ f (Ac )也不一定 成立． 也 另 外，（ 2） 中的等式 一般也不 成立 ． ）
集合与映射之De Morgan 公式
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
Theorem （De Morgan公式） 设A是集合 X 的一个 子集 族，则 公 是
c c
A
A∈A
=
A∈A
Ac ,
A∈A
A
=
A∈AΒιβλιοθήκη Baidu
Ac .
(1)
我们规定：空子集族的并是空子集，空子集族的交是 全集．
集合与映射之有限笛卡儿积
关系之偏序图
简单的偏序集往往可用直观图表示出来，可比较的元 用线段连接，线段上端的元大于下端的元． 逆 序集(X , )的图形 恰好是 原偏序 集(X , )的图形 上 下 的 的 颠倒而得到的． 设 X = {1, 2, 3}， ， R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1), (1, 2), (3, 2)}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 1)}, 则 偏序关 系R与 R 分别 可用下 面两个 图来表 示． 与
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
关系之偏序图思考题
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
思考：试写出由下图表示的偏序集．
关系之最元与极元
Definition
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设X 是一个偏序集，A ⊆ X ，a ∈ X ． （1）． a是 A的 最大元 ⇔ a ∈ A且∀x ∈ A有x a； （每 个元 ） 是 的 且 有 ； 都比 a小 ） 小 （2）． a是 A的 极大元 ⇔ a ∈ A且∀x ∈ A，若 a x， ） 是 的 且 ， ， 则 a = x；（ 每个元 都不比 a大 ） ； 大 （ 3）． a是 A的一个上界⇔ ∀x ∈ A，x a； ） 是 的 ， ； （ 4）． a是A的上确 界（记 为sup A） ⇔ a是A的上界 ，且 ） 是 的 ） 是 的 对 A的任意 上界b，有a b，即a是A的最 小上界 ． 的 ， ， 是 的 对偶地可给出最小元、极小元、下界以及下确界（记 为 inf A）的定 义，请读 者自 己写出 这些定 义． ） 思考：上述概念在逆序集中是怎样的？最大（小） 元、极大（小）元唯一吗？
集合与映射之记号
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
我们将用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示 集合的元素，花体大写英文字母表示集合的子集族； ∅既表 示空集 ，又表 示空子 集族（不 含任何 子集的 子集 既 族）； 集 合X 的 子集A的补 集（或 者叫余 集）用 X \A或 Ac 表 的 或 示； 2X 表 示 由 集 合 X 的 所 有 子 集 构 成 的 子 集 族 ， 称 为 X 的 幂 集 ，有时 也用PX 表示．
关系之存在非全序集
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设 A是 集合X 的一个 子集族 ，则A关于集 合的包 含关 是 关 系 “A B ⇔ A ⊆ B”是一个 偏序 集，记 为(A, ⊆)．特别 是 ． 地，(PX , ⊆)是一个 偏序集 ．当X 至少含两 个 点 是 时，(PX , ⊆)不是全 序集． 不 正 整数集 N关于 整除偏 关 序 “ = {(m, n) ∈ N × N : m|n}“也是一个 偏序 集，但 不 也 是全序集．
集合与映射之映射
Theorem
集合与映射 关系 选择公理 基数与序数
设f : X → Y ，A是X 的一个 子集族 ，B是Y 的一 个 子集 族， 是 是 则 （ 1）． f ）
A∈A
A A
A∈A
⊆
A∈A
f (A)； ； f (A)； ；
A∈A
（ 2）． f ） （ 3）． f −1 ）
= B =