人教新课标版数学高二-2-2导学案 1.6 微积分基本定理

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人教版高中数学选修2-2学案：1.6微积分的基本定理(2)

1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题； 3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ．新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积． 2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( )A.43 B.54C.65 D.不存在2．求下列定积分: （1）求=⎰edx x11；（2）()=+-⎰dx ex xπ23sin 2_____________．（3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ．3.设()f x 是奇函数，则=⎰-aadx x f )( .4.求⎰-aadx x 2．【合作探究】典例精析：例1. 计算定积分（1）dx ⎰+4|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 212)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛abf (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a bf (x )d x |＝－⎠⎛a bf (x )d x .(3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 ( ) A.3 B.32-C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为A.41B.31C.21D.322.dx x |4|12⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=10)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-326．。

2019-2020学年高中数学《16 微积分基本定理》导学案新人教A版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学《16 微积分基本定理》导学案新人教A 版
选修2-2
一、学习目标：
知识与技能：能利用微积分基本定理及定积分的几何意义正确、灵活求定积分的值。

过程与方法：通过例题，体验定理求定积分的值的优越性，形成求定积分的值的这类问题的思想方法
情感态度与价值观：学生能做到学以致用，树立学生学习数学的自信心。

二、重点难点：
重点：微积分基本定理的理解及应用
难点：求被积函数的原函数
三、知法链接：
1、微积分基本定理
2、定积分的几何意义
3、定积分运算性质
4、基本初等函数的求导公式及复合函数的求导法则
四、学习过程：
总结：
（2）
⎰π0cos xdx ⎰0sin πxdx
dx x x ⎰-2
1)1( dx x
e x ⎰-21)2(
总结：
（3）⎰102dx e x ⎰46
2cos ππxdx
总结：
（4）dx x x 232)1(⎰+ dx x
x x ⎰--2
1232
总结：
题型二
求下列定积分的值
dx x ⎰-1021 dx x ⎰-1024
课堂总结：
求定积分的方法
作业:
一生的生活是否幸福、平安、吉祥、要看他的处世为人是否道德无亏，能否做社会的表率。

高中数学 1.6 微积分基本定理学案新人教A版选修2-2

1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．微积分基本定理＝的函数[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图161①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③图161[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图162，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图162[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合作探究·攻重难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法] 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －Fa[跟踪训练]1．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2d x ； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x .【导学号：31062091】[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值．提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当堂达标·固双基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176.[答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。

高中数学 1.6微积分基本定理教案新人教A版选修2-2

备选习题
1.求定积分dx的值.
解:dx=dx
=dx
=1dx-dx
=1-2dx=1-2ln(x+2)=1-2ln 2.
2.已知f(x)=(12t+4a)dt,F(a)=[f(x )+3a2]dx,求函数F(a)的最小值.
解:因为f(x)=(12t +4a)dt
=(6t2+4at)
=6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2,
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
∴k2+k=0,即k=0或k=-1,满足条件.
综上所述,k=0或k=-1时,可使f(x)dx=.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

高中数学选修2-2学案5：1.6微积分基本定理

1、学习内容：利用微积分基本定理（牛-莱公式）求定积分2、学习目标：（1）掌握牛-莱公式，理解其含义，并能用来解决相关问题（2）数学思想方法（转化）：将求定积分的问题转化成求原函数的问题（3）培养数学能力3、重点：牛-莱公式的应用难点：求被积函数的原函数4、学习过程：4、1（1）引入：①函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是 ②定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是（2）定积分的性质：①()b a kf x dx ⎰= ②()()b a f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰= ③()()b caa f x dx f x dx =+⎰⎰ 其中c ∈ （3）已知()()F x f x '=在下列条件下求()F x①()cos f x x = ()F x =②()sin 2f x x = ()F x =③()31f x x=()F x = ④()121f x x =-+ ()F x = ⑤()21x f x e -= ()F x =⑥()13x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()F x = （温馨提示：写完()F x 后应求导检查）4、2自主学习知识点：（1）微积分基本定理：（2）思考：①满足()()F x f x '=的()F x 有个判断：若()()F x f x '= ，()()()b b a a f x dx F x c =+⎰（） ()()()b ba a f x dx f x c dx =+⎰⎰ （） ②写出()b a f x dx ⎰与()ab f x dx ⎰的关系式（3）计算定积分 ①2112x dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ ② 120121x e dx x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰4、3合作学习：求定积分()332332x x dx -++-⎰做完后每小组选一个交流发言4、4教师点拨：（1）求定积分关键是求原函数，有时可将被积函数化简变形后求原函数，记住验证（2）有时可利用定积分的性质化简计算过程（3）个别题目还可利用定积分几何意义解决4、5成果展示：求定积分201sin2xdxπ-⎰4、6收获小结：你本节课最大的收获是什么？5、作业：习题1、6B组第一题同步导学[解析]42页第10、11题。

