第二章实数复习小结

第二章实数复习小结
一、 知识结构
二、 基础知识回顾 1．无理数的定义
（ ）叫做无理数 2．有理数与无理数的区 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。

而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。

3.常见的无理数类型 (1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐
次加1)。

(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4).开方开不尽的数。

如：35,3。

4．算术平方根。

（1） 定义： （2） 我们规定：
（3） 性质：算术平方根a 具有双重非负性：
① 被开方数a 是非负数，即a ≥0.
② 算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。

也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数，
0的算术平方根是（ ）， （ ）没有算术平方根。

5．平方根 （1） 定义：
（2） 非负数a 的平方根的表示方法:
（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。

( )只有一个平方根，它是( )。

( )没有平方根。

说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是 ：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠
±a 。

6.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同 ②个数不同：
③ 表示方法不同：
联系：①具有包含关系：
②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

7．开方运算：
（1） 定义： ① 开平方运算： ② 开立方运算：
（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。

8．a 2
的算术平方根的性质
①当a ≥0时，2a =（ ） ② 当a<0时，2
a =（ ） 一般的，当a<0时，2a =-a.
我们还知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a. 综上所述，有
a (a ≥0) 2
a =│a │=
-a (a<0)
从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0)
9．立方根
（1） 定义：______________________________. （2） 数a 的立方根的表示方法:_________
（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________ （4） 两个重要的公式
为任何数）
为任何数）
a a a a a (()3(3
3
3
3==
10．实数
（1） 概念：________和________统称为实数。

（2） 分类 按定义
_______ ________
_______
________ ___ 有限小数或________小数 _______ 实数 ________
_______
_________
________ 无限不循环小数
_________
按大小 正实数
实数 零
负实数
(4) (3)实数的有关性质
(5) ⑴a 与b 互为相反数〈=〉a+b=0 (6) ⑵a 与b 互为倒数〈=〉ab=1
(7) ⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a ≥0 (8)
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a =a -
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数. （4）实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是一一对应的关系 （5） 实数的大小比较
1． 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2． 正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。

（6） 实数中的非负数及其性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数 我们已经学过的非负数有如下三种形式
(9) ⑴任何一个实数a 的绝对值是非负数，即a ≥0 (10) ⑵任何一个实数的平方是非负数，即2
a ≥0；
(11) ⑶任何一个非负数a 的算术平方根是非负数，即a ≥0 (12) 非负数有以下性质 (13) ⑴非负数有最小值零
(14) ⑵有限个非负数之和仍然是非负数
(15) ⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

(16) 11..二次根式的两条运算法则
(17)
),0a )
0,0(>≥=
≥≥=⋅b b
a
b
a b a ab b a （
（
实数练习题二
一、判断题
（1）带根号的数一定是无理数（ ）； （2）无理数都是无限小数（ ）； （3）无理数包含正无理数、0、负无理数（ ）；（4）4的平方根是2（ ）；
（5）无理数一定不能化成分数（ ）； （6）5是5的平方根（ ）；
（7）一个正数一定有两个平方根（ ）； （8）±25的平方根是5±（ ）
（9）互为相反数的两数的立方根也互为相反数（ ）； （10）负数的平方根、立方根都是负数（ ）；
（11）①无理数是无限小数（ ）；②无限小数是无理数（ ）；③开方开不尽的数是无理
数（ ）；④两个无理数的和是无理数（ ）；⑤无理数的平方一定是有理数（ ）；
二、填空题
（12）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：
①25.0 ②π- ③16- ④39- ⑤0 ⑥1010010001.0 ⑦3 ⑧2
1
3
- 有理数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝正实数集合：｛ …｝负实数集合：｛ …｝ （13）把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：
①3.14 ②2
π
-
③17
9
-
④3100 ⑤0 ⑥ 212212221.1 ⑦3 ⑧0.15 有理数集合：｛ …｝正数集合｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝负数集合｛ …｝
（14）36的算术平方根是 ，1.44的平方根是 ，11的平方根是 ，
的平方根是2
3±
，2
)3.4(-的算术平方根是 ， 410是 的平方。

