人教版八年级上册第十二章全等三角形专题复习盘点

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形专题复习盘点

全等三角形是中考设计考点密度较大的一章，全面、规范、有效复习掌握《全等三角形》的知识，把握考点，消除易错点，训练提升问题解决能力，是复习的最高目标.

一、重点难点

1.重点：

（1）准确掌握三角形全等的基本判定方法，并能灵活运用证明三角形的全等；

（2）熟练运用三角形全等的性质，并能以此进行线段的长度，线段的相等，角的大小计算等计算;

（3）准确掌握角的平分线的性质和逆性质，为基本计算题的顺利完成提供支撑；

（4）掌握直角三角形全等的特别判断方法，注意方法的使用条件，不能随意使用.

2.难点：

（1）全等三角形证明中的判定方法的选择；

（2）全等三角形性质的活用.

(3)全等三角形的构造与证明.

二、高频考点

考点1三角形全等判定定理的运用

例1 (2019年邵阳)如图1，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）

分析：∵∠A=∠A，AD=AE，∴可添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS.∴可以添加的条件：AB=AC或∠ADC=∠AEB 或∠ABE=∠ACD.

解：可以添加的条件：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.

点评：这是一道条件添加开放题，是数学创新题型的代表之一，牢记全等三角形的判定方法是解题的关键．

考点2 三角形全等的性质

例2 (2019年浙江省温州市)如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．

（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．

分析：把中线转化为一组等线段，为三角形全等提供条件；利用平行线的性质，提供等角，为三角形的全等提供角元素.

解：（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3，

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵ BD=CD，∠ADB=∠ADC，AD=AD，

∴△ADB≌△ADC（SAS），∴AC=AB=3．

点评：熟练运用三角形判定定理准确判定三角形的全等，后借助三角形全等的性质，可以证明线段的相等，求线段的长.这是三角形全等的一种重要的题型，要熟练掌握.

考点3 用角平分线性质，探求角的大小

例3（2019•大庆）如图3，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°

分析：利用角平分线中，部分与整体的关系，外角与不相邻内角的关系可以实现解题的目标.

解：∵BE平分∠ABC，∴∠EBM=1

2

∠ABC，∵CE平分∠ACM，∴∠ECM=

1

2

∠ACM，∴∠BEC=∠

ECM-∠EBM=1

2

×（∠ACM-∠ABC）=

1

2

∠A=30°，∴选B．

点评：直接用分等角等于原角的一半是解题的关键.此题也可以引申为一个一般性结论用. 在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，那么

∠BEC=1

2

∠A.

考点4 结论判断中的全等与角的平分线

例4（2019•滨州）如图4，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1

分析：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，∴①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，∴②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图4所示，∴∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，∴④正确；正确的个数有3个.

解：选B.

点评：探索结论将是数学学习与探究的重要内容，是数学创新精神的熠光体现.

考点5 全等中的计算综合

例5 如图5，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，AD,CE分别是△ABC的角平分线，且AD，CE 交于点P.（1）求∠DPC的度数；（2）若AE=3,CD=8，求AC的长.

分析：（1）运用三角形的内角和定理，角平分线性质定理，三角形外角和定理即可求得；（2）采用截长法，运用上述学到性质和方法可以计算出AC的长度.

解：

（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝120°，∵AD,CE分别是△ABC的角平分线，

∴1

2∠BAC+1

2

∠ACB＝60°即∠DAC+∠ECA＝60°，∵∠DPC是△APC的一个外角，

∴∠DPC=∠DAC+∠ECA，∴∠DPC＝60°；

（2）在AC上截取CF=CD，∵CE平分∠ACB，∴∠PCF=∠PCD，∵PC=PC，∴

△PCF≌△PCD，∴CD=CF, ∠DPC=∠FPC＝60°，∴∠EPA=∠FPA＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAP=∠FAP，∵AP＝AP，∴△APE≌△APF（ASA），∴AE=AF，

∵AC=AF+CF，∴AC=AE+CD=3+8=11.

点评：这是全等三角形性质，角的平分线性质的具体应用，同时解答的过程中，也为同学们提供了一种证明一条线段等于其余两条线段和的重要方法----截长法，希望同学们能熟练掌握这种解题方法并能灵活运用.

考点6 直角三角形全等的证明

例6（2019年黄石）如图6，在△ABC中，∠BAC=90°,E为BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF、EF相交于点F.

（1）求证：∠C=∠BAD；（2）求证：AC=EF.

分析：本题第一问涉及两角相等的证明方法，解答时，同学们要仔细观察两个角的位置关系，根据角的位置关系去选择解题方法，常用方法如下：

1.同角或等角的余角相等；

2.两角分局两个三角形全等三角形的对应角相等；

3.遇到平行线两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.

第二问，涉及证明线段的相等，常用的方法是三角形全等法.

解：

（1）方法1：∵AB=AE，D为线段 BE的中点，∴BD=DE，∵AD=AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠ADB=∠ADE=90°, ∴∠C+∠DAC=90°；

∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD；

方法2：∵AB=AE，D为线段 BE的中点，∴BD=DE，∵AD=AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠ADB=∠ADE=90°,∴AD⊥BE, ∵AF∥BC, ∴AD⊥AF，∴∠FAC+∠DAC=90°；∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠FAC=∠BAD,∵AF∥BC,∴∠FAC=∠C，∴∠C=∠BAD；

（2）∵△ABD≌△AED（SSS），∴∠EAD=∠BAD，∴∠C=∠EAD=∠BAD.

∵EF⊥AE,∴∠FEC+∠AED=90°,∵∠EAD+∠AED=90°,∴∠FEC=∠C=∠EAD=

∠BAD.∵AF∥BC,∴∠FEC=∠F，∴∠F=∠C，∵AB=AE, ∠BAC=∠AEF=90°,

∴△BAC≌△AEF（AAS），∴AC=EF.