关于行列式的一般定义和计算方法
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法（一）n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nnn j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=d c b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为rjir ↔,交换i,j 两列记作Ci322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
计算行列式的方法
计算行列式的方法行列式是一种重要的数学工具，用于描述线性方程组、线性变换等一系列问题。
本文将介绍行列式的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义给定一个n×n的矩阵A，其中元素可以是实数或复数。
这个矩阵的行列式记作，A，或det(A)。
行列式的值用来描述与矩阵A相关联的线性变换的性质。
行列式的定义可以通过以下两种方式之一：1.代数余子式定义：对于2×2的矩阵A，行列式的定义为，A，=a11*a22-a12*a21、其中，a11、a12、a21、a22分别是矩阵A的元素。
2.对角线定义：对于n×n的矩阵A，行列式的定义可以通过以下递归步骤得到：a)当n=1时，行列式的值即为A的唯一元素。
b) 当n>1时，行列式的定义为，A， = a11*，A1 - a12*A2 +a13*A3 - ... + (-1)^(n+1)*a1n*An。
其中，ajk是第一行第k列的元素，A1 - a12*A2 + a13*A3 - ... + (-1)^(n+1)*a1n*An是从第2行开始的矩阵。
二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，以下列举其中一些常用的性质：1.第i行或第j列有一项为0时，行列式的值为0。
2.两行（两列）互换，行列式的值取负。
3.若两行（两列）相同，则行列式的值为0。
4.行按一行（一列）展开，行列式的值等于该行每个元素与其对应代数余子式相乘的和。
5.行列式转置不变，即，A，=，A^T。
6.若矩阵A的其中一行（其中一列）元素全为0，行列式的值为0。
1.按行（列）展开法按行（列）展开法是根据行列式展开式的定义，将行列式分解成代数余子式与对应元素相乘再求和的形式进行计算。
例如，对于一个3×3的矩阵A，展开式为：A，=a11*A11-a12*A12+a13*A13其中，A11、A12、A13分别是与a11、a12、a13对应的代数余子式。
2.三角形式法三角形式法是将行列式通过一系列初等变换，逐步化简为三角形式的计算方法。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的定义计算法
行列式的定义计算法行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论以及其他数学分支中具有广泛的应用。
行列式的计算方法有多种，包括拉普拉斯展开法、行列式性质法和三角行列式法等。
本文将介绍这些行列式的计算方法，并展示如何通过它们来求解实际问题。
首先，我们来了解什么是行列式。
行列式是一个与方阵相关的数值，用来描述矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A=(a_{ij})，其行列式记作|A|或det(A)。
行列式的取值可以是实数或复数。
接下来，我们介绍拉普拉斯展开法。
这种方法通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，将行列式的计算转化为更小规模的行列式计算。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，记为第i行（列）；2. 对第i行（列）的每个元素a_{ij}应用余子式的概念，即去掉第i行（列）和第j列（行）的元素后所得的(n-1)阶方阵的行列式，记为M_{ij}；3. 再对每个余子式M_{ij}乘以对应元素a_{ij}，并以(-1)^{i+j}作为符号；4. 将所有乘积相加，得到行列式的值。
例如，对于一个3阶方阵A，可以选择展开第1行。
展开后的表达式为：|A| = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}。
接下来，我们介绍行列式性质法。
这种方法利用行列式的性质来简化计算过程。
以下是一些常用的行列式性质：1. 交换行列式的两行（列），行列式的值不变；2. 如果行列式中的某一行（列）全为0，那么行列式的值为0；3. 如果行列式中有两行（列）成比例，那么行列式的值为0；4. 行列式可以通过对角线元素的乘积和副对角线元素的乘积相减得到。
通过利用这些性质，我们可以选择合适的行列式变换，使得计算更加简便。
例如，如果某一行的元素全为0，那么可以直接得出行列式的值为0，无需再进行展开计算。
最后，我们介绍三角行列式法。
这种方法通过将方阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，使得行列式的计算更加简单。
具体步骤如下：1. 计算上三角矩阵或下三角矩阵的对角线上的元素的乘积，得到行列式的值。
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法之袁州冬雪创作n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nnn jj j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于分歧行、分歧列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每项都是取自行列式分歧行分歧列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的摆列为123,231,312.它们都是偶摆列;三个负项的列标构成的摆列为321,213,132, 它们都是奇摆列. §行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同.322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1行列式对行知足的性质对列也同样知足.性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如以i 行，j 列.交换 i ,j 两行记为交换i,j 两列记作性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那末这个行列式的值等于零.性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的成果等于用这个常数k 乘这个行列式.（第i 行乘以k ，记作推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面.