32圆的对称性(1)垂径定理
3.3垂径定理
CD⊥AB,
M
O C A N M A O C
结论： MN⊥AB 直线MN过圆心 ⌒ ⌒ AM=BM AC=BC ⌒ ⌒ AN=BN 推论1. 平分弦（弦不是直径）的直 B 径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧。
一个圆的任意两条直径总是 互相平分，但是它们不一定互相 垂直,因此这里的弦如果是直径， 结论就不一定成立.
垂径定理
AB是⊙O的一条弦 ,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. C
A
M└
●
B O
题设
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
AM=BM,
⌒ ⌒ AC=BC,
D
⌒ ⌒ AD=BD.
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
∵ CD是⊙O直径,
⌒ =BC, ⌒ AD=BD. ⌒⌒ ∴AM=BM, AC
A
M
∟
B
A
B
C O C D O
D
N
（1）
（2）
回味引伸
垂径定理及其推论的实质是把 (1) 过圆心 ; (2) 垂直弦; (3) 平分弦; (4) 平分优弧; (5) 平分 劣弧 五个元素中的两个作条件，其余三个元素 作结论，共可以得到十个定理。其中，平分弦 作条件时，必须明确弦不能是直径。
B
3.已知:如图,⊙O中,C为弧AB的中点,OC 交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求⊙O的半径 A OA.
.
D
r-1
B
O
2.已知:AB是⊙O直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD. 求证:EC＝DF
证明:过 O作 OM ⊥ CD于 M ∴ CM = DM ∵ AE ⊥ CD, BF ⊥ CD ∴ AE / /OM / /BF ∵ AO = OB ∴ EM = FM ∴ EM - CM = FM - DM, 即 EC = DF
3.3(1)垂径定理
在半径为50mm的圆O中， 有长50mm的弦AB，则 ∠AOB= 度； 点O到弦AB的 O 距离为 mm.
A
C
B
C
练3：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为 A 10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
E
G O F
B
D
A
练习:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
1. 圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形，每一条 2.它有几条对称轴? 直径所在的直线都是它的对 称轴 . 3.圆的对称轴是 .
O
如图, AB是⊙O的一条弦, CD是⊙O直径， AB⊥CD 把⊙O沿着直径CD对折，哪些线段及哪些 弧互相重合？
C
（平分弦） AE BE
O
（平分弦 等 AD BD A 所对的弧） 弧 AC BC
D
E O
C
B
O
A
C E D
B
已知: 如图，在以O为圆心的 两个同心圆中, 大圆的弦 AB交小圆于C、D两点。 求证：AC＝BD.
O A C E D B
.
挑战自我画一画
•如图 ,M 为 ⊙ O 内的一点 , 利用 尺规作一条弦AB,使AB过点M. 并且AM=BM.
●
M
●
O
挑战自我画一画
•如图 ,M 为 ⊙ O 内的一点 , 求作 一条弦 BC ，使 BC 是所有过点 M的弦中最短的弦.
总结回顾
１．本节课主要内容：
（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．常用辅助线： （1）半径; （2）弦心距. A C
圆的对称性垂径定理
垂径定理（一）一．教学目标：1、使学生理解圆的轴对称性。
2、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决相关弦的计算和证明问题。
3、激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的水平。
二．教学重点：垂径定理及其应用。
以及垂径定理的证明。
四．教学过程：（一）．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（二）．定理的证明，并分析定理的题设和结论。
给出定理的推理格式题设 结论⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎭⎬⎫直线平分弦所对劣弧直线平分弦所对优弧平分弦直径直线直线垂直于弦直线过圆心（直径）)( 即 CD 是直径 AE=BE弧AC=弧BC CD ⊥AE 弧AE=弧BD题设中的两个条件缺一不可。
圆的半径r 、圆心到弦的距离d 、弦a 、三个量之间的关系式：基本图形（求弦长、半径、弦心距、弓高）试一试：下列图形能够使用垂径定理吗？为什么？2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a d r D OC B A（四）．定理的应用1．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
2 ．已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC=BD 。
（法一：三角形全等； 法二：垂径定理）变式训练：问题1：如图1，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD问题2：把圆中直径AB 向下平移，变成非直径的A BC D ．O弦AB，如图2，是否仍有AC=BD呢？问题3：将图2变成图3，则有①EA=_____，②EC=______。
试证明。
问题4：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，求证：AC=BD问题5：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐，得图5，设AO=BO，求证：AC=BD问题6：在图5中，已知AC=BD，求证：OA=OB3. 如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB//CD( (AC和BD相等吗？为什么？4．如图5，⊙O中AB⊥CD，垂足为P，⊙O半径为5，AB=8，CD=7，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F为垂足，求四边形OEPF的周长。
圆的轴对称性与垂径定理
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
仍与原来的圆重合。
C
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
点此继续
∵把圆心角等分成功360份,则每一份的圆 心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
A
如图：
B
AOB= COD
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧A 有什么关系？ B
如图： AOB= COD
o
C
D
∵∠AOB= ∠COD,
∴半径OB与OA重合，
∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。
∴ AB=CD， 根据圆的性质，A⌒B与C⌒D重合。
此时，称作
两条圆弧相等。
记作:“A⌒B=C⌒D”
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆的垂径定理课件
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2
3.2.1圆的对称性(垂径定理)
圆对称性(1) 圆对称性(1) 3.2 垂径定理
3.2
圆的对称性
复习提问: 复习提问:
1,什么是轴对称图形?我们在直线形中学过哪 什么是轴对称图形? 些轴对称图形? 些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折, 如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形. 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形.如 线段, 等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 正方形
推论1. 推论 (1)平分弦(不是直径) 平分弦( 平分弦 不是直径) 的直径垂直于弦, 的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧. 弦所对的两条弧. A
M
一个圆的任意两 C 直径总是互相平分, 条直径总是互相平分, 但是它们不一定互相 垂直. 垂直.因此这里的弦 如果是直径, 如果是直径,结论就 不一定成立. 不一定成立.
