第一章8质点力学

（4） 质点的动量矩
定义: 动量对空间某点或某轴的矩, 叫做动量矩,
也叫角动量
质点对O点的动量矩：
L
L
r
p
r
mv
mv r o
L rp sin mvr sin kg ·m2·s-1
质点对轴的动量矩：Lx myz zy, Ly mzx xz, Lx mxy yx
3 质点的动量矩定理
按动量矩的定义：
§1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
导读
• 动量定理与动量守恒律 • 力矩与动量矩(角动量) • 动量矩定理与动量矩守恒律 • 动能定理与机械能守恒律 • 势能曲线
牛顿运动定律：
F
ma
F
d
(mv)
dp
dt dt
dp
F
dt
如果力的作用时间从 t0 ，质t 点动量从
p po
dp
t F dt
分开的曲线称为 “相分界线”.
V/mgl
(2)
摆锤的速度 v
l
,
故动能为
Ek
1 2
ml22 ,
从而
E
Ek
V
1 2
ml22
( x0
)
1 2
V
''
( x0
)x2
对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量. 由于坐标原
点选择具有任意性, 我们设x0=0, x=x, V(x0)=0,上式简
化为:
V
(x)
1 2
V
' ' (0) x 2
,这代表一根抛物线. 将机
械能守恒定律改写为
1 2
mv2
E
V
(x)
E
1 2
V
' ' (0) x 2
L
r
mv
两边对时间求导：
dL
dr
mv
r
d
(mv)
dt dt
dt
其中：
dr v dt
所以：
dr mv 0 dt
又
d
(mv)
F
dt
M
r
F
dL
dt
动量矩定理： 质点所受的合外力矩就等于角动量对 时间的变化率.
t2
t1
Mdt
L2
L1
合外力矩的冲量矩等于质点系动 量矩的增量。
质点的动量矩守恒定律: 若质点不受力的作用,或者虽 然受力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。
v l g sin
积分 变量变换
dd g sin d dt l
d 0 g sin d
0
0 l
2
2g l
(1
cos 0
)
v2 l 22 2gl(1 cos0 )
5 一维势能曲线 物体一维运动的势能曲线 V(x)
Baidu NhomakorabeaV V (x)
E1
对一维运动,只要力是坐标 的单值函数,一定是保守力.
to
p0 p
1 质点动量定理：
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动 量的增量
I
t F dt
to
p p0 mv mv0
平均冲力：
F
1
t F dt
t t0 to
F
冲量：I Ft
t F dt
to
p
po
F
F(t)
t
动量守恒定律
质点所受合外力为零时, 质点的动量保持不变
V ''(0)
动能: 物体由于运动而具有的能量
如何定量!!
y
伽利略:重的东西在坠落时所
h
获得的冲力(动能),足够使它回 dy
ds
到原来的高度.
O
Pv
x
质点P以速度v沿任意光滑曲线向
上冲, 看它能够上升的高度
从牛顿运动方程, 经过计算做功得到 1 mv2 mgh 2
物体由于运动而具有的能量
y
1 mv2 mgh 2
（iv）在势能曲线任何极小点附近, 质点可能围绕着 它做小振动. 可以如下计算振动周期
（v）以A点(x0)为例, 计算小振动的振动周期
显然势能在这里一阶导数为零, 二阶导数大于零. 在 x=x-x0不大的范围内, 把势能函数展开成泰勒级数:
V
(x)
V
( x0
)
V
'
(
x0
)x
1 2
V
'
'
(
x0
)x2
V
Fx=0. 但是, 由于各点附近曲线的形
B
状不同,将导致不同的结果.
F
A、C两点是势能曲线的极小点，有
d2U/dx2>0, 即
A
C
d dU dFx 0 dx dx dx
说明力F是回复力, 意味着在这两点的平衡是稳定平衡. 在B点, 平衡是不稳定的. 在D点, U是常量 ,平衡被称 为随遇平衡, 最后在F点, Fx>0, 质点将向右运动.
单位：J
质点动能定理:
A
1 2
mvb 2
1 2
mva 2
Ek b
Ek a
(2) 机械能守恒定律
如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内
力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持 不变. 这个系统也常称为保守系.