推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那末行列式值等于零.推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那末行列式值等于零.性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那末行列式D 等于两个行列式D 1和D 2的和性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另外一行（或另外一列）的对应元素上，行列式值不变.推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m 个数之和(m>2)，则此行列式等于m 个行列式之和.一个n 阶行列式，如果它的元素知足：n 为奇数时，此行列式为零.每行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：（1）（2）行列式的计算1．操纵行列式定义直接计算例1 计算行列式解D n中不为零的项用一般形式暗示为该项列标摆列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于2．操纵行列式的性质计算例2 一个n则称D n为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.故行列式D n可暗示为当n为奇数时，得D n=－D n，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式颠末适当变换化为三角形，其成果为行列式主对角线上元素的乘积.因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法.例3 计算n阶行列式解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先操纵列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例4 计算n阶行列式解将D n按第1行展开5．逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式D n找出D n与D n－1或D n与Dn－1, D n－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n, D n－1, D n－2等布局相同），再由递推公式求出D n的方法称为递推公式法.例5 证明证明：将D n按第1列展开得6．操纵范德蒙行列式例6 计算行列式解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且坚持原行列式不变的方法.例7 计算n 阶行列式解：0nnD02,,1101n a n x-+--行减第1行（箭形行列式）8．数学归纳法例8 计算n 阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k 时，有则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n ，有 9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再操纵行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算.例9 计算行列式nn n a a a λ+122 12nnn n aa a aλ+0nn naaλ++……上面先容了计算n阶行列式的罕见方法，计算行列式时，我们应当针对详细问题，掌控行列式的特点，矫捷选用方法.学习中多操练，多总结，才干更好地掌握行列式的计算.证明关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）a-b)3;证明a-b)3=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=（c 2,c 3,c 4减数字去第一列的）=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(4)12211000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+×××+a n -1x +a n.证明 用数学归纳法证明当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立.假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即D n -1=x n -1+a 1x n -2+×××+a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开有=xD n -1+a n =x n+a 1x n -1+×××+a n -1x +a n .因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得nnn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==,D 3=D .证明 因为D =det(a ij ),所以DD n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=同理可证nn n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2DD n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=.7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aa D n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0; 解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开)nn n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)x a a a x a a a x D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0再将各列都加到第一列上,得a x ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)1 11 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ;解 根据第6题成果 有此行列式为范德蒙德行列式例3操练3：证明:02cos 2cos 2cos cos cos cos sin sin sin 222222==γβαγβαγβαD .证明：左边γβαγβαγβα2cos 2cos 2cos cos cos cos sin sin sin 222222=1cos 21cos 21cos 2cos cos cos 111222222---=γβαγβα从最后一行开端，每行减去上一行，得到： 1 2 3 ... n-1 n 1 1 1 ... 1 1-n ... ... ... ... 1 1-n 1 ... 1 1然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 ... n-2 n-1 1 0 0 ... 0 -n ... ... ... ... 1 -n 0 ... 0 0再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-10 0 0 ... 0 -n... ... ... ...0 -n 0 ... 0 0最后沿第一列展开得到成果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}。
