高考数学第一轮复习课件之导数及其应用
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《利用导数研究函数的零点》课件
即x－y－3＝0.
(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点，求a的取值范围.
①当 a≤0 时，f′(x)＝ax－ 1x<0， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意； ②当 a>0 时，由 f(x)＝aln x－2 x＝0 可得2a＝lnxx， 令 g(x)＝lnxx，其中 x>0，则直线 y＝2a与曲线 y＝g(x)的图象在(0,16] 内有两个交点，
即 g(x)在π2，π上单调递减，又 gπ2＝1>0，g(π)＝－π<0， 则存在 m∈π2，π，使得 g(m)＝0， 且当 x∈π2，m时，g(x)>g(m)＝0， 即 f′(x)>0，则 f(x)在π2，m上单调递增， 当x∈(m，π]时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0， 则f(x)在(m，π]上单调递减，
由图可知，当 ln 2≤2a<2e，
即 e<a≤ln22时， 直线 y＝2a与曲线 y＝g(x)的图象在(0,16]内有 两个交点，
即f(x)在(0,16]上有两个零点， 因此，实数 a 的取值范围是e，ln22.
题型三 构造函数法研究函数的零点
例3 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值. (1)求a； [切入点：求f(x)，g(x)的最小值] (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝ f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从 左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
又 f π2＝π2－1>0，f(π)＝－1<0， 所以f(x)在(m，π]上有且只有一个零点， 综上，函数y＝f(x)在[0，π]上有2个零点.
思维升华
2025年高考数学一轮复习课件第三章一元函数的导数及其应用-专题突破7导数的综合应用
【拆解】
分类
第一问
第二问
参考赋分
6分
6分
难易
中上
难
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续表
①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考
查利用导数研究函数零点问题.
②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求.注意分类讨
审题
要点
论.
③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当 > 1时，
所以函数 在 0,1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减， 的最大值为 1 = 1.
所以 ≤ 1，即实数的取值范围是(−∞, 1]．
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考点三 利用导数研究函数零点
例3 已知函数 = − e + ,讨论函数 零点的个数.
解：′ = 1 − e .
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第一问
在基础性的层次上考查
数学运算学科素养，和
.
2
e −1
恒成立.
− 1 + 1 > 0 ，所以′ = e ⋅ > 0，所以 在 0, +∞ 上单调
递增.
所以 > 0 = 0，所以ℎ′ > 0，所以ℎ 在 0, +∞ 上单调递增．
由洛必达法则，知 lim+ ℎ =
→0
e −1
lim
→0+
e − = 的解的个数、 − ln = 的解的个数均为2，构建新函数
= − ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 , 的
大小关系，根据存在直线 = 与曲线 = ， = 有三个不同的交点
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
2025高考数学一轮复习-5.3.3-第2课时-导数在函数有关问题及实际生活中的应用【课件】
(x)取得最大值
f
(e)＝1e，即
ln
a＜1e，即
1 a＜ee.画
出函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与 y＝x 的图象，结合图象可知，若方程 ax
＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则 a＞1.综上可知，实数 a 的取值
范围为1，e1e.
类型 3 导数在生活实际问题中的应用 角度 1 用料最省、成本(费用)最低问题 【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的 屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热 层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗 费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5 (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f (x)为 隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
令 f ′(x)＝0，得 x＝4 或 x＝6(舍去).
于是，当 x 变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (3，4)
4
(4，6)
f ′(x) ＋
0
－
f (x)
极大值 42
由上表可得，x＝4 是函数 f (x)在区间(3，6)内的极大值点，也是 最大值点，
所以，当 x＝4 时，函数 f (x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润 最大．
[解] (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x)＝(x－3)x－2 3＋10(x－6)2 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6， 从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
2024年高考数学一轮复习+ppt+利用导数解决不等式恒(能)成立问题
随着x变化，r′(x)与r(x)的变化情况如下表所示：
x
0，34π
3π 4
34π，3
r′(x)
＋
0
－
r(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以r(x)在0，34π上单调递增，在34π，3上单调递减．
r(x)在(0,3)上有唯一的一个极大值，即最大值r34π＝
22e-34π，故a≥
2 2
3π
e- 4 .