【备课精选】2012年高二数学新人教A版选修2-2教案1.6《微积分基本定理》

1.6微积分基本定理教学目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：了解微积分基本定理的含义一. 问题再现：1、复习：导数的定义及运算法则；定积分的概念及用定义计算2、利用定积分的定义计算211dx x⎰二. 自学导引：1、自学教材 51—53页,回答下面的问题：微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么_______________, 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______________，为了方便起见，还常用()|b a F x 表示________，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰注意：1、在定理中：若()()F x f x '=，那么()()='+c x F _________，所以求定积分()dx x f b a⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的任意一个函数()F x 即可；2、无论是b a >或b a <，此公式都成立。

3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。

证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤），其中C为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aaf t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a 即()x Φ=()F x -()F a =()xaf t dt ⎰令x b =，有()()()baf x dx F b F a =-⎰2、看53-54页的例2回答下面的问题：定积分的取值：定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________（1）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （2）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （3）当位于x 轴_____________等于位于x 轴____________，定积分的值为__________ ，且等于位于x 轴_____________减去位于 x 轴__________________．三. 交流展示：比较用定积分定义计算定积分与用微积分基本基本定理求定积分的优越性：四. 典型例题：例1．计算下列定积分：（1）()dx x ⎰+1032；（2）()d x x ⎰--1231；例2．计算下列定积分：（1）()d x e x x⎰-+0cos π ；（2）()dx e e x x⎰+2ln 01点拨提升：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求对前面导数的知识非常熟练.1.7定积分的简单应用学习目标：1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

高中数学专题1.6 微积分基本定理教案新人教A版选修2-2(2021年整理)

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微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点:直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ错误!x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念-—导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ错误!错误!d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t）,并且y（t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t）＝y′(t)．设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y（t)，v(t）表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y（t)知：s＝y(b)－y(a），通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′（t)d t，所以ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′(t）d t＝y(b）－y(a)．其中v(t）＝y′(t)．小结（1)一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′（x)＝f（x），那么ʃ错误!f（x)d x＝F（b)－F（a）．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃ错误!f（x）d x很方便，其关键是准确写出满足F′（x)＝f（x）的F（x）．思考2 对一个连续函数f（x）来说,是否存在唯一的F(x)，使F′（x）＝f（x)?若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质,若F′(x)＝f(x）,则对任意实数c,[F（x）＋c］′＝F′(x）＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃ错误!f（x）d x＝[F（b）＋c］－[F（a）＋c］＝F(b)－F(a)例1 计算下列定积分：（1)ʃ错误!错误!d x；(2)ʃ错误!（2x－错误!）d x；(3）ʃ错误!(cos x－e x)d x。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.6 微积分基本定理 Word版含解析