O
D
B N
M
O
C A B N
探索二:
② MN⊥AB MN⊥ ③ AC=BC
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ④弧AM=弧BM AM=弧 ⑤弧AN=弧BN AN=弧
推论1: 推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C A B N
探索三:
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ⑤弧AN=弧BN AN=弧
A B D C M
●
1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧
A C
●
O
O
B D
M
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
圆的对称性(垂径定理)
pPC p2 1
注意圆的轴对称性
B
• 练一练二： 1、过⊙O内一点P，最长弦为10， 最短弦长为8，则OP的长为 。 2、如图，AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为5，OC⊥AB于点D， 交⊙O于点C，且CD＝l， 则弦AB的长是 ． 3、已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC=_____。
C
M└
●
D O
⌒ ⌒ A、AC=AD
⌒ ⌒ B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的 距离= 25√3mm .
●
B
O
• 你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
D
垂径定理的逆定理
发现图中有: 由① CD是直径 ③ AM=BM
C
┗
●
②CD⊥AB,
可 推 得
④AC=BC,
⑤AD=BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
A
M ●O
B
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧
D
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ③ ① CD是直径, ② CD⊥AB, AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余 三个结论. 你可以写出相应的命题吗? C B 相信自己是最棒的! A
M
A
C
N
O
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
圆的对称性—垂径定理 Microsoft PowerPoint 演示文稿
h d O
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r =d +( ) 2
2 2
作业评讲 ：
（1） 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是 如图， CD是直径 AB是 是直径， CD⊥AB，已知CD 20， 4， AB。 弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。 C 连接OA 解：连接 M B A ∵ CD = 20 ∴ AO = CO = 10 ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6 O 在⊙O中，直径 ⊥弦AB，由垂径 中 直径CD⊥ ， 定理得 ∴ AB =2AM △OMA是Rt △ 是 D 在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6 中 ，
圆的对称性
——垂径定理
活动一
探讨圆的对称性
（1）圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
• 圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 任意一条经过圆心的直线 数条对称轴. 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
O
F E G
B D
延伸提高
1.过⊙O内一点 的最长弦为 ㎝，最短弦为 ㎝，则 过 内一点A的最长弦为 内一点 的最长弦为10㎝ 最短弦为8㎝ OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径 和CD相交于点 。已 已知： 的直径AB和 相交于点 相交于点E。 已知 如图， 的直径 知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 ㎝ ㎝ ， 的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中弧 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 即图中弧CD, 是弧CD的圆心 其中CD=600m,E为弧 上的一 为弧CD上的一 点O是弧 的圆心 其中 是弧 的圆心),其中 为弧 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径 求这段弯路的半径. 点,且OE⊥CD垂足为 且 ⊥ 垂足为 求这段弯路的半径 C
圆的对称性、垂径定理 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
知识点2：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。
知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：(1) OE 等于O F 吗？(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？例2如图，AB 是⊙O 的直径．(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。
例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数() A．200B．600 C. 400D．500例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点5：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
27.1.2 圆的对称性(垂径定理)-2020-2021学年华东师大版九年级数学下册课件
解:连结OA,过O作OC⊥AB,垂足为C，
60cm
则AC=
OC=OA－10.
A
在Rt△AOC中，
∵ AC=30,OC=OA－10, OA2=AC2+OC2,
∴ OA2=302+(OA－10)2,
C
10cm
B
O
解得:OA=50. ∴ 内径为2×50=100.
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道.
D
几何语言：
∵CD是直径 ，A⌒C=B⌒C,
O
∴ AB⊥CD, AP=BP.