（15） 2
1
-的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。

（16） 满足32<<-x 的整数x 是 .
（17） 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27,
则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .
（18）. 若误差小于10, 则估算200的大小为 .
（19） 比较大小
216- 2
1
2+.(填“>”或“<”) (20). 化简:
8125= , 810--= , 5
1
= . (21) .9的算术平方根是 ___、3的平方根是 ___, 0的平方根是 ___,-2的平方根是 .
(22). –1的立方根是 ,271的立方根是 , 9的立方根是 .
(23) .2的相反数是 , 倒数是 , -36的绝对值是 .
(24). 比较大小
;
310
填“>”或“<”)
(25).
=-2)4( .
=-3
3)6( , 2)196(= .
(26)．一个数的平方根与立方根相等，这个数是______;立方根等于本身的数是_________. 平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是_____________. 大于0小于π的整数是_________；3-满足＜x ＜8的整数x 是__________.
(27).._______a ,2)2(2
的取值范围是则若a a -=-
.
____)(,)34(________
1683)33(._________)3(1,31)32(._________,01)a )31(.________,0)2(1)30(.________1)1()29(.
________b)-a ,032)28(2223
2222003200222=--=+-+-=-+-<<=+=+-++++==-+-=++-==++-a b b b a x x x c b a c a b b a n
m
n m b a b a b a 如图所示，化简在数轴上对应点的位置已知实数计算则若则已知（则
已知互为相反数，则与若则（已知πππ
(35)_____2x x 则在实数范围内有意义，.
(36)使________
x 11的值是在实数范围内有意义的-+-x x （37）已知
._______1
9191=-+-x
x x 有意义，则 三、 选择题：
1. 边长为1的正方形的对角线长是（ ）
A. 整数
B. 分数
C. 有理数
D. 不是有理数 2. 在下列各数中是无理数的有( )
-0.333…,
4, 5, π-, 3π, 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1
个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成).
A.3个
B.4个
C. 5个
D. 6个 3. 下列说法正确的是( )
A. 有理数只是有限小数
B. 无理数是无限小数
C. 无限小数是无理数
D.
3
π
是分数 4. 下列说法错误的是( )
A. 1的平方根是1
B. –1的立方根是-1
C.
2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根
5. 若规定误差小于1, 那么60的估算值为( )
A. 3
B. 7
C. 8
D. 7或8 6. 下列平方根中, 已经简化的是( ) A.
3
1
B. 20
C. 22
D. 121
7．
81的平方根是( )
A. 9
B. ±9
C. 3
D. ±3
8． 下列说法正确的是( )
A. 无限小数都是无理数
B. 带根号的数都是无理数
C. 开方开不尽的数是无理数
D. π是无理数, 故无理数也可能是有限小数 9． 方根等于本身的数是( )
A. –1
B. 0
C. ±1
D. ±1或0 10． ππ--14.3的值是( )
A. 3.14-π2
B. 3.14
C. –3.14
D. 无法确定
11． a 为大于1的正数, 则有( ) A. a a =
B. a a >
C. a a <
D. 无法确定
12． 下面说法错误的是( )
A. 两个无理数的和还是无理数
B. 有限小数和无限小数统称为实数
C. 两个无理数的积还是无理数
D. 数轴上的点表示实数 13.下列说法中不正确的是（ ）
A.42
的算术平方根是4 B. 24的算术平方根是 C.332的算术平方根是 D. 981的算术平方根是 14. 121的平方根是±11的数学表达式是（ ）
A. 11121=
B.11121±=
C. ±11121=
D.±11121±= 15.如果,162=x 则x=( )
A.16
B.16
C.±16
D.±16 16. 364的平方根是（ ）
A.±8
B.±2
C.2
D.±4 17.下列说法中正确的是（ ） A.±64的立方根是2 B.
3
1271±的立方根是 C.两个互为相反数的立方根互为相反数 D.(-1)2
的立方根是-1
18、-38-的平方根是（ ）A.±√2 B.-√2 C.±2 D.2 19、估计的大小应在76（ ）
A.7～8之间
B. 8.0～8.5之间
C. 8.5～9.0之间
D.9.0～9.5之间 20、在实数范围内，下列说法中正确的是（ ）
b
a b a D b
a b a C b a b a B b a b a A >>======则若则若则若则若,.,.,..,.2
2
3
3
22
四、 化简:
①44.1-21.1; ②2328-+;
③92731⋅+; ④0)31(3
3122-++.
⑤)31)(21(-+. ⑥2)52(-;
⑦2)3322(+. ⑧)32)(32(-+
五、解答题
1. 在数轴上作出3对应的点.
2．估算下列各式的值 )1(143)
2(1.0(9.30)1(3
误差小于）误差小于
3．解方程 （1） 049162
=-x （2）064)13(2
=--x
4．b b ab),022a)-12求（已知（=-+的值.
5.．已知2a-1的平方根是±3， 3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b 的平方根
6. 自由下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为h =4.92t .有一学生不慎让一
个玻璃杯从19.6米高的楼上自由下落, 刚好另有一学生站在与下落的玻璃杯同一直线的地面
上, 在玻璃杯下落的同时楼上的学生惊叫一声. 问这时楼下的学生能躲开吗? (声音的速度为340米/秒)
7．小芳想在墙壁上钉一个三角架(如图), 其中两直角边长度之比为3:2, 斜边长520厘米, 求两直角边的长度.
8． 小东在学习了
b a b
a =
后, 认为b
a b a =也成立,因此他认为一个化简过程: 545520520-⨯-=--=--545-⋅-=
=24=是正确的. 你认为他的化简对吗?如果不对请写出正确解题过程。