1.6微积分基本定理[目标] 1.能说出微积分基本定理.2.能运用微积分基本定理计算简单的定积分.3.能掌握微积分基本定理的应用．[重点] 微积分基本定理以及利用定理求定积分．[难点] 复合函数定积分计算．知识点一微积分基本定理[填一填]1．一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么af(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿⎠⎛b—莱布尼茨公式．2．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)b a，即af(x)d x＝⎠⎛bF(x)b a＝F(b)－F(a)．[答一答]1．满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)是唯一的吗？这影响微积分基本定理的正确性吗？提示：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不是唯一的，这些函数之间相差一个常数，即(F(x)＋c)′＝f(x)，但这并不影响微积分基本定理，因为∫b a f(x)d x＝[F(x)＋c]|b a＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，所以用一个最简单的原函数F(x)就可以．2．求导数运算与求原函数运算有什么关系？提示：求导数运算与求原函数运算可以看作是互逆的运算，但一个函数的导函数是唯一的，而一个函数的原函数却不止一个，这些原函数之间仅相差一个常数，在利用微积分基本定理计算定积分时，只要选用最简单的一个即可．知识点二定积分的符号[填一填]由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.1．当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(如图(1))2．当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(如图(2))3．当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．(如图(3))[答一答]3．如图阴影部分的面积怎样表示？提示：S＝∫b a[f(x)－g(x)]d x.4．如图阴影部分的面积如何表示？∫b a f(x)d x，∫b a|f(x)|d x与|∫b a f(x)d x|的区别1. ∫b a f(x)d x表示由x轴，曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b(a<b)所围成的平面图形的面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)；2．|f(x)|是非负的，所以∫b a|f(x)|d x表示由x轴，曲线y＝|f(x)|及直线x＝a，x＝b(a<b)所围成的平面图形的面积；3．|∫b a f(x)d x|则是∫b a f(x)d x的绝对值．一般情况下，三者的值是不同的，但对于f(x)≥0，x∈[a，b]，三者的值是相同的．类型一求较简单函数的定积分【例1】计算下列各定积分．【思路分析】根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．【解】 (1)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，计算定积分要注意两点：①要正确选择被积函数的原函数；②要注意被积区间，其结果是原函数在[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a )，而且定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能取0.(1) ⎠⎛12 (x －x 2＋1x )d x ＝ln2－56.解析：⎠⎛12 (x －x 2＋1x )d x＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 2221－x 3321＋ln x 21 ＝32－73＋ln2＝ln2－56. (2) ⎠⎛02|x －1|d x ＝1.解析：⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛1 0(1－x )d x ＋⎠⎛12 (x －1)d x＝(x －12x 2)|10＋(12x 2－x )|21＝1－12－0＋12×4－2－(12－1)＝1. 类型二分段函数的定积分【例2】计算下列定积分． (1)⎠⎛ 02π|sin x |d x ；(2) ⎠⎛13|x －2|d x .【思路分析】由于被积函数是含有绝对值的解析式，所以需在积分区间上把函数分段，从而分段积分，其中(1)小题的零点是x ＝π，(2)小题的零点是x ＝2.【解】 (1)∵|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ， π<x ≤2π，∴⎠⎛ 02π|sin x |d x ＝⎠⎛π 0sin x d x ＋⎠⎛ π2π(－sin x )d x＝－cos x|π0＋cos x|2ππ＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ) ＝2＋(1＋1)＝4.(2)∵|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2， 2≤x ≤3，2－x ， 1≤x <2，∴⎠⎛13|x －2|d x ＝⎠⎛12(2－x )d x ＋⎠⎛23 (x －2)d x＝⎠⎛122d x －⎠⎛12x d x ＋⎠⎛23x d x －⎠⎛232dx＝2×(2－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫222－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222－2×(3－2)＝2－32＋52－2＝1.由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算.先画出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(－2≤x ≤0)x (0≤x ≤1)，1(1≤x ≤3)的图象，再求这个函数在区间[－2,3]上的定积分．类型三利用定积分求参数的值【例3】设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．【思路分析】先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程求出x 0的值．【解析】因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 2＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．故填33. 【答案】 33利用定积分求参数时，注意方程思想的应用.一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数.当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限.(1)若＝1，则实数a 的值是 2.解析：∵＝12x 2|a 0＝12a 2＝1，∴a ＝2或a ＝－2(舍去)．故填 2.(2)已知函数f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，求a ，b 的值．解：f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t ＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )|x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x .∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，∴b ＝0. 又f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13，∴a ＝－52.1． (sin x ＋cos x )d x 的值是( C )A ．0 B.π4 C ．2 D ．4解析： (sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x ) ＝(1－0)－(－1－0)＝2.2. ⎠⎛-22e |x |d x 的值等于( C )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2解析：⎠⎛-22e |x |d x ＝⎠⎛-20e －x d x ＋⎠⎛02e x d x ＝－e －x |0－2＋e x |20＝2e 2－2.3．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a ＝2.解析：⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln2.∴a ＝2.4．定积分：⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝45.解析：∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x ≤－32，6，－32<x <32，4x ，32≤x ≤3，5．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )，求a 的值．解：⎠⎛-11 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，又2f (a )＝2(3a 2＋2a ＋1)， ∴2(3a 2＋2a ＋1)＝4.∴3a 2＋2a －1＝0.∴a ＝－1，或a ＝13.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教课标版高中数学选修2-2：《微积分基本定理》教案-新版

