32圆的对称性(1)垂径定理
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∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想 P90 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
驶向胜利 的彼岸
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
老师提示:
垂径定理是
圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做P91 7
A⌒mB
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做P90 5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
C
A M└ ●O
D
∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB”.
连接圆上任意两点wk.baidu.com的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
M 直做径半将圆圆(如分弧⌒成A两BC部).分,每一部分都叫
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
C D
两大个于字半母圆). 的弧叫做优弧,如记作A⌒MB
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试P93 12
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试P93 13
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
想一想P91 8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
驶向胜利 的彼岸
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
独立作业P911 6
挑战自我
P93:习题3.2
驶向胜利 的彼岸
2题
祝你成功!
结束寄语
下课了!
• 不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
(用三个字母).
做一做P89 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
想一想 P90 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
驶向胜利 的彼岸
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
老师提示:
垂径定理是
圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做P91 7
A⌒mB
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做P90 5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
C
A M└ ●O
D
∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB”.
连接圆上任意两点wk.baidu.com的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
M 直做径半将圆圆(如分弧⌒成A两BC部).分,每一部分都叫
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
C D
两大个于字半母圆). 的弧叫做优弧,如记作A⌒MB
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试P93 12
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试P93 13
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
想一想P91 8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
驶向胜利 的彼岸
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
独立作业P911 6
挑战自我
P93:习题3.2
驶向胜利 的彼岸
2题
祝你成功!
结束寄语
下课了!
• 不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
(用三个字母).
做一做P89 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,