武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理.ppt

1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
▪ (2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
m 0
m 1
m 2
m 3
(1)m
m m
(1 1)m 0
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容斥原理
▪ 推论
| A1 A2 An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
A1
500 2
250
A2
500 3
166
A3
500 5
100
A1 A2
500 6
83
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容斥原理
A1 A3
500 10
50
A2 A3
500 15
33
A1 A2 A3
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容斥原理
由题意知， M 170 P 130 C 120 M P 45
M C 20
所求人数为
P C 22
M PC 3
M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
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容斥原理
▪ 例3.3 求a,b,c,d,e,f 六个字母的全排列中不允许出 现 ace 和 df 图象的排列数。 解 A1为出现ace图象的排列的集合，A2为出现df 图象的排列的集合，那么有
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容斥原理
▪ 例 计算1到600中不能被6整除的整数个数。 证 能被6整除的整数个数为
600/ 6 100
所求数的个数为 600100 500
一般，若 A S ，则 | A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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容斥原理
e4x 3e3x 3e2x e x
(4n
3 3n
3 2n
1)
1
xn
n0
n!
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容斥原理
▪ 例3.6 求不超过120的素数的个数。
解 若一个正整数n是一个合数，那么n必能被某个 素数 p n 整除。由112=121知，不超过120的合 数必能被2,3,5,7之一整除。
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容斥原理
▪ 定理3.2
| A1 A2 An |
n
| S | | Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
i 1
Βιβλιοθήκη Baidu
1i jn
1i jk n
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
i 1
1i jn
1i jk n
▪证
(1)n1 | A1 A2 An |
| A1 A2 An || S | | A1 A2 An |
| S | | A1 A2 An |
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容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
第3章 容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
▪ 例 对{1,2,…,n}的排列 i1i2 in 计数，其中 i1 1 。 解 直接计数： (1) i1 2：有 (n 1)! 个； … (n-1) i1 n :有 (n 1)! 个； 共有 (n 1)(n 1)!个 间接计数：i1 1 ：有 (n 1)! 个 所以共有 n!(n 1)! (n 1)(n 1)! 个
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
60
A3
120 3
40
A5
120 5
24
A7
120 7
17
A2 A3
120 6
20
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容斥原理
A2 A5
120 10
12
A3 A5
120 15
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A2 A7
| A1 | 4! | A2 | 5! | A1 A2 | 3!
所求排列数为 | A1 A2 | 6! | A1 | | A2 | | A1 A2 | 6!4!5!3! 582
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容斥原理
▪ 例3.4 N={1,2,…,500}，求N中能被2，3，5整除的 数的个数。
500 30
16
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
▪ 例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。
4n 3 3n 3 2n 1
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容斥原理
另解：设 an (n 0,1,2,...) 为所求的n位符号串数 目，则{an}的指数型母函数为
G( x) (1 1 x 1 x2 )( 1 x 1 x2 )3
1! 2!
1! 2!
e x (e x 1)3 e x (e3x 3e2x 3e x 1)
证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
Ai 3n, i 1,2,3 A1 A2 A3 1
Ai Aj 2n , i j, i, j 1,2,3
A1 A2 A3 4n A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3
A2 A3 A1 A2 A3
▪ 作为上述法则的第一个推广：令S是一个有限集 合，P1, P2是S中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2 ▪ 更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可
能具有的n个性质。令Ai(i=1,2,…,n)是S中具有性 质Pi的元素的集合，则有