解 (1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于g(x)max－ g(x)min≥M.
由g(x)＝x3－x2－3， 得g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23. 由g′(x)＞0得x＜0或x＞23，又x∈[0,2]， 所以g(x)在0，23上是单调递减函数， 在23，2上是单调递增函数，
解析
(2)证明：f′(x)＝ex－ax，当a>0时，易知f′(x)为(0，＋∞)上的增函 数，
当a>e时，f′(1)＝e－a<0；当a＝e时，f′(1)＝e－a＝0；当a<e时， f′ae＝eae－e<0，
而f′(a)＝ea－1>0，所以存在x0∈(0，＋∞)，使f′(x0)＝ex0－xa0＝0， 即x0＝ln a－ln x0，
解 解法一：(分离参数法)
依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln
x＋
1 x
在x
∈[1，＋∞)上恒成立，亦即a≤ln
x＋1xmin，x∈[1，＋∞)．
设g(x)＝ln x＋1x(x≥1)，
则g′(x)＝1x－x12＝x－x2 1.
解
令g′(x)＝0，得x＝1. 当x≥1时，因为g′(x)≥0， 故g(x)在[1，＋∞)上单调递增． 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1. 故实数a的取值范围是(－∞，1]．
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
2025年高考数学一轮复习课件第三章一元函数的导数及其应用-专题突破5三次函数的图象与性质
（2）由题意，知关于的方程 = 3 2 − 1 − 2 3 ，即 = −2 3 + 3 2 − > 0
有三个不等实根．
令 = −2 3 + 3 2 − ，则′ = −6 − ．
易知 在 −∞, 0 上单调递减，在 0, 上单调递增，在 , +∞ 上单调递减，
−24.
当 = −1时，函数 取得极大值，为 −1 = −1
3
− 3 × −1
2
− 9 × −1 + 3 = 8.
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又 5 = 53 − 3 × 52 − 9 × 5 + 3 = 8，所以函数 的最大值为 5 = −1 = 8.
作函数 在[−2,5]上的大致图象如图所示.
第三章 一元函数的导数及其应用
专题突破5 三次函数的图象与性质
核心考点
课时作业
三次函数问题，既是高考常考问题，也是研究导数相关零点、切线及不等式等问
题的基础.设三次函数 = 3 + 2 + + ≠ 0 ，则′ = 3 2 + 2 + ，
记Δ = 4 2 − 12 = 4 2 − 3 ，并设1 ，2 是方程′ = 0的根，且1 < 2 .以下
因为 = + ，所以 的图象是 的图象向上或向下平移得到的，故A不
符合.故选B.
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【点拨】当三次函数有两个极值点 Δ > 0 时，若 > 0，则三次函数的图象形状为
“N字形式”；若 < 0，则三次函数的图象形状为“反N字形”.
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变式1 （2021年全国乙卷）设 ≠ 0，若 = 为函数 = ( − )2 − 的极大
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念、几何意义及运算
(+1)
(+1)
(+1)
e
e
e
e
y-2 = 4(x-1),即 y=4x+4.故选 C.
e
e
y'|x=1= =k.在点(1, )处的切
4
2
(2)当 x>0 时,y=ln x,设切点坐标为(x1,ln x1)(x1>0),则由
1
y'=,得切线斜率
1
1
k= ,从而切线方程为 y-ln x1= (x-x1).∵该切线经过原点,
f'(x)= -sin x
f'(x)= axln a
f(x)=ex
f'(x)= ex
f(x)=cos x
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f'(x)=
f(x)=ln x
f'(x)=
1
ln
1
4.导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) .