F V
力是保守力
1 2
mv2
1 2
mv02
V (x0 ,
y0 , z0 ) V (x,
mg
横向: mg sin mL
(2)
改写方程(2) g sin 0
L 对于小角度, sin~, 方程简化为
通解为 Acost 0
(3)
g 0
L
考虑初始条件 (t 0) 0,(t 0) 0
得到解
0 cos 0t ,
02
g L
对于一般情况, 方程(3)可积分一次得到
曲线如图所示,它在 = 0处有极小值,即这里是稳定平衡点.
表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表 动能Ek. 因为动能恒正, 所以运动只能在势能曲线低于水 平线的范围内才能实现, 则虚线的位置标示着振幅.
当H = 0.1时振幅很 小,曲线是一个椭圆; H = 2对应于振幅为 的情况, 曲线仍闭合, 但两端凸出略呈尖 角状; H = 3.5时曲线 分裂成上下两支, 分 别对应于摆锤顺时 针和逆时针的旋转; H = 2是介于往复摆 动与单向旋转之间 的临界状态, 它在两 端交叉成尖角,此处 对应于摆锤在正上 方的不稳定位置.这 条把两种运动形式
M
z
rF
F F
对转轴的力矩.
d
M
r
F
对于定轴转动，规定：
力矩逆时针方向 力矩顺时针方向
M为正. M 为负.
求作用力 F 对空间某轴的力矩,
考虑分量,力对原点的力矩为
M
r
F
i x
j y
k z
z(L) Fz
r
Fx
O
Fy y
Fx Fy Fz
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
xFy yFx
F2 PO2 F1 PO1 F O1O2
A O1
F1
F2
r
O2 B
力偶的任一力和两力作用 线间垂直距离的乘积,等于 两力对垂直于力偶面的任 意轴线的力矩的代数和. O1O2称为力偶臂.力与力偶 臂乘积为力偶矩.
M
-F
F
力偶矩是力偶唯一的力学效果, 是矢量. 但这个矢量 可以用垂直力偶面的任一直线表示, 方向用右手螺旋 法则确定. 由于力偶矩可作用于力偶面上任何一点, 这种矢量是自由矢量. 像力等不能改变作用线的矢量 叫滑移矢量.
y,
z)
1 2
mv2
V
( x,
y,
z)
V
(x0 ,
y0 ,
z0
)
1 2
mv02
第一积分或初积分
• 如果方程 Gx (x, y, z, x, y, z,t) c
对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为 牛顿运动方程的第一积分或初积分. • 数学上：二阶微分方程降为一阶 • 物理上：力学量 G 是一个守恒量
F
O r
d
作用力 F对参考原点O 的力矩定义为：
M
r
F
单位：N·m
M
r
F
M
F
O r
d
力矩的大小： M Fr sin 力矩的方向： 位矢 r与作用力 F的矢积方向
力臂：作用力线到参考点O 的垂直距离(d =rsin)
（2） 对定轴的力矩
对转轴力矩的定义：
在垂直于转轴的平面 内 轴，的外距力 离dF的与乘力积线定到义转为
h
dy
ds
O
Pv
x
亦即,描述运动的能量在数值上与重力势能相等, 给 出动能的表达式应为
Ek
1 2
mv2
例题 分析如图势能平衡点的稳定性
解:这是一维运动, 物体的速度为
D
B
v 2 E U (x)
F
m
这导致了一个形式方程
A
dx
dt
C
2 E U (x)
m
在A、B、C和D，dU/dx=0, 均有
D
例题 重锤，轻杠，固定 o 点，在竖直平面内圆周运动 t 0
0 ，自由落下，用两种方法，求最低点的速度.