1.6微积分基本定理一、教学目标1．核心素养通过微积分基本定理的学习，提高推理论证、抽象概括能力，体会由局部到整体、具体到一般的数学思想.2．学习目标通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义，体会由局部到整体、具体到一般的思想.3．学习重点通过探究变速直线运动的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义，并能正确应用基本定理计算简单的定积分.4．学习难点了解微积分基本定理的含义.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务阅读课本1.6节，思考：（1）什么是微积分基本定理？（2）怎样利用微积分基本定理求定积分的值？（3）当曲边梯形的位置位于x 轴下方时，怎样求定积分的值？2．预习自测1．043x dx -+⎰的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D .12答案：C ．2．121dx x ⎰等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2答案：D ．3．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1B .12C .13D .14答案：D ．（二）课堂设计1．知识回顾1）定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是由,,0x a xb y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.2）定积分的性质：（1）()()b ba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数) （2）1212[()()]()()b b b a a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()b c b a a cf x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a c b <<）. 2．问题探究活动一：探讨导数与积分的关系我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法.有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S (t ),速度为v (t )（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=. 活动二：证明微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法.设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y =()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[xi -1,xi ]上，记⊿yi =F (x i )-F (xi -1),则 ⊿y =∑⊿yi 如下图，因为⊿hi =f (xi -1) ⊿x 而⊿yi ≈⊿hi 所以⊿y ≈∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x故⊿y =lim ∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x =⎰b a dx x f )(即⎰b a dx x f )(=()()F b F a -所以有微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰⎰b a dx x f )(为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果.例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x-⎰. 解：（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰. （2））因为2''211()2,()x x x x==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. 点拨：准确求出被积函数的原函数是求解本题的关键例2．计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰. 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解：因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰， 22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰， 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图1.6一4），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．点拨：利用定积分的几何意义是解决本题的关键.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.934.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.点拨：可以看出，求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的过程就是求解定积分的过程，所以以后遇到类似的题就可以直接使用定积分来做.3．课堂总结【知识梳理】1.微积分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.我们常常把定理中的()F x 称为()f x 的原函数.2．定积分的取值定积分的值可能取正值也可能为负值，还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.【重难点突破】（1）微积分基本定理①该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与导数互为逆运算.②微积分基本定理提供了一种有效的求定积分的方法，且这种方法往往比利用定积分的定义求定积分简单.利用微积分基本定理求定积分()b af x dx ⎰的关键是找到()()F x f x '=的函数()F x ，即找到()f x 的原函数.通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .③被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个原函数，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的原函数．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替微积分基本定理中的F (x )有⎠⎛ab f (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（2）利用微积分基本定理计算定积分时：①常常先对被积函数化简，再求定积分；②当被积函数为分段函数时，常常分成几段积分的和的形式求解；③当被积函数含有绝对值符号时，常常先去掉绝对值符号再求定积分.（3）求定积分的主要方法有：①利用定积分的定义；②利用定积分的几何意义；③利用微积分基本定理.4．随堂检测1.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋1)－e 0＝e . 2．若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】S 1＝⎠⎛12x 2dx ＝13x 3＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121x dx ＝ln x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x dx ＝e x ＝e 2－e ＝e (e －1)．ln 2＜ln e ＝1，且73＜2.5＜e (e －1)，所以ln 2＜73＜e (e －1)，即S 2＜S 1＜S 3.3．若⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3) ＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1.4．