行列式的认识
行列式的认识行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。
本文将介绍行列式的概念、性质和计算方法，并探讨其在代数学和几何学中的应用。
一、行列式的定义行列式是一个标量，通常用竖线或方括号表示。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)、|A|或[A]，定义如下：det(A) = a11*a22*a33...ann - a11*a23*a32...ann-1n +a11*a24*a42...ann-1n-1 - ... - a1n*a2n-1*a3n-2...a(n-1)(n-1)其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
在该定义中，n阶方阵A被展开成n!个乘积的和，这些乘积称为行列式的项。
二、行列式的性质1. 互换行列式的两行（列），其值不变。
2. 行（列）成比例，行列式的值为0。
3. 行列式中某行（列）元素的倍数加到另一行（列）上，其值不变。
4. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
5. 若矩阵A可逆，则其行列式不为0。
三、行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，其中最常用的是按行或列展开法。
1. 按第一行（列）展开：根据定义展开第一行（列）的各个元素乘以其代数余子式，并与其对应符号相乘后求和。
2. 代数余子式求和：对于n阶方阵A的元素aij，其代数余子式定义为Aij = (-1)^(i+j) * Mij，其中Mij为A去掉第i行第j列后所形成的(n-1)阶方阵。
行列式的值可以通过对A的一行（列）元素与其代数余子式相乘求和得到。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
若det(A)≠0，则方程组存在唯一解；若det(A)=0，则方程组可能无解或有无穷多解。
2. 矩阵的可逆性：对于n阶方阵A，若det(A)≠0，则A可逆；若det(A)=0，则A不可逆。
3. 判断向量组的线性相关性：给定一组向量v1，v2，...，vn，将其排列成矩阵A=[v1, v2, ..., vn]。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。
在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。
本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。
一、行列式的定义行列式是一个数。
行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。
对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。
二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。
具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。
b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。
c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。
d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。
4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它将一个方阵与一个实数相关联。
行列式有广泛的应用，例如求解线性方程组、计算逆矩阵、求解二次方程等。
本文将介绍行列式的一般定义和计算方法。
1.行列式的一般定义设A是一个n阶方阵，其中有n行n列。
对于n=1的情况，行列式即为该方阵中唯一的元素。
行列式的定义可以通过代数余子式和代数余子式的代数化简方式来推导得到。
1.1代数余子式对于 n 阶矩阵 A = [a_{ij}]，我们可以通过去掉 A 中的第 i 行和第 j 列来得到一个新的矩阵 A_{ij}，它的阶数为 (n-1) 阶。
则称A_{ij} 的行列式为元素 a_{ij} 的代数余子式，记作 M_{ij}。
1.2代数余子式的代数化简代数余子式 M_{ij} 和元素 a_{ij} 之间的关系可以通过递归的方式进行定义。
假设 A 是一个 n 阶矩阵：M_{ij} = （-1）^{i+j} * det(A_{ij})其中，A_{ij} 是去掉 A 中第 i 行和第 j 列所得到的 (n-1) 阶矩阵。
当 n=1 时，代数余子式即为该方阵中唯一的元素。
2.行列式的计算方法行列式有多种计算方法，包括拉普拉斯展开法、三角行列式法和按行（列）展开法等。
2.1拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是最常用的计算行列式的方法之一、通过选择一行（列）展开计算，可以将一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式的代数和。
例如计算一个3阶行列式：abcdefghi选择第一行展开，可以得到：det(A) = a * det(A_{11}) - b * det(A_{12}) + c * det(A_{13})其中，A_{11}、A_{12}和A_{13}是去掉A的第一行所得的子矩阵。
2.2三角行列式法三角行列式法是计算行列式的另一种常用方法，通过将一个n阶行列式转化为三角形矩阵的行列式来计算。
例如计算一个3阶行列式：abc0ef00i可以发现，该矩阵是一个上三角形矩阵，对角线以下的元素全为0。
行列式的概念与计算
行列式的概念与计算行列式是线性代数中一种重要的概念。
它可以用来描述线性变换对于向量空间的影响，也是求解线性方程组的基本方法之一。
本文将介绍行列式的概念与计算方法。
一、行列式的概念行列式是由元素构成的一个二阶矩阵，表示为|A|。
其中，A是一个n阶方阵，n≥2。
行列式的值是一个实数，用det(A)表示。
行列式的计算需要用到某种特定的排列求和方式，这种排列被称为置换。
设有n个元素，它们可以组成n!种排列。
用S(n)表示这些排列的全体。
如果有一个排列σ={(1,i1),(2,i2),…,(n,in)}，其中1≤i1,i2,…,in≤n且不同，则称σ是n个元素的一个置换。
每个置换都有一个符号，用sgn(σ)表示。