解1：受力分析：mg T 机械能守恒：
0
mgl
cos 0
1 2
mv2
mgl
v2 2gl(1 cos0 )
0
0
T
P
v mg
解2：运动微分方程 自然坐标系 切向向上为+
mv mg sin
伸长,且质量可以忽略.(1)以角度为参数 做势能曲线,说明图上哪个范围是小球
能够达到的; (2)对于H = E/mgl =0.1, 1, 2, 3.5, 试做角速度与角位移曲线, 并讨论它 们各自对应的单摆运动情况; (3) 求小振 幅时的周期.
l
mg
解: (1)单摆的重力势能为 V ( ) mgl1 cos
d V ''(0)dt
m
两边积分
d
0
V ''(0)
t
dt, then
m0
V
' ' (0) m
t
0
还原到x, 有
x
2E sin
V ''(0)
2E V ''(0)
sin
V
' ' (0) m
t
0
周期T的意思是, 当 t 变化到t + T, 变化到 +2 , x
回到原来的数值. 所以
T 2 m
D B
F
A C
在上图中, 某些区域T=E－U< 0 是经典力学禁止的, 而在量子力学中质点可以以一定的概率进入.
O
例1、单摆是由一质量为m的质点用长为
L的弦或者轻杆悬挂在点O构成的. 假定弦
不能伸长,且质量可以忽略.研究单摆的运
动规律.
L
解: 分析受力, 得到运动方程为
FT
径向: mg cos FT m(L2 ) (1)
&& d&d g sin &d& g sin d
d dt L
L
&2
2g L
cos
cos0
完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出:角度越 大, 频率越低,不是固定频率的形式.
其实只要我们简单考虑(3)
g sin 0 L
就可以看出频率随角度的变化
例2、单摆是由一质量为m的质点用长为 l的轻杆悬挂在某点构成的. 假定弦不能
物理意义明显的初积分： 动量守恒、动量矩守恒、能量守恒
• 由初积分出发问题的求解简化了一步 优先使用守恒律
(3) 保守系与时间反演对称性
时间反演: t t 相当于电视片的倒放效果
考虑:为什么演员飞高时都是穿的紧身衣? 空气阻力
理论:每个质点都满足牛顿运动定律
fi
dpi dt
做时间反演, 动量也反向, 右端不变. 因保守力只与质 点的相对位置有关, 它是时间反演不变的. 所以可逆 过程能够发生. 摩擦力不是保守力.
用x乘(1)，y乘(2)，z乘(3)，并相加得
C1x C2 y C3z 0
由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在 这个平面上运动．
4 动能定理和机械能守恒定律
(1) 动能定理
牛顿方程
m
d2 dt
r
2
F
经过数学运算得到
质点动能定理微分形式
d
1 2
mv2
F•
dr
动能
Ek
1 2
mv2
由此得方程:
dx v 2E 1 V ''(0) x2 或者
dt
m 2E
dx
2E dt
1 V ''(0) x2
m
2E
为了积分方便, 换元令
V ''(0) x2 sin
2E
从而
dx 2E /V ''(0) cosd, 1 V ''(0) x2 1 sin 2 cos
2E 这样, 上述方程化为:
k
上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量, 也就是 力分别对三坐标轴的力矩. 所以求力对轴的力矩, 可 以先求对轴上一点的力矩, 再投影到轴的方向.
（3） 力偶
如果两个平行力F2=－F1=F, 但不作用在同一直线 上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的
力矩不为零.
P为力偶面内的任何一 点,则二力对P的总力矩 值为
E2
A’
A
CB
A’’ B’
B’’
dV (x)
（i）保守力 f dx
x0
x
指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率
（ii）总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高 度，代表质点在该处的动能. 由于经典动能为正, 所 以水平线低于势能曲线的区间, 是具有该能量的质 点不能达到的地段.
（iii）势能曲线在局部的最低(极小)点, 都是稳定平衡 点. 总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范 围内活动. 势能曲线在局部的最高(极大)点, 都是不稳 定平衡点. 总能量略高于它们的质点, 都会远离而去.
M 0 ,
dL 0 ,
L const.
dt
例2、一质点所受的力,如通过某一个定点, 则质点必 在一平面上运动,试证明之.
解: 力所通过的那个定点叫做力心．如取这个定点为坐 标系的原点, 则质点的位矢 r 与F 共线，二者的矢量乘 积为零, 故L 为一恒矢量．所以:
m( yz zy) C1 (1) m(zx xz) C2 (2) m(xy yx) C3 (3)
条件：
Fi 0
若 F 0
则
p mv c
意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.
分量形式：若
F 0
但
Fx 0
则 px mx c
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域
2 力矩与动量矩
（1） 对定点的力矩
设径作为用r力的某F一作点用上于矢
M