⎠⎛02|1－x |dx ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．－2答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx ＝(x －12x 2)10|＋(12x 2－x )21| ＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1)＝1.5．⎠⎛-11(x 2＋sin x )dx ＝________. 答案：23解析：【知识点：微积分基本定理】∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ，∴⎠⎛-11 (x 2＋sin x )dx ＝(13x 3－cos x )11|-＝23. （三）课后作业基础型自主突破1．4232(30)d x x x +-=⎰（） A ．56B ．28C.563D ．14答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】4423342211(30)d (30)34x x x x x x +-=+-⎰＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563. 2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是（）A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】3．若2111d 2b x x =⎰，则b =（） A ．32B ．2C ．3D ．4答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】 2111111d (1)2bbx x x b =-=--=⎰，解得2b = 4．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A ．43B ．2C ．83D．答案：C解析：【知识点：定积分求面积】l 与C 围成的图形的面积为诶2232228(1)d ()4123x x x x ---=-=⎰ 5．计算定积分20cos(2)3x dx ππ+=⎰___________.答案：解析：【知识点：微积分基本定理】22001cos(2)sin(2)323x dx x ππππ+=+=⎰6．计算下列定积分：（1）220(42)(4)d x x x --⎰ （2）22123d x x x x+-⎰ （3）220(sin cos )d 2x x x π+⎰答案：见解析解析：【知识点：定积分的简单应用】（1）2222300(42)(4)d (16842)d x x x x x x x --=--+=⎰⎰22340413240(164)321683233x x x x --+=--+= （2）2222211123317d (2)d (23ln )3ln 222x x x x x x x x x x +-=+-=+-=-⎰⎰（3）222200cos 1sin 3(sin cos )d (sin )d cos 222224x x x x x x x x x ππππ+⎛⎫+=+=-++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰能力型师生共研7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为（）A.1B.2C.－1D.－2 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】f (1)＝lg1＝0，23300(0)3d aaf t t t a ===⎰，由f (f (1))＝1，得a 3＝1，a ＝1.8．若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a (x 3＋sin x －5)dx 的值为（） A ．6＋2sin2 B ．－6－2cos2 C ．20 D ．－20 答案：D解析：【知识点：微积分基本定理，两直线垂直】由l 1⊥l 2，可得a ＝2，∴原式＝22233222(sin 5)d (sin )d (5)d 02020x x x x x x x ---+-=++-=-=-⎰⎰⎰9．已知f (x )是一次函数且10()d 5f x x =⎰，1017()d 6xf x x =⎰，则f (x )的解析式为（） A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋3 D ．－3x ＋4答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ，1120()d ()522a af x x x bx b =+=+=⎰①113217()d ()32326a b a b xf x x x x =+=+=⎰②，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎨⎧a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋310.若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是________(填序号). 答案：①③解析：【知识点：微积分基本定理】①中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x cos 12x dx ＝⎠⎛－11⎝⎛⎭⎪⎫12sin x dx ＝0；②中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛－11(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x ⎪⎪⎪1－1＝－43≠0；③中f (x )·g (x )＝x 3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件. 探究型多维突破11．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】由已知得：f (x 0)＝242232213(3)42044x x x x dx --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⎰，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个.12．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___________.答案：45解析：【知识点：定积分求面积】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=；当121≤<x 时，线段BC 方程为1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为1122210210(1010)x dx x x dx +-+⎰⎰1123321021010(5)33x x x =+-+45=.自助餐1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】2．设f (x )＝⎩⎨⎧x 20≤x <1，2－x 1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )dx 等于( )A ．34 B ．45 C ．56 D ．不存在答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx 3．若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos tdt 的导数是( )A ．()cos F x x '=B ．()sin F x x '=C ．()cos F x x '=-D ．()sin F x x '=- 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 5．(3)d ba f x x '=⎰（） A ．()()fb f a -B ．(3)(3)f b f a -C ．1[(3)(3)]3f b f a - D ．3[(3)(3)]f b f a - 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】因为错误！未找到引用源。