对于一个n阶方阵A，我们可以将它的行列式表示为：|A|=∑σ∈S(n)sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)其中，a1σ(1)表示A的第1行第σ(1)列的元素；a2σ(2)表示A 的第2行第σ(2)列的元素，以此类推。
由于每个排列σ都会贡献一个符号sgn(σ)，因此行列式的值是对各种排列的元素积求和的结果。
二、行列式的计算方法2.1 二阶行列式二阶行列式是最简单的情况，由一个2×2矩阵构成。
设A=[aij]是一个2×2矩阵，则它的行列式表示为：|A|=a11a22−a12a21这个公式可以通过我们之前介绍的方法直接计算得出。
2.2 三阶行列式三阶行列式是由一个3×3矩阵构成的行列式。
设A=[aij]是一个3×3矩阵，则它的行列式表示为：|A|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a3 3a21a12这个公式可以通过三阶行列式的定义直接计算得出，也可以用高斯消元法或其他适当的方法计算得出。
2.3 高阶行列式对于高阶行列式，计算就要更加复杂。
一般情况下，我们会采用行列式的性质来简化计算。
关于行列式的一般定义与计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义3、N 阶行列式的每项都是位于不同行 、不同列N 个元素的乘积特点:（1）倾数）它是3!项的代数和;（2）（项的构成）展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积 其一般项为：⑶（符号规律）三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列；三个负项的列标构成的排列为 321,213,132,它们都是奇排列.an a 12 … amn 阶行列式a 21 a 22…a2n二送（/严“…⑺刘卫？）?…a nj nj 1j2 …jnan1 an2… anna11 a 12 a 13D =a 21 a22 a 23 = a11a 22a 33 * a 12a 23a31 +a31a32a33— 已13已22已31 — 已12已21已33 —a i3a 2i a32已11已23已322 N 阶行列式是N !项的代数和;§行列式的性质性质1 :行列式和它的转置行列式的值相同a 11 a 12 a1na 11 a 21 a n1 即a21 a22a2n=a12 a22an2an1 a n2anna1n a 2nann行列式对行满足的性质对列也同样满足(2)性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换i,j 两行记为「一「,交换i,j 两列记作性质3:如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值 等于零。
"性质4:把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数 k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作 r i k ）推论1 : 一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行 列式符号的前面。
推论2:如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行 列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列 式值等于零。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
谈谈行列式的计算方法
谈谈行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组、计算逆矩阵以及求多项式的根等问题。
本文将详细介绍行列式的计算方法。
一、行列式的定义与性质：行列式是一个数，可以用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的唯一解以及计算矩阵的逆等问题。
设A为一个n阶方阵，其行列式记作，A，或det(A)。
1.一阶行列式：对于一个1×1的矩阵[a]，其行列式定义为，a，=a。
2.二阶行列式：对于一个2×2的矩阵[a b; c d]，其行列式定义为，A，=ad-bc。
3.三阶行列式：对于一个3×3的矩阵[a₁b₁c₁;a₂b₂c₂;a₃b₃c₃]，其行列式定义为，A，=a₁b₂c₃+b₁c₂a₃+c₁a₂b₃-c₁b₂a₃-a₁c₂b₃-b₁a₂c₃。
性质：-行列式与其转置矩阵行列式相同：，A，=，A^T。
-交换矩阵的两行（列）行列式改变符号，交换三行（列）行列式不变。
-一行（列）中有等于零的元素，行列式等于零。
二、行列式的计算方法：1.根据定义计算：根据行列式的定义，可以直接按照计算规则进行计算，但随着阶数的增加，计算量会呈指数级增长，因此不适用于高阶行列式的计算。
2.代数余子式法（拉普拉斯展开）：利用代数余子式法可以将计算一个行列式的问题转化为计算多个较小行列式的和的问题。
对于一个n阶矩阵A，定义它的第i行第j列元素为aᵢⱼ，那么对于任意一个aᵢⱼ，可以定义它的代数余子式M(i,j)为将行i和列j从A中删去后的(n-1)阶行列式，即A的余子矩阵的行列式。
代数余子式M(i,j)用(-1)^(i+j)乘以A的代数余子式C(i,j)得到。
通过拉普拉斯展开定理，行列式等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：A，=a₁ⱼM(1,j)+a₂ⱼM(2,j)+...+aⱼⱼM(n,j)（其中j为任意列号）3.三角行列式法：对于三角矩阵（上三角或下三角），行列式等于对角线上元素的乘积，即a₁₁a₂₂...aⱼⱼ。
关于行列式的计算方法
关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。
本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。
一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。
对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。
行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。
二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。
即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。
根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。
三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。
以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。