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
,特别地,[cf(x)]'=
'()()-()'()
(3)
()
()
'=
[()]2
(g(x)≠0).
cf'(x) .
5.复合函数的导数
(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变
量u,y可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复
时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即
2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用高考大题研究课二利用导数证明不等式课件
×
ln 3 32
×
l4n24×…×lnn2n<n1.
解析：由(1)知，a＝1时，ln x＋1－x≤0即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成
立．
令x＝n，其中n∈N＋且n≥2，则有ln n<n－1，
又n－1<n(n－1)，所以ln n<n(n－1)，即lnn2n<n−n1，
所以l2n22
×
ln 3 32
高考用导数证明不等式问题，重点掌握导数与函数的性质、函数 的零点、数列等相结合的问题，提高学生分析问题、解决问题的能 力．
关键能力·题型剖析
题型一将不等式转化为函数的最值问题
例1 (12分)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋32.
单调递增．→正确写出结论得1分
(2)证明：由(1)得，f(x)min＝f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a→正确求出f(x)min得1分
要证f(x)≥2ln a＋32，即证1＋a2＋ln a＞2ln a＋32，即证a2－12－ln a＞0 恒成立．→正确转化f(x)＞2ln a＋32⇒f(x)min＞2ln a＋32得2分
巩固训练1 [2024·河南新乡模拟]已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求f(x)的单调区间；
解析：因为f(x)＝x2ln x，x>0， 所以f′(x)＝2x ln x＋x＝x(2ln x＋1)， 由f′(x)＝0，得x＝e−12. 当x ∈ (0，e−12)时，f′(x)<0；当x ∈ (e−12，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)的单调递减区间为(0，e−12)，单调递增区间为(e−12，＋∞)．
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
2025高考数学一轮复习-5.3.1-单调性【课件】
[跟进训练] 1．已知 y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中 f ′(x)是函数 f (x)的导函数)， 下面四个图象中，y＝f (x)的图象大致是( )
A
B
C
D
C [当 0＜x＜1 时，xf ′(x)＜0， ∴f ′(x)＜0，故 f (x)在(0，1)上为减函数； 当 x＞1 时，xf ′(x)＞0，∴f ′(x)＞0， 故 y＝f (x)在(1，＋∞)上为增函数．故选 C.]
A
B
C
D
(2)已知函数 y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y ＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A
B
C
D
(1)D (2)B [(1)由 f (x)的图象可知，y＝f (x)在(－∞，0)上是增函 数，因此当 x＜0 时，有 f ′(x)＞0(即全部在 x 轴上方)，故排除 A，C. 从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f ′(x)＞0； 在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函 数是增函数，f ′(x)＞0，故排除 B.故选 D.
如果在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，那么函数 f (x)有什么特 性？
[提示] f (x)是常数函数．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间
上单调递减．
()
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．
第5章 导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 单调性
必备知识·情境导学探新知
知识点
观察 y＝x－1，y＝2x＋1，y＝－3x＋1 的 图象并回答以下问题：
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三基能力强力
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则a的值等于( )
19 A. 3
16 C. 3
答案：B
10 B. 3
13 D. 3
三基能力强力
2．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝ x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为 ()
A．3 B．－3 C．5 D．－5 答案：A
三基能力强力
第1课时 变化率与导数、导数的计算
基础知识梳理
1．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数
是 liΔ函xm→数0 fy(＝x0＋ f(xΔ)Δ在xx)－x＝f(xx00)处＝的liΔ瞬xm→时0 变ΔΔxy化，称率
其为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作
f′(x0)或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)
1
(7)(lnx)′＝ x ； 1 (8)(loga x)′ ＝ xlna (a>0 且
a≠1)．
基础知识梳理
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
答案：(－2,15)，(2，－9)
课堂互动讲练
考点一 利用导数的定义求函数的导数
根据导数的定义求函数y＝f(x)在 点x0处导数的方法：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－
f(x0)；
(2)
求
平
均
变
化
率
Δy Δx
＝
f(x0＋Δx)－f(x0)； Δx
课堂互动讲练
(3)得导数 f′(x0)＝Δlxim→0 ΔΔxy.简记作： 一差、二比、三极限．
基础知识梳理
曲线在点P处的切线和曲线过点P 的切线有何不同？
【思考·提示】 前者P为切点； 后者点P可以是切点也可以不是．一 般曲线的切线与曲线可以有一个或一 个以上的公共点．
基础知识梳理
3．几种常见函数的导数 (1)C′＝ (0C为常数)； (2)(xn)′＝ nxn－(1n∈Q*)； (3)(sinx)′＝ cosx； (4)(cosx)′＝ －sin；x (5)(ex)′＝ e；x (6)(ax)′＝ axlna (a>0且a≠1；)
3．函数y＝xcosx－sinx的导数 为( )
A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx 答案：B
三基能力强力
4．(教材习题改编)已知f(x)＝13 －8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝ ________.
