大学物理(上)期末复习题

1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：

(1) 质点在运动开始后 s 内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．

1 -13 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t 2

,式中a 的单位为m·ｓ-2

,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1

,求质点的运动方程．

1 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a ＝A -B v ,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．

解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．

(1) 由题意知 v v

B A t

a -==

d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为

t B A d d =-v

v

(2)

将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

⎰⎰

=-t t B A 0d d d 0

v v

v

v

v

得石子速度 )1(Bt e B

A

--=v 由此可知当,t →∞时,B

A

→v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由)1(d d Bt e B

A

t y --==

v 并考虑初始条件有 t e B A y t Bt

y d )1(d 00⎰⎰--=

得石子运动方程

)1(2-+=

-Bt e B

A

t B A y 1 -22 一质点沿半径为R 的圆周按规律202

1

bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量．(1) 求

t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b (3) 当加速度达到b 时,

质点已沿圆周运行了多少圈

解 (1) 质点作圆周运动的速率为

bt t

s

-==

0d d v v 其加速度的切向分量和法向分量分别为

b t s a t -==22d d , R

bt R a n 2

02)(-==v v

故加速度的大小为

R

)(4

02222bt b a a a a t t

n

-+=

+=v 其方向与切线之间的夹角为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--==Rb bt a a θt n

20)(arctan arctan v

(2) 要使｜a ｜＝b ,由

b bt b R R

=-+4022)(1

v 可得 b

t 0v =

(3) 从t ＝0 开始到t ＝v 0 /b 时,质点经过的路程为

b

s s s t 220

0v =-=

因此质点运行的圈数为

bR

R s n π4π22

v ==

1 -24 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等

解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t t

θ

ω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为

22s

2s m 30.2-=⋅==ωr a t n 2s

2s m 80.4d d -=⋅==t

ω

r

a t t

(2) 当222

12/t n t a a a a +=

=时,有2

23n

t a a =,即 ()()

4

222

12243t r rt =

得 3

213

=t

此时刻的角位置为

rad 15.3423=+=t θ

(3) 要使t n a a =,则有

()()

4

222

12243t r rt =

t ＝ｓ

2 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为 ×103

kg ．飞机以55.0 m·ｓ-1

的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝ ×102

N·ｓ-1

,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．

解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有

d d F m

t t α==-v

⎰⎰-=t t m t α0d d 0v v v 得 2

02t m

α-=v v

因此,飞机着陆10ｓ后的速率为

v ＝30 m·ｓ-1

又

⎰⎰⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=t x

x t t m αx 0200d 2d v 故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离

m 46763

00=-

=-=t m

αt x x s v 2 -20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m·ｓ-1

竖直向上发射,物体受到空气的阻力为F r ＝kv,且k ＝ N/( m·ｓ-1

)．(1) 求物体发射到最大高度所需的时间．(2) 最大高度为多少

解 (1) 物体在空中受重力mg 和空气阻力F r ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得

t

m

k mg d d v

v =-- (1) 根据始末条件对上式积分,有

⎰⎰

+-=v

v v

v

v

d d 0

k mg m t t

s 11.61ln 0≈⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

mg k k m t v (2) 利用

y

v

t d d d d v v =的关系代入式(1),可得 y

m k mg d d v

v

v =-- 分离变量后积分