将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。
四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。
对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。
#关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc ,ba d c =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
关于-行列式-般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
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交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
关于行列式的一般定义和计算方法精编版
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
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关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D 1和D 2的和。
nnn nj n n n j nj a b a a a a b a a a a b a a a+++2122222211111211=nnnj n n n j nj a a a a a a a a a a a a 21222221111211+nnn n n n n a b a a a b a a a b a a21222221111211性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m 个数之和(m>2)，则此行列式等于m 个行列式之和。
一个n 阶行列式，如果它的元素满足：nj i a a i j j i 2,1,=-=；试证：当n 为奇数时，此行列式为零。
列式。
则称此行列式为对称行；如果满足：定义：行列式),,1,(n j i a a a ji ij ij ==每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）n D性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列：()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++02211将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：⎩⎨⎧≠==∑=j i j i DA a nk jk k i 01 （1）和⎩⎨⎧≠==∑=ji j i D A a nk kj ki 01 （2）行列式的计算1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式0010020100000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '=121311223213233123000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba= 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n ba b b D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]0000b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n 阶行列式00010000000000001000n a a a D a a=解 将D n 按第1行展开1000000000000(1)000000000100n n a a a a D a aa a+=+-12(1)(1)n n n n a a +-=+--2n n a a -=-.5．逆推公式法逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
例5 证明1221100001000001n nn n xx D x a a a a a x----=-+12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥证明：将D n 按第1列展开得123211000100001n n n n x x D xx a a a a a x-----=-+11000100(1)01n nx a x+--+--1n n a xD -=+由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++ 111n n n n a a x a x x --==++++6．利用范德蒙行列式例6 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7 计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+解： 110nn na a D D =1211002,,11001ni a a a x i n x x-=+--第行减第1行（箭形行列式）12110000000nj n j a a a a xx x x=+=∑11n j nj a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑8．数学归纳法 例8 计算n 阶行列式122110001000001n nn n xx D x a a a a a x----=-+解：用数学归纳法. 当n = 2时212211()x D x x a a a x a -==+++ 212x a x a =++假设n = k 时，有12121k k k k k k D x a x a x a x a ---=+++++则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得11k k k D xD a ++=+1111()k k k k k x x a x a x a a --+=+++++ 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有12121n n n n n n D x a x a x a x a ---=+++++9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例9 计算行列式 n D =11212212n n n na a a a a a a a a λλλ+++解：n D =1212212nn n na a a a a a a a a λλ++122200n n n na a a a a λλλ+++12200n nna a a a λλ=11n D λ-+1211n n a D λλλ-=+……1211nin i i a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。