人教版高中数学选修2-2学案：1.6微积分基本定理(1)

1.6微积分基本定理（1）【学习目标】1.通过实例(变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义；2.了解微积分基本定理；3.会用微积分基本定理求函数的定积分．【新知自学】知识回顾：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________．记为_______. 2．定积分的几何意义：______________________ ___________________ .新知梳理：1.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，常把)()(b F a F -记成_________，即()()|bbaaf x dx F x ==⎰________________________．2．利用微积分基本定理计算定积分dx x f ba⎰)(的关键是找到满足____________的函数)(x F ，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从 _______上求出)(x F ．3．求导数运算与求原函数运算互为 ___ ．在微积分基本定理中函数)(x F 叫函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数．因为[])()(x F C x F '='+，所以C x F +)(也是函数_________的原函数．对点练习：1.已知)()(x f x F ='，则下列等式正确的是 ( ) A.⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B.⎰-=ba b F a F dx x f )()()(C.)(lim )(1i ni ban F nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=D.x F nab dx x f i ni ban ∆-=∑⎰=∞→)(lim )(1ξ． 2．已知⎩⎨⎧<<≤≤-=10,101,)(2x x x x f ，则⎰-11)(dx x f 的值为 ( )A.23B.32- C.32 D.34 3．设⎰⎰⎰===11132sin ,,xdx c dx x b dx x a ，则c b a ,,的大小关系是( )A.c b a <=B.c b a >=C.c a b <<D.a b c >> 4.计算下列定积分：（1）dx x 3131）（⎰；（2）dx x⎰211.【合作探究】典例精析：例1. 求下列定积分: (1) dx x x ⎰-12)(；(2) dx x x ⎰+20)sin 3(π；变式练习：求下列定积分: (1) dx x x⎰+232)43(；(2)dx ⎰1x .例2.求下列定积分: (1) ⎰πcos xdx ；π变式练习：求下列定积分:（1）dx x x 2202cos 2sin ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+π；（2）xdx ⎰22-2cos ππ.规律总结：利用微积分基本定理求定积分,实质上是求导数逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时注意以下两个方面：（1）熟练掌握基本函数导数及导数的运算法则，学会逆运算；（2）当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解.【课堂小结】1. 由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于（）A.1B.34 C.32D.312.如果⎰⎰-==1201)(,1)(dx x f dx x f ，则⎰=21)(dx x f ．3.（1）dx x ⎰πsin =________；（2）dx x ⎰π20sin =_________．4.求下列定积分的值 (1)dx x⎰311；（2）dx e x ⎰22.【课时作业】1.dx x1312⎰=_____________. 2.⎰-=-1121dx x ． 3.dx x x10⎰=___________________.4.求下列定积分的值 (1) dx x e ⎰++1211；（2）dx xx x⎰-20sin cos 2cos π;(3) dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-31212.5.已知()623113+=-++⎰-a dx b a ax x且()d x b a ax x t f t⎰-++=033)(为偶函数，求b a ,的值.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°Da +b-aa45°E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +bx -b-ab45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

高二数学(人教A版)选修2-2导学案设计：1.6微积分积分定理(无答案)

编号： gswhsxxx2-2-01012文华高中高二数学选修2--2 第一章《导数及其应用》1.6 微积分积分定理导教案学习目标：1. 经过实例直观认识微积分积分定理的含义;2. 娴熟地用微积分积分定理计算微积分.3.研究导数和定积分的联系重难点：1.基本初等函数地求导公式:2.导数运算法例:3.连续函数 f ( x) 在 a,b 上的定积分定义:4.定积分的性质:学习方法认识并掌握导数的观点及求法。