答案：5 2 2
三基能力强力
5．(2009年高考江苏卷改编)已知 点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，过点 P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0，则 点P的坐标为________．
(3)掌握常见基本初等函数的导数公 式和常用的导数运算公式．
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考纲解读
3．导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系， 能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间(对多项式函数一般不超过三 次)． (2)了解函数在某点取得极值的必要 条件和充
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考纲解读
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命题探究
1.高考对导数的考查形式多样，难易均 有，可以在选择题和填空题中出现，主要以 导数的运算、导数的几何意义、导数的应用 为主(研究单调性、极值和最值等)；也更容 易在解答题中出现，有时候作为压轴题，主 要考查导数的综合应用，往往与函数、方 程、不等式、数列、解析几何等联系在一 起，分值为12～16分．
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命题探究
2．微积分是新课标新增内容，故 高考对微积分的考查会注重基础，重在 考查基本概念和方法，所以一般以选择 题和填空题的形式出现，考查内容以定 积分的计算和面积的计算为主．
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命题探究
3．预计2011年高考试题在本部分应是 一个小题和一个大题，小题主要考查导数的 概念、几何意义、导数的运算，大题主要以 函数为背景，以导数为工具，考查运用导数 研究函数的单调性、极值或最值问题，在函 数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命 题.
＝
liΔxm→0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
.
基础知识梳理
(2)导函数
当 x 变化时，f′(x)称为 f(x)的导函数，
f(x＋Δx)－f(x)
则 f′(x)＝ y′＝ liΔxm→0
Δx
.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几 何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0， y程0)为处：的切y－线y的0＝斜f′(率x0，)(x过－点x0P) 的．切线方
(3)[gf((xx))]′＝
[g(x)]2
(g(x)≠0) ．
基础知识梳理
5．复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝ φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有 导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点 x处也有导数，且y′x＝ y′u·u或′x 写作 f′x(φ(x))＝ f′(u)·φ′(x) ．
课堂互动讲练
பைடு நூலகம்
例1 利用导数的定义求函数 y＝ 1 的导数． x
【思路点拨】
→ 求Δlixm→0
Δy Δx .
求Δy → 求ΔΔxy
课堂互动讲练
【解】
∵Δy ＝
1 －1＝ x＋Δx x
x－ x＋Δx
x2＋x·Δx
＝
－Δx x2＋x·Δx( x＋
x＋Δx)，
∴Δy＝ Δx
－1 x2＋x·Δx( x＋
分条件；会用导数求函数的极大 值、极小值(对多项式函数一般不超过三 次)；会求闭区间上函数的最大值、最小 值(对多项式函数一般不超过三次)．
4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定 积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．
， x＋Δx)
∴Δlixm→0
Δy＝－ 1 Δx 2x
第三章 导数及其应用
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考纲解读
1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 y＝C，y＝x，y
＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数．
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考纲解读
(2)能利用下面给出的基本初等函数 的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数．