方法总结
A
PB
C
一条直线如果具有：
“①经过圆心(直径), ②垂直于弦 , ③平分弦 ，,④平分弦
所对的一条弧, ⑤平分弦所对的另一条弧”中的任意两条
性质，那么就具有其余三条性质(具有①和 ③时,所说的弦
不能是直径).
C
O
A
(1) 常用的辅助线： ①作半径； ②过圆心作弦的垂线（段） ；
(2)半径、半弦长、弦心距组成的 直角三角形是研究与圆有关问题的 主要思路，它们之间的关系：
O．
ad r
A hC
B
D
图中：
半径OB=r 弦长AB=a 弦心距OC=d
CD=h
在a、r、h、d 四个量中，已知其中两个量，可以求出另外两个量.
结论也成立；
(2)垂径定理由两个条件和三个结论组成： 条件:①直径;②直径垂直于弦;
结论:①直径平分弦；②直径平分弦所对的优弧； ③直径平分弦所对的劣弧.
即时应用
判断题：
(1)过圆心的直线平分弦.
(错)
(2)垂直于弦的直线平分弦.
(错)
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE. (对)
4.1圆的对称性(1)垂径定理
图中相等的线段有
图中相等的劣弧有:
3、已知：如图，⊙O 中，AB为弦，C为 的中点，OC交 AB
AB于D，AB = 6cm ，CD = 1cm
，求⊙O
的半径OA.
等腰三角形的性质及勾股定理在圆 的有关计算中应用非常广泛
①
垂径定理：
②
如何判断圆的圆心的位置
弦的垂直平分线必定经过圆心！
③ 在解有关题目的时候，
= BD AD
总结：垂径定理
过圆心的直线或线段
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
交流合作：
问题1：弦的垂直平分线一定过圆心吗？ 你还能得到什么结论？ 问题2:(如图)AB,CD为⊙O的弦，
你能确定圆心的位置吗？
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥是圆弧形，它
的跨度（弧所对的弦长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距 离，也叫弓形的高）为7.2m。
常利用直角三角形的勾股定理！
作业
37.4 m
求桥拱的半径。
分析：
OA R
AD 37.4 2 18.7
OD R 7.2
7.2 m
勾股定理
？ ？
注意过程的写法！
解：设拱桥的半径为R米
点C为 的中点 AB
7.2 m
37.4 m
OC AB, AD BD 1 1 AD AB 37.4 18.7 2 2 2 2 2 即：R 18.7 ( R 7.2) CD 7.2
D
1、线段AM与BM有什么关系？
2、 与 BC 有什么关系？ AC 3、 与 BD 有什么关系？ AD
A M C B
1、AM=BM 如果连接OA,OB,△OAB是什么三角形？ 2、AC = BC 3、 = BD AD
垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-
圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。
圆的对称性——垂径定理
§3.2 圆的对称性——垂径定理教学目标:知识与技能理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理；过程与方法经历探索圆的对称性及垂径定理的过程；情感态度价值观培养学生细心观察、积极思考归纳的数学学习习惯和积极探索数学问题的态度与方法。
教学重点:垂径定理及其应用．教学难点:垂径定理及其应用．教学方法:目标分层教学法教学过程:一、前提测评已知：AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，填空：(1)若AB=CD，则；(2)若OE=OF，则；(3)若弧AB=弧CD，则；(4)若∠AOB=∠COD，则。
二、目标展示（一体机展示）三、导学达标1．实践探究一： AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC ，即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB由此，我们得到下面的定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．实践探究二：AB是⊙O的一条弦（不是直径），做直径CD，使AE=BE．（1）下图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？为什么？我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．达标练习一：（1）已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F。
图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有。
（2）判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）5．例1已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA。
圆的轴对称性与垂径定理PPT课件
有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
2020年10月2日
20
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
?
AOB= COD
B
o
C
D
2020年10月2日
21
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
2020年10月2日
22
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
2020年10月2日
23
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
2020年10月2日
24
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
17
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
2020年10月2日
仍与原来的圆重合。
18 继续
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
N' N
O
如图中所示， NO N '就是一个圆心角。
2020年10月2日
点此继续 19
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧
B
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2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
驶向胜利 的彼岸
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
M 直做径半将圆圆(如分弧⌒成A两BC部).分,每一部分都叫
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
C D
两大个于字半母圆). 的弧叫做优弧,如记作A⌒MB
(用三个字母).
做一做P89 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
老师提示:
垂径定理是
圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做P91 7
A⌒mB
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
驶向胜利 的彼岸
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
独立作业P911 6
挑战自我
P93:习题3.2
驶向胜利 的彼岸
2题
• 不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做P90 5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
C
A M└ ●O
D
∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试P93 13
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想 P90 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试P93 12
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
想一想P91 8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,