学习过程一．【知识点实例研究】看课本 57— 59微积分基本定理: __________________________________________________假如 f (x) 是区间 a,b 上的连续函数而且 F / (x)bf ( x) ,那么 f ( x)dx ___________a二．典型例题例 1.计算以下定积分:2 13 1 )dx (1) dx (2) (2xx 21 x 1例 2.计算以下定积分 : sin xdx ,22 sin xdx ,sin xdx .由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.例 3.计算以下定积分 :2 x 2)dx2x 22x 3 (1) (4 2x)(4(2)dx1x3241 ) dx(4)x) dx(3) ( xx (12x1(5) 2(3x sin x)dx22 )dx (6) (e x1x1 (7)e2 x dx3 (9) 2 x dx1(11) 2 (sin2x)dx02(13)1x dx0x 1本节课我最大的收获是: (8) 4 cos2xdx61x2 dx (10)x0 1ax 2 dx (12) a2我存在的迷惑有:《微积分积分定理》节节过关达标检测班级组名学生姓名1.以下各式中 ,正确的选项是b /( x) dxf / (b) f /(a)b/ ( x)dx f / (a)f / (b) A.f B.faabf /(x)dxf (b) f ( a)b/ ( x) dx f (a)f (b)C.a D.fa2.已知自由落体的运动速度 v gt (g 为常数 ),则当 t1,2 时 ,物体着落的距离是A.1B. g 3D. 2ggC. g21)dx 32a(2xln 2, 则 a 的值是3.若1x1 x 2dx 等于4. 11A.4B.2C.D. 217115. f ( x) 是一次函数 ,且f ( x)dx5, xf (x)dx ,那么 f (x) 的分析式是6A. 4x3B. 3x4C. 4x 2D. 3x 46.a 1) dx8 ,=()已知(2xa则 a7.设 f ( x) 是奇函数 ,求af (x)dx =()ax 2 , x 0,128.设 f ( x),求f ( x)dx2 x, x 1,2。

【B版】人教课标版高中数学选修2-2《微积分基本定理》导学案

微积分基本定理预习案自学指导1.计算山坡的高度（结合课本内容P40）（1）在爬山路线上每一点(,())x F x ，山坡的斜率为；（2）将区间[,]a b n 等分，记x = ；以1[,]k k x x +为例。

EF 为曲线过点E 的，斜率为；于是GF= ,GH= , 当x 很小时，GH≈GF,即有1()()k k F x F x +-≈ 这样我们得到了一系列近似等式（见课本）（3）山高12()()n h h h h F b F a =+++=-≈ ；由定积分的定义知，当0x →时，；由此可见这一公式告诉我们学习案一.微积分基本定理如果'()(),F x f x =且()f x 在[a,b]上可积，则，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数..一般地，原函数在[a,b]上的改变量()()F b F a -简记为()|ba F x ，因此，微积分的基本定理可以写成形式 .注意：（1）若'()(),F x f x =则()F x 叫做()f x 的一个原函数.但是[()]'()F x C f x +=，所以()F x C +都是()f x 的原函数.（2）探究一：求积分的关键是（3）探究二：利用公式求平面图形面积的步骤：（4）探究三：判断下列式子是否成立①()()b ba a Cf x dx C f x dx =⎰⎰；其中C 为常数； ②设(),()f x g x 可积，则[]()()()()bb ba a a f x g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；③()()b aa b f x dx f x dx =-⎰⎰； ④()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰二、典例分析1、求定积分例1：求下列定积分（1）2230(34)x x dx +⎰；（2）122(2)x dx --+⎰；（3）3311(2)x dx x -⎰.2、求面积例2：求24y x =-和0y =围成的区域面积.例3：求2y x =和3y x =围成的区域面积.三、当堂检测1、计算下列定积分（1）302xdx =⎰ ；（2）0=⎰ ;（3）211dx x =⎰；（4）2211dx x =⎰ ；2、求曲线y 4,0x y ==所围成的曲边梯形的面积。

1.6微积分基本定理-人教版高中数学选修2-2课件

1.6 微积分基本定理
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大，即t越小时，区间[a, b]的划分就越细，
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax，则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex，则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x